Квинтовый круг

Взаимосвязь тонов хроматической гаммы

Квинтовый круг с указанием мажорной и минорной тональности

В теории музыки круг квинт , иногда называемый кругом кварт ^[а] , представляет собой способ организации 12 хроматических тонов как последовательность идеальных квинт . (Это строго верно для стандартной 12-тоновой равнотемперированной системы — использование другой системы требует, чтобы один интервал уменьшенной шестой считался квинтой). Если C выбран в качестве отправной точки, последовательность будет следующей: C, G, D, A, E, B (=C ♭ ), F ♯ (=G ♭ ), C ♯ (=D ♭ ), A ♭ , E. ♭ , B ♭ , F. Продолжение шаблона от F возвращает последовательность в ее начальную точку C. В этом порядке наиболее тесно связанные ключевые подписи располагаются рядом друг с другом. Обычно его изображают в виде круга.

Определение

Круг квинт объединяет высоты звука в последовательность идеальных квинт , обычно изображаемую в виде круга с высотами звука (и соответствующими им клавишами) по часовой стрелке. Круг часто используется против часовой стрелки, что делает его кругом четвертей. Гармонические прогрессии в западной музыке обычно используют соседние клавиши в этой системе внутри композиции, что делает ее полезным справочником по музыкальной композиции и гармонии. ^[1]

Используя систему точной интонации , чистая квинта состоит из двух тонов с соотношением частот 3:2, но создание таким образом двенадцати последовательных чистых квинт не приводит к возврату к классу высоты звука начальной ноты. Чтобы приспособиться к этому, инструменты обычно настраиваются по равнотемперированной системе. Двенадцать равнотемперированных пятых приводят к ноте ровно на семь октав выше исходного тона - в результате получается идеальная квинта, эквивалентная семи равнотемперированным полутонам .

В верхней части круга показана тональность до мажор, без диезов и бемолей . Двигаясь по часовой стрелке, высота звука увеличивается на квинты . Сигнатуры клавиш, связанные с этими высотами, также меняются: в тональности соль один диез, в тональности ре 2 диеза и так далее. Аналогичным образом, двигаясь против часовой стрелки от вершины круга, ноты меняются по убыванию квинты и соответственно изменяются тональности: в тональности F одна бемоль, в тональности B ♭ — 2 бемоли и так далее. Некоторые клавиши (внизу круга) могут быть записаны как диезами, так и бемолями .

Начиная с любой высоты и поднимаясь на квинту, генерируются все двенадцать тонов, прежде чем вернуться к начальному классу высоты звука (класс высоты состоит из всех нот, обозначенных данной буквой, независимо от октавы - например, все ноты «C» принадлежат к тот же тональный класс). Двигаясь против часовой стрелки, высота звука снижается на квинту, но повышение на чистую кварту приведет к той же ноте на октаву выше (следовательно, к тому же классу высоты тона). Движение против часовой стрелки от C можно рассматривать как опускание на квинту до F или подъем на кварту до F.

Структура и использование

Диатонические тональности

Каждая из двенадцати нот может служить тоникой мажорной или минорной тональности , и с каждой из этих тональностей связана диатоническая гамма . На круговой диаграмме показано количество диезов или бемолей в каждой тональности , при этом мажорная тональность обозначается заглавной буквой, а минорная тональность — строчной. Мажорные и второстепенные ключи, имеющие одинаковую сигнатуру, называются относительным мажором и относительным минором друг друга.

Модуляция и последовательность аккордов

Тональная музыка часто модулируется в новый тональный центр, тональность которого отличается от оригинала только на один бемоль или диез. Эти тесно связанные тональности находятся на расстоянии одной квинты друг от друга и, следовательно, соседствуют в квинтовом круге. Последовательности аккордов также часто перемещаются между аккордами, корни которых связаны идеальной квинтой, что делает круг квинт полезным для иллюстрации «гармонического расстояния» между аккордами.

Квинтовый круг используется для организации и описания гармонической или тональной функции аккордов . ^[2] Аккорды могут развиваться по схеме восходящих чистых четвертей (поочередно рассматриваемых как нисходящие чистые квинты) в «функциональной последовательности». Это можно показать «... кругом квинт (в котором, следовательно, ступень II гаммы ближе к доминанте , чем ступень IV гаммы)». ^[3] С этой точки зрения тоника или тональный центр считается конечной точкой последовательности аккордов , полученной из квинтового круга.

прогрессия ii – V – I , в C, иллюстрирующая сходство между ними.

Субдоминантные, супертонические септаккорды и супертонические аккорды.

Согласно книге Ричарда Франко Гольдмана « Гармония в западной музыке» , «в простейших механизмах диатонических отношений IV аккорд находится на наибольшем расстоянии от I. С точки зрения [нисходящего] круга квинт он уводит от I, а не к этому». ^[4] Он утверждает, что прогрессия I–ii–V–I ( аутентичная каденция ) будет казаться более окончательной или решенной , чем I–IV–I ( плагальная каденция ). Гольдман ^[5] соглашается с Наттиезом, который утверждает, что «аккорд четвертой ступени появляется задолго до аккорда II и последующего финального I в прогрессии I–IV–vii ^o –iii–vi–ii–V– I», и там тоже дальше от тоника. ^[6] (В этой и связанных статьях римские цифры в верхнем регистре обозначают основные триады, а римские цифры в нижнем регистре — второстепенные триады.)

Замыкание круга в неравных системах настройки.

Использование точного соотношения частот 3:2 для определения идеальной квинты ( просто интонации ) не совсем приводит к возврату к высоте звука начальной ноты после прохождения круга квинт. Настройка равной темперации дает квинты, которые возвращаются к тону ровно на семь октав выше исходного тона и делают соотношение частот каждого полутона одинаковым. Ровно темперированная квинта имеет соотношение частот 2 ^7/12 :1 (или около 1,498307077:1), что примерно на два цента уже, чем правильно настроенная квинта с соотношением 3:2.

Восхождение по правильно настроенным квинтам не позволяет замкнуть круг на превышение примерно на 23,46 цента , примерно четверть полутона , интервал, известный как пифагорейская запятая . В пифагорейской настройке эта проблема решается за счет заметного укорачивания ширины одной из двенадцати квинт, что делает ее сильно диссонансной . Эту аномальную квинту называют волчьей квинтой – юмористическая отсылка к волку, воющему на нестандартной ноте. В системе настройки тона с четвертью запятой используются одиннадцать квинтов, немного уже, чем равномерная квинта, и требуется гораздо более широкая и даже более диссонирующая волчья квинта, чтобы замкнуть круг. Более сложные системы настройки, основанные только на интонации, такие как настройка с 5 пределами , используют не более восьми правильно настроенных квинт и как минимум три неправильных квинты (некоторые немного уже, а некоторые немного шире, чем только квинта), чтобы замкнуть круг. Другие системы настройки используют до 53 тонов (исходные 12 тонов и еще 42 между ними), чтобы замкнуть квинтовый круг.

История

Квинтовый круг в «Идее грамматики музыкальной» (Москва, 1679)

Музыкальный кружок Хайнихена (нем. Musicalischer Circul ) (1711 г.)

Квинтовый круг возник в конце 1600-х - начале 1700-х годов для теоретизации модуляции эпохи барокко (см. § Эпоха барокко).

Диаграмма первого круга квинт появляется в « Грамматике» (1677) композитора и теоретика Николая Дилецкого , который намеревался представить теорию музыки как инструмент композиции. ^[7] Это был «первый в своем роде проект, целью которого было научить российскую аудиторию писать полифонические композиции в западном стиле».

Диаграмма круга квинт была независимо создана немецким композитором и теоретиком Иоганном Давидом Хайнихеном в его книге Neu erfundene und gründliche Anweisung (1711), ^[8] которую он назвал «Музыкальный круг» (нем. Musicalischer Circul ). ^{[9] [10]} Это также было опубликовано в его книге «Генерал-Бас в композиции» (1728).

Хейнихен поместил относительную минорную тональность рядом с мажорной, что не отражало фактическую близость клавиш. Иоганн Маттесон (1735 г.) и другие пытались улучшить это - Дэвид Келлнер (1737 г.) предложил располагать основные клавиши в одном круге, а относительные второстепенные клавиши - во втором, внутреннем круге. Позже это было развито в хордовое пространство , включив также параллельный минор. ^[11]

Некоторые источники предполагают, что квинтовый круг был известен в древности Пифагору . ^{[12] [13] [14]} Это недоразумение и анахронизм. ^[15] Настройка по квинтам (так называемая пифагорейская настройка ) восходит к Древней Месопотамии; ^[16] см. «Музыка Месопотамии § Теория музыки» , хотя они не расширили это до двенадцати нотной шкалы, остановившись на семи. Пифагорова запятая была вычислена Евклидом и китайскими математиками (в «Хуайнаньцзы »); см. запятую Пифагора § История . Таким образом, в древности было известно, что цикл из двенадцати квинт почти точно составляет семь октав (более практично, чередование восходящих квинт и нисходящих кварт составляет почти точно октаву). Однако это были теоретические знания, которые не использовались ни для построения повторяющейся двенадцатитоновой гаммы, ни для модуляции. Позже это было сделано с использованием средней темперации и двенадцатитоновой равной темперации , которые позволяли модулировать, сохраняя при этом строй, но не получили развития в Европе примерно до 1500 года. Хотя он был популяризирован как квинтовый круг, его англосаксонское этимологическое происхождение восходит к название «квинтовое колесо».

Использовать

В музыкальных произведениях эпохи барокко и классической эпохи музыки, а также в западной популярной музыке , традиционной музыке и народной музыке , когда пьесы или песни модулируются в новой тональности, эти модуляции часто связаны с квинтовым кругом.

На практике в композициях редко используется весь квинтовый круг. Чаще всего композиторы используют «композиционную идею «цикла» квинт, когда музыка последовательно движется через меньший или больший сегмент тональных структурных ресурсов, которые абстрактно представляет круг». ^[17] Обычной практикой является получение круга квинтовой прогрессии из семи тонов диатонической гаммы, а не из полного диапазона двенадцати тонов, присутствующих в хроматической гамме. В этой диатонической версии круга одна из квинт не является истинной квинтой: это тритон (или уменьшенная квинта), например, между F и B в «естественной» диатонической гамме (т. е. без диезов и бемолей). Вот как получается квинтовый круг путем перестановки диатонической мажорной гаммы:

Диатоническая гамма и производный от нее квинтовый круг – мажор

И из (натурального) минора:

Диатоническая гамма и производный от нее квинтовый круг – минор

Ниже приводится основная последовательность аккордов, которые можно построить на основе основной басовой партии:

Последовательность аккордов круга квинт – мажор

И над минором:

Последовательность аккордов круга квинт – минор

Добавление септаккордов к аккордам создает большее ощущение движения вперед в гармонии:

Последовательность аккордов по кругу квинт – минор с добавленными септимами

эпоха барокко

По словам Ричарда Тарускина , Арканджело Корелли был самым влиятельным композитором, сделавшим этот образец стандартным гармоническим «тропом» : «Именно во времена Корелли, в конце семнадцатого века, квинтовый круг «теоретизировался» как основной двигатель гармонического движения, и именно Корелли больше, чем кто-либо другой композитор, воплотил эту новую идею в впечатляющую практику». ^[18]

Квинтовый круг часто встречается в музыке И. С. Баха . Далее, из Jauchzet Gott в Allen Landen , BWV 51 , даже когда соло-басовая партия подразумевает, а не указывает задействованные аккорды:

Бах из Кантаты 51.

Гендель использует последовательность квинт в качестве основы для части пассакальи из своей сюиты № 6 для клавесина соль минор.

Пассакай Генделя из сюиты соль минор, такты 1–4

Композиторы эпохи барокко научились усиливать «движущую силу» гармонии, порождаемой кругом квинт, «путем добавления септаккордов к большинству составляющих аккордов». «Эти седьмые, будучи диссонансами, создают потребность в разрешении, превращая, таким образом, каждую последовательность круга в одновременное облегчение и рестимулятор гармонического напряжения... Следовательно, они используются для выразительных целей». ^[19] Поразительные отрывки, иллюстрирующие использование седьмых, встречаются в арии «Pena tiranna» в опере Генделя 1715 года «Амадиги ди Гаула» :

– и в клавишной аранжировке Баха Концерта для гобоя и струнных Алессандро Марчелло .

Девятнадцатый век

Экспромт ми-бемоль мажор Франца Шуберта , D 899, содержит гармонии, движущиеся по модифицированному кругу квинт:

Часть Интермеццо из Струнного квартета № 2 Мендельсона имеет короткий сегмент с квинтовым движением (ii° заменяется на iv):

В «Ребенке, засыпающем» Роберта Шумана из « Kinderszenen » используется прогрессия, изменяя ее в конце - пьеса заканчивается на аккорде ля минор вместо ожидаемого тоника ми минор.

В опере Вагнера « Götterdämmerung » в музыке наблюдается цикл квинт, который переходит от конца пролога к первой сцене первого акта, происходящей во внушительном зале богатых Гибихунгов. «Статус и репутация написаны во всех мотивах, приписываемых Гюнтеру», ^[20] глава клана Гибичунг:

Джаз и популярная музыка

Непреходящая популярность квинтового круга как формообразующего средства и как выразительного музыкального образа очевидна в количестве « стандартных » популярных песен, написанных в двадцатом веке. Джазовые музыканты также предпочитают его как средство импровизации, поскольку квинтовый круг помогает авторам песен понимать интервалы, соотношения аккордов и прогрессии.

• Барт Ховард , « Улетай со мной на Луну »

Песня открывается набором нисходящих фраз – по сути, зацепкой песни – представленной с успокаивающей предсказуемостью, как будто будущее направление мелодии диктуется первыми пятью нотами. Гармоническая прогрессия, в свою очередь, редко выходит за пределы квинтового круга. ^[21]

• Джером Керн , « Все, чем ты являешься » ^[22]
• Рэй Ноубл , « Чероки ». Многим джазовым музыкантам это показалось особенно трудным, поскольку средние восьмерки очень быстро продвигаются по кругу, «создавая серию последовательностей II – V – I , которые временно проходят через несколько тональностей ». ^[23]
• Косма, Превер и Мерсер, « Осенние листья » ^[24]
• The Beatles , « You Never Give Me Your Money » ^{[25] [ нужен неосновной источник ]}
• Майк Олдфилд , « Заклинания » ^[26]
• Карлос Сантана , « Европа (Крик Земли, ^{Улыбка Небес )} »
• Глория Гейнор , « Я выживу » ^{[27] [ нужен неосновной источник ]}
• Pet Shop Boys , « Это грех » ^{[28] [ нужен неосновной источник ]}
• Донна Саммер , « Люблю любить тебя, детка » ^{[29] [ нужен неосновной источник ]}

Связанные понятия

Диатонический круг квинт

Диатонический круг квинт — это круг квинт, охватывающий только члены диатонической гаммы. Следовательно, он содержит уменьшенную квинту до мажор между B и F. См. Структура подразумевает множественность . Круговая прогрессия обычно представляет собой круг квинт через диатонические аккорды, включая один уменьшенный аккорд . Ниже показана круговая последовательность до мажор с аккордами I–IV–vii ^{o –iii–vi–ii–V–I.}

Хроматический круг

Квинтовый круг тесно связан с хроматическим кругом , который также располагает двенадцать равнотемперированных классов высоты звука в круговом порядке. Ключевое различие между двумя кругами заключается в том, что хроматический круг можно понимать как непрерывное пространство, где каждая точка круга соответствует мыслимому классу высоты тона , а каждый мыслимый класс высоты соответствует точке на круге. Напротив, квинтовый круг по сути представляет собой дискретную структуру, организованную через отдельные интервалы , и не существует очевидного способа присвоить классы высоты звука каждой из его точек. В этом смысле два круга математически совершенно различны.

Однако двенадцать классов одинакового темперирования могут быть представлены циклической группой двенадцатого порядка или, что то же самое, классами остатков по модулю двенадцать, . В группе есть четыре генератора, которые можно отождествить с восходящими и нисходящими полутонами, а также восходящими и нисходящими чистыми квинтами. Генератор полутонов порождает хроматический круг , а чистая квинта порождает квинтовый круг. ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$

Связь с хроматической гаммой

Квинтовый круг, нарисованный внутри хроматического круга в виде звездной додекаграммы . ^[30]

Круг квинт или четвертей можно отобразить на основе хроматической гаммы путем умножения , и наоборот. Чтобы отобразить квинтовый круг и хроматическую гамму (в целочисленной записи ), умножьте на 7 ( M7 ), а для квинтового круга умножьте на 5 (P5).

Вот демонстрация этой процедуры. Начните с упорядоченного кортежа из 12 ( тонального ряда ) целых чисел.

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)

представляющие ноты хроматической гаммы: 0 = C, 2 = D, 4 = E, 5 = F, 7 = G, 9 = A, 11 = B, 1 = C ♯, 3 = D ♯ , 6 = F ♯. , 8 знак равно г ♯ , 10 знак равно А ♯ . Теперь умножьте весь кортеж из 12 на 7:

(0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77)

а затем применить сокращение по модулю 12 к каждому из чисел (вычтите 12 из каждого числа столько раз, сколько необходимо, пока число не станет меньше 12):

(0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5)

что эквивалентно

(C, G, D, A, E, B, F ♯ , C ♯ , G ♯ , D ♯ , A ♯ , F)

это квинтовый круг. Это энгармонически эквивалентно:

(C, G, D, A, E, B, G ♭ , D ♭ , A ♭ , E ♭ , B ♭ , F).

Энгармонические эквиваленты, теоретические ключи и спираль квинт.

Если энгармонические ноты не эквивалентны, как, например, в интонации, квинты образуют спираль, а не круг.

Последовательность из всего лишь квинты хроматического круга не замыкается (размер пробела равен запятой Пифагора ), что приводит к «разорванному» кругу квинт.

В равнотемперированной настройке не используется точное соотношение частот 3:2, которое определяет идеальную квинту, тогда как в системе простой интонации используется именно это соотношение. Повышение на квинты при равной темпераментности приводит к возврату к исходному классу высоты тона - начиная с C и повышение на квинты приводит к другому C после двенадцати итераций. Этого не происходит, если используется точное соотношение 3:2 (только интонация). Регулировка, сделанная при равнотемперированной настройке, называется запятой Пифагора . Из-за этой разницы высоты звука, которые энгармонически эквивалентны при равной темперации (например, D ♭ и C ♯ ), не эквивалентны при использовании только интонации.

Таким образом, при простой интонации последовательность квинт можно визуализировать в виде спирали, а не круга - последовательность из двенадцати квинт приводит к «накачиванию запятой » пифагорейской запятой, визуализируемой как подъем на уровень вверх по спирали. См. также § Замыкание круга в неравных системах настройки.

Без энгармонической эквивалентности продолжение последовательности квинт приводит к получению нот с двойными акциденциями (двойными диезами или двойными бемолями). При использовании равной темперации их можно заменить энгармонически эквивалентной нотой.

Ключи с двойными диезами или бемолями в тональностях называются теоретическими ключами — они используются крайне редко. Обозначения в этих случаях не стандартизированы.

Поведение LilyPond по умолчанию (на фото выше) записывает одинарные диезы или бемоли в порядке квинт, прежде чем переходить к двойным диеям или бемолям. Этот формат используется в «Всемирном реквиеме » Джона Фулда , соч. 60, ^[31] , который заканчивается ключевой подписью G ♯ мажор, как показано выше. Диезы в ключевой подписи G ♯ мажор здесь продолжаются C ♯ , G ♯ , D ♯ , A ♯ , E ♯ , B ♯ , F.

Отдельные диез или бемоль в ключевой подписи иногда повторяются из вежливости, например, « Дополнение Макса Регера к теории модуляции» , которое содержит минорные подписи D ♭ на стр. 42–45. У них есть B ♭ в начале, а также B.в конце (с двойным символом) идут B ♭ , E ♭ , A ♭ , D ♭ , G ♭ , C ♭ , F ♭ , B. Соглашение LilyPond и Foulds подавило бы начальную B ♭ . Иногда в начале ключевой подписи пишутся двойные знаки, за которыми следуют одинарные знаки. Например, ключевая подпись F ♭ обозначается как B., Е ♭ , А ♭ , D ♭ , G ♭ , C ♭ , F ♭ . Это соглашение используется Виктором Эвальдом ^[32] в программе Finale (программное обеспечение) и в некоторых теоретических работах.

Смотрите также

• Подход к хорде
• Сонатная форма
• Ну темперамент
• Текстовая таблица круга пятых
• Созвездие высоты тона
• Мультипликативная группа целых чисел по модулю n
• Умножение (музыка)
• Круг третей

Примечания

1. Майкл Пилхофер и Холли Дэй (23 февраля 2009 г.). «Квинтовый круг: краткая история», www.dummies.com.
2. Броехейс, Рожье (11 октября 2022 г.). «Квинтовое колесо – гармоническая функция». Квинтовое колесо . Проверено 5 октября 2023 г.
3. Наттиез 1990, с. 225.
4. Голдман 1965, с. 68.
5. Goldman 1965, глава 3.
6. Наттиез 1990, с. 226.
7. Дженсен 1992, стр. 306–307.
8. Иоганн Давид Хайнихен, Neu erfundene und gründliche Anweisung (1711), стр. 261
9. Барнетт 2002, с. 444.
10. Лестер 1989, стр. 110–112.
11. Лердал, Фред (2005). Тональное пространство. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 42. ИСБН 0195178297.
12. "Полное руководство по пятому кругу!" 17 января 2021 г.
13. "Круг пятых прояснился" .
14. «Макены - обучение стало проще» .
15. Фрейзер, Питер А. (2001), Разработка систем музыкальной настройки (PDF) , стр. 9, 13, заархивировано из оригинала (PDF) 1 июля 2013 г. , получено 24 мая 2020 г.
16. Дамбрил, Ричард Дж. (2005). Археомузыкология Древнего Ближнего Востока . Виктория, Британская Колумбия, с. 18. ISBN 978-1412055383.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
17. Уиттолл, А. (2002, стр. 259) «Круг пятых», статья в Latham, E. (ред.) The Oxford Companion to Music . Издательство Оксфордского университета.
18. Тарускин 2010, с. 184.
19. Тарускин 2010, с. 188.
20. Скратон, Р. (2016, стр. 121) Кольцо истины: Мудрость Вагнера, Кольцо Нибелунга . Лондон, Аллен Лейн.
21. Джоя 2012, с. 115.
22. Джоя 2012, с. 16.
23. Скотт, Ричард Дж. (2003, стр. 123) Последовательности аккордов для авторов песен . Блумингтон, Индиана, Пресса Клуба писателей.
24. Костка, Стефан ; Пейн, Дороти; Альмен, Байрон (2013). Тональная гармония с введением в музыку двадцатого века (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 46, 238. ISBN. 978-0-07-131828-0.
25. «Ты никогда не даешь мне свои деньги» (1989, стр. 1099–1100, такты 1–16) Полные партитуры The Beatles . Хэл Леонард.
26. Оукс, Тим (июнь 1980 г.). «Майк Олдфилд». Международный музыкант и мир звукозаписи . Проверено 19 февраля 2021 г. - через Tubular.net.
27. Фекарис, Д. и Перрен, Ф.Дж. (1978) «Я выживу». Международное издательство Полиграмма.
28. Теннант, Н. и Лоу, К. (1987, такты 1–8) «Это грех». Sony/ATV Music Publishing (UK) Ltd.
29. Мородер, Г. , Беллот, П. и Саммер, Д. (1975, такты 11–14) «Люблю любить тебя, детка» 1976, Bulle Music
30. Маккартин 1998, с. 364.
31. «Фолдс, Джон, Всемирный реквием, соч. 60, стр. 153 и далее».
32. «Эвальд, Виктор, Квинтет № 4 ля ♭, соч. 8 для духового квинтета [211.01]» .

Рекомендации

• Барнетт, Грегори (2002). «Тональная организация в теории музыки семнадцатого века». В Томасе Кристенсене (ред.). Кембриджская история теории западной музыки . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 407–455.
• Джоя, Тед (2012). Джазовые стандарты: Путеводитель по репертуару . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199769155.
• Гольдман, Ричард Франко (1965). Гармония в западной музыке . Нью-Йорк: WW Нортон.
• Дженсен, Клаудия Р. (лето 1992 г.). «Теоретический труд Московии конца семнадцатого века: «Грамматика» Николая Дилецкого и древнейший квинтовый кружок». Журнал Американского музыковедческого общества . 45 (2): 305–331. дои : 10.2307/831450. JSTOR  831450.
• Лестер, Джоэл (1989). Между модусами и ключами: немецкая теория 1592–1802 гг . Стуйвесант: Pendragon Press.
• Маккартин, Брайан Дж. (ноябрь 1998 г.). «Прелюдия к музыкальной геометрии». Математический журнал колледжа . 29 (5): 354–370. дои : 10.1080/07468342.1998.11973971. JSTOR  2687250. Архивировано из оригинала 17 мая 2008 г. Проверено 29 июля 2008 г.
• Наттиез, Жан-Жак (1990). Музыка и дискурс: к семиологии музыки в переводе Кэролин Эббейт. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02714-5 . (Первоначально опубликовано на французском языке под названием Musicologie générale et Sémiologie . Париж: C. Bourgois, 1987. ISBN 2-267-00500-X ).  
• Тарускин, Ричард (2010). Оксфордская история западной музыки: музыка семнадцатого и восемнадцатого веков . Издательство Оксфордского университета.

дальнейшее чтение

• Д'Инди, Винсент (1903). Курс музыкальной композиции . Париж: А. Дюран и др.
• Лестер, Джоэл. Между модусами и ключами: немецкая теория, 1592–1802 гг. 1990.
• Миллер, Майкл. Полное руководство идиота по теории музыки, 2-е изд. [Индианаполис, Индиана]: Альфа, 2005. ISBN 1-59257-437-8 . 
• Первинс, Хендрик (2005). «Профили классов высоты звука: кругообразность относительной высоты звука и тональности - эксперименты, модели, вычислительный музыкальный анализ и перспективы». Кандидат наук. Тезис. Берлин: Технический университет Берлина .
• Пурвинс, Хендрик, Бенджамин Бланкерц и Клаус Обермайер (2007). «Тороидальные модели в теории тона и анализе высотных классов». в: Вычисления в музыковедении 15 («Тональная теория для цифровой эпохи»): 73–98.

Внешние ссылки

• Расшифровка круга Vths
• Интерактивный Квинтовый Круг
• Интерактивный инструмент для создания квинтового круга
• Интерактивный квинтовый круг для гитаристов

Ошибка цитирования: на этой странице есть <ref group=lower-alpha>теги или {{efn}}шаблоны, но ссылки не будут отображаться без {{reflist|group=lower-alpha}}шаблона или {{notelist}}шаблона (см. страницу справки ).