Тощий треугольник

Тип треугольника

Рис. 1 Равнобедренный узкий треугольник

В тригонометрии тощий треугольник — это треугольник , высота которого намного больше его основания. Решение таких треугольников можно значительно упростить, если использовать приближение, согласно которому синус малого угла равен этому углу в радианах . Решение особенно просто для тонких треугольников, которые также являются равнобедренными или прямоугольными : в этих случаях можно полностью отказаться от использования тригонометрических функций или таблиц .

Тонкий треугольник находит применение в геодезии, астрономии и стрельбе.

Равнобедренный треугольник

Приближенное решение тонкого равнобедренного треугольника, приведенное на рисунке 1, выглядит следующим образом:

${\displaystyle b\approx r\theta \,}$

${\displaystyle {\text{area}}\approx {\frac {1}{2}}\theta r^{2}\,}$

Это основано на малоугловых приближениях :

${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,\quad \theta \ll 1\,}$

и

${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\approx 1,\quad \theta \ll 1}$

когда в радианах . ${\displaystyle \scriptstyle \theta }$

Доказательство решения тонкого треугольника следует из приближения малых углов с применением закона синусов . Опять обращаясь к рисунку 1:

${\displaystyle {\frac {b}{\sin \theta }}={\frac {r}{\sin \left({\frac {\pi -\theta }{2}}\right)}}}$

Этот термин представляет собой основной угол треугольника и является этим значением, поскольку сумма внутренних углов любого треугольника (в данном случае два основных угла плюс θ ) равна π. Применение приближений малых углов к приведенному выше закону синусов приводит к ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi -\theta }{2}}}$

${\displaystyle {\frac {b}{\theta }}\approx {\frac {r}{1}}}$

что является желаемым результатом.

Рис.2 Длина дуги l приближается к длине хорды b при уменьшении угла θ .

Этот результат эквивалентен предположению, что длина основания треугольника равна длине дуги окружности радиуса r , опирающейся на угол θ . Ошибка составляет 10% или менее для углов менее 43° ^{[2] и увеличивается квадратично: когда угол уменьшается в} k раз , ошибка уменьшается на k ² .

Формула стороны-угла-стороны для площади треугольника:

${\displaystyle {\text{area}}={\frac {\sin \theta }{2}}r^{2}}$

Применение приближений малых углов приводит к

${\displaystyle {\text{area}}\approx {\frac {1}{2}}\theta r^{2}\,}$

Прямоугольный треугольник

Рис.3 Правильный узкий треугольник

Приближенное решение правильного узкого треугольника, представленное на рисунке 3, выглядит следующим образом:

${\displaystyle b\approx h\theta }$

Это основано на малоугловом приближении

${\displaystyle \tan \theta \approx \theta ,\quad \theta \ll 1}$

которое при подстановке в точное решение

${\displaystyle b=h\tan \theta \ }$

дает желаемый результат.

Погрешность этого приближения составляет менее 10% для углов 31° и менее. ^[3]

Приложения

Применение тонкого треугольника встречается в любой ситуации, когда необходимо определить расстояние до дальнего объекта. Это может произойти в геодезии, астрономии, а также имеет военное применение.

Астрономия

Тонкий треугольник часто используется в астрономии для измерения расстояния до объектов Солнечной системы . Основание треугольника образовано расстоянием между двумя измерительными станциями, а угол θ — это угол параллакса , образуемый объектом, видимым с двух станций. Для обеспечения максимальной точности эта базовая линия обычно очень длинная; в принципе станции могли бы находиться на противоположных сторонах Земли . Однако это расстояние все еще мало по сравнению с расстоянием до измеряемого объекта (высотой треугольника), и можно применить решение с тонким треугольником и при этом добиться высокой точности. Альтернативный метод измерения углов основания теоретически возможен, но не столь точен. Базовые углы очень близки к прямым, и их необходимо измерять с гораздо большей точностью, чем угол параллакса, чтобы получить такую ​​​​же точность. ^[4]

Тот же метод измерения углов параллакса и применения тонкого треугольника можно использовать для измерения расстояний до звезд, по крайней мере, до ближайших звезд. Однако в случае звезд обычно требуется более длинная базовая линия, чем диаметр Земли. Вместо использования двух станций на базовой линии два измерения проводятся с одной и той же станции в разное время года. В течение этого периода орбита Земли вокруг Солнца перемещает измерительную станцию ​​на большое расстояние, обеспечивая очень длинную базовую линию. Эта базовая линия может иметь длину, равную большой оси орбиты Земли или, что эквивалентно, двум астрономическим единицам (а.е.). Расстояние до звезды с углом параллакса всего в одну угловую секунду , измеренное на базе одной а.е., представляет собой единицу, известную в астрономии как парсек (пк), и равно примерно 3,26 световых лет . ^[5] Существует обратная зависимость между расстоянием в парсеках и углом в угловых секундах. Например, две угловые секунды соответствуют расстоянию в 0,5 пк , а 0,5 угловые секунды соответствуют расстоянию в два парсека. ^[6]

артиллерийское дело

Тонкий треугольник полезен в артиллерийском деле, поскольку позволяет вычислить взаимосвязь между дальностью и размером цели без необходимости стрелку вычислять или искать какие-либо тригонометрические функции . Военные и охотничьи оптические прицелы часто имеют сетку , откалиброванную в миллирадианах , которые в этом контексте обычно называют просто милами или милточками. Мишень высотой 1 метр и диаметром прицела 1 мил соответствует дальности 1000 метров. Существует обратная зависимость между углом, измеряемым в снайперском прицеле, и расстоянием до цели. Например, если размер этой же цели в прицеле составляет 2 мила , то дальность составит 500 метров. ^[7]

Еще одна единица измерения, которая иногда используется в прицелах, — это угловая минута (МОА). Расстояния, соответствующие угловым минутам, не являются точными числами в метрической системе , как в миллирадианах; однако существует удобное приблизительное соответствие целых чисел в имперских единицах . Мишень высотой 1 дюйм и диаметром прицела 1 МОА соответствует дальности 100 ярдов . ^[7] Или, что, возможно, более полезно, цель высотой 6 футов и размером 4 МОА соответствует дальности действия 1800 ярдов (чуть более мили).

Авиация

Простая форма авиационной навигации, счисление пути , основана на оценке скорости ветра на больших расстояниях для расчета желаемого курса. Поскольку прогнозируемые или сообщаемые скорости ветра редко бывают точными, необходимо регулярно вносить поправки в курс самолета. Тонкие треугольники составляют основу правила 1 из 60 , которое гласит: «Проехав 60 миль, ваш курс отклоняется на один градус на каждую милю отклонения от курса». «60» очень близко к 180/π = 57,30.

Смотрите также

• Приближение малого угла
• Бесконечно малые колебания маятника.

Рекомендации

1. Васан (2004), с. 124.
2. Абелл, Моррисон и Вольф (1987), стр. 414–415; Брейтаупт (2000), с. 26.
3. Холброу и др. (2010), стр. 30–31.
4. Абелл, Моррисон и Вольф (1987), стр. 414.
5. Абелл, Моррисон и Вольф (1987), Внутренняя сторона обложки.
6. Абелл, Моррисон и Вольф (1987), стр. 414–416, 418–419.
7. Варлоу (1996), с. 87.

Библиография

• Абелл, Джордж Огден; Моррисон, Дэвид; Вольф, Сидни К. (1987). Исследование Вселенной. Паб Saunders College. ISBN 0-03-005143-6.
• Брейтаупт, Джим (2000). Физика для продвинутого уровня. Нельсон Торнс. ISBN 0-7487-4315-4.
• Холброу, Чарльз Х.; Ллойд, Джеймс Н.; Амато, Джозеф К.; Гальвез, Энрике; Паркс, Бет (2010). Современная вводная физика. Springer Science & Business Media . ISBN 0-387-79079-9.
• Васан, Шрини (2004). Основы фотоники и оптики. Траффорд Паблишинг. ISBN 1-4120-4138-4.
• Варлоу, Том А. (1996). Огнестрельное оружие, закон и судебная баллистика . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-7484-0432-5.