Липшицева непрерывность

Сильная форма равномерной непрерывности

Для функции, непрерывной по Липшицу, существует двойной конус (белый), начало координат которого можно перемещать вдоль графика так, что весь график всегда остается вне двойного конуса.

В математическом анализе непрерывность Липшица , названная в честь немецкого математика Рудольфа Липшица , является сильной формой равномерной непрерывности для функций . Интуитивно, функция, непрерывная по Липшицу , ограничена в том, как быстро она может меняться: существует действительное число, такое что для каждой пары точек на графике этой функции абсолютное значение наклона соединяющей их линии не больше этого действительного числа; наименьшая такая граница называется константой Липшица функции (и связана с модулем равномерной непрерывности ). Например, каждая функция, которая определена на интервале и имеет ограниченную первую производную, является функцией, непрерывной по Липшицу. ^[1]

В теории дифференциальных уравнений непрерывность Липшица является центральным условием теоремы Пикара–Линделёфа , которая гарантирует существование и единственность решения задачи начального значения . Особый тип непрерывности Липшица, называемый сокращением , используется в теореме Банаха о неподвижной точке . ^[2]

Имеем следующую цепочку строгих включений для функций на замкнутом и ограниченном нетривиальном интервале действительной прямой:

Непрерывно дифференцируемый ⊂ Липшицев ⊂ - Гёльдеров , ${\displaystyle \alpha }$

где . У нас также есть ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

Липшицево непрерывное ⊂ абсолютно непрерывное ⊂ равномерно непрерывное .

Определения

_Для двух метрических пространств ( X , dX ₎ и ( Y , dY ), где dX обозначает метрику на множестве X , а dY _— метрику на множестве Y , функция f  : X → Y называется липшицевой _, если существует действительная константа _K ≥ 0 такая , что для _всех x1 и x2 в X

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^[3]

Любое такое K называется константой Липшица для функции f , а f также может называться K-Липшицевой . Наименьшая константа иногда называется (наилучшей) константой Липшица ^[4] функции f или дилатацией или расширением ^{[5] : стр. 9, Определение 1.4.1  [6] [7]} функции f . Если K = 1, функция называется коротким отображением , а если 0 ≤ K < 1 и f отображает метрическое пространство в себя, функция называется сжатием .

В частности, действительная функция f  : R → R называется липшицево-непрерывной, если существует положительная действительная константа K такая, что для всех действительных x ₁ и x ₂ выполняется следующее :

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

В этом случае Y — это множество действительных чисел R со стандартной метрикой d _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ |, а X — подмножество R .

В общем случае неравенство (тривиально) выполняется, если x ₁ = x ₂ . В противном случае можно эквивалентно определить функцию как непрерывную по Липшицу тогда и только тогда, когда существует константа K ≥ 0 такая, что для всех x ₁ ≠ x ₂ ,

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

Для действительных функций многих действительных переменных это справедливо тогда и только тогда, когда абсолютные значения наклонов всех секущих ограничены величиной K. Множество прямых наклона K, проходящих через точку на графике функции, образует круговой конус, и функция является липшицевой тогда и только тогда, когда график функции всюду полностью лежит вне этого конуса (см. рисунок).

Функция называется локально липшицевой , если для каждого x в X существует окрестность U точки x такая, что f , ограниченная на U, является липшицевой. Эквивалентно, если X — локально компактное метрическое пространство, то f является локально липшицевой тогда и только тогда, когда она липшицева на каждом компактном подмножестве X. В пространствах, которые не являются локально компактными, это необходимое, но недостаточное условие.

В более общем смысле функция f, определенная на X , называется непрерывной по Гёльдеру или удовлетворяет условию Гёльдера порядка α > 0 на X, если существует константа M ≥ 0 такая, что

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }}$

для всех x и y из X. Иногда условие Гёльдера порядка α также называют равномерным условием Липшица порядка α > 0.

Для действительного числа K ≥ 1, если

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,}$

тогда f называется K -билипшицевым (также пишется K -билипшицевым ). Мы говорим, что f является билипшицевым или билипшицевым, чтобы иметь в виду, что существует такое K . Билипшицево отображение является инъективным и фактически является гомеоморфизмом на свой образ. Билипшицева функция — это то же самое, что и инъективная липшицева функция, обратная функция которой также является липшицевой.

Примеры

Липшицевы непрерывные функции, которые всюду дифференцируемы

• Функция, определенная для всех действительных чисел, является липшицевой с константой Липшица K  = 1, поскольку она всюду дифференцируема , а абсолютное значение производной ограничено сверху 1. См. первое свойство, перечисленное ниже в разделе «Свойства». ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$
• Аналогично, функция синуса является функцией Липшица, поскольку ее производная, функция косинуса, ограничена сверху 1 по абсолютной величине.

Липшицевы непрерывные функции, которые не всюду дифференцируемы

• Функция, определенная на действительных числах, является липшицевой с константой Липшица, равной 1, по обратному неравенству треугольника . В более общем смысле, норма на векторном пространстве является липшицевой относительно связанной метрики, с константой Липшица, равной 1. ${\displaystyle f(x)=|x|}$

Липшицевы непрерывные функции, которые всюду дифференцируемы, но не непрерывно дифференцируемы

• Функция , производная которой существует, но имеет существенный разрыв при . ${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle x=0}$

Непрерывные функции, которые (глобально) не являются непрерывными по Липшицу

• Функция f ( x ) =  √ x , определенная на [0, 1], не является липшицевой. Эта функция становится бесконечно крутой, когда x стремится к 0, поскольку ее производная становится бесконечной. Однако она равномерно непрерывна ^[8] и является как непрерывна по Гёльдеру класса C ^{0, α} для α ≤ 1/2, так и абсолютно непрерывна на [0, 1] (оба из которых подразумевают первое).

Дифференцируемые функции, которые (локально) не являются непрерывными по Липшицу

• Функция f , определенная как f (0) = 0 и f ( x ) =  x ^3/2 sin(1/ x ) для 0 < x ≤1, дает пример функции, которая дифференцируема на компактном множестве, но не является локально липшицевой, поскольку ее производная функция не ограничена. См. также первое свойство ниже.

Аналитические функции, которые (глобально) не являются непрерывными по Липшицу

• Экспоненциальная функция становится произвольно крутой при x → ∞ и, следовательно, не является глобально непрерывной по Липшицу, несмотря на то, что является аналитической функцией .
• Функция f ( x ) =  x ² с областью определения все действительные числа не является липшицевой. Эта функция становится произвольно крутой, когда x стремится к бесконечности. Однако она локально липшицева.

Характеристики

• Всюду дифференцируемая функция g  :  R  →  R является липшицевой (с K  = sup | g ′( x )|) тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную первую производную ; одно направление следует из теоремы о среднем значении . В частности, любая непрерывно дифференцируемая функция является локально липшицевой, поскольку непрерывные функции локально ограничены, поэтому ее градиент также локально ограничен.
• Липшицева функция g  :  R  →  R абсолютно непрерывна и, следовательно, дифференцируема почти всюду , то есть дифференцируема в каждой точке вне множества нулевой меры Лебега . Ее производная по существу ограничена по величине константой Липшица, и при a  < b разность g ( b ) −  g ( a ) равна интегралу производной g ′ на интервале [ a ,  b ].
  • Наоборот, если f  : I  → R абсолютно непрерывна и, следовательно, дифференцируема почти всюду, и удовлетворяет условию | f′ ( x )| ≤ K для почти всех x из I , то f непрерывна по Липшицу с константой Липшица не более K .
  • В более общем смысле теорема Радемахера распространяет результат дифференцируемости на липшицевы отображения между евклидовыми пространствами: липшицево отображение f  :  U  →  R ^m , где U — открытое множество в R ⁿ , почти всюду дифференцируемо . Более того, если K — лучшая константа Липшица для f , то всякий раз, когда существует полная производная Df . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \|Df(x)\|\leq K}$
• Для дифференцируемого отображения Липшица неравенство выполняется для наилучшей константы Липшица . Если область выпуклая, то фактически . ^{[ необходимо дальнейшее объяснение ]} ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}\leq K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}=K}$
• Предположим, что { f _n } — последовательность непрерывных по Липшицу отображений между двумя метрическими пространствами, и что все f _n имеют константу Липшица, ограниченную некоторым K . Если f _n сходится к отображению f равномерно , то f также является липшицевым, с константой Липшица, ограниченной тем же K . В частности, это означает, что множество вещественных функций на компактном метрическом пространстве с конкретной границей для константы Липшица является замкнутым и выпуклым подмножеством банахова пространства непрерывных функций. Однако этот результат не верен для последовательностей, в которых функции могут иметь неограниченные константы Липшица. Фактически, пространство всех липшицевых функций на компактном метрическом пространстве является подалгеброй банахова пространства непрерывных функций и, таким образом, плотно в нем, что является элементарным следствием теоремы Стоуна–Вейерштрасса (или следствием теоремы аппроксимации Вейерштрасса , поскольку каждый многочлен локально непрерывен по Липшицу).
• Каждое непрерывное по Липшицу отображение равномерно непрерывно и, следовательно, непрерывно . В более общем случае множество функций с ограниченной константой Липшица образует равностепенно непрерывное множество. Из теоремы Арцела–Асколи следует, что если { f _n } — равномерно ограниченная последовательность функций с ограниченной константой Липшица, то она имеет сходящуюся подпоследовательность. Согласно результату предыдущего абзаца, предельная функция также является липшицевой с той же границей для константы Липшица. В частности, множество всех вещественных липшицевых функций на компактном метрическом пространстве X, имеющих константу Липшица ≤  K,   является локально компактным выпуклым подмножеством банахова пространства C ( X ).
• Для семейства липшицевых функций f _α с общей константой функция (и ) также является липшицевой с той же константой Липшица, при условии, что она принимает конечное значение хотя бы в некоторой точке. ${\displaystyle \sup _{\alpha }f_{\alpha }}$ ${\displaystyle \inf _{\alpha }f_{\alpha }}$
• Если U — подмножество метрического пространства M и f  : U  → R — липшицева функция, то всегда существуют липшицевы отображения M  → R , которые расширяют f и имеют ту же константу Липшица, что и f (см. также теорему Киршбрауна ). Расширение обеспечивается формулой

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},}$

где k — константа Липшица для f на U.

Липшицевы многообразия

Липшицева структура на топологическом многообразии определяется с помощью атласа карт, чьи карты перехода являются билипшицевыми; это возможно, поскольку билипшицевы карты образуют псевдогруппу . Такая структура позволяет определить локально липшицевы карты между такими многообразиями, аналогично тому, как определяются гладкие карты между гладкими многообразиями : если M и N являются липшицевыми многообразиями, то функция локально липшицева тогда и только тогда, когда для каждой пары координатных карт и , где U и V являются открытыми множествами в соответствующих евклидовых пространствах, композиция локально липшицева. Это определение не опирается на определение метрики на M или N . ^[9] ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle \phi :U\to M}$ ${\displaystyle \psi :V\to N}$ $${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to V}$$

Эта структура является промежуточной между кусочно -линейной и топологической : структура PL порождает уникальную липшицеву структуру. ^[10] Хотя липшицевы многообразия тесно связаны с топологическими многообразиями, теорема Радемахера позволяет проводить анализ, приводящий к различным приложениям. ^[9]

Односторонний Липшиц

Пусть F ( x ) — полунепрерывная сверху функция x , и пусть F ( x ) — замкнутое выпуклое множество для всех x . Тогда F является односторонним липшицевым ^[11], если

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

для некоторого C и для всех x ₁ и x ₂ .

Возможно, что функция F может иметь очень большую константу Липшица, но умеренную или даже отрицательную одностороннюю константу Липшица. Например, функция

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}}$

имеет постоянную Липшица K = 50 и одностороннюю постоянную Липшица C = 0. Примером, который является односторонним Липшицевым, но не непрерывным по Липшицу, является F ( x ) = e ^{− x} , где C = 0.

Смотрите также

• Контрационная карта  – функция, уменьшающая расстояние между всеми точками
• Дини непрерывность
• Модуль непрерывности
• Квази-изометрия
• ^Лемма Джонсона–Линденштрауса – Для любого целого числа n ≥0, любого конечного подмножества X ⊆ Rn и любого действительного числа 0<ε<1 существует (1+ε)-билипшицева функция, где ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},}$ ${\displaystyle d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .}$

Ссылки

1. Sohrab, HH (2003). Basic Real Analysis. Т. 231. Birkhäuser. стр. 142. ISBN 0-8176-4211-0.
2. Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2001). Элементарный вещественный анализ. Prentice-Hall. стр. 623. ISBN 978-0-13-019075-8.
3. Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Функции Липшица", Metric Spaces , Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84628-369-7
4. Беньямини, Йоав; Линденштраус, Йорам (2000). Геометрический нелинейный функциональный анализ . Американское математическое общество. стр. 11. ISBN 0-8218-0835-4.
5. Бураго, Дмитрий; Бураго, Юрий; Иванов, Сергей (2001). Курс метрической геометрии . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2129-6.
6. Mahroo, Omar A; Shalchi, Zaid; Hammond, Christopher J (2014). «„Дилятация“ и „дилатация“: тенденции в использовании по обе стороны Атлантики». British Journal of Ophthalmology . 98 (6): 845–846. doi :10.1136/bjophthalmol-2014-304986. PMID  24568871.
7. Громов, Михаил (1999). "Количественная теория гомотопий". В Rossi, Hugo (ред.). Перспективы в математике: приглашенные доклады по случаю 250-летия Принстонского университета, 17-21 марта 1996 г., Принстонский университет . Американское математическое общество. стр. 46. ISBN 0-8218-0975-X.
8. Роббин, Джоэл В., Непрерывность и равномерная непрерывность (PDF)
9. Розенберг, Джонатан (1988). «Применение анализа на липшицевых многообразиях». Миниконференции по гармоническому анализу и операторным алгебрам (Канберра, 1987) . Канберра: Австралийский национальный университет . стр. 269–283. МР 954004
10. "Топология многообразий", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
11. Дончев, Цанко; Фархи, Элза (1998). «Устойчивость и эйлерово приближение односторонних липшицевых дифференциальных включений». Журнал SIAM по управлению и оптимизации . 36 (2): 780–796. doi :10.1137/S0363012995293694.