Локально компактное пространство

Тип топологического пространства в математике

В топологии и смежных разделах математики топологическое пространство называется локально компактным, если, грубо говоря, каждая малая часть пространства выглядит как малая часть компактного пространства . Точнее, это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет компактную окрестность .

В математическом анализе особый интерес представляют локально компактные пространства, являющиеся хаусдорфовыми ; их сокращенно называют пространствами LCH . ^[1]

Формальное определение

Пусть X — топологическое пространство . Чаще всего X называют локально компактным , если каждая точка x из X имеет компактную окрестность , т. е. существует открытое множество U и компактное множество K , такие, что . ${\displaystyle x\in U\subseteq K}$

Есть и другие общие определения: Они все эквивалентны, если X является хаусдорфовым пространством (или предрегулярным). Но они не эквивалентны в общем случае:

1. каждая точка X имеет компактную окрестность .

2. каждая точка X имеет замкнутую компактную окрестность.

2′. каждая точка X имеет относительно компактную окрестность.

2″. Каждая точка X имеет локальную базу относительно компактных окрестностей.

3. каждая точка X имеет локальную базу компактных окрестностей.

4. каждая точка X имеет локальную базу замкнутых компактных окрестностей.

5. X является Хаусдорфовым и удовлетворяет любому (или, что эквивалентно, всем) из предыдущих условий.

Логические связи между условиями: ^[2]

• Каждое условие подразумевает (1).
• Условия (2), (2′), (2″) эквивалентны.
• Ни одно из условий (2), (3) не подразумевает другое.
• Условие (4) влечет (2) и (3).
• Компактность подразумевает условия (1) и (2), но не (3) или (4).

Условие (1) является, вероятно, наиболее часто используемым определением, поскольку оно наименее ограничительно, а другие эквивалентны ему, когда X является хаусдорфовым . Эта эквивалентность является следствием того факта, что компактные подмножества хаусдорфовых пространств замкнуты, а замкнутые подмножества компактных пространств компактны. Пространства, удовлетворяющие (1), также называютсяслабо локально компактны ,^[3][4],поскольку они удовлетворяют самому слабому из условий здесь.

Поскольку они определяются в терминах относительно компактных множеств, пространства, удовлетворяющие (2), (2'), (2"), можно более конкретно назвать локально относительно компактными . ^{[5] [6]} Стин и Зеебах ^[7] называют (2), (2'), (2") сильно локально компактными в отличие от свойства (1), которое они называют локально компактным .

Пространства, удовлетворяющие условию (4), — это в точностилокально компактные регулярные пространства.^[8][2] Действительно, такое пространство является регулярным, поскольку каждая точка имеет локальную базу замкнутых окрестностей. Обратно, в регулярном локально компактном пространстве предположим, что точкаимеет компактную окрестность. По регулярности, если задана произвольная окрестность,существует замкнутая окрестность,содержащаяся викомпактна как замкнутое множество в компактном множестве. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K\cap U}$ ${\displaystyle V}$

Условие (5) используется, например, в работе Бурбаки . ^[9] Любое пространство, которое локально компактно (в смысле условия (1)) и также хаусдорфово, автоматически удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям. Поскольку в большинстве приложений локально компактные пространства также являются хаусдорфовыми, эти локально компактные хаусдорфовы ( LCH ) пространства будут, таким образом, пространствами, которые в первую очередь будут рассматриваться в этой статье.

Примеры и контрпримеры

Компактные хаусдорфовы пространства

Каждое компактное хаусдорфово пространство также локально компактно, и множество примеров компактных пространств можно найти в статье компактное пространство . Здесь мы упомянем только:

• единичный интервал [0,1];
• множество Кантора ;
• куб Гильберта .

Локально компактные хаусдорфовы пространства, которые не являются компактными

• Евклидовы пространства Rn (и, в частности, вещественная прямая R ) локально компактны, как следствие теоремы ^Гейне –Бореля .
• Топологические многообразия разделяют локальные свойства евклидовых пространств и поэтому также все локально компактны. Это включает даже непаракомпактные многообразия, такие как длинная линия .
• Все дискретные пространства локально компактны и хаусдорфовы (это просто нульмерные многообразия). Они компактны только если они конечны.
• Все открытые или замкнутые подмножества локально компактного хаусдорфова пространства локально компактны в топологии подпространства . Это дает несколько примеров локально компактных подмножеств евклидовых пространств, таких как единичный круг (открытая или замкнутая версия).
• Пространство Q p -адических чисел локально компактно, поскольку оно гомеоморфно множеству Кантора за _{вычетом} одной точки. Таким образом, локально компактные пространства так же полезны в p -адическом анализе, как и в классическом анализе .

Хаусдорфовы пространства, которые не являются локально компактными

Как упоминалось в следующем разделе, если хаусдорфово пространство локально компактно, то оно также является тихоновским пространством . По этой причине примеры хаусдорфовых пространств, которые не являются локально компактными, поскольку они не являются тихоновскими пространствами, можно найти в статье, посвященной тихоновским пространствам . Но есть также примеры тихоновских пространств, которые не являются локально компактными, например:

• пространство Q рациональных чисел (наделенное топологией из R ), поскольку любая окрестность содержит последовательность Коши, соответствующую иррациональному числу, которая не имеет сходящейся подпоследовательности в Q ;
• подпространство , поскольку начало координат не имеет компактной окрестности; ${\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$
• топология нижнего предела или топология верхнего предела на множестве R действительных чисел (полезна при изучении односторонних пределов );
• любое T 0 , следовательно, Хаусдорфово, топологическое векторное пространство , которое является бесконечномерным , например, бесконечномерное гильбертово пространство .

Первые два примера показывают, что подмножество локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным, что контрастирует с открытыми и замкнутыми подмножествами в предыдущем разделе. Последний пример контрастирует с евклидовыми пространствами в предыдущем разделе; если быть более конкретным, то хаусдорфово топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно (в этом случае оно является евклидовым пространством). Этот пример также контрастирует с гильбертовым кубом как примером компактного пространства; противоречия нет, поскольку куб не может быть окрестностью какой-либо точки в гильбертовом пространстве.

Примеры не-Хаусдорфа

• Одноточечная компактификация рациональных чисел Q компактна и, следовательно, локально компактна в смыслах (1) и (2), но не локально компактна в смыслах (3) или (4).
• Конкретная точечная топология на любом бесконечном множестве локально компактна в смыслах (1) и (3), но не в смыслах (2) или (4), поскольку замыкание любой окрестности представляет собой все пространство, которое некомпактно.
• Несвязное объединение двух приведенных выше примеров локально компактно в смысле (1), но не в смыслах (2), (3) или (4).
• Топология правильного порядка на действительной прямой локально компактна в смыслах (1) и (3), но не в смыслах (2) или (4), поскольку замыкание любой окрестности представляет собой все некомпактное пространство.
• Пространство Серпинского локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), а также компактно, но оно не является хаусдорфовым или регулярным (или даже предрегулярным), поэтому оно не локально компактно в смыслах (4) или (5). Несвязное объединение счетного числа копий пространства Серпинского является некомпактным пространством, которое все еще локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), но не (4) или (5).
• В более общем смысле, топология исключенной точки локально компактна в смыслах (1), (2) и (3) и компактна, но не локально компактна в смыслах (4) или (5).
• Кофинитная топология на бесконечном множестве локально компактна в смыслах (1), (2) и (3), а также компактна, но она не является хаусдорфовой или регулярной, поэтому она не локально компактна в смыслах (4) или (5).
• Недискретная топология на множестве, содержащем по крайней мере два элемента, локально компактна в смыслах (1), (2), (3) и (4), а также компактна, но она не является хаусдорфовой, поэтому она не локально компактна в смысле (5).

Общие классы примеров

• Каждое пространство с топологией Александрова локально компактно в смыслах (1) и (3). ^[10]

Характеристики

Каждое локально компактное предрегулярное пространство на самом деле является полностью регулярным . ^{[11] [12]} Отсюда следует, что каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским пространством . ^[13] Поскольку прямая регулярность является более знакомым условием, чем предрегулярность (которая обычно слабее) или полная регулярность (которая обычно сильнее), локально компактные предрегулярные пространства обычно называются в математической литературе локально компактными регулярными пространствами . Аналогично локально компактные тихоновские пространства обычно называются просто локально компактными хаусдорфовыми пространствами .

Каждое локально компактное регулярное пространство, в частности каждое локально компактное хаусдорфово пространство, является пространством Бэра . ^{[14] [15]} То есть, заключение теоремы Бэра о категории верно: внутренность каждого счетного объединения нигде не плотных подмножеств пуста.

Подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства Y локально компактно тогда и только тогда, когда X локально замкнуто в Y (то есть X можно записать как теоретико-множественную разность двух замкнутых подмножеств Y ). В частности, каждое замкнутое множество и каждое открытое множество в локально компактном хаусдорфовом пространстве локально компактно. Также, как следствие, плотное подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства Y локально компактно тогда и только тогда, когда X открыто в Y . Более того, если подпространство X любого хаусдорфова пространства Y локально компактно, то X все еще должно быть локально замкнуто в Y , хотя обратное в общем случае не выполняется.

Без гипотезы Хаусдорфа некоторые из этих результатов разрушаются при более слабых понятиях локальной компактности. Каждое замкнутое множество в слабо локально компактном пространстве (= условие (1) в определениях выше) является слабо локально компактным. Но не каждое открытое множество в слабо локально компактном пространстве является слабо локально компактным. Например, одноточечная компактификация рациональных чисел является компактной, и, следовательно, слабо локально компактной. Но она содержит как открытое множество, которое не является слабо локально компактным. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Факторпространства локально компактных хаусдорфовых пространств компактно порождены . Обратно, каждое компактно порожденное хаусдорфово пространство является фактором некоторого локально компактного хаусдорфова пространства.

Для функций, определенных на локально компактном пространстве, локальная равномерная сходимость совпадает с компактной сходимостью .

Точка в бесконечности

В этом разделе рассматриваются компактификации локально компактных пространств. Каждое компактное пространство является своей собственной компактификацией. Поэтому, чтобы избежать тривиальностей, ниже предполагается, что пространство X не является компактным.

Поскольку каждое локально компактное хаусдорфово пространство X является тихоновским, его можно вложить в компактное хаусдорфово пространство с помощью компактификации Стоуна–Чеха . Но на самом деле, в локально компактном случае доступен более простой метод; одноточечная компактификация вложит X в компактное хаусдорфово пространство всего с одной дополнительной точкой. (Одноточечная компактификация может быть применена к другим пространствам, но будет хаусдорфовой тогда и только тогда, когда X локально компактно и хаусдорфово.) Таким образом, локально компактные хаусдорфовы пространства можно охарактеризовать как открытые подмножества компактных хаусдорфовых пространств. ${\displaystyle b(X)}$ ${\displaystyle a(X)}$ ${\displaystyle a(X)}$

Интуитивно, дополнительная точка в может рассматриваться как точка на бесконечности . Точку на бесконечности следует рассматривать как лежащую вне каждого компактного подмножества X. Многие интуитивные понятия о стремлении к бесконечности могут быть сформулированы в локально компактных хаусдорфовых пространствах с использованием этой идеи. Например, говорят, что непрерывная вещественная или комплекснозначная функция f с областью определения X исчезает на бесконечности , если для любого положительного числа e существует компактное подмножество K из X такое, что всякий раз, когда точка x лежит вне K. Это определение имеет смысл для любого топологического пространства X. Если X локально компактно и хаусдорфово, такие функции являются в точности теми, которые можно продолжить до непрерывной функции g на его одноточечной компактификации , где ${\displaystyle a(X)}$ ${\displaystyle |f(x)|<e}$ ${\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle g(\infty )=0.}$

Гельфанд представительство

Для локально компактного хаусдорфова пространства X множество всех непрерывных комплекснозначных функций на X , которые исчезают на бесконечности, является коммутативной C*-алгеброй . Фактически, каждая коммутативная C*-алгебра изоморфна для некоторого единственного ( с точностью до гомеоморфизма ) локально компактного хаусдорфова пространства X. Это показывается с помощью представления Гельфанда . ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

Локально компактные группы

Понятие локальной компактности важно при изучении топологических групп, главным образом потому, что каждая локально компактная группа Хаусдорфа G несет естественные меры, называемые мерами Хаара , которые позволяют интегрировать измеримые функции, определенные на G. Мера Лебега на действительной прямой является частным случаем этого. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Двойственная по Понтрягину топологическая абелева группа A локально компактна тогда и только тогда, когда A локально компактна. Точнее, двойственность Понтрягина определяет самодвойственность категории локально компактных абелевых групп. Изучение локально компактных абелевых групп является основой гармонического анализа , области, которая с тех пор распространилась на неабелевы локально компактные группы.

Смотрите также

• Компактная группа  – Топологическая группа с компактной топологией
• Теорема Ф. Рисса
• Локально компактное поле
• Локально компактная квантовая группа  – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группамPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Локально компактная группа  – топологическая группа, для которой базовая топология локально компактна и хаусдорфова, так что можно определить меру Хаара.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• σ-компактное пространство  – объединение счетного числа компактных топологических пространствPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ядро-компактное пространство

Цитаты

1. Фолланд 1999, с. 131, разд. 4.5.
2. Gompa, Raghu (весна 1992 г.). «Что такое «локально компактный»?» (PDF) . Pi Mu Epsilon Journal . 9 (6): 390–392. JSTOR  24340250. Архивировано (PDF) из оригинала 10.09.2015.
3. Лоусон, Дж.; Мэдисон, Б. (1974). «Частные k-полугрупп». Semigroup Forum . 9 : 1–18. doi :10.1007/BF02194829., стр. 3
4. Брейкманн, Томас; Кудри, Сорая; Айгюн, Халис (2004). «О слабо локально компактных пространствах». Мягкая методология и случайные информационные системы . Springer. стр. 638–644. doi :10.1007/978-3-540-44465-7_79. ISBN 978-3-540-22264-4.
5. Лоуэн-Колебандерс, Ева (1983), «О сходимости замкнутых и компактных множеств», Pacific Journal of Mathematics , 108 (1): 133–140, doi : 10.2140/pjm.1983.108.133 , MR  0709705, S2CID  55084221, Zbl  0522.54003
6. Биче, Тристан; Кубиш, Веслав (2020). «Двойственность Уоллмана для полурешеточных подоснов». arXiv : 2002.05943 [math.GN].
7. Стин и Зеебах, стр. 20
8. Келли 1975, гл. 5, Теорема 17, стр. 146.
9. Бурбаки, Николас (1989). Общая топология, часть I (переиздание издания 1966 года). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X.
10. Спир, Тимоти (16 августа 2007 г.). «Краткое исследование пространств Александрова». arXiv : 0708.2136 [math.GN].Теорема 5
11. Шехтер 1996, 17.14(d), с. 460.
12. "общая топология - локально компактные предрегулярные пространства вполне регулярны". Mathematics Stack Exchange .
13. Уиллард 1970, теорема 19.3, стр.136.
14. Келли 1975, Теорема 34, стр. 200.
15. Шехтер 1996, Теорема 20.18, с. 538.

Ссылки

• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-31716-6.
• Келли, Джон (1975). Общая топология . Springer . ISBN 978-0387901251.
• Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Prentice Hall . ISBN 978-0131816299.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0486434797.