Теория Черна – Саймонса

Трехмерная топологическая квантовая теория поля, действием которой является форма Черна – Саймонса.

Теория Черна -Саймонса — это трёхмерная топологическая квантовая теория поля типа Шварца, разработанная Эдвардом Виттеном . Впервые его открыл физик-математик Альберт Шварц . Она названа в честь математиков Шиинг-Шен Черна и Джеймса Харриса Саймонса , которые ввели 3-форму Черна-Саймонса . В теории Черна–Саймонса действие пропорционально интегралу от 3-формы Черна–Саймонса.

В физике конденсированного состояния теория Черна – Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла . В математике он использовался для расчета инвариантов узлов и инвариантов трехмерных многообразий , таких как полином Джонса . ^[1]

В частности, теория Черна – Саймонса определяется выбором простой группы Ли G, известной как калибровочная группа теории, а также числа, называемого уровнем теории , которое является константой, умножающей действие. Действие зависит от калибровки, однако статистическая сумма квантовой теории четко определена, когда уровень является целым числом и напряженность калибровочного поля равна нулю на всех границах трехмерного пространства-времени.

Это также центральный математический объект в теоретических моделях топологических квантовых компьютеров (TQC). В частности, теория Черна – Саймонса SU (2) описывает простейшую неабелеву анонную модель TQC, модель Янга – Ли – Фибоначчи. ^{[2] [3]}

Динамика теории Черна-Саймонса на двумерной границе трехмерного многообразия тесно связана с правилами слияния и конформными блоками в конформной теории поля и, в частности, теории WZW . ^{[1] [4]}

Классическая теория

Математическое происхождение

В 1940-х годах С. С. Черн и А. Вейль изучали свойства глобальной кривизны гладких многообразий М как когомологий де Рама ( теория Черна–Вейля ), что является важным шагом в теории характеристических классов в дифференциальной геометрии . Для плоского G - главного расслоения P на M существует единственный гомоморфизм, называемый гомоморфизмом Черна–Вейля , из алгебры G -сопряженных инвариантных полиномов на g (алгебра Ли G ) в когомологии . Если инвариантный полином однороден, то можно конкретно записать любую k -форму замкнутой связности ω как некоторую 2 k -форму ассоциированной формы кривизны Ω связности ω . ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$

В 1974 году С. С. Черн и Дж. Х. Саймонс конкретно построили (2 k  − 1)-форму df ( ω ) такую, что

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

где T — гомоморфизм Черна–Вейля. Эта форма называется формой Черна–Саймонса . Если df ( ω ) замкнуто, можно проинтегрировать приведенную выше формулу

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

где C — (2 k  − 1)-мерный цикл на M . Этот инвариант называется инвариантом Черна–Саймонса . Как указано во введении к статье Черна–Саймонса, инвариант Черна–Саймонса CS( M ) является граничным членом, который не может быть определен какой-либо чистой комбинаторной формулировкой. Его также можно определить как

${\displaystyle \operatorname {CS} (M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

где – первое число Понтрягина, а s ( M ) – сечение нормального ортогонального расслоения P. Более того, термин Черна-Саймонса описывается как эта-инвариант , определенный Атьей, Патоди и Сингером. ${\displaystyle p_{1}}$

Калибровочную инвариантность и метрическую инвариантность можно рассматривать как инвариантность относительно действия присоединенной группы Ли в теории Черна–Вейля. Интеграл действия ( интеграл по путям ) теории поля в физике рассматривается как интеграл Лагранжа формы Черна–Саймонса и петли Вильсона, голономии векторного расслоения на M . Это объясняет, почему теория Черна-Саймонса тесно связана с топологической теорией поля .

Конфигурации

Теории Черна–Саймонса можно определить на любом топологическом 3-многообразии M с краем или без него. Поскольку эти теории являются топологическими теориями типа Шварца, нет необходимости вводить метрику на M .

Теория Черна–Саймонса является калибровочной теорией , что означает, что классическая конфигурация в теории Черна–Саймонса на M с калибровочной группой G описывается главным G -расслоением на M . Связность этого расслоения характеризуется одноформой связности A , имеющей значение в алгебре Ли g группы Ли G . В общем, связь A определяется только на отдельных участках координат , а значения A на разных участках связаны картами, известными как калибровочные преобразования . Они характеризуются утверждением, что ковариантная производная , представляющая собой сумму оператора внешней производной d и связности A , преобразуется в присоединенное представление калибровочной группы G. Квадрат ковариантной производной с самой собой можно интерпретировать как g -значную 2-форму F , называемую формой кривизны или напряженностью поля . Он также преобразуется в присоединенном представлении.

Динамика

Действие S теории Черна–Саймонса пропорционально интегралу от 3-формы Черна–Саймонса

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

Константа k называется уровнем теории. Классическая физика теории Черна–Саймонса не зависит от выбора уровня k .

Классически система характеризуется уравнениями движения, которые являются экстремумами действия по отношению к вариациям поля А. По кривизне поля

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

уравнение поля явно

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

Таким образом, классические уравнения движения удовлетворяются тогда и только тогда, когда кривизна повсюду обращается в нуль, и в этом случае связь называется плоской . Таким образом, классическими решениями G -теории Черна–Саймонса являются плоские связности главных G -расслоений на M . Плоские связности целиком определяются голономиями вокруг нестягиваемых циклов по базе M. Точнее, они находятся во взаимно однозначном соответствии с классами эквивалентности гомоморфизмов фундаментальной группы M в калибровочную группу G с точностью до сопряжения.

Если M имеет границу N , то имеются дополнительные данные, описывающие выбор тривиализации главного G -расслоения на N. Такой выбор характеризует отображение из N в G. Динамика этого отображения описывается моделью Весса-Зумино-Виттена (WZW) на N на уровне k .

Квантование

Чтобы канонически квантовать теорию Черна – Саймонса, на каждой двумерной поверхности Σ в M определяется состояние. Как и в любой квантовой теории поля, состояния соответствуют лучам в гильбертовом пространстве . В топологической теории поля типа Шварца нет предпочтительного понятия времени, поэтому можно потребовать, чтобы Σ была поверхностью Коши , фактически состояние может быть определено на любой поверхности.

Σ имеет коразмерность один, поэтому можно разрезать M вдоль Σ. После такого разрезания M станет многообразием с краем, и, в частности, классически динамика Σ будет описываться моделью WZW. Виттен показал, что это соответствие имеет место даже в квантовой механике. Точнее, он продемонстрировал, что гильбертово пространство состояний всегда конечномерно и может быть канонически отождествлено с пространством конформных блоков модели G WZW на уровне k.

Например, когда Σ является 2-сферой, это гильбертово пространство одномерно и поэтому существует только одно состояние. Когда Σ является 2-тором, состояния соответствуют интегрируемым представлениям аффинной алгебры Ли , соответствующей g на уровне k. Характеристики конформных блоков высших родов не нужны для решения Виттеном теории Черна – Саймонса.

Наблюдаемые

Петли Вильсона

Наблюдаемые теории Черна – Саймонса представляют собой n -точечные корреляционные функции калибровочно-инвариантных операторов. Наиболее часто изучаемым классом калибровочно-инвариантных операторов являются петли Вильсона . Петля Вильсона — это голономия вокруг петли в M , прослеживаемая в заданном представлении R группы G. Поскольку нас будут интересовать произведения петель Вильсона, без ограничения общности мы можем ограничить внимание неприводимыми представлениями R .

Более конкретно, учитывая неприводимое представление R и петлю K в M , можно определить петлю Вильсона следующим образом: ${\displaystyle W_{R}(K)}$

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

где A — 1-форма связности, и мы берем главное значение Коши контурного интеграла , а — экспоненту, упорядоченную по пути . ${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$

Полиномы ХОМФЛИ и Джонса

Рассмотрим ссылку L в M , которая представляет собой набор ℓ непересекающихся петель. Особенно интересной наблюдаемой является ℓ -точечная корреляционная функция, сформированная из произведения петель Вильсона вокруг каждой непересекающейся петли, каждая из которых прослеживается в фундаментальном представлении G . Можно сформировать нормированную корреляционную функцию, разделив эту наблюдаемую на статистическую сумму Z ( M ), которая представляет собой всего лишь 0-точечную корреляционную функцию.

В особом случае, когда M является 3-сферой, Виттен показал, что эти нормированные корреляционные функции пропорциональны известным полиномам узлов . Например, в G  =  U ( N ) теории Черна–Саймонса на уровне k нормированная корреляционная функция с точностью до фазы равна

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

умножить на полином ХОМФЛИ . В частности, когда N  = 2, полином ХОМФЛИ сводится к полиному Джонса . В случае SO( N ) аналогичное выражение можно найти с полиномом Кауфмана .

Фазовая неоднозначность отражает тот факт, что, как показал Виттен, квантовые корреляционные функции не полностью определяются классическими данными. Число зацепления петли с самой собой входит в расчет статистической суммы, но это число не инвариантно при малых деформациях и, в частности, не является топологическим инвариантом. Это число можно сделать четко определенным, если выбрать каркас для каждого цикла, который представляет собой выбор предпочтительного ненулевого вектора нормали в каждой точке, вдоль которого можно деформировать цикл для вычисления его числа самосвязывания. Эта процедура является примером процедуры регуляризации разделения точек , введенной Полем Дираком и Рудольфом Пайерлсом для определения явно расходящихся величин в квантовой теории поля в 1934 году.

Сэр Майкл Атья показал, что существует канонический выбор 2-кадрирования, ^{который обычно используется} сегодня в литературе и приводит к четко определенному числу связей. В каноническом построении вышеуказанная фаза представляет собой экспоненту, в 2π i /( k  +  N ) умноженную на число связей L с самим собой.

Задача (распространение полинома Джонса на общие 3-многообразия)　

«Исходный полином Джонса был определен для 1-звеньев в 3-сфере (3-шар, 3-пространство R3). Можете ли вы определить полином Джонса для 1-звеньев в любом 3-многообразии?»

См. раздел 1.1 данной статьи ^[5] для ознакомления с предысторией и историей этой проблемы. Кауфман представил решение в случае многообразия произведений замкнутой ориентированной поверхности и замкнутого интервала путем введения виртуальных 1-узлов. ^[6] В остальных случаях он открыт. Интеграл Виттена по путям для полинома Джонса формально записан для связей в любом компактном 3-многообразии, но исчисление не проводится даже на физическом уровне ни в каком случае, кроме 3-сферы (3-шара, 3-пространства R 3 ⁾ . . Эта проблема также открыта на физическом уровне. В случае полинома Александера эта проблема решена.

Отношения с другими теориями

Топологические теории струн

В контексте теории струн теория Черна–Саймонса U ( N ) на ориентированном лагранжевом 3-подмногообразии M 6-многообразия X возникает как теория струнного поля открытых струн, заканчивающихся на D-бране, обертывающей X в A -модель топологической теории струн на X . Топологическая теория поля открытых струн B -модели на мировом объеме стопки D5-бран представляет собой шестимерный вариант теории Черна – Саймонса, известный как голоморфная теория Черна – Саймонса.

WZW и матричные модели

Теории Черна – Саймонса связаны со многими другими теориями поля. Например, если рассматривать теорию Черна–Саймонса с калибровочной группой G на многообразии с краем, то все трехмерные распространяющиеся степени свободы можно измерить, оставив двумерную конформную теорию поля, известную как G Весса–Саймонса. Модель Зумино–Виттена на границе. Кроме того, теории Черна–Саймонса U ( N ) и SO( N ) при больших N хорошо аппроксимируются матричными моделями .

Теория гравитации Черна – Саймонса

В 1982 году С. Дезер , Р. Джекив и С. Темплтон предложили теорию гравитации Черна-Саймонса в трех измерениях, в которой действие Эйнштейна-Гильберта в теории гравитации модифицируется путем добавления члена Черна-Саймонса. (Дезер, Джекив и Темплтон (1982))

В 2003 году Р. Джекив и С. Я. Пи расширили эту теорию до четырех измерений (Jackiw & Pi (2003)) и теория гравитации Черна – Саймонса оказала значительное влияние не только на фундаментальную физику, но также на теорию конденсированного состояния и астрономию.

Четырехмерный случай очень похож на трехмерный случай. В трех измерениях гравитационный член Черна – Саймонса равен

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

Этот вариант дает тензор Коттона

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).}$

Затем модификация трехмерной гравитации Черна – Саймонса осуществляется путем добавления вышеуказанного тензора Коттона к уравнению поля, которое можно получить как вакуумное решение путем изменения действия Эйнштейна – Гильберта.

Теории материи Черна – Саймонса

В 2013 году Кеннет А. Интрилигатор и Натан Зайберг решили эти трехмерные калибровочные теории Черна – Саймонса и их фазы, используя монополи , несущие дополнительные степени свободы. Индекс Виттена многих обнаруженных вакуумов был вычислен путем компактификации пространства путем включения параметров массы и последующего вычисления индекса. Было вычислено , что в некотором вакууме суперсимметрия нарушается. Эти монополи были связаны с вихрями конденсированного вещества . (Интрилигатор и Зайберг (2013))

Теория материи Черна–Саймонса с N  = 6 является голографической двойственной М-теорией на . ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$

Четырехмерная теория Черна – Саймонса

В 2013 году Кевин Костелло определил тесно связанную теорию, определенную на четырехмерном многообразии, состоящем из произведения двумерной «топологической плоскости» и двумерной (или одной комплексной размерной) комплексной кривой. ^[7] Позже он изучил теорию более подробно вместе с Виттеном и Масахито Ямазаки, ^{[8] [9] [10]} продемонстрировав, как калибровочная теория может быть связана со многими понятиями теории интегрируемых систем , включая точно решаемые решеточные модели (например, шестивершинная модель или спиновая цепочка XXZ ), интегрируемые квантовые теории поля (такие как модель Гросса – Неве , главная киральная модель и сигма-модели симметричного пространственного класса ), уравнение Янга – Бакстера и квантовые группы, такие как Янгиан , которые описывают симметрии, лежащие в основе интегрируемости вышеупомянутых систем.

Действие на 4-многообразии где – двумерное многообразие и – комплексная кривая: ${\displaystyle M=\Sigma \times C}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle S=\int _{M}\omega \wedge CS(A)}$$

мероморфная форма ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C}$

Условия Черна – Саймонса в других теориях

Термин Черна-Саймонса также можно добавить к моделям, которые не являются топологическими квантовыми теориями поля. В 3D это порождает массивный фотон , если этот член добавить к действию теории электродинамики Максвелла . Этот член может быть получен путем интегрирования по массивному заряженному полю Дирака . Это также проявляется, например, в квантовом эффекте Холла . Добавление члена Черна–Саймонса в различные теории приводит к появлению решений вихревого или солитонного типа ^{[11] [12]} Десяти- и одиннадцатимерные обобщения членов Черна–Саймонса появляются в действиях всех десяти- и одиннадцатимерных теории размерной супергравитации .

Однопетлевая перенормировка уровня

Если добавить материю в калибровочную теорию Черна – Саймонса, то она, вообще говоря, перестанет быть топологической. Однако если добавить n майорановских фермионов , то из-за аномалии четности они при интегрировании приведут к чистой теории Черна–Саймонса с однопетлевой перенормировкой уровня Черна–Саймонса на − n /2, другими словами, Теория уровня k с n фермионами эквивалентна теории уровня k  −  n /2 без фермионов.

Смотрите также

• Калибровочная теория (математика)
• Форма Черна – Саймонса
• Топологическая квантовая теория поля
• полином Александера
• Полином Джонса
• 2+1D топологическая гравитация
• Скирмион

Рекомендации

• Артур, К.; Чракян, Д.Х.; Ю.-С., Ян (1996). «Топологические и нетопологические самодвойственные солитоны Черна-Саймонса в калиброванной сигма-модели O (3)». Физический обзор D . 54 (8): 5245–5258. Бибкод : 1996PhRvD..54.5245A. doi : 10.1103/PhysRevD.54.5245. ПМИД  10021215.
• Черн, С.-С. и Саймонс, Дж. (1974). «Характеристические формы и геометрические инварианты». Анналы математики . 99 (1): 48–69. дои : 10.2307/1971013. JSTOR  1971013.
• Дезер, Стэнли; Джекив, Роман; Темплтон, С. (1982). «Трехмерные теории массивных калибров» (PDF) . Письма о физических отзывах . 48 (15): 975–978. Бибкод : 1982PhRvL..48..975D. doi : 10.1103/PhysRevLett.48.975. S2CID  122537043.
• Интрилигатор, Кеннет; Зайберг, Натан (2013). «Аспекты 3d N  = 2 теорий материи Черна – Саймонса». Журнал физики высоких энергий . 2013 : 79. arXiv : 1305.1633 . Бибкод : 2013JHEP...07..079I. doi : 10.1007/JHEP07(2013)079. S2CID  119106931.
• Джекив, Роман ; Пи, С.-Ю (2003). «Модификация Черна – Саймонса общей теории относительности». Физический обзор D . 68 (10): 104012. arXiv : gr-qc/0308071 . Бибкод : 2003PhRvD..68j4012J. doi :10.1103/PhysRevD.68.104012. S2CID  2243511.
• Кулшрешта, Уша; Кулшрешта, Д.С.; Мюллер-Кирстен, HJW; Вари, JP (2009). «Гамильтониан, интеграл по путям и BRST-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки». Физика Скрипта . 79 (4): 045001. Бибкод : 2009PhyS...79d5001K. дои : 10.1088/0031-8949/79/04/045001. S2CID  120594654.
• Кулшрешта, Уша; Кулшрешта, Д.С.; Вари, JP (2010). «Гамильтониан светового фронта, интеграл по траекториям и БРСТ-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки». Физика Скрипта . 82 (5): 055101. Бибкод : 2010PhyS...82e5101K. дои : 10.1088/0031-8949/82/05/055101. S2CID  54602971.
• Лопес, Ана; Фрадкин, Эдуардо (1991). «Дробный квантовый эффект Холла и калибровочные теории Черна-Саймонса». Физический обзор B . 44 (10): 5246–5262. Бибкод : 1991PhRvB..44.5246L. doi : 10.1103/PhysRevB.44.5246. ПМИД  9998334.
• Марино, Маркос (2005). «Теория Черна – Саймонса и топологические струны». Обзоры современной физики . 77 (2): 675–720. arXiv : hep-th/0406005 . Бибкод :2005РвМП...77..675М. doi : 10.1103/RevModPhys.77.675. S2CID  6207500.
• Марино, Маркос (2005). Теория Черна–Саймонса, матричные модели и топологические струны . Международная серия монографий по физике. Издательство Оксфордского университета .
• Виттен, Эдвард (1988). «Топологическая квантовая теория поля». Связь в математической физике . 117 (3): 353–386. Бибкод : 1988CMaPh.117..353W. дои : 10.1007/BF01223371. S2CID  43230714.
• Виттен, Эдвард (1995). «Теория Черна – Саймонса как теория струн». Прогресс в математике . 133 : 637–678. arXiv : hep-th/9207094 . Бибкод : 1992hep.th....7094W.

Специфический

1. Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и полином Джонса». Связь в математической физике . 121 (3): 351–399. Бибкод : 1989CMaPh.121..351W. дои : 10.1007/BF01217730. MR  0990772. S2CID  14951363.
2. Фридман, Майкл Х.; Китаев, Алексей; Ларсен, Майкл Дж.; Ван, Чжэнхань (20 сентября 2002 г.). «Топологические квантовые вычисления». arXiv : Quant-ph/0101025 .
3. Ван, Чжэнхань. «Топологические квантовые вычисления» (PDF) .
4. Элицур, Шмуэль; Мур, Грегори; Швиммер, Адам; Зайберг, Натан (30 октября 1989 г.). «Замечания о каноническом квантовании теории Черна-Саймонса-Виттена». Ядерная физика Б . 326 (1): 108–134. Бибкод : 1989NuPhB.326..108E. дои : 10.1016/0550-3213(89)90436-7.
5. Кауфман, Л.Х.; Огаса, Э; Шнайдер, Дж (2018). «Вращающаяся конструкция для виртуальных 1-узлов и 2-узлов, а также волокнистая и сварная эквивалентность виртуальных 1-узлов». arXiv : 1808.03023 [math.GT].
6. Кауфман, Л.Е. (1998). «Теория виртуального узла». arXiv : math/9811028 .
7. Костелло, Кевин (2013). «Суперсимметричная калибровочная теория и янгиан». arXiv : 1303.2632 [геп-й].
8. Костелло, Кевин; Виттен, Эдвард; Ямадзаки, Масахито (2018). «Калибровочная теория и интегрируемость, I». Извещения о Международном конгрессе китайских математиков . 6 (1): 46–119. arXiv : 1709.09993 . doi :10.4310/ICCM.2018.v6.n1.a6.
9. Костелло, Кевин; Виттен, Эдвард; Ямадзаки, Масахито (2018). «Калибровочная теория и интегрируемость, II». Извещения о Международном конгрессе китайских математиков . 6 (1): 120–146. arXiv : 1802.01579 . doi :10.4310/ICCM.2018.v6.n1.a7. S2CID  119592177.
10. Костелло, Кевин; Ямадзаки, Масахито (2019). «Калибровочная теория и интегрируемость, III». arXiv : 1908.02289 [геп-й].
11. Ким, Сонгтаг; Ким, Юнбай (2002). «Самодвойственные вихри Черна – Саймонса на римановых поверхностях». Журнал математической физики . 43 (5): 2355–2362. arXiv : math-ph/0012045 . Бибкод : 2002JMP....43.2355K. дои : 10.1063/1.1471365. S2CID  9916364.
12. Наварро-Лерида, Франциско; Раду, Ойген; Чракян, Д.Х. (2017). «Влияние динамики Черна-Саймонса на энергию электрически заряженных и вращающихся вихрей». Физический обзор D . 95 (8): 085016. arXiv : 1612.05835 . Бибкод : 2017PhRvD..95h5016N. doi : 10.1103/PhysRevD.95.085016. S2CID  62882649.

Внешние ссылки

• «Функционал Черна-Саймонса». Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].