Математическое образование

Преподавание, обучение и научные исследования в области математики

Ребенок считает на пальцах (2006)

В современном образовании математическое образование , известное в Европе как дидактика или педагогика математики , представляет собой практику преподавания , изучения и проведения научных исследований в области передачи математических знаний.

Хотя исследования в области математического образования в первую очередь касаются инструментов, методов и подходов, которые облегчают практику или изучение практики, они также охватывают обширную область исследований, охватывающую множество различных концепций, теорий и методов. Национальные и международные организации регулярно проводят конференции и публикуют литературу с целью улучшения математического образования.

История

Древний

Элементарная математика была основной частью образования во многих древних цивилизациях, включая Древний Египет , Древнюю Вавилонию , Древнюю Грецию , Древний Рим и Ведическую Индию . ^{[ требуется ссылка ]} В большинстве случаев формальное образование было доступно только детям мужского пола с достаточно высоким статусом, богатством или кастой . ^{[ требуется ссылка ]} Самым старым известным учебником математики является папирус Ринда , датируемый примерно 1650 годом до нашей эры. ^[1]

Теорема Пифагора

Историки Месопотамии подтвердили, что использование правила Пифагора восходит к Древневавилонской империи (20–16 вв. до н. э.) и что оно преподавалось в школах писцов более чем за тысячу лет до рождения Пифагора . ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

В разделении Платоном свободных искусств на тривиум и квадривиум квадривиум включал математические области арифметики и геометрии . Эта структура была продолжена в структуре классического образования , которая была разработана в средневековой Европе. Обучение геометрии почти повсеместно основывалось на «Началах » Евклида . Ученики таких ремесел, как каменщики, торговцы и ростовщики, могли рассчитывать на изучение такой практической математики, которая была актуальна для их профессии.

Средневековье и раннее Новое время

Иллюстрация к началу перевода « Начал» Евклида XIV века

В средние века академический статус математики снизился, поскольку она была тесно связана с торговлей и коммерцией и считалась несколько нехристианской. ^[7] Хотя ее продолжали преподавать в европейских университетах , она рассматривалась как подчиненная изучению естественной , метафизической и моральной философии . Первая современная арифметическая учебная программа (начиная со сложения , затем вычитания , умножения и деления ) возникла в школах счисления в Италии в 1300-х годах. ^[8] Распространяясь по торговым путям, эти методы были разработаны для использования в торговле. Они контрастировали с платоновской математикой, преподаваемой в университетах, которая была более философской и касалась чисел как концепций, а не методов расчета. ^[8] Они также контрастировали с математическими методами, изучаемыми учениками ремесленников , которые были специфичны для задач и инструментов под рукой. Например, деление доски на трети можно выполнить с помощью куска веревки, вместо того чтобы измерять длину и использовать арифметическую операцию деления. ^[7]

Первые учебники по математике, написанные на английском и французском языках, были опубликованы Робертом Рекордом , начиная с The Grounde of Artes в 1543 году. Однако существует множество различных трудов по математике и методологии математики, которые датируются 1800 годом до нашей эры. Они были в основном расположены в Месопотамии, где шумеры практиковали умножение и деление. Есть также артефакты, демонстрирующие их методологию решения уравнений, таких как квадратное уравнение . После шумеров некоторые из самых известных древних трудов по математике пришли из Египта в форме математического папируса Ринда и московского математического папируса . Более известный папирус Ринда датируется примерно 1650 годом до нашей эры, но считается, что он является копией еще более древнего свитка. Этот папирус был по сути ранним учебником для египетских студентов.

Социальный статус математических исследований повысился к XVII веку: в 1613 году в Абердинском университете была создана кафедра математики, в 1619 году в Оксфордском университете была открыта кафедра геометрии , а в 1662 году в Кембриджском университете была основана кафедра математики имени Лукаса .

Современный

В XVIII и XIX веках промышленная революция привела к огромному росту городского населения. Базовые навыки счета, такие как умение определять время, считать деньги и выполнять простые арифметические действия , стали необходимыми в этом новом городском образе жизни. В новых системах государственного образования математика стала центральной частью учебной программы с раннего возраста.

К двадцатому веку математика вошла в базовую учебную программу во всех развитых странах .

В течение двадцатого века математическое образование было создано как независимая область исследований. Основные события в этом развитии включают в себя следующее:

• В 1893 году в Гёттингенском университете была создана кафедра математического образования под руководством Феликса Клейна .
• Международная комиссия по преподаванию математики (ICMI) была основана в 1908 году, и Феликс Кляйн стал первым президентом организации.
• Профессиональная периодическая литература по математическому образованию в Соединенных Штатах после 1920 года породила более 4000 статей, поэтому в 1941 году Уильям Л. Шааф опубликовал классифицированный указатель , рассортировав их по различным темам. ^[9]
• В 1960-х годах интерес к математическому образованию вновь возрос, и Международная комиссия была реанимирована.
• В 1968 году в Ноттингеме был основан Центр математического образования имени Шелла .
• Первый Международный конгресс по математическому образованию (ICME) состоялся в Лионе в 1969 году. Второй конгресс состоялся в Эксетере в 1972 году, и с тех пор он проводится каждые четыре года.

В середине двадцатого века культурное влияние « электронного века » (Маклюэн) также было воспринято образовательной теорией и преподаванием математики. В то время как предыдущий подход был сосредоточен на «работе со специализированными „задачами“ в арифметике », возникающий структурный подход к знаниям заставил «маленьких детей размышлять о теории чисел и „ множествах “». ^[10] С 1980-х годов было предпринято несколько попыток реформировать традиционную учебную программу, которая фокусируется на непрерывной математике и относит даже некоторые базовые дискретные концепции к продвинутому изучению, чтобы лучше сбалансировать охват непрерывной и дискретной сторон предмета: ^[11]

• В 1980-х и начале 1990-х годов предпринимались попытки сделать дискретную математику более доступной на уровне послесреднего образования;
• С конца 1980-х годов и в новом тысячелетии такие страны, как США, начали определять и стандартизировать наборы тем по дискретной математике для начального и среднего образования;
• Одновременно с этим ученые начали составлять практические советы по внедрению тем дискретной математики в учебный процесс;
• Исследователи продолжали утверждать о срочности перехода на протяжении 2000-х годов; и
• Параллельно некоторые авторы учебников начали работать над материалами, специально разработанными для обеспечения большей сбалансированности.

Аналогичные усилия также предпринимаются для того, чтобы сместить акцент на математическое моделирование, а также на его связь с дискретной математикой. ^[12]

Цели

Мальчик решает арифметические задачи, Гвинея-Бисау, 1974 г.

В разное время и в разных культурах и странах математическое образование пыталось достичь различных целей. Эти цели включали:

• Обучение и изучение основных навыков счета для всех учащихся ^[13]
• Преподавание практической математики ( арифметика , элементарная алгебра , плоская и стереометрия , тригонометрия , вероятность , статистика ) большинству студентов с целью подготовить их к профессии или ремеслу и понять математику, обычно используемую в новостях и Интернете (например , проценты , диаграммы , вероятность и статистика ).
• Обучение абстрактным математическим понятиям (таким как множество и функция ) в раннем возрасте
• Преподавание отдельных разделов математики (например, евклидовой геометрии ) ^[14] как примера аксиоматической системы ^[15] и модели дедуктивного рассуждения
• Преподавание отдельных разделов математики (например, исчисления ) как примера интеллектуальных достижений современного мира.
• Преподавание высшей математики студентам, желающим построить карьеру в области науки, технологий, инженерии и математики (STEM).
• Обучение эвристике ^[16] и другим стратегиям решения проблем для решения нестандартных задач
• Преподавание математики в социальных науках и актуарных науках , а также в некоторых избранных видах искусств в рамках гуманитарного образования в гуманитарных колледжах или университетах

Методы

Метод или методы, используемые в любом конкретном контексте, в значительной степени определяются целями, которые пытается достичь соответствующая образовательная система. Методы обучения математике включают в себя следующее:

Игры могут мотивировать учеников улучшать навыки, которые обычно заучиваются наизусть. В «Числовом бинго» игроки бросают 3 кубика, затем выполняют основные математические операции с этими числами, чтобы получить новое число, которое они закрывают на доске, пытаясь закрыть 4 клетки в ряд. В эту игру играли на «Дне открытий», организованном Big Brother Mouse в Лаосе.

• Компьютерная математика : подход, основанный на использовании математического программного обеспечения в качестве основного инструмента вычислений.
• Компьютерное математическое образование : предполагает использование компьютеров для обучения математике. Также были разработаны мобильные приложения, чтобы помочь студентам изучать математику. ^{[17] [18] [19]}
• Классическое образование : преподавание математики в квадривиуме , часть классической образовательной программы Средних веков , которая, как правило, основывалась на «Началах » Евклида, преподаваемых как парадигма дедуктивного мышления . ^[20]
• Традиционный подход : постепенное и систематическое руководство по иерархии математических понятий, идей и методов. Начинается с арифметики и продолжается евклидовой геометрией и элементарной алгеброй, преподаваемыми одновременно. Требует от преподавателя хорошей осведомленности об элементарной математике, поскольку дидактические и учебные решения часто диктуются логикой предмета, а не педагогическими соображениями. Другие методы возникают путем подчеркивания некоторых аспектов этого подхода.
• Реляционный подход : использует темы класса для решения повседневных проблем и связывает тему с текущими событиями. ^[21] Этот подход фокусируется на многочисленных применениях математики и помогает учащимся понять, почему им нужно ее знать, а также помогает им применять математику в реальных ситуациях за пределами классной комнаты.
• Исторический метод : обучение развитию математики в историческом, социальном и культурном контексте. Сторонники утверждают, что он обеспечивает больший человеческий интерес , чем традиционный подход. ^[22]
• Discovery math : конструктивистский метод обучения ( обучение через открытие ) математике, который сосредоточен вокруг проблемно-ориентированного или исследовательского обучения с использованием открытых вопросов и манипулятивных инструментов. ^[23] Этот тип математического образования был внедрен в различных частях Канады, начиная с 2005 года. ^[24] Discovery math находится на переднем крае канадских дебатов о « математических войнах », и многие критикуют его за снижение оценок по математике.
• Новая математика : метод обучения математике, который фокусируется на абстрактных концепциях, таких как теория множеств , функции и основания, отличные от десяти. Принятый в США в ответ на вызов раннего советского технического превосходства в космосе, он начал подвергаться сомнению в конце 1960-х годов. Одним из самых влиятельных критических замечаний Новой математики была книга Морриса Клайна 1973 года « Почему Джонни не умеет складывать» . Метод Новой математики был темой одной из самых популярных пародийных песен Тома Лерера , с его вступительными замечаниями к песне: «...в новом подходе, как вы знаете, важно понимать, что вы делаете, а не получать правильный ответ».
• Занимательная математика : занимательные математические задачи могут мотивировать учащихся изучать математику и могут повысить их интерес к математике. ^[25]
• Математика, основанная на стандартах : концепция довузовского математического образования в Соединенных Штатах и ​​Канаде , направленная на углубление понимания учащимися математических идей и процедур и формализованная Национальным советом преподавателей математики , который разработал Принципы и стандарты школьной математики .
• Мастерство : подход, при котором от большинства студентов ожидается достижение высокого уровня компетентности, прежде чем продолжить обучение.
• Решение проблем : развитие математической изобретательности, креативности и эвристического мышления путем постановки перед учащимися открытых, необычных и иногда нерешаемых задач . Задачи могут варьироваться от простых текстовых задач до задач из международных математических соревнований , таких как Международная математическая олимпиада . Решение проблем используется как средство для формирования новых математических знаний, как правило, путем построения предыдущих знаний учащихся.
• Упражнения : закрепление математических навыков путем выполнения большого количества упражнений одного типа, таких как сложение простых дробей или решение квадратных уравнений .
• Зубрежка : обучение математическим результатам, определениям и концепциям путем повторения и запоминания, как правило, без смысла или с опорой на математические рассуждения . Смехотворный термин — «дрючить и убивать» . В традиционном образовании зубрежка используется для обучения таблицам умножения , определениям, формулам и другим аспектам математики.
• Математическая прогулка : прогулка, в которой опыт восприятия объектов и сцен переводится на математический язык.

Содержание и возрастные уровни

Лекция по математике в Школе науки и технологий Университета Аалто

Различные уровни математики преподаются в разном возрасте и в несколько разной последовательности в разных странах. Иногда класс может преподаваться в более раннем возрасте, чем обычно, как специальный или почетный класс .

Элементарная математика в большинстве стран преподается одинаково, хотя есть и различия. Большинство стран, как правило, охватывают меньше тем более глубоко, чем в Соединенных Штатах. ^[26] В начальных классах школы дети изучают целые числа и арифметику, включая сложение, вычитание, умножение и деление. ^[27] Сравнения и измерения преподаются как в числовой, так и в изобразительной форме, а также дроби и пропорциональность , закономерности и различные темы, связанные с геометрией. ^[28]

На уровне средней школы в большинстве штатов США алгебра , геометрия и анализ ( предварительное исчисление и исчисление ) преподаются как отдельные курсы в разные годы. С другой стороны, в большинстве других стран (и в нескольких штатах США) математика преподается как интегрированный предмет, с темами из всех разделов математики, изучаемыми каждый год; таким образом, студенты проходят заранее определенный курс - влекущий за собой несколько тем - вместо того, чтобы выбирать курсы à la carte, как в Соединенных Штатах. Однако даже в этих случаях может быть предложено несколько вариантов "математики", выбранных на основе предполагаемого обучения студента после окончания средней школы. (В Южной Африке, например, предлагаются следующие варианты: математика, математическая грамотность и техническая математика.) Таким образом, учебная программа, ориентированная на естественные науки, обычно перекрывает первый год обучения математике в университете и включает дифференциальное исчисление и тригонометрию в возрасте 16–17 лет, а также интегральное исчисление , комплексные числа , аналитическую геометрию , показательные и логарифмические функции и бесконечные ряды в последний год обучения в средней школе; вероятность и статистика также часто преподаются.

На уровне колледжа и университета студенты, изучающие естественные науки и технику, должны будут изучать многомерное исчисление , дифференциальные уравнения и линейную алгебру ; в нескольких колледжах США второстепенная специальность или AS по математике по существу включает эти курсы. Специальности по математике изучают дополнительные другие области в рамках чистой математики — и часто в прикладной математике — с требованием определенных продвинутых курсов по анализу и современной алгебре . Другие темы в чистой математике включают дифференциальную геометрию , теорию множеств и топологию . Прикладная математика может рассматриваться как основной предмет сама по себе, например, уравнения в частных производных , оптимизация и численный анализ . Конкретные темы преподаются в рамках других курсов: например, инженеры-строители могут быть обязаны изучать механику жидкости , ^[29] а «математика для компьютерных наук» может включать теорию графов , перестановку , вероятность и формальные математические доказательства . ^[30] Степени по чистой и прикладной математике часто включают модули по теории вероятностей или математической статистике , а также стохастические процессы . ( Теоретическая ) физика — это предмет с интенсивным использованием математики, часто существенно пересекающийся с чистой или прикладной математикой. Деловая математика обычно ограничивается вводным исчислением и (иногда) матричными вычислениями; экономические программы дополнительно охватывают оптимизацию , часто дифференциальные уравнения и линейную алгебру , а иногда и анализ.

Стандарты

На протяжении большей части истории стандарты математического образования устанавливались на местном уровне отдельными школами или учителями в зависимости от уровня успеваемости, который был актуален, реалистичен и считался социально приемлемым для их учеников.

В наше время наблюдается движение в сторону региональных или национальных стандартов, обычно под эгидой более широкой стандартной школьной программы. Например, в Англии стандарты математического образования устанавливаются как часть Национальной учебной программы Англии, ^[31] в то время как Шотландия сохраняет свою собственную образовательную систему. Во многих других странах есть централизованные министерства, которые устанавливают национальные стандарты или учебные программы, а иногда даже учебники.

Ма (2000) обобщил исследования других, которые обнаружили, основываясь на общенациональных данных, что учащиеся с более высокими баллами на стандартизированных тестах по математике изучали больше курсов математики в средней школе. Это привело к тому, что некоторые штаты стали требовать три года математики вместо двух. Но поскольку это требование часто выполнялось путем изучения другого курса математики более низкого уровня, дополнительные курсы имели «разбавленный» эффект в повышении уровня достижений. ^[32]

В Северной Америке Национальный совет учителей математики (NCTM) опубликовал Принципы и стандарты школьной математики в 2000 году для Соединенных Штатов и Канады, что усилило тенденцию к реформированию математики . В 2006 году NCTM выпустил Основные положения учебной программы , в которых рекомендуются наиболее важные математические темы для каждого класса вплоть до 8-го класса. Однако эти стандарты были руководящими принципами для внедрения по выбору американских штатов и канадских провинций. В 2010 году Центр передовой практики Национальной ассоциации губернаторов и Совет главных должностных лиц государственных школ опубликовали Общие основные стандарты для штатов США, которые впоследствии были приняты большинством штатов. Принятие общих основных стандартов по математике остается на усмотрение каждого штата и не является обязательным для федерального правительства. ^[33] «Штаты регулярно пересматривают свои академические стандарты и могут выбирать, изменять или дополнять стандарты, чтобы наилучшим образом удовлетворять потребности своих учеников». ^[34] У NCTM есть филиалы в штатах, которые имеют различные стандарты образования на уровне штата. Например, в Миссури есть Совет учителей математики Миссури (MCTM), на сайте которого перечислены основные принципы и стандарты образования. MCTM также предлагает учителям и будущим учителям возможности членства, чтобы они могли быть в курсе изменений в стандартах обучения математике. ^[35]

Программа международной оценки учащихся (PISA), созданная Организацией экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), является глобальной программой, изучающей способности 15-летних учащихся к чтению, естественным наукам и математике. ^[36] Первая оценка была проведена в 2000 году с участием 43 стран. ^[37] PISA повторяет эту оценку каждые три года, чтобы предоставить сопоставимые данные, помогая направлять глобальное образование для лучшей подготовки молодежи к будущим экономикам. Было много ответвлений после результатов трехгодичных оценок PISA из-за неявных и явных ответов заинтересованных сторон, которые привели к реформе образования и изменению политики. ^{[37] [38] [23]}

Исследовать

По словам Хиберта и Гроувса, «Надежных, полезных теорий обучения в классе пока не существует». ^[39] Однако существуют полезные теории о том, как дети изучают математику, и в последние десятилетия было проведено много исследований, чтобы изучить, как эти теории можно применить к обучению. Следующие результаты являются примерами некоторых текущих открытий в области математического образования.

Важные результаты[39]

Один из самых сильных результатов недавних исследований заключается в том, что важнейшей чертой эффективного обучения является предоставление студентам «возможности учиться». Учителя могут устанавливать ожидания, время, типы заданий, вопросы, приемлемые ответы и типы обсуждений, которые будут влиять на возможности студентов учиться. Это должно включать как эффективность навыков, так и концептуальное понимание.

Концептуальное понимание[39]

Две из самых важных особенностей обучения в содействии концептуальному пониманию времени — это явное внимание к концепциям и предоставление учащимся возможности бороться с важной математикой. Обе эти особенности были подтверждены в ходе самых разных исследований. Явное внимание к концепциям подразумевает установление связей между фактами, процедурами и идеями. (Это часто рассматривается как одна из сильных сторон преподавания математики в странах Восточной Азии, где учителя обычно уделяют около половины своего времени установлению связей. На другом полюсе находятся США, где в школьных классах по сути не устанавливаются связи. ^[40] ) Эти связи могут быть установлены посредством объяснения значения процедуры, вопросов, сравнивающих стратегии и решения проблем, отмечая, как одна проблема является частным случаем другой, напоминая учащимся о главном, обсуждая, как связаны уроки, и так далее.

Намеренная, продуктивная борьба с математическими идеями относится к тому факту, что когда студенты прилагают усилия с важными математическими идеями, даже если эта борьба изначально включает в себя путаницу и ошибки, результатом становится большее обучение. Это верно независимо от того, вызвана ли борьба намеренно сложным, хорошо реализованным обучением или непреднамеренно запутанным, ошибочным обучением.

Формирующее оценивание[41]

Формативное оценивание — это лучший и самый дешевый способ повысить успеваемость учащихся, вовлеченность учащихся и профессиональную удовлетворенность учителей. Результаты превосходят результаты сокращения размера класса или повышения уровня знаний учителей. Эффективное оценивание основано на разъяснении того, что должны знать учащиеся, создании соответствующих видов деятельности для получения необходимых доказательств, предоставлении хорошей обратной связи, поощрении учащихся контролировать свое обучение и предоставлении учащимся возможности быть ресурсами друг для друга.

Домашнее задание[42]

Домашние задания, которые побуждают учеников практиковать прошлые уроки или готовиться к будущим урокам, более эффективны, чем те, которые повторяют текущий урок. Учащиеся получают пользу от обратной связи. Учащиеся с трудностями в обучении или низкой мотивацией могут получить пользу от вознаграждений. Для детей младшего возраста домашние задания помогают простым навыкам, но не более широким показателям достижений.

Студенты с трудностями[42]

Учащиеся с реальными трудностями (не связанными с мотивацией или прошлым обучением) испытывают трудности с основными фактами , отвечают импульсивно, испытывают трудности с ментальными представлениями, имеют плохое чувство числа и плохую кратковременную память. Методы, которые были признаны продуктивными для помощи таким учащимся, включают обучение с помощью сверстников, явное обучение с наглядными пособиями, обучение, основанное на формирующем оценивании , и поощрение учащихся думать вслух.

В частности, исследования, касающиеся учащихся с ограниченными возможностями в классе математики, в основном проводятся исследователями специального образования. Некоторые исследователи математического образования призвали к более тесному сотрудничеству между дисциплинами, чтобы лучше понять поддержку, которая может быть полезна учащимся математики с ограниченными возможностями. ^[43]

Алгебраическое рассуждение[42]

Детям начальной школы нужно потратить много времени на то, чтобы научиться выражать алгебраические свойства без символов, прежде чем изучать алгебраическую нотацию. При изучении символов многие ученики считают, что буквы всегда представляют неизвестные, и испытывают трудности с понятием переменной . Они предпочитают арифметические рассуждения алгебраическим уравнениям для решения текстовых задач. Требуется время, чтобы перейти от арифметических к алгебраическим обобщениям для описания закономерностей. Ученики часто испытывают трудности со знаком минус и понимают, что знак равенства означает «ответ равен...».

Культурное равенство

Несмотря на распространенное мнение, что математика нейтральна по отношению к расе, некоторые исследования ^[44] предполагают, что эффективное преподавание математики для студентов с культурным многообразием требует культурно релевантной педагогики , которая учитывает культурное происхождение и опыт студентов. Три критерия культурно релевантной педагогики — это академический успех, культурная компетентность и критическое сознание. Более поздние исследования ^[45] предполагают, что культурно поддерживающая педагогика явно направлена ​​на сохранение и поощрение культурного и языкового плюрализма в образовательной системе, гарантируя, что студенты могут процветать, сохраняя при этом свою культурную идентичность.

Подготовка учителей математики

Обучение студентов является важнейшей частью пути кандидата в учителя к становлению учителем. Рекомендуемая реформа в образовании учителей математики включает фокус на обучении предвосхищать, вызывать и использовать математическое мышление студентов в качестве основной цели, в отличие от моделей с чрезмерным акцентом на управлении классом и выживании ^[46] .

Методология

Как и в случае с другими образовательными исследованиями (и социальными науками в целом), исследования в области математического образования зависят как от количественных, так и от качественных исследований. Количественные исследования включают исследования, которые используют инференциальную статистику для ответа на конкретные вопросы, например, дает ли определенный метод обучения значительно лучшие результаты, чем статус-кво. Лучшие количественные исследования включают рандомизированные испытания, в которых ученикам или классам случайным образом назначаются различные методы для проверки их эффектов. Они зависят от больших выборок для получения статистически значимых результатов.

Качественные исследования , такие как тематические исследования , исследования действий , анализ дискурса и клинические интервью , зависят от небольших, но целенаправленных выборок в попытке понять обучение студентов и посмотреть, как и почему данный метод дает результаты. Такие исследования не могут окончательно установить, что один метод лучше другого, как рандомизированные испытания, но если не понять, почему лечение X лучше лечения Y, применение результатов количественных исследований часто будет приводить к «летальным мутациям» ^[39] результатов в реальных классах. Исследовательские качественные исследования также полезны для предложения новых гипотез , которые в конечном итоге могут быть проверены с помощью рандомизированных экспериментов. Поэтому как качественные, так и количественные исследования считаются существенными в образовании — так же, как и в других социальных науках. ^[47] Многие исследования являются «смешанными», одновременно сочетая аспекты как количественных, так и качественных исследований, по мере необходимости.

Рандомизированные испытания

Были некоторые разногласия относительно относительной силы различных типов исследований. Из-за мнения, что рандомизированные испытания дают четкие, объективные доказательства того, «что работает», политики часто рассматривают только эти исследования. Некоторые ученые настаивали на большем количестве случайных экспериментов, в которых методы обучения случайным образом назначаются классам. ^{[48] [49]} В других дисциплинах, связанных с людьми, таких как биомедицина , психология и оценка политики, контролируемые рандомизированные эксперименты остаются предпочтительным методом оценки лечения. ^{[50] [51]} Педагогические статистики и некоторые преподаватели математики работали над увеличением использования рандомизированных экспериментов для оценки методов обучения. ^[49] С другой стороны, многие ученые в образовательных школах выступали против увеличения количества рандомизированных экспериментов, часто из-за философских возражений, таких как этическая сложность случайного назначения учащихся на различные виды лечения, когда эффекты таких видов лечения еще не известны как эффективные, ^[52] или сложность обеспечения жесткого контроля независимой переменной в изменчивых реальных школьных условиях. ^[53]

В Соединенных Штатах Национальная консультативная группа по математике (NMAP) опубликовала отчет в 2008 году, основанный на исследованиях, некоторые из которых использовали рандомизированное назначение лечения экспериментальным единицам , таким как классы или студенты. Предпочтение отчета NMAP рандомизированным экспериментам подверглось критике со стороны некоторых ученых. ^[54] В 2010 году What Works Clearinghouse (по сути, исследовательское подразделение Министерства образования ) отреагировал на продолжающиеся споры, расширив свою исследовательскую базу, включив в нее неэкспериментальные исследования, включая планы разрыва регрессии и исследования отдельных случаев . ^[55]

Организации

• Консультативный комитет по математическому образованию
• Американская математическая ассоциация двухгодичных колледжей
• Ассоциация учителей математики
• Канадское математическое общество
• Институт CD Howe
• Математическая Ассоциация
• Национальный совет учителей математики
• ОЭСР
• Международная ассоциация по оценке образовательных достижений
• Ассоциация преподавателей математики

Смотрите также

Аспекты математического образования

• Когнитивно-ориентированное обучение
• Критическая математическая педагогика
• Этноматематика
• Числовое предложение , начальное математическое образование
• Предварительные математические навыки
• Сэр Камференс , серия обучающих книг по математике для детей
• Статистическое образование

Проблемы Северной Америки

• Математическое образование в Соединенных Штатах

Математические трудности

• Дискалькулия
• Математическая тревожность

Ссылки

1. Дадли, Андервуд (апрель 2002 г.). «Первый в мире учебник математики». Math Horizons . 9 (4). Taylor & Francis, Ltd.: 8–11. doi :10.1080/10724117.2002.11975154. JSTOR  25678363. S2CID  126067145.
2. Нойгебауэр, Отто (1969). Точные науки в древности . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 36. ISBN 978-0-486-22332-2. Другими словами, на протяжении всего периода существования вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы.
3. Фриберг, Йоран (1981). «Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322, Пифагоровые тройки и уравнения параметров вавилонского треугольника». Historia Mathematica . 8 : 277–318. doi : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .: стр. 306 «Хотя Plimpton 322 является уникальным текстом в своем роде, существует несколько других известных текстов, свидетельствующих о том, что теорема Пифагора была хорошо известна математикам древневавилонского периода».
4. Хойруп, Йенс . «Пифагорейское «Правило» и «Теорема» - зеркало связи между вавилонской и греческой математикой». В Ренгере, Йоханнес (ред.). Вавилон: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Международный коллоквиум Deutschen Orient-Gesellschaft 24–26. Март 1998 г. в Берлине (PDF) . Берлин: Deutsche Orient-Gesellschaft / Саарбрюккен: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. стр. 393–407. Архивировано (PDF) из оригинала 25 февраля 2021 г. Проверено 15 ноября 2022 г., стр. 406, « Судя только по этим свидетельствам, можно предположить, что правило Пифагора было открыто в среде землемеров-любителей, возможно, как побочный продукт проблемы, рассмотренной в Db ₂ -146, где-то между 2300 и 1825 годами до н. э.» ( Db ₂ -146 — это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунны, посвященная вычислению сторон прямоугольника по его площади и диагонали.)
5. Робсон, Э. (2008). Математика в Древнем Ираке: Социальная история . Princeton University Press.: стр. 109 «Многие древневавилонские математики-практики … знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет ту же площадь, что и сумма квадратов длины и ширины: это соотношение используется в проработанных решениях текстовых задач по «алгебре» с вырезанием и вставкой на семи различных табличках из Эшнуны, Сиппара, Суз и неизвестного места на юге Вавилонии».
6. Фергюсон, Китти (2010). Пифагор: его жизни и наследие рациональной Вселенной . Лондон: Icon. стр. 78–84. ISBN 978-184831-231-9.
7. Габриэль Эмануэль (23 июля 2016 г.). «Почему мы изучаем уроки математики, которым 500 лет». National Public Radio . Архивировано из оригинала 10 апреля 2018 г. Получено 10 апреля 2018 г.
8. "Почему мы изучаем уроки математики, которым 500 лет". NPR.org . Архивировано из оригинала 2018-04-10 . Получено 2018-04-10 .
9. Уильям Л. Шааф (1941) Библиография математического образования. Архивировано 10 января 2020 г. в Wayback Machine , Форест-Хиллз, Нью-Йорк: Stevinus Press, ссылка из HathiTrust
10. Маршалл Маклюэн (1964) Понимание медиа , стр. 13 "Маклюэн: Понимание медиа". Архивировано из оригинала 2008-12-08 . Получено 2007-09-04 .
11. Харт, Эрик В.; Мартин, В. Гэри (2018). «Дискретная математика — это необходимая математика в школьной программе 21-го века». Преподавание и изучение дискретной математики во всем мире: учебная программа и исследования . Монографии ICME-13. стр. 3–19. doi :10.1007/978-3-319-70308-4_1. ISBN 978-3-319-70307-7.
12. Greefrath, Gilbert; Siller, Hans‑Stefan; Vorhölter, Katrin; Kaiser, Gabriele (2022). «Математическое моделирование и дискретная математика: возможности для современного преподавания математики». ZDM–Mathematics Education . 54 (4): 865–879. doi :10.1007/s11858-022-01339-5. hdl : 11250/3054903 . PMC 8908952. PMID 35291444  . 
13. Образование, McGraw-Hill (2017-10-20). "5 подходов к обучению счету в дошкольном образовании и 12 классах". Вдохновленные идеи . Архивировано из оригинала 2021-12-26 . Получено 2019-02-12 .
14. "Евклидова геометрия". www.pitt.edu . Архивировано из оригинала 2019-01-30 . Получено 2019-02-12 .
15. "Аксиоматические системы". web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 2019-07-17 . Получено 2019-02-12 .
16. "Эвристика". theory.stanford.edu . Архивировано из оригинала 2019-04-06 . Получено 2019-02-12 .
17. «Сдача экзаменов по математике стала проще для студентов с новой платформой: Mathematica - Techzim». Techzim . 2018-06-16. Архивировано из оригинала 2018-06-19 . Получено 2018-06-19 .
18. "5 приложений, которые помогут всем студентам с математикой". Технологические решения, которые стимулируют образование . 2017-10-13. Архивировано из оригинала 2021-12-26 . Получено 2018-06-19 .
19. Мосберген, Доминик (2014-10-22). «Это бесплатное приложение решит для вас математические задачи». Huffington Post . Архивировано из оригинала 2017-09-22 . Получено 2018-06-21 .
20. "Классическое образование и STEM: распространенное заблуждение". Clapham School . 2018-01-25. Архивировано из оригинала 2019-02-12 . Получено 2019-02-12 .
21. "Mathematical Current Events". Архивировано из оригинала 2011-11-20 . Получено 29-11-2011 .
22. Шрираман, Бхарат (2012). Перекрестки в истории математики и математического образования. Серия монографий по математическому образованию. Том 12. IAP. ISBN 978-1-61735-704-6.
23. Ansari, Daniel (март 2016 г.). «Больше никаких математических войн». The Education Digest . 81 (7): 4–9. ProQuest  1761255371.
24. Стокке, Анна (2015). Что делать с ухудшением результатов по математике в Канаде . Торонто, Онтарио: CD Howe Institute. стр. 4–5. ISBN 9780888069498.
25. Singmaster, David (7 сентября 1993 г.). «Необоснованная полезность занимательной математики». Для Первого европейского конгресса по математике, Париж, июль 1992 г. Архивировано из оригинала 7 февраля 2002 г. Получено 17 сентября 2012 г.
26. "Основы успеха: Заключительный отчет Национальной консультативной группы по математике" (PDF) . Министерство образования США. 2008. стр. 20. Архивировано из оригинала (PDF) 17 марта 2015 г.
27. Нунес, Терезинья; Дорнелес, Беатрис Варгас; Лин, Пи-Джен; Ратгеб-Шнирер, Элизабет (2016), «Преподавание и изучение целых чисел в начальной школе», ICME-13 Topical Surveys , Cham: Springer International Publishing, стр. 1–50, doi : 10.1007/978-3-319-45113-8_1 , hdl : 10183/164060 , ISBN 978-3-319-45112-1
28. Маллис, Ина В.С.; и др. (июнь 1997 г.). «Успеваемость по математике в начальных классах школы. Третье международное исследование математики и естественных наук (TIMSS) IEA». Третье международное исследование математики и естественных наук . Международная ассоциация по оценке образовательных достижений ; Центр Бостонского колледжа по изучению тестирования, оценки и образовательной политики. ISBN 1-889938-04-1.
29. "MIT - SB In 1-C Civil Engineering Curriculum | Department of Civil & Environmental Engineering, MIT". Архивировано из оригинала 2014-07-14 . Получено 2014-06-18 .
30. "Математика для компьютерных наук". MIT OpenCourseWare . Архивировано из оригинала 2019-05-10 . Получено 2019-01-02 .
31. "Учебная программа по математике". Министерство образования Великобритании. 17 января 2013 г. Архивировано из оригинала 2 мая 2012 г. Получено 1 мая 2012 г.
32. Ma, X. (2000). «Продольная оценка предшествующей курсовой работы по математике и последующие математические достижения». Журнал образовательных исследований . 94 (1): 16–29. doi :10.1080/00220670009598739. S2CID  144948416.
33. "Мифы против фактов - Инициатива по единым государственным стандартам". www.corestandards.org . Архивировано из оригинала 2017-08-02 . Получено 2017-07-28 .
34. "Стандарты в вашем штате - Инициатива по общим государственным стандартам". www.corestandards.org . Архивировано из оригинала 2019-06-10 . Получено 2017-07-28 .
35. "MoCTM - Home". www.moctm.org . Архивировано из оригинала 2018-02-12 . Получено 2018-02-11 .
36. "Что такое PISA?". OECD . 2018. Архивировано из оригинала 2018-03-04 . Получено 2019-10-14 .
37. Lockheed, Marlaine (2015). Опыт стран со средним уровнем дохода, участвующих в PISA 2000. PISA . Франция: OECD Publishing. стр. 30. ISBN 978-92-64-24618-8.
38. Селлар, С. и Лингард, Б., Сэм; Лингард, Боб (апрель 2018 г.). «Международные крупномасштабные оценки, аффективные миры и влияние политики в образовании» (PDF) . Международный журнал качественных исследований в образовании . 31 (5): 367–381. doi :10.1080/09518398.2018.1449982. S2CID  149999527. Архивировано (PDF) из оригинала 2020-03-07 . Получено 2019-11-30 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
39. Хиберт, Джеймс; Гроус, Дуглас (2007), "9", Влияние преподавания математики в классе на обучение студентов , т. 1, Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики, стр. 371–404
40. Институт педагогических наук, ред. (2003), "Основные моменты видеоисследования TIMSS 1999 по преподаванию математики в восьмом классе", Тенденции в международном исследовании математики и естественных наук (TIMSS) - Обзор, Министерство образования США, архивировано из оригинала 2012-05-08 , извлечено 2012-05-08
41. Black, P.; William, Dylan (1998). «Оценка и обучение в классе» (PDF) . Оценка в образовании . 5 (1): 7–74. doi :10.1080/0969595980050102. S2CID  143347721. Архивировано (PDF) из оригинала 2018-07-26 . Получено 2018-07-25 .
42. "Исследовательские клипы и краткие сведения". Архивировано из оригинала 2014-10-02 . Получено 2009-11-15 .
43. Тан, Пауло (29.12.2017). «Призыв к исследовательскому сотрудничеству и использование исследований инвалидности/способностей в математическом образовании». Журнал городского математического образования . 10 (2): 25–38. doi : 10.21423/jume-v10i2a321 – через Техасскую цифровую библиотеку.
44. Ладсон-Биллингс, Глория (июнь 1995 г.). «Но это всего лишь хорошее преподавание! Аргументы в пользу культурно-релевантной педагогики». Теория в практику . 34 (3): 159–165. doi :10.1080/00405849509543675. ISSN  0040-5841.
45. Париж, Джанго (апрель 2012 г.). «Культурно-поддерживающая педагогика: необходимое изменение позиции, терминологии и практики». Educational Researcher . 41 (3): 93–97. doi :10.3102/0013189X12441244. ISSN  0013-189X.
46. Leatham, Keith; Peterson, Blake (2010). Lott, JW; Luebeck, J. (ред.). «Целенаправленное проектирование обучения студентов с целью сосредоточения на математическом мышлении студентов». Преподавание математики: внедрение исследований в практику на всех уровнях . 7 : 225–239 ​​– через монографию Ассоциации преподавателей математики (AMTE).
47. Рауденбуш, Стивен (2005). «Изучение попыток улучшить школьное образование: вклад методологического разнообразия». Educational Researcher . 34 (5): 25–31. CiteSeerX 10.1.1.649.7042 . doi :10.3102/0013189X034005025. S2CID  145667765. 
48. Кук, Томас Д. (2002). «Рандомизированные эксперименты в исследовании образовательной политики: критический анализ причин, по которым сообщество образовательной оценки предложило их не проводить». Оценка образования и анализ политики . 24 (3): 175–199. doi :10.3102/01623737024003175. S2CID  144583638.
49. Рабочая группа по статистике в исследованиях математического образования (2007). "Эффективное использование статистики в исследованиях математического образования: отчет о серии семинаров, организованных Американской статистической ассоциацией при финансировании Национального научного фонда" (PDF) . Американская статистическая ассоциация. Архивировано из оригинала (PDF) 2007-02-02 . Получено 2013-03-25 .
50. Шадиш, Уильям Р.; Кук, Томас Д.; Кэмпбелл, Дональд Т. (2002). Экспериментальные и квазиэкспериментальные проекты для обобщенного причинного вывода (2-е изд.). Бостон: Houghton Mifflin. ISBN 978-0-395-61556-0.
51. См. статьи о NCLB , Национальной консультативной группе по математике, Научно обоснованных исследованиях и What Works Clearinghouse
52. Мостеллер, Фредерик; Борух, Роберт (2002), Доказательства имеют значение: Рандомизированные испытания в исследованиях в области образования , Издательство Brookings Institution Press
53. Чаттерджи, Мадхаби (декабрь 2004 г.). «Доказательства того, «что работает»: аргумент в пользу оценочных схем с использованием смешанного метода длительного срока (ETMM)». Educational Researcher . 33 (9): 3–13. doi :10.3102/0013189x033009003. S2CID  14742527.
54. Келли, Энтони (2008). «Размышления о заключительном отчете Национальной консультативной группы по математике». Educational Researcher . 37 (9): 561–4. doi :10.3102/0013189X08329353. S2CID  143471869.Это вступительная статья к выпуску, посвященному дебатам по отчету Национальной консультативной группы по математике, в частности, по использованию ею рандомизированных экспериментов.
55. Спаркс, Сара (20 октября 2010 г.). «Федеральные критерии для исследований растут». Education Week . стр. 1.

• Voit, Rita (14 февраля 2020 г.). «Ускоренная математика: что должен знать каждый родитель». Ресурсы HEROES Academy . Получено 20 сентября 2023 г.

Дальнейшее чтение

• Андерсон, Джон Р.; Редер, Линн М.; Саймон, Герберт А.; Эрикссон, К. Андерс; Глейзер, Роберт (1998). «Радикальный конструктивизм и когнитивная психология» (PDF) . Brookings Papers on Education Policy (1): 227–278. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-06-26 . Получено 2011-09-25 .
• Auslander, Maurice; et al. (2004). "Goals for School Mathematics: The Report of the Cambridge Conference on School Mathematics 1963" (PDF) . Cambridge MA: Center for the Study of Mathematics Curriculum. Архивировано (PDF) из оригинала 2010-07-15 . Получено 2009-08-06 .
• Болл, Линда и др. Использование технологий в начальном и среднем математическом образовании (Хам, Швейцария: Springer, 2018).
• Дреер, Аника и др. «Какие знания по содержанию нужны учителям математики средней школы?». Журнал für Mathematik-Didaktik 39.2 (2018): 319-341 онлайн Архивировано 18 апреля 2021 г. на Wayback Machine .
• Дрийверс, Пол и др. Использование технологий в преподавании математики в младших классах средней школы: краткий тематический обзор (Springer Nature, 2016).
• Гостони, Каталин. «Математическая культура и математическое образование в Венгрии в XX веке». в Математические культуры (Birkhäuser, Cham, 2016) стр. 71–89. онлайн
• Пол Локхарт (2009). Плач математика: как школа лишает нас самой увлекательной и творческой формы искусства . Bellevue Literary Press. ISBN 978-1934137178.
• Лосано, Летисия и Марсия Кристина де Коста Триндаде Сирино. «Текущие исследования профессиональной идентичности будущих учителей математики средней школы». в «Математическое образование будущих учителей средней школы по всему миру » (Springer, Cham, 2017) стр. 25–32.
• Шрираман, Бхарат ; Инглиш, Лин (2010). Теории математического образования. Springer. ISBN 978-3-642-00774-3.
• Строгац, Стивен Генри ; Джоффрей, Дон (2009). Исчисление дружбы: что учитель и ученик узнали о жизни, переписываясь о математике . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13493-2.
• Стрэтченс, Мэрилин Э. и др. Математическое образование будущих учителей средних школ по всему миру (Springer Nature, 2017) онлайн Архивировано 18 апреля 2021 г. на Wayback Machine .
• Вонг, Кхун Юнг. «Обогащение среднего математического образования компетенциями 21-го века». в « Развитие компетенций 21-го века в классе математики»: ежегодник 2016 г. (Ассоциация преподавателей математики. 2016 г.) стр. 33–50.

Внешние ссылки

• История математического образования
• Четверть века «математических войн» и политической партийности в США. Дэвид Клейн. Калифорнийский государственный университет, Нортридж, США