Уравнения Фридмана

Уравнения в физической космологии

Александр Фридман

Уравнения Фридмана , также известные как уравнения Фридмана–Леметра ( FL ) , представляют собой набор уравнений в физической космологии , которые управляют расширением пространства в однородных и изотропных моделях Вселенной в контексте общей теории относительности . Они были впервые выведены Александром Фридманом в 1922 году из уравнений гравитационного поля Эйнштейна для метрики Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера и идеальной жидкости с заданной плотностью массы ρ и давлением p . ^[1] Уравнения для отрицательной пространственной кривизны были даны Фридманом в 1924 году. [ ^2]

Предположения

Уравнения Фридмана начинаются с упрощающего предположения, что Вселенная пространственно однородна и изотропна , то есть космологического принципа ; эмпирически это обосновано на масштабах, больших, чем порядок 100 Мпк . Космологический принцип подразумевает, что метрика Вселенной должна иметь вид, где d s ₃ ² — трехмерная метрика, которая должна быть одной из (a) плоского пространства, (b) сферы постоянной положительной кривизны или (c) гиперболического пространства с постоянной отрицательной кривизной. Эта метрика называется метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW). Параметр k , обсуждаемый ниже, принимает значения 0, 1, −1 или гауссовой кривизны в этих трех случаях соответственно. Именно этот факт позволяет нам разумно говорить о « масштабном факторе » a ( t ) . $${\displaystyle -\mathrm {d} s^{2}=a(t)^{2}\,{\mathrm {d} s_{3}}^{2}-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}}$$

Уравнения Эйнштейна теперь связывают эволюцию этого масштабного фактора с давлением и энергией материи во Вселенной. Из метрики FLRW мы вычисляем символы Кристоффеля , затем тензор Риччи . С тензором энергии-импульса для идеальной жидкости мы подставляем их в уравнения поля Эйнштейна, и полученные уравнения описаны ниже.

Уравнения

Существует два независимых уравнения Фридмана для моделирования однородной изотропной Вселенной. Первое: которое выводится из компонента 00 уравнений поля Эйнштейна . Второе: которое выводится из первого вместе со следом уравнений поля Эйнштейна (размерность двух уравнений — время ⁻² ). $${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$$

a — масштабный коэффициент , G , Λ и c — универсальные константы ( G — ньютоновская постоянная тяготения , Λ — космологическая постоянная с размерностью длины ⁻² , а c — скорость света в вакууме ). ρ  и p — объемная плотность массы (а не объемная плотность энергии) и давление соответственно. k постоянна для конкретного решения, но может меняться от одного решения к другому.

В предыдущих уравнениях a , ρ и p являются функциями времени. ⁠к/а ²⁠ — пространственная кривизна в любом временном срезе Вселенной; она равна одной шестой скаляра пространственной кривизны Риччи R, поскольку в модели Фридмана. H ≡ ⁠ $${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})}$$ȧ/а⁠ — параметр Хаббла .

Мы видим, что в уравнениях Фридмана a ( t ) не зависит от того, какую систему координат мы выбрали для пространственных срезов. Существует два обычно используемых выбора для a и k , которые описывают одну и ту же физику:

• k = +1, 0 или −1 в зависимости от того, является ли форма вселенной замкнутой 3-сферой , плоскостью ( евклидовым пространством ) или открытым 3- гиперболоидом соответственно. ^[3] Если k = +1 , то a — радиус кривизны вселенной. Если k = 0 , то a может быть зафиксировано на любом произвольном положительном числе в один конкретный момент времени. Если k = −1 , то (грубо говоря) можно сказать, что i · a — радиус кривизны вселенной.
• a — масштабный коэффициент , который в настоящее время принимается равным 1. k — текущая пространственная кривизна (когда a = 1 ). Если форма Вселенной гиперсферическая , а R _t — радиус кривизны ( в настоящее время R _{0 ), то} a = ⁠Р _т/Р ₀⁠ . Если k положительно, то Вселенная гиперсферическая. Если k = 0 , то Вселенная плоская . Если k отрицательно, то Вселенная гиперболическая .

Используя первое уравнение, второе уравнение можно переписать так, что исключает Λ и выражает сохранение массы-энергии : $${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}$$ $${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0.}$$

Эти уравнения иногда упрощаются путем замены, получая: $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &\to \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}&p&\to p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}&={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\\{\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Упрощенная форма второго уравнения инвариантна относительно этого преобразования.

Параметр Хаббла может меняться со временем, если другие части уравнения зависят от времени (в частности, плотность массы, энергия вакуума или пространственная кривизна). Оценка параметра Хаббла в настоящее время дает постоянную Хаббла, которая является константой пропорциональности закона Хаббла . Примененные к жидкости с заданным уравнением состояния , уравнения Фридмана дают временную эволюцию и геометрию Вселенной как функцию плотности жидкости.

Некоторые космологи называют второе из этих двух уравнений уравнением ускорения Фридмана и резервируют термин «уравнение Фридмана» только для первого уравнения.

Параметр плотности

Параметр плотности Ω определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности ρ к критической плотности ρ _c вселенной Фридмана. Соотношение между фактической плотностью и критической плотностью определяет общую геометрию вселенной; когда они равны, геометрия вселенной является плоской (евклидовой). В более ранних моделях, которые не включали член космологической постоянной , критическая плотность изначально определялась как точка водораздела между расширяющейся и сжимающейся вселенной.

На сегодняшний день критическая плотность оценивается примерно в пять атомов ( одноатомного водорода ) на кубический метр, тогда как средняя плотность обычного вещества во Вселенной, как полагают, составляет 0,2–0,25 атома на кубический метр. ^{[4] [5]}

Оценочное относительное распределение компонентов плотности энергии Вселенной. Темная энергия доминирует в общей энергии (74%), в то время как темная материя (22%) составляет большую часть массы. Из оставшейся барионной материи (4%) только одна десятая является компактной. В феврале 2015 года европейская исследовательская группа, стоящая за космологическим зондом Planck, опубликовала новые данные, уточняющие эти значения до 4,9% обычной материи, 25,9% темной материи и 69,1% темной энергии.

Гораздо большая плотность исходит от неопознанной темной материи , хотя и обычная, и темная материя вносят вклад в сжатие Вселенной. Однако наибольшая часть исходит от так называемой темной энергии , которая отвечает за космологическую постоянную. Хотя общая плотность равна критической плотности (точно, с точностью до погрешности измерения), темная энергия не приводит к сжатию Вселенной, а скорее может ускорить ее расширение.

Выражение для критической плотности находится, если предположить, что Λ равно нулю (как и для всех основных вселенных Фридмана), и приравнять к нулю нормализованную пространственную кривизну k . Применяя подстановки к первому из уравнений Фридмана, мы находим: $${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}=1.8788\times 10^{-26}h^{2}{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}=2.7754\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3},}$$

(где h = H ₀ /(100 км/с/Мпк) . Для H _o = 67,4 км/с/Мпк , т.е. h = 0,674 , ρ _c =8,5 × 10−27  кг/м ^{3 )} .

Параметр плотности (полезный для сравнения различных космологических моделей) тогда определяется как: $${\displaystyle \Omega :={\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.}$$

Первоначально этот термин использовался как средство определения пространственной геометрии Вселенной, где ρ _c — критическая плотность, при которой пространственная геометрия является плоской (или евклидовой). Предполагая нулевую плотность энергии вакуума, если Ω больше единицы, пространственные сечения Вселенной закрыты; Вселенная в конечном итоге перестанет расширяться, а затем схлопнется. Если Ω меньше единицы, они открыты; и Вселенная расширяется вечно. Однако можно также включить члены пространственной кривизны и энергии вакуума в более общее выражение для Ω, в этом случае этот параметр плотности равен точно единице. Тогда это вопрос измерения различных компонентов, обычно обозначаемых нижними индексами. Согласно модели ΛCDM , существуют важные компоненты Ω из-за барионов , холодной темной материи и темной энергии . Пространственная геометрия Вселенной была измерена космическим аппаратом WMAP как почти плоская. Это означает, что Вселенная может быть хорошо аппроксимирована моделью, в которой параметр пространственной кривизны k равен нулю; Однако это не обязательно означает, что Вселенная бесконечна: возможно, Вселенная просто намного больше той части, которую мы видим.

Первое уравнение Фридмана часто рассматривается в терминах современных значений параметров плотности, то есть ^[6] Здесь Ω _0,R — это плотность излучения сегодня (когда a = 1 ), Ω _0,M — это плотность материи ( темной плюс барионной ) сегодня, Ω _{0, k} = 1 − Ω ₀ — это «плотность пространственной кривизны» сегодня, а Ω _0,Λ — это космологическая постоянная или плотность вакуума сегодня. $${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.}$$

Полезные решения

Уравнения Фридмана можно решить точно в присутствии идеальной жидкости с уравнением состояния, где p — давление , ρ — плотность массы жидкости в сопутствующей системе отсчета, а w — некоторая константа. $${\displaystyle p=w\rho c^{2},}$$

В пространственно плоском случае ( k = 0 ) решение для масштабного фактора имеет вид где a ₀ — некоторая константа интегрирования, которая должна быть зафиксирована выбором начальных условий. Это семейство решений, обозначенное w, чрезвычайно важно для космологии. Например, w = 0 описывает вселенную, в которой доминирует материя , где давление пренебрежимо мало по сравнению с плотностью массы. Из общего решения легко увидеть, что во вселенной, в которой доминирует материя, масштабный фактор становится таким же, как в доминируемой материей Другим важным примером является случай вселенной, в которой доминирует излучение , а именно, когда w = ⁠ $${\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}$$ $${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}}$$1/3⁠ . Это приводит к доминированию радиации $${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}}$$

Обратите внимание, что это решение недействительно для доминирования космологической постоянной, что соответствует w = −1 . В этом случае плотность энергии постоянна, а масштабный фактор растет экспоненциально.

Решения для других значений k можно найти в Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics" . Получено 24 февраля 2022 г. .

Смеси

Если вещество представляет собой смесь двух или более невзаимодействующих жидкостей, каждая из которых имеет такое уравнение состояния, то выполняется отдельно для каждой такой жидкости f . В каждом случае, из которого получаем $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)\,}$$ $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,}$$ $${\displaystyle {\rho }_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}\,.}$$

Например, можно образовать линейную комбинацию таких членов , где A — плотность «пыли» (обычной материи, w = 0 ), когда a = 1 ; B — плотность излучения ( w = ⁠ $${\displaystyle \rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,}$$1/3⁠ ) ​​когда a = 1 ; и C — плотность «темной энергии» ( w = −1 ). Затем подставляем это в и решаем для a как функции времени. $${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\,}$$

Подробный вывод

Чтобы сделать решения более явными, мы можем вывести полные соотношения из первого уравнения Фридмана: с $${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\dot {a}}{a}}\\[6px]H^{2}&=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }\right)\\[6pt]H&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\dot {a}}{a}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\mathrm {d} a&=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}}$$

Перестановка и изменение для использования переменных a ′ и t ′ для интегрирования $${\displaystyle tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a'^{2}}}}}$$

Можно найти решения для зависимости масштабного фактора от времени для вселенных, в которых доминирует каждый компонент. В каждом из них мы также предположили, что Ω _{0, k} ≈ 0 , что равнозначно предположению, что доминирующий источник плотности энергии приблизительно равен 1.

Для вселенных, в которых доминирует материя, где Ω _0,M ≫ Ω _0,R и Ω _{0, Λ} , а также Ω _0,M ≈ 1 : что восстанавливает вышеупомянутое a ∝ t ^2/3 $${\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}&=\left.\left({\tfrac {2}{3}}{a'}^{3/2}\right)\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left({\tfrac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}\right)^{2/3}&=a(t)\end{aligned}}}$$

Для вселенных с доминированием излучения, где Ω _0,R ≫ Ω _0,M и Ω _0,Λ , а также Ω _0,R ≈ 1 : $${\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}&=\left.{\frac {a'^{2}}{2}}\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left(2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}\right)^{1/2}&=a(t)\end{aligned}}}$$

Для вселенных с преобладанием Λ , где Ω _{0, Λ} ≫ Ω _0,R и Ω _0,M , а также Ω _{0, Λ} ≈ 1 , и где мы теперь изменим наши границы интегрирования с t _i на t и аналогично a _i на a : $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(t-t_{i}\right)H_{0}&=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}\\[6px]\left(t-t_{i}\right)H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}&={\bigl .}\ln |a'|\,{\bigr |}_{a_{i}}^{a}\\[6px]a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)&=a(t)\end{aligned}}}$$

Решение для Λ -доминируемой Вселенной представляет особый интерес, поскольку вторая производная по времени положительна, не равна нулю; другими словами, это подразумевает ускоренное расширение Вселенной, что делает ρ _Λ кандидатом на роль темной энергии : $${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)&=a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\\[6px]{\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}&=a_{i}{H_{0}}^{2}\,\Omega _{0,\Lambda }\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\end{aligned}}}$$

При построении a _i > 0 наши предположения были следующими: Ω _{0, Λ} ≈ 1 , а H ₀ измерено как положительное, что заставляет ускорение быть больше нуля.

В популярной культуре

Несколько студентов Университета Цинхуа ( альма-матер лидера КПК Си Цзиньпина ) , участвовавших в протестах COVID-19 в Китае в 2022 году, несли плакаты с нацарапанными на них уравнениями Фридмана, которые некоторые интерпретировали как игру слов «Свободный человек». Другие интерпретировали использование уравнений как призыв «открыть» Китай и прекратить его политику Zero Covid, поскольку уравнения Фридмана связаны с расширением или «открытием» Вселенной. ^[7]

Смотрите также

• Математика общей теории относительности
• Решения уравнений поля Эйнштейна
• Теплая инфляция

Источники

1. Фридман, А (1922). «Über die Krümmung des Raumes». З. Физ. (на немецком языке). 10 (1): 377–386. Бибкод : 1922ZPhy...10..377F. дои : 10.1007/BF01332580. S2CID  125190902. (Перевод на английский язык: Фридман, А. (1999). «О кривизне пространства». Общая теория относительности и гравитация . 31 (12): 1991–2000. Bibcode : 1999GReGr..31.1991F. doi : 10.1023/A:1026751225741. S2CID  122950995.). Оригинальная русская рукопись этой статьи хранится в архиве Эренфеста.
2. Фридман, А (1924). «Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negater Krümmung des Raumes». З. Физ. (на немецком языке). 21 (1): 326–332. Бибкод : 1924ZPhy...21..326F. дои : 10.1007/BF01328280. S2CID  120551579. (Перевод на английский язык: Фридман, А. (1999). «О возможности мира с постоянной отрицательной кривизной пространства». Общая теория относительности и гравитация . 31 (12): 2001–2008. Bibcode : 1999GReGr..31.2001F. doi : 10.1023/A:1026755309811. S2CID  123512351.)
3. D'Inverno, Ray (2008). Введение в теорию относительности Эйнштейна (переиздание). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-859686-8.
4. Риз, Мартин (2001). Всего шесть чисел: глубинные силы, формирующие вселенную . Астрономия/наука (переиздание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Basic Books. ISBN 978-0-465-03673-8.^{[ требуется разъяснение ]}
5. "Вселенная 101". NASA . Получено 9 сентября 2015 г. Фактическая плотность атомов эквивалентна примерно 1 протону на 4 кубических метра.
6. Nemiroff, Robert J. ; Patla, Bijunath (2008). «Приключения в космологии Фридмана: подробное расширение космологических уравнений Фридмана». American Journal of Physics . 76 (3): 265–276. arXiv : astro-ph/0703739 . Bibcode :2008AmJPh..76..265N. doi :10.1119/1.2830536. S2CID  51782808.
7. Мерфи, Мэтт (28 ноября 2022 г.). «Протесты в Китае: Чистая бумага становится символом редких демонстраций». BBC News .

Дальнейшее чтение

• Либшер, Дирк-Эккехард (2005). "Расширение". Космология . Берлин: Шпрингер. стр. 53–77. ISBN 3-540-23261-3.