Специальная линейная группа

В математике специальная линейная группа SL( n , F ) степени n над полем F представляет собой набор матриц размера n × n с определителем 1, с групповыми операциями обычного умножения матриц и обращения матриц . Это нормальная подгруппа полной линейной группы , заданная ядром определителя

\det \colon \operatorname {GL} (n,F)\to F^{\times }.

где F ^× — мультипликативная группа F (т. е. F , исключающая 0).

Эти элементы являются «особыми» тем, что они образуют алгебраическое подмногообразие общей линейной группы - они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель полиномиален по элементам).

Когда F — конечное поле порядка q , иногда используется обозначение SL( n , q ) .

Геометрическая интерпретация

Специальную линейную группу SL( n , R ) можно охарактеризовать как группу линейных преобразований Rn ^, сохраняющих объем и ориентацию ; это соответствует интерпретации определителя как измерения изменения объема и ориентации.

Подгруппа Лия

Когда F равно R или C , SL( n , F ) является подгруппой Ли в GL( n , F ) размерности n ² − 1 . Алгебра Ли группы SL( n , F ) состоит из всех матриц размера n × n над F с исчезающим следом . Скобка Ли задается коммутатором . ${\mathfrak {sl}}(n,F)$

Топология

Любая обратимая матрица может быть однозначно представлена в соответствии с полярным разложением как произведение унитарной матрицы и эрмитовой матрицы с положительными собственными значениями . Определитель унитарной матрицы находится на единичной окружности , а определитель эрмитовой матрицы вещественный и положительный, и поскольку в случае матрицы из специальной линейной группы произведение этих двух определителей должно быть равно 1, то каждый из них должен быть 1. Следовательно, специальную линейную матрицу можно записать как произведение специальной унитарной матрицы (или специальной ортогональной матрицы в вещественном случае) и положительно определенной эрмитовой матрицы (или симметричной матрицы в вещественном случае), имеющей определитель 1.

Таким образом, топология группы SL( n , C ) является произведением топологии SU( n ) и топологии группы эрмитовых матриц единичного определителя с положительными собственными значениями. Эрмитова матрица с единичным определителем и положительными собственными значениями может быть однозначно выражена как экспонента бесследовой эрмитовой матрицы , и поэтому ее топология соответствует топологии ( n ² − 1) -мерного евклидова пространства . ^[1] Поскольку SU( n ) односвязно , ^[2] заключаем, что SL( n , C ) также односвязно для всех n , больших или равных 2.

Топология SL( n , R ) является продуктом топологии SO ( n ) и топологии группы симметричных матриц с положительными собственными значениями и единичным определителем. Поскольку последние матрицы могут быть однозначно выражены как экспонента симметричных бесследовых матриц, то эта последняя топология представляет собой топологию ( n + 2)( n − 1)/2 -мерного евклидова пространства. Таким образом, группа SL( n , R ) имеет ту же фундаментальную группу , что и SO( n ), то есть Z для n = 2 и Z2 для n > ₂ . ^[3] В частности, это означает, что SL( n , R ) , в отличие от SL( n , C ) , не является односвязным, для n больше 1.

Отношения с другими подгруппами GL( n , A )

Две родственные подгруппы, которые в некоторых случаях совпадают с SL, а в других случаях случайно сливаются с SL, — это коммутант группы GL и группа, порожденная трансвекциями . Обе они являются подгруппами SL (трансвекции имеют определитель 1, а det — отображение в абелеву группу, поэтому [GL, GL] ⩽ SL), но в общем случае не совпадают с ней.

Группа, порожденная трансвекциями, обозначается E( n , A ) (для элементарных матриц ) или TV( n , A ) . Согласно второму соотношению Стейнберга для n ≥ 3 трансвекции являются коммутаторами, поэтому для n ≥ 3 E ( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A )] .

Для n = 2 трансвекции не обязательно должны быть коммутаторами ( матриц 2 × 2 ), как это видно, например, когда A равно F ₂ , поле из двух элементов, тогда

\operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),

где Alt(3) и Sym(3) обозначают чередующиеся соответственно. симметричная группа из 3 букв.

Однако, если A — поле с более чем 2 элементами, то E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , а если A — поле с более чем 3 элементами, E (2, А ) = [SL(2, А ), SL(2, А )] . ^{[ сомнительно – обсудить ]}

В некоторых случаях они совпадают: специальная линейная группа над полем или евклидовой областью порождается трансвекциями, а устойчивая специальная линейная группа над дедекиндовой областью порождается трансвекциями. Для более общих колец стабильная разность измеряется специальной группой Уайтхеда SK ₁ ( A ) := SL( A )/E( A ) , где SL( A ) и E( A ) — стабильные группы специальной линейной группы. и элементарные матрицы.

Генераторы и отношения

Если работать над кольцом, где SL порождается трансвекциями (например, полем или евклидовой областью ), можно дать представление SL, используя трансвекции с некоторыми отношениями. Трансвекции удовлетворяют соотношениям Стейнберга , но этого недостаточно: результирующая группа является группой Стейнберга , которая не является специальной линейной группой, а скорее универсальным центральным расширением коммутанта группы GL.

Достаточный набор отношений для SL( n , Z ) при n ≥ 3 задается двумя отношениями Стейнберга плюс третьим соотношением (Кондер, Робертсон и Уильямс 1992, стр. 19). Пусть T _ij := e _ij (1) — элементарная матрица с единицами на диагонали и в позиции ij и нулями в других местах (и i ≠ j ). Затем

{\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}

являются полным набором отношений для SL( n , Z ), n ≥ 3.

СЛ ± ( п , Ф )

В характеристике , отличной от 2, набор матриц с определителем $\pm1$ образует другую подгруппу GL, где SL является подгруппой индекса 2 (обязательно нормальной); в характеристике 2 это то же самое, что и SL. Это образует короткую точную последовательность групп:

\mathrm {SL} (n,F)\to \mathrm {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}.

Эта последовательность разбивается, если взять любую матрицу с определителем $-1$ , например, диагональную матрицу. Если она нечетна, отрицательная единичная матрица находится в $SL$ $\pm$ $($ $n$ $,$ $F$ $)$ , но не в $SL($ $n$ $,$ $F$ $)$ , и, таким образом, группа распадается как внутренний прямой продукт . Однако если четно, то оно уже находится в $SL($ $n$ $,$ $F$ $)$ , $SL$ $\pm$ не расщепляется и вообще является нетривиальным групповым расширением . $(-1,1,\dots ,1).$ $n=2k+1$ $-I$ $SL^{\pm }(2k+1,F)\cong SL(2k+1,F)\times \{\pm I\}$ $n=2k$ $-I$

Над действительными числами $SL \pm (n, R)$ имеет две компоненты связности , соответствующие $SL(n, R),$ и еще одну компоненту, которые изоморфны с отождествлением, зависящим от выбора точки (матрица с определителем $-1$ ). В нечетном измерении они естественным образом обозначаются , но в четном измерении нет единой естественной идентификации. $-I$

Структура GL( n , F )

Группа GL( n , F ) распадается по своему определителю (мы используем F ^× ≅ GL(1, F ) → GL( n , F ) как мономорфизм из F ^× в GL( n , F ) , см. полупрямое произведение ), и поэтому GL( n , F ) можно записать как полупрямое произведение SL ( n , F ) на F ^× :

GL( п , F ) знак равно SL( п , F ) ⋊ F ^× .