В линейной алгебре диагональная матрица — это матрица , в которой все элементы за пределами главной диагонали равны нулю; этот термин обычно относится к квадратным матрицам . Элементы главной диагонали могут быть нулевыми или ненулевыми. Примером диагональной матрицы 2×2 является , а примером диагональной матрицы 3×3 – . Единичная матрица любого размера или любого кратного ему размера представляет собой диагональную матрицу, называемую скалярной матрицей, например . В геометрии диагональная матрица может использоваться как матрица масштабирования , поскольку умножение матрицы на нее приводит к изменению масштаба (размера) и, возможно, также формы ; только скалярная матрица приводит к равномерному изменению масштаба.
Как указано выше, диагональная матрица — это матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. То есть матрица D = ( d i , j ) с n столбцами и n строками является диагональной, если
Однако основные диагональные входы не ограничены.
Термин «диагональная матрица» иногда может относиться кпрямоугольная диагональная матрица , которая представляет собойразмеромmnсо всеми элементами, отличными от формы d i , i равным нулю. Например:
Однако чаще диагональная матрица относится к квадратным матрицам, которые можно явно указать какквадратная диагональная матрица . Квадратная диагональная матрица являетсясимметричной матрицей, поэтому ее также можно назватьсимметричная диагональная матрица .
Следующая матрица является квадратной диагональной матрицей:
Если записи представляют собой действительные числа или комплексные числа , то это также нормальная матрица .
В оставшейся части этой статьи мы будем рассматривать только квадратные диагональные матрицы и называть их просто «диагональными матрицами».
Диагональную матрицу можно построить из вектора с помощью оператора:
Более компактно это можно записать как .
Тот же оператор также используется для представления блочных диагональных матриц , где каждый аргумент является матрицей.
Оператор можно записать как:
Оператор обратного преобразования матрицы в вектор иногда обозначается одноименным оператором, где аргументом теперь является матрица, а результатом является вектор ее диагональных элементов.
Следующее свойство имеет:
Диагональная матрица с равными диагональными элементами является скалярной матрицей ; то есть скалярное кратное λ единичной матрицы I . Его эффект на вектор — скалярное умножение на λ . Например, скалярная матрица 3×3 имеет вид:
Скалярные матрицы являются центром алгебры матриц: то есть это именно те матрицы, которые коммутируют со всеми другими квадратными матрицами того же размера. [a] Напротив, над полем (как и в случае действительных чисел) диагональная матрица, все диагональные элементы которой различны, коммутирует только с диагональными матрицами (ее централизатор - это набор диагональных матриц). Это потому, что если диагональная матрица затем дала матрицу с членами произведений: и и (поскольку можно разделить на ), то они не коммутируют, если недиагональные члены не равны нулю. [b] Диагональные матрицы, в которых не все диагональные элементы равны или не все различны, имеют центраторы, промежуточные между всем пространством и только диагональными матрицами. [1]
Для абстрактного векторного пространства V (а не для конкретного векторного пространства ) аналогом скалярных матриц являются скалярные преобразования . В более общем смысле это верно для модуля M над кольцом R с алгеброй эндоморфизмов End( M ) (алгеброй линейных операторов на M ), заменяющей алгебру матриц. Формально скалярное умножение представляет собой линейное отображение, индуцирующее отображение (от скаляра λ к соответствующему скалярному преобразованию, умножению на λ ), демонстрирующее End( M ) как R - алгебру . Для векторных пространств скалярные преобразования являются в точности центром алгебры эндоморфизмов, и, аналогично, скалярные обратимые преобразования являются центром общей линейной группы GL( V ). Первый в более общем смысле представляет собой свободные модули , для которых алгебра эндоморфизмов изоморфна матричной алгебре.
Умножение вектора на диагональную матрицу умножает каждый из членов на соответствующий диагональный элемент. Учитывая диагональную матрицу и вектор , произведение будет:
Это можно выразить более компактно, используя вектор вместо диагональной матрицы и взяв произведение Адамара векторов (поэлементное произведение), обозначенное :
Это математически эквивалентно, но позволяет избежать хранения всех нулевых членов этой разреженной матрицы . Таким образом, этот продукт используется в машинном обучении , например, для вычисления продуктов производных при обратном распространении ошибки или умножения весов IDF в TF-IDF , [2] поскольку некоторые структуры BLAS , которые эффективно умножают матрицы, не включают возможности произведения Адамара напрямую. [3]
Операции сложения и умножения матриц особенно просты для диагональных матриц. Запишите Diag( a 1 , ..., an n ) для диагональной матрицы, диагональные элементы которой, начиная с верхнего левого угла, равны a 1 , ..., an n . Тогда для сложения имеем
и для умножения матриц ,
Диагональная матрица Diag( a 1 , ..., an ) обратима тогда и только тогда, когда все элементы a 1 , ..., an n не равны нулю. В этом случае мы имеем
В частности, диагональные матрицы образуют подкольцо кольца всех матриц размера n x n .
Умножение n -х n-матрицы A слева на Diag ( a 1 , ... , an ) равносильно умножению i - й строки A на a i для всех i ; умножение матрицы A справа на Diag( a 1 , ... , an ) равносильно умножению i -го столбца A на a i для всех i .
Как объяснялось при определении коэффициентов операторной матрицы , существует специальный базис e 1 , ..., en , для которого матрица принимает диагональную форму. Следовательно, в определяющем уравнении все коэффициенты с i ≠ j равны нулю, поэтому в каждой сумме остается только один член. Сохранившиеся диагональные элементы известны как собственные значения и обозначаются в уравнении, которое сводится к . Полученное уравнение известно как уравнение собственных значений [4] и используется для вывода характеристического полинома и, далее, собственных значений и собственных векторов .
Другими словами, собственными значениями функцииdiag ( λ 1 ,..., λ n ) являются λ 1 , ..., λ n с соответствующими собственными векторами e 1 , ..., e n .
Диагональные матрицы встречаются во многих областях линейной алгебры. Из-за простого описания матричной операции и собственных значений/собственных векторов, приведенных выше, обычно желательно представлять данную матрицу или линейную карту диагональной матрицей.
Фактически, данная матрица A размером n x n подобна диагональной матрице (это означает, что существует матрица X такая, что X −1 AX является диагональной) тогда и только тогда, когда она имеет n линейно независимых собственных векторов. Такие матрицы называются диагонализуемыми .
В отношении действительных или комплексных чисел верно больше . Спектральная теорема гласит, что каждая нормальная матрица унитарно подобна диагональной матрице (если AA ∗ = A ∗ A , то существует унитарная матрица U такая, что UAU ∗ диагональна). Более того, разложение по сингулярным значениям означает, что для любой матрицы A существуют унитарные матрицы U и V такие, что U ∗ AV диагональна с положительными элементами.
В теории операторов , особенно при изучении УЧП , операторы особенно легко понять, а УЧП легко решить, если оператор диагональен относительно базиса, с которым он работает; это соответствует разделимому уравнению в частных производных . Следовательно, ключевой метод понимания операторов — это замена координат (на языке операторов это интегральное преобразование ), которая меняет основу на собственный базис собственных функций : что делает уравнение разделимым. Важным примером этого является преобразование Фурье , которое диагонализует операторы дифференцирования с постоянными коэффициентами (или, в более общем плане, операторы, инвариантные к сдвигу), такие как оператор Лапласа, скажем, в уравнении теплопроводности .
Особенно простыми являются операторы умножения , которые определяются как умножение на (значения) фиксированной функции: значения функции в каждой точке соответствуют диагональным элементам матрицы.