Локально связанное пространство

Свойство топологических пространств

В этом топологическом пространстве V является окрестностью точки p и содержит связное открытое множество (темно-зеленый диск), содержащее p .

В топологии и других разделах математики топологическое пространство X локально связно , если каждая точка допускает базис окрестностей , состоящий из открытых связных множеств.

Более строго, пространство X локально линейно связно , если каждая точка допускает базис окрестностей, состоящий из множеств с открытой линейной связностью .

Фон

На протяжении всей истории топологии связность и компактность были двумя из наиболее широко изучаемых топологических свойств. Действительно, изучение этих свойств даже среди подмножеств евклидова пространства и признание их независимости от конкретной формы евклидовой метрики сыграли большую роль в прояснении понятия топологического свойства и, следовательно, топологического пространства. Однако, в то время как структура компактных подмножеств евклидова пространства была понята довольно рано с помощью теоремы Гейне–Бореля , связные подмножества (для n > 1) оказались гораздо более сложными. Действительно, в то время как любое компактное хаусдорфово пространство локально компактно , связное пространство — и даже связное подмножество евклидовой плоскости — не обязательно должны быть локально связными (см. ниже). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Это привело к богатому руслу исследований в первой половине двадцатого века, в котором топологи изучали последствия между все более тонкими и сложными вариациями понятия локально связного пространства. В качестве примера, понятие локальной связности im kleinen в точке и его связь с локальной связностью будут рассмотрены далее в статье.

В конце двадцатого века тенденции исследований сместились в сторону более интенсивного изучения пространств, таких как многообразия , которые локально хорошо изучены (будучи локально гомеоморфными евклидову пространству), но имеют сложное глобальное поведение. Под этим подразумевается, что хотя базовая топология многообразий относительно проста (поскольку многообразия по существу метризуемы согласно большинству определений концепции), их алгебраическая топология гораздо сложнее. С этой современной точки зрения более сильное свойство локальной путевой связности оказывается более важным: например, для того, чтобы пространство допускало универсальное покрытие, оно должно быть связным и локально путевым связным.

Пространство локально связно тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества U связные компоненты U (в топологии подпространства ) открыты. Из этого следует, например, что непрерывная функция из локально связного пространства в полностью несвязное пространство должна быть локально постоянной. Фактически, открытость компонент настолько естественна, что нужно обязательно помнить, что в общем случае это неверно: например, пространство Кантора полностью несвязно, но не дискретно .

Определения

Пусть будет топологическим пространством, и пусть будет точкой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Пространство называется локально связным в ^[1], если каждая окрестность содержит связную открытую окрестность , то есть если точка имеет базу окрестностей , состоящую из связных открытых множеств. Локально связное пространство ^{[2] [1]} — это пространство, которое локально связно в каждой своей точке. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Локальная связность не подразумевает связности ( например, рассмотрим два непересекающихся открытых интервала); а связность не подразумевает локальную связность (см. синусоиду тополога ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Пространство называется локально путеносно связанным в ^[1], если каждая окрестность содержит путеносно связанную открытую окрестность , то есть если точка имеет базу окрестностей, состоящую из путеносно связанных открытых множеств. Локально путеносно связанное пространство ^{[3] [1]} — это пространство, которое локально путеносно связано в каждой из своих точек. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Локально путевые связные пространства локально связны. Обратное не верно (см. топологию лексикографического порядка на единичном квадрате ).

Связанность im kleinen

Пространство называется связным im kleinen в ^{[4] [5]} или слабо локально связным в ^[6] , если каждая окрестность содержит связную (не обязательно открытую) окрестность , то есть если точка имеет базу окрестностей, состоящую из связных множеств. Пространство называется слабо локально связным , если оно слабо локально связно в каждой из своих точек; как указано ниже, это понятие фактически то же самое, что и локально связное. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Пространство, которое локально связно в точке, связно im kleinen в точке. Обратное утверждение неверно, как показано, например, некоторым бесконечным объединением убывающих пространств метел , которое связно im kleinen в определенной точке, но не локально связно в этой точке. ^{[7] [8] [9]} Однако, если пространство связно im kleinen в каждой из своих точек, оно локально связно. ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Пространство называется линейно связным im kleinen в ^[5], если каждая окрестность содержит линейно связную (не обязательно открытую) окрестность , то есть если точка имеет базу окрестностей, состоящую из линейно связных множеств. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Пространство, которое локально путево связано в точке, является путево связанным im kleinen в точке Обратное не выполняется, как показано тем же бесконечным объединением убывающих пространств метел, что и выше. Однако, если пространство путево связано im kleinen в каждой из своих точек, оно локально путево связано. ^[11] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Первые примеры

1. Для любого положительного целого числа n евклидово пространство локально линейно связно, следовательно, локально связно; оно также связно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
2. В более общем смысле каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство локально связно, поскольку каждая точка имеет локальную базу выпуклых (и, следовательно, связных) окрестностей.
3. Подпространство действительной прямой локально линейно связно, но не связно. ${\displaystyle S=[0,1]\cup [2,3]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$
4. Синусоида тополога — это подпространство евклидовой плоскости, которое связно, но не локально. ^[12]
5. Пространство рациональных чисел , наделенное стандартной евклидовой топологией, не является ни связным, ни локально связным. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
6. Пространство гребенки линейно связно, но не локально линейно связно и даже не локально связно.
7. Счетно-бесконечное множество, наделенное кофинитной топологией, локально связно (на самом деле, гиперсвязно ), но не локально линейно связно. ^[13]
8. Топология лексикографического порядка на единичном квадрате связна и локально связна, но не путево связана и не локально путево связана. ^[14]
9. Пространство Кирха связно и локально связно, но не связно по путям и не связно по путям im kleinen в любой точке. Фактически, оно полностью несвязно по путям .

Хаусдорфово пространство с первой аксиомой счетности локально линейно связно тогда и только тогда, когда оно равно конечной топологии на , индуцированной множеством всех непрерывных путей ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C([0,1];X)}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ).}$

Характеристики

Теорема  —  Пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно слабо локально связно. ^[10]

1. Локальная связность, по определению, является локальным свойством топологических пространств, т. е. топологическим свойством P таким, что пространство X обладает свойством P тогда и только тогда, когда каждая точка x в X допускает соседнюю базу множеств, обладающих свойством P. Соответственно, все «метасвойства», присущие локальному свойству, сохраняются для локальной связности. В частности:
2. Пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно допускает базу (открытых) связных подмножеств.
3. Несвязное объединение семейства пространств локально связно тогда и только тогда, когда каждое из них локально связно. В частности, поскольку одна точка, безусловно, локально связна, отсюда следует, что любое дискретное пространство локально связно. С другой стороны, дискретное пространство полностью несвязно , поэтому связно только в том случае, если оно имеет не более одной точки. ${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
4. Наоборот, полностью несвязное пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно дискретно. Это можно использовать для объяснения вышеупомянутого факта, что рациональные числа локально не связны.
5. Непустое пространство произведений локально связно тогда и только тогда, когда каждое локально связно и все, кроме конечного числа, связны. ^[15] ${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
6. Каждое гиперсвязанное пространство локально связано и взаимосвязано.

Компоненты и компоненты пути

Следующий результат вытекает почти сразу из определений, но будет весьма полезен:

Лемма: Пусть X — пространство, а семейство подмножеств X — непустое. Тогда, если каждое из них связно (соответственно, путевой связностью), то объединение связно (соответственно, путевой связностью). ^[16] ${\displaystyle \{Y_{i}\}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}}$

Теперь рассмотрим два отношения на топологическом пространстве X : для записи: ${\displaystyle x,y\in X,}$

${\displaystyle x\equiv _{c}y}$если существует связное подмножество X, содержащее как x, так и y ; и

${\displaystyle x\equiv _{pc}y}$если существует связанное подмножество X , содержащее как x, так и y .

Очевидно, что оба отношения рефлексивны и симметричны. Более того, если x и y содержатся в связном (соответственно, путево-связанном) подмножестве A , а y и z связаны в связном (соответственно, путево-связанном) подмножестве B , то из леммы следует, что является связным (соответственно, путево-связанным) подмножеством, содержащим x , y и z . Таким образом, каждое отношение является отношением эквивалентности и определяет разбиение X на классы эквивалентности . Рассмотрим эти два разбиения по очереди. ${\displaystyle A\cup B}$

Для x из X множество всех точек y таких, что называется связной компонентой x . ^[17] Из леммы следует, что — единственное максимальное связное подмножество X , содержащее x . ^[18] Поскольку замыкание также является связным подмножеством, содержащим x , [ ^19] отсюда следует, что — замкнуто. ^[20] ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle y\equiv _{c}x}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$

Если X имеет только конечное число связных компонент, то каждая компонента является дополнением конечного объединения замкнутых множеств и, следовательно, открыта. В общем случае, связные компоненты не обязательно должны быть открытыми, поскольку, например, существуют полностью несвязные пространства (т. е. для всех точек x ), которые не являются дискретными, как пространство Кантора. Однако связные компоненты локально связного пространства также открыты и, таким образом, являются открыто-замкнутыми множествами . ^[21] Из этого следует, что локально связное пространство X является топологическим несвязным объединением своих различных связных компонент. Наоборот, если для каждого открытого подмножества U из X связные компоненты U открыты, то X допускает базу связных множеств и, следовательно, локально связно. ^[22] ${\displaystyle C_{x}=\{x\}}$ ${\displaystyle \coprod C_{x}}$

Аналогично x в X , множество всех точек y таких, что называется компонентом пути x . ^[23] Как и выше, также является объединением всех подмножеств X, связанных путем , которые содержат x , поэтому по Лемме само является связанным путем. Поскольку множества , связанные путем, связаны, мы имеем для всех ${\displaystyle PC_{x}}$ ${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$ ${\displaystyle PC_{x}}$ ${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Однако замыкание связного множества не обязательно должно быть связным: например, синусоида тополога является замыканием открытого подмножества U , состоящего из всех точек (x,sin(x)) с x > 0 , и U , будучи гомеоморфным интервалу на действительной прямой, определенно связно. Более того, компоненты пути синусоиды тополога C — это U , которая открыта, но не замкнута, и которая замкнута, но не открыта. ${\displaystyle C\setminus U,}$

Пространство локально линейно связно тогда и только тогда, когда для всех открытых подмножеств U компоненты пути U открыты. ^[23] Следовательно, компоненты пути локально линейно связного пространства дают разбиение X на попарно непересекающиеся открытые множества. Отсюда следует, что открытое связное подпространство локально линейно связного пространства обязательно линейно связно. ^[24] Более того, если пространство локально линейно связно, то оно также локально связно, поэтому для всех является связным и открытым, следовательно линейно связным, то есть То есть, для локально линейно связного пространства компоненты и компоненты пути совпадают. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$

Примеры

1. Множество (где ) в топологии словарного порядка имеет ровно один компонент (потому что оно связно), но имеет несчетное количество компонентов пути. Действительно, любое множество вида является компонентом пути для каждого a , принадлежащего I . ${\displaystyle I\times I}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle \{a\}\times I}$
2. Пусть будет непрерывным отображением из в (которое находится в топологии нижнего предела ). Так как является связным, а образ связного пространства под непрерывным отображением должен быть связным, то образ под должен быть связным. Следовательно, образ под должен быть подмножеством компонента Поскольку этот образ непустой, единственными непрерывными отображениями из ' в являются постоянные отображения. Фактически, любое непрерывное отображение из связного пространства в полностью несвязное пространство должно быть постоянным. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }/}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell },}$

Квазикомпоненты

Пусть X — топологическое пространство. Определим третье отношение на X : если нет разделения X на открытые множества A и B, такого, что x — элемент A , а y — элемент B. Это отношение эквивалентности на X , а класс эквивалентности , содержащий x, называется квазикомпонентой x . ^[18] ${\displaystyle x\equiv _{qc}y}$ ${\displaystyle QC_{x}}$

${\displaystyle QC_{x}}$может быть также охарактеризовано как пересечение всех открыто-замкнутых подмножеств X , содержащих x . ^[18] Соответственно, является замкнутым; в общем случае оно не обязательно должно быть открытым. ${\displaystyle QC_{x}}$

Очевидно , для всех ^[18] В целом мы имеем следующие включения среди компонентов пути, компонентов и квазикомпонент в точке x : ${\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ $${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}$$

Если X локально связно, то, как и выше, является открыто-замкнутым множеством, содержащим x , поэтому и, таким образом , Поскольку локальная путевая связность подразумевает локальную связность, то во всех точках x локально путевого связного пространства мы имеем ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}.}$ $${\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.}$$

Другим классом пространств, для которых квазикомпоненты согласуются с компонентами, является класс компактных хаусдорфовых пространств. ^[25]

Примеры

1. Примером пространства, квазикомпоненты которого не равны своим компонентам, является последовательность с двойной предельной точкой. Это пространство полностью несвязно, но обе предельные точки лежат в одной и той же квазикомпоненте, поскольку любое открыто-замкнутое множество, содержащее одну из них, должно содержать хвост последовательности, а значит, и другую точку.
2. Пространство локально компактно и хаусдорфово, но множества и представляют собой две различные компоненты, которые лежат в одной и той же квазикомпоненте. ${\displaystyle (\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,0)}$ ${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$
3. Пространство Аренса –Форта не является локально связным, но тем не менее компоненты и квазикомпоненты совпадают: действительно, для всех точек x . ^[26] ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}}$

Смотрите также

• Локально односвязное пространство
• Полулокально односвязный
• Предполагается, что множество Мандельброта локально связно.

Примечания

1. Манкрес, стр. 161
2. Уиллард, Определение 27.7, стр. 199
3. Уиллард, Определение 27.4, стр.199
4. Уиллард, Определение 27.14, стр. 201
5. Бьёрн, Андерс; Бьёрн, Яна; Шанмугалингам, Нагесвари (2016). «Расстояние Мазуркевича и множества, которые конечно связаны на границе». Журнал геометрического анализа . 26 (2): 873–897. arXiv : 1311.5122 . doi :10.1007/s12220-015-9575-9. S2CID  255549682., раздел 2
6. Манкрес, упражнение 6, стр. 162
7. Стен и Зеебах, пример 119.4, стр. 139
8. Манкрес, упражнение 7, стр. 162
9. «Покажите, что X не является локально связным в точке p».
10. Willard, Теорема 27.16, стр. 201
11. «Определение локально линейно связного».
12. Стин и Зеебах, стр. 137–138.
13. Стин и Зеебах, стр. 49–50.
14. Стен и Зеебах, пример 48, стр. 73
15. Уиллард, теорема 27.13, стр. 201
16. Уиллард, Теорема 26.7а, стр. 192
17. Уиллард, Определение 26.11, стр.194
18. Уиллард, Задача 26B, стр. 195–196
19. Келли, Теорема 20, стр. 54; Уиллард, Теорема 26.8, стр. 193
20. Уиллард, Теорема 26.12, стр. 194
21. Уиллард, Следствие 27.10, стр. 200
22. Уиллард, Теорема 27.9, стр. 200
23. Willard, Задача 27D, стр. 202
24. Уиллард, Теорема 27.5, стр. 199
25. Энгелькинг, Теорема 6.1.23, стр. 357
26. Стин и Зеебах, стр. 54-55

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Джон Л. Келли ; Общая топология ; ISBN 0-387-90125-6 
• Манкрес, Джеймс (1999), Топология (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, г-н  1382863
• Стивен Уиллард; Общая топология ; Dover Publications, 2004.

Дальнейшее чтение

• Коппин, Калифорния (1972), «Непрерывные функции из связного локально связного пространства в связное пространство с точкой дисперсии», Труды Американского математического общества , 32 (2), Американское математическое общество: 625–626, doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0296913-7 , JSTOR  2037874. Для хаусдорфовых пространств показано, что любая непрерывная функция из связного локально связного пространства в связное пространство с точкой дисперсии является постоянной.
• Дэвис, Х.С. (1968), «Заметка о связности в Кляйнене», Труды Американского математического общества , 19 (5), Американское математическое общество: 1237–1241, doi : 10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3 , JSTOR  2036067.