Случайная матрица

Случайная величина с матричным значением

В теории вероятностей и математической физике случайная матрица — это случайная величина с матричным значением , то есть матрица, в которой некоторые или все ее элементы выбираются случайным образом из распределения вероятностей . Теория случайных матриц (RMT) — это изучение свойств случайных матриц, часто по мере того, как они становятся большими. RMT предоставляет такие методы, как теория среднего поля , диаграммные методы, метод полости или метод реплик для вычисления таких величин, как трассы , спектральные плотности или скалярные произведения между собственными векторами. Многие физические явления, такие как спектр ядер тяжелых атомов, ^{[1] [2]} теплопроводность решетки или возникновение квантового хаоса [ ^3] можно смоделировать математически как задачи, касающиеся больших случайных матриц .

Приложения

Физика

В ядерной физике случайные матрицы были введены Юджином Вигнером для моделирования ядер тяжелых атомов. ^{[1] [2]} Вигнер постулировал, что расстояния между линиями в спектре ядра тяжелого атома должны напоминать расстояния между собственными значениями случайной матрицы и должны зависеть только от класса симметрии лежащей в основе эволюции. ^[4] В физике твердого тела случайные матрицы моделируют поведение больших неупорядоченных гамильтонианов в приближении среднего поля .

В квантовом хаосе гипотеза Бохигаса-Джаннони-Шмита (БГС) утверждает, что спектральная статистика квантовых систем, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение, описывается теорией случайных матриц. ^[3]

В квантовой оптике преобразования, описываемые случайными унитарными матрицами, имеют решающее значение для демонстрации преимущества квантовых вычислений над классическими (см., например, модель выборки бозонов ). ^[5] Более того, такие случайные унитарные преобразования могут быть непосредственно реализованы в оптической схеме путем сопоставления их параметров с компонентами оптической схемы (то есть светоделителями и фазовращателями). ^[6]

Теория случайных матриц также нашла приложения к киральному оператору Дирака в квантовой хромодинамике , ^[7] квантовой гравитации в двух измерениях, ^[8] мезоскопической физике , ^[9] вращающему моменту переноса спина , ^[10] дробному квантовому эффекту Холла , ^{[11] ]} Андерсоновская локализация , ^[12] квантовые точки , ^[13] и сверхпроводники ^[14]

Математическая статистика и численный анализ

В многомерной статистике случайные матрицы были введены Джоном Уишартом , который стремился оценить ковариационные матрицы больших выборок. ^{[15] Неравенства типа} Чернова , Бернштейна и Хефдинга обычно могут быть усилены при применении к максимальному собственному значению (т.е. собственному значению наибольшей величины) конечной суммы случайных эрмитовых матриц . ^[16] Теория случайных матриц используется для изучения спектральных свойств случайных матриц, таких как выборочные ковариационные матрицы, что представляет особый интерес в многомерной статистике . Теория случайных матриц также нашла применение в нейронных сетях ^[17] и глубоком обучении . Недавняя работа с использованием случайных матриц показала, что настройки гиперпараметров можно дешево передавать между большими нейронными сетями без необходимости повторного обучения. ^[18]

В численном анализе случайные матрицы использовались со времен работы Джона фон Неймана и Германа Голдстайна ^[19] для описания ошибок вычислений в таких операциях, как умножение матриц . Хотя случайные записи являются традиционными «универсальными» входными данными для алгоритма, концентрация меры , связанная со случайными распределениями матриц, подразумевает, что случайные матрицы не будут проверять большие части входного пространства алгоритма. ^[20]

Теория чисел

В теории чисел распределение нулей дзета-функции Римана (и других L-функций ) моделируется распределением собственных значений некоторых случайных матриц. ^[21] Эту связь впервые обнаружили Хью Монтгомери и Фримен Дайсон . Это связано с гипотезой Гильберта-Пойа .

Свободная вероятность

Связь свободной вероятности со случайными матрицами ^[22] является ключевой причиной широкого использования свободной вероятности в других предметах. Войкулеску представил концепцию свободы примерно в 1983 году в контексте операторной алгебры; в начале вообще не было никакой связи со случайными матрицами. Эта связь была раскрыта Войкулеску только позже, в 1991 году; ^{В [23]} его мотивировал тот факт, что предельное распределение, которое он нашел в своей свободной центральной предельной теореме, ранее появлялось в законе полукруга Вигнера в контексте случайной матрицы.

Вычислительная нейробиология

В области вычислительной нейробиологии случайные матрицы все чаще используются для моделирования сети синаптических связей между нейронами мозга. Было показано, что динамические модели нейронных сетей со случайной матрицей связности демонстрируют фазовый переход к хаосу ^[24], когда дисперсия синаптических весов достигает критического значения, на пределе бесконечного размера системы. Результаты по случайным матрицам также показали, что динамика моделей со случайной матрицей нечувствительна к средней силе связи. Вместо этого стабильность колебаний зависит от изменения силы соединения ^{[25] [26]} , а время синхронизации зависит от топологии сети. ^{[27] [28]}

При анализе массивных данных, таких как фМРТ , для уменьшения размерности применялась теория случайных матриц. При применении такого алгоритма, как PCA , важно иметь возможность выбирать количество значимых компонентов. Критериев выбора компонентов может быть несколько (на основе объясняемой дисперсии, метода Кайзера, собственного значения и т. д.). Теория случайных матриц в этом содержании имеет своего представителя распределение Марченко-Пастура , которое гарантирует теоретические высокие и низкие пределы собственных значений, связанных со случайной ковариационной матрицей. Эта рассчитанная таким образом матрица становится нулевой гипотезой, позволяющей найти собственные значения (и их собственные векторы), отклоняющиеся от теоретического случайного диапазона. Исключенные таким образом компоненты становятся уменьшенным размерным пространством (см. примеры в фМРТ ^{[29] [30]} ).

Оптимальное управление

В теории оптимального управления эволюция n переменных состояния во времени зависит в любой момент времени от их собственных значений и от значений k переменных управления. При линейной эволюции в уравнении состояния (уравнении эволюции) появляются матрицы коэффициентов. В некоторых задачах значения параметров в этих матрицах достоверно неизвестны, и в этом случае в уравнении состояния присутствуют случайные матрицы, и проблема известна как задача стохастического управления . ^{[31] : гл. 13  [32]} Ключевым результатом в случае линейно-квадратичного управления со стохастическими матрицами является то, что принцип эквивалентности определенности не применяется: в то время как в отсутствие неопределенности множителя (т. е. при наличии только аддитивной неопределенности) оптимальная политика с квадратичной неопределенностью Функция потерь совпадает с тем, что было бы решено, если бы неопределенность игнорировалась, оптимальная политика может отличаться, если уравнение состояния содержит случайные коэффициенты.

Вычислительная механика

В вычислительной механике эпистемические неопределенности, лежащие в основе отсутствия знаний о физике моделируемой системы, приводят к появлению математических операторов, связанных с вычислительной моделью, которые в определенном смысле несовершенны. У таких операторов отсутствуют определенные свойства, связанные с немоделированной физикой. Когда такие операторы дискретизируются для выполнения вычислительного моделирования, их точность ограничивается недостающей физикой. Чтобы компенсировать этот недостаток математического оператора, недостаточно сделать параметры модели случайными, необходимо рассмотреть математический оператор, который является случайным и, таким образом, может генерировать семейства вычислительных моделей в надежде, что одна из них уловит недостающие значения. физика. В этом смысле случайные матрицы использовались в ^[33] с приложениями в виброакустике, распространении волн, материаловедении, механике жидкости, теплопередаче и т. д.

Инженерное дело

Теория случайных матриц может быть применена к исследованиям в области электротехники и связи для изучения, моделирования и разработки радиосистем с массивным множественным входом и множественным выходом ( MIMO ). ^{[ нужна цитата ]}

История

Теория случайных матриц впервые привлекла внимание за пределами математической литературы в контексте ядерной физики. Эксперименты Энрико Ферми и других продемонстрировали доказательства того, что отдельные нуклоны не могут двигаться независимо, что привело Нильса Бора к формулировке идеи составного ядра . Поскольку о прямых нуклон-нуклонных взаимодействиях не было известно, Юджин Вигнер и Леонард Эйзенбуд предположили, что ядерный гамильтониан можно смоделировать как случайную матрицу. Для более крупных атомов распределение собственных значений энергии гамильтониана можно вычислить, чтобы аппроксимировать сечения рассеяния, используя распределение Вишарта . ^[34]

Гауссовы ансамбли

Наиболее часто изучаемыми случайными матричными распределениями являются гауссовы ансамбли: GOE, GUE и GSE. Их часто обозначают индексом Дайсона : β  = 1 для GOE, β  = 2 для GUE и β  = 4 для GSE. Этот индекс подсчитывает количество действительных компонентов на элемент матрицы.

Определения

Гауссов унитарный ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью ${\displaystyle {\text{GUE}}(n)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}}}$$

эрмитовых матриц ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}}$

$${\displaystyle Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{{\frac {1}{2}}n^{2}}}$$

унитарныйгамильтонианы,

Гауссов ортогональный ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью ${\displaystyle {\text{GOE}}(n)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}}$$

nn HH _{ijп я} ^, _{j = 1}
${\displaystyle H=(G+G^{T})/{\sqrt {2n}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n\times n}$

Гауссов симплектический ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью ${\displaystyle {\text{GSE}}(n)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GSE}}(n)}}}e^{-n\mathrm {tr} H^{2}}}$$

nnкватернионных матрицкватернионовH = ( H _ij )_{п я} ^, _{j = 1}
симплектической группой

Точечные корреляционные функции

Определенные здесь ансамбли имеют гауссово распределенные матричные элементы со средним значением ⟨ H _ij ⟩ = 0 и двухточечными корреляциями, определяемыми формулой

$${\displaystyle \langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm},}$$

теореме Иссерлиса

Функции, производящие момент

Производящая функция момента для GOE равна

$${\displaystyle E[e^{tr(VH)}]=e^{{\frac {1}{4N}}\|V+V^{T}\|_{F}^{2}}}$$

норма ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

Спектральная плотность

Спектральная плотность GOE/GUE/GSE, as . Они нормированы так, что распределения сходятся к распределению полукруга . Число «горбов» равно N. ${\displaystyle N=2^{0},2^{1},...,2^{5}}$

Совместная плотность вероятности для собственных значений λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n GUE/GOE/GSE определяется выражением

где Z _{β , n} — константа нормализации, которую можно вычислить явно, см. интеграл Сельберга . В случае ГУЭ ( β  = 2) формула (1) описывает детерминантный точечный процесс . Собственные значения отталкиваются, поскольку совместная плотность вероятности имеет ноль (го порядка) для совпадающих собственных значений . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda _{j}=\lambda _{i}}$

Распределение наибольшего собственного значения для GOE и GUE явно разрешимо. ^[35] Они сходятся к распределению Трейси – Уидома после соответствующего сдвига и масштабирования.

Сходимость к полукруговому распределению Вигнера

Спектр, разделенный на , сходится по распределению к полукруговому распределению на интервале : . Вот дисперсия недиагональных записей. Дисперсия элементов на диагонали не имеет значения. ${\displaystyle {\sqrt {N\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle [-2,+2]}$ ${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Распределение межуровневых расстояний

Из упорядоченной последовательности собственных значений определяются нормированные расстояния , где – среднее расстояние. Распределение вероятностей расстояний приблизительно определяется выражением: ${\displaystyle \lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots }$ ${\displaystyle s=(\lambda _{n+1}-\lambda _{n})/\langle s\rangle }$ ${\displaystyle \langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle }$

$${\displaystyle p_{1}(s)={\frac {\pi }{2}}s\,e^{-{\frac {\pi }{4}}s^{2}}}$$

${\displaystyle \beta =1}$

$${\displaystyle p_{2}(s)={\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {4}{\pi }}s^{2}}}$$

${\displaystyle \beta =2}$

$${\displaystyle p_{4}(s)={\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}e^{-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}}}$$

${\displaystyle \beta =4}$

Числовые константы таковы, что нормируются: ${\displaystyle p_{\beta }(s)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,p_{\beta }(s)=1}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,s\,p_{\beta }(s)=1,}$$

${\displaystyle \beta =1,2,4}$

Обобщения

Матрицы Вигнера — это случайные эрмитовы матрицы, такие что элементы ${\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$

$${\displaystyle \left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}}$$

Ансамбли инвариантных матриц представляют собой случайные эрмитовы матрицы с плотностью в пространстве вещественных симметричных/эрмитовых/кватернионных эрмитовых матриц, имеющих вид, в котором функция V называется потенциалом. ${\textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-nV(\mathrm {tr} (H))}~,}$

Гауссовы ансамбли — единственные общие частные случаи этих двух классов случайных матриц. Это следствие теоремы Портера и Розенцвейга. ^{[36] [37]}

Спектральная теория случайных матриц

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных значений при стремлении размера матрицы к бесконечности. ^[38]

Эмпирическая спектральная мера

Эмпирическая спектральная мера µ _H группы H определяется формулой

$${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .}$$

Обычно предел является детерминированной мерой; это частный случай самоусреднения . Кумулятивная функция распределения предельной меры называется интегральной плотностью состояний и обозначается N ( λ ). Если интегральная плотность состояний дифференцируема, ее производная называется плотностью состояний и обозначается  ρ ( λ ). ${\displaystyle \mu _{H}}$

Альтернативные выражения

$${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\sum _{i}\delta _{\lambda _{i}}}$$

Типы конвергенции

Учитывая матричный ансамбль, мы говорим, что его спектральные меры слабо сходятся к тогда и только тогда, когда для любого измеримого набора сходится среднее по ансамблю: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} _{H}[\mu _{H}(A)]=\rho (A)}$$

слабая, почти наверняка ${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$$

${\displaystyle A}$

В другом смысле , слабая сходимость почти наверняка означает, что мы отбираем не независимо, а путем «роста» ( случайный процесс ), затем с вероятностью 1, для любого измеримого множества . ${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$ ${\displaystyle A}$

Например, мы можем «вырастить» последовательность матриц из гауссовского ансамбля следующим образом:

• Произведите выборку бесконечной дважды бесконечной последовательности стандартных случайных величин . ${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,3,\dots }}$
• Определите каждый из них, где матрица состоит из записей . ${\displaystyle H_{n}=(G_{n}+G_{n}^{T})/{\sqrt {2n}}}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,\dots ,n}}$

Обратите внимание, что общие матричные ансамбли не позволяют нам расти, но большинство распространенных, таких как три гауссовских ансамбля, позволяют нам расти.

Глобальный режим

В глобальном режиме нас интересует распределение линейной статистики вида . ${\displaystyle N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)}$

Предел эмпирической спектральной меры для матриц Вигнера был описан Юджином Вигнером ; см. распределение полукругов Вигнера и предположение Вигнера . Что касается выборочных ковариационных матриц, теория была разработана Марченко и Пастуром . ^{[39] [40]}

Предел эмпирической спектральной меры ансамблей инвариантных матриц описывается некоторым интегральным уравнением, возникающим из теории потенциала . ^[41]

Колебания

Для линейной статистики N _{f , H} = n ⁻¹ Σ f ( λ _j ) также интересны флуктуации относительно ∫  f ( λ )  dN ( λ ). Для многих классов случайных матриц центральная предельная теорема вида

$${\displaystyle {\frac {N_{f,H}-\int f(\lambda )\,dN(\lambda )}{\sigma _{f,n}}}{\overset {D}{\longrightarrow }}N(0,1)}$$

^{[42] [43]}

Вариационная задача для унитарных ансамблей

Рассмотрим меру

${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-H_{N}(\lambda )}\mathrm {d} \lambda ,\qquad H_{N}(\lambda )=-\sum \limits _{j\neq k}\ln |\lambda _{j}-\lambda _{k}|+N\sum \limits _{j=1}^{N}Q(\lambda _{j}),}$

где – потенциал ансамбля, – эмпирическая спектральная мера. ${\displaystyle Q(M)}$ ${\displaystyle \nu }$

Мы можем переписать с помощью as ${\displaystyle H_{N}(\lambda )}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle H_{N}(\lambda )=N^{2}\left[-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x)\right],}$

вероятностная мера теперь имеет вид

${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-N^{2}I_{Q}(\nu )}\mathrm {d} \lambda ,}$

где – приведенный выше функционал внутри квадратных скобок. ${\displaystyle I_{Q}(\nu )}$

Пусть сейчас

${\displaystyle M_{1}(\mathbb {R} )=\left\{\nu :\nu \geq 0,\ \int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} \nu =1\right\}}$

— пространство одномерных вероятностных мер и рассмотрим минимизатор

${\displaystyle E_{Q}=\inf \limits _{\nu \in M_{1}(\mathbb {R} )}-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x).}$

Ибо существует единственная равновесная мера через вариационные условия Эйлера-Лагранжа для некоторой вещественной константы ${\displaystyle E_{Q}}$ ${\displaystyle \nu _{Q}}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle 2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)=l,\quad x\in J}$

${\displaystyle 2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)\leq l,\quad x\in \mathbb {R} \setminus J}$

где - поддержка меры и определения ${\displaystyle J=\bigcup \limits _{j=1}^{q}[a_{j},b_{j}]}$

${\displaystyle q(x)=-\left({\frac {Q'(x)}{2}}\right)^{2}+\int {\frac {Q'(x)-Q'(y)}{x-y}}\mathrm {d} \nu _{Q}(y)}$.

Равновесная мера имеет следующую плотность Радона–Никодима ${\displaystyle \nu _{Q}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \nu _{Q}(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {q(x)}}.}$^[44]

Мезоскопический режим

^{[45] [46]} Типичная формулировка полукругового закона Вигнера эквивалентна следующему утверждению: Для каждого фиксированного интервала с центром в точке , при , число измерений гауссовского ансамбля увеличивается, доля собственных значений, попадающих в пределы интервал сходится к , где – плотность полукругового распределения. ${\displaystyle [\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \int _{[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}\rho (t)dt}$ ${\displaystyle \rho (t)}$

Если можно допустить уменьшение по мере увеличения, то мы получим строго более сильные теоремы, называемые «локальными законами» или «мезоскопическим режимом». ${\displaystyle \Delta \lambda }$ ${\displaystyle N}$

Мезоскопический режим занимает промежуточное положение между локальным и глобальным. В мезоскопическом режиме нас интересует предельное распределение собственных значений в наборе, который сжимается до нуля, но достаточно медленно, так что число собственных значений внутри . ${\displaystyle \to \infty }$

Например, ансамбль Джинибре имеет мезоскопический закон: Для любой последовательности сжимающихся дисков с площадями внутри единого диска, если диски имеют площадь , условное распределение спектра внутри дисков также сходится к равномерному распределению. То есть, если мы разрежем сжимающиеся диски вместе со спектром, попадающим внутрь дисков, а затем масштабируем диски до единицы площади, мы увидим, что спектры сходятся к плоскому распределению в дисках. ^[46] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A_{n}=O(n^{-1+\epsilon })}$

Местный режим

В локальном режиме нас интересует предельное распределение собственных значений в множестве, которое сжимается настолько быстро, что число собственных значений остается . ${\displaystyle O(1)}$

Обычно это означает изучение расстояний между собственными значениями и, в более общем плане, совместного распределения собственных значений в интервале длины порядка 1/ n . Различают объемную статистику , относящуюся к интервалам внутри носителя предельной спектральной меры, и краевую статистику , относящуюся к интервалам вблизи границы носителя.

Массовая статистика

Формально исправим в салоне поддержку .​ Тогда рассмотрим точечный процесс ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle N(\lambda )}$

$${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})=\sum _{j}\delta {\Big (}{\cdot }-n\rho (\lambda _{0})(\lambda _{j}-\lambda _{0}){\Big )}~,}$$

${\displaystyle \lambda _{j}}$

Точечный процесс фиксирует статистические свойства собственных значений в окрестности . Для гауссовских ансамблей предел известен; ^[4] таким образом, для GUE это детерминантный точечный процесс с ядром ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$

$${\displaystyle K(x,y)={\frac {\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}}}$$

синусоидальное ядро

Принцип универсальности постулирует, что предел as должен зависеть только от класса симметрии случайной матрицы (а не от конкретной модели случайных матриц или от ). Строгие доказательства универсальности известны для ансамблей инвариантных матриц ^{[47] [48]} и матриц Вигнера. ^{[49] [50]} ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$

Краевая статистика

Одним из примеров статистики границ является распределение Трейси – Уидома .

В качестве другого примера рассмотрим ансамбль Джинибре. Оно может быть реальным или сложным. Реальный ансамбль Джинибре имеет iid стандартных гауссовских элементов , а комплексный ансамбль Джинибре имеет iid стандартных комплексных гауссовских элементов . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)}$

Теперь пусть будет выбрано из вещественного или комплексного ансамбля, и пусть будет абсолютное значение его максимального собственного значения: ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho (G_{n})}$

$${\displaystyle \rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|}$$

^[51]

Краевая статистика ансамбля Джинибре  .  Для и как указано выше, с вероятностью единица, ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho \left(G_{n}\right)}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1}$$

Более того, если и ${\displaystyle \gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))}$

$${\displaystyle Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),}$$

затем сходится по распределению к закону Гамбеля , т. е. к вероятностной мере с кумулятивной функцией распределения . ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}}$

Эта теорема уточняет круговой закон ансамбля Жинибре . На словах круговой закон гласит, что спектр почти наверняка равномерно падает на единичный диск. а теорема о краевой статистике утверждает, что радиус почти единичного диска составляет около 0,000 и колеблется в масштабе , согласно закону Гамбеля. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}}$

Корреляционные функции

Совместная плотность вероятности собственных значений случайных эрмитовых матриц со статистической суммой вида ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}$

$${\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}}$$

$${\displaystyle V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}}$$

${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.}$$

маргинальные распределения ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\cdots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$$

плотность состояний

$${\displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\cdots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$$

${\displaystyle B\subset \mathbf {R} }$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).}$$

Следующий результат выражает эти корреляционные функции как определители матриц, сформированных в результате вычисления соответствующего интегрального ядра в парах точек, появляющихся внутри коррелятора. ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$

Теорема [Дайсона-Мехты] Для любого -точечная корреляционная функция может быть записана как определитель ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$

$${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),}$$

${\displaystyle K_{n,V}(x,y)}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),}$$

${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,e^{-V(z)/2},}$$

${\displaystyle \{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }}$

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.}$$

Другие классы случайных матриц

Матрицы Уишарта

Матрицы Уишарта — это случайные матрицы размера n  ×  n вида H = X X ^* , где X — случайная матрица размера n  ×  m ( m  ≥  n ) с независимыми элементами, а X ^* — ее сопряженное транспонирование . В важном частном случае, рассмотренном Уишартом, элементы X представляют собой одинаково распределенные гауссовские случайные величины (действительные или комплексные).

Предел эмпирической спектральной меры матриц Уишарта был найден ^[39] Владимиром Марченко и Леонидом Пастуром .

Случайные унитарные матрицы

Неэрмитовые случайные матрицы

Избранная библиография

Книги

• Мехта, МЛ (2004). Случайные матрицы . Амстердам: Elsevier/Academic Press. ISBN 0-12-088409-7.
• Андерсон, ГВ; Гионне, А.; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19452-5.
• Акеманн, Г.; Байк, Дж.; Ди Франческо, П. (2011). Оксфордский справочник по теории случайных матриц . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-957400-1.
• Поттерс, Марк; Бушо, Жан-Филипп (30 ноября 2020 г.). Первый курс теории случайных матриц: для физиков, инженеров и специалистов по обработке данных . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781108768900. ISBN 978-1-108-76890-0.

Обзорные статьи

• Эдельман, А.; Рао, НР (2005). «Теория случайных матриц». Акта Нумерика . 14 : 233–297. Бибкод : 2005AcNum..14..233E. дои : 10.1017/S0962492904000236. S2CID  16038147.
• Пастур, Луизиана (1973). «Спектры случайных самосопряженных операторов». Расс. Математика. Сурв . 28 (1): 1–67. Бибкод :1973РуМаС..28....1П. doi : 10.1070/RM1973v028n01ABEH001396. S2CID  250796916.
• Диаконис, Перси (2003). «Закономерности собственных значений: 70-я лекция Джозайи Уилларда Гиббса». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 40 (2): 155–178. дои : 10.1090/S0273-0979-03-00975-3 . МР  1962294.
• Диаконис, Перси (2005). «Что такое... случайная матрица?». Уведомления Американского математического общества . 52 (11): 1348–1349. ISSN  0002-9920. МР  2183871.
• Эйнар, Бертран; Кимура, Таро; Рибо, Сильвен (15 октября 2015 г.). «Случайные матрицы». arXiv : 1510.04430v2 [math-ph].

Исторические произведения

• Вигнер, Э. (1955). «Характеристические векторы граничных матриц бесконечных размерностей». Анналы математики . 62 (3): 548–564. дои : 10.2307/1970079. JSTOR  1970079.
• Уишарт, Дж. (1928). «Обобщенное распределение момента продукта в образцах». Биометрика . 20А (1–2): 32–52. doi :10.1093/biomet/20a.1-2.32.
• фон Нейман, Дж.; Голдстайн, HH (1947). «Численное обращение матриц высокого порядка». Бык. амер. Математика. Соц . 53 (11): 1021–1099. дои : 10.1090/S0002-9904-1947-08909-6 .

Рекомендации

1. Вигнер, Юджин П. (1955). «Характеристические векторы матриц с бесконечными размерностями с границами». Анналы математики . 62 (3): 548–564. дои : 10.2307/1970079. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970079.
2. Блок, RC; Хорошо, ВМ; Харви, Дж.А.; Шмитт, Х.В.; Траммелл, GT, ред. (1 июля 1957 г.). Конференция по нейтронной физике по времени пролета, состоявшаяся в Гатлинбурге, штат Теннесси, 1 и 2 ноября 1956 г. (Отчет ORNL-2309). Ок-Ридж, Теннесси: Национальная лаборатория Ок-Риджа. дои : 10.2172/4319287. ОСТИ  4319287.
3. Бохигас, О.; Джаннони, MJ; Шмит, Шмит (1984). «Характеристика хаотических квантовых спектров и универсальность законов колебаний уровня». Физ. Преподобный Летт . 52 (1): 1–4. Бибкод : 1984PhRvL..52....1B. doi :10.1103/PhysRevLett.52.1.
4. Мехта 2004 г.
5. Ааронсон, Скотт; Архипов, Алексей (2013). «Вычислительная сложность линейной оптики». Теория вычислений . 9 : 143–252. дои : 10.4086/toc.2013.v009a004 .
6. Рассел, Николас; Чахмахчян, Левон; О'Брайен, Джереми; Лэнг, Энтони (2017). «Прямой набор случайных унитарных матриц Хаара». Нью Дж. Физ . 19 (3): 033007. arXiv : 1506.06220 . Бибкод : 2017NJPh...19c3007R. дои : 10.1088/1367-2630/aa60ed. S2CID  46915633.
7. Вербааршот Дж. Дж., Веттиг Т. (2000). «Теория случайных матриц и киральная симметрия в КХД». Анну. Преподобный Нукл. Часть. Наука . 50 : 343–410. arXiv : hep-ph/0003017 . Бибкод : 2000ARNPS..50..343В. doi :10.1146/annurev.nucl.50.1.343. S2CID  119470008.
8. Франчини Ф, Кравцов ВЕ (октябрь 2009 г.). «Горизонт в теории случайных матриц, излучение Хокинга и поток холодных атомов». Физ. Преподобный Летт . 103 (16): 166401. arXiv : 0905.3533 . Бибкод : 2009PhRvL.103p6401F. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.166401. PMID  19905710. S2CID  11122957.
9. Санчес Д., Бюттикер М. (сентябрь 2004 г.). «Асимметрия магнитного поля нелинейного мезоскопического транспорта». Физ. Преподобный Летт . 93 (10): 106802. arXiv : cond-mat/0404387 . Бибкод : 2004PhRvL..93j6802S. doi : 10.1103/PhysRevLett.93.106802. PMID  15447435. S2CID  11686506.
10. Рычков В.С., Борленги С., Джаффрес Х., Ферт А., Вайнтал X (август 2009 г.). «Спиновый крутящий момент и волнистость в магнитных многослойных слоях: мост между теорией Вале-Ферта и квантовыми подходами». Физ. Преподобный Летт . 103 (6): 066602. arXiv : 0902.4360 . Бибкод : 2009PhRvL.103f6602R. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.066602. PMID  19792592. S2CID  209013.
11. Callaway DJE (апрель 1991 г.). «Случайные матрицы, дробная статистика и квантовый эффект Холла». Физ. Преподобный Б. 43 (10): 8641–8643. Бибкод : 1991PhRvB..43.8641C. doi : 10.1103/PhysRevB.43.8641. ПМИД  9996505.
12. Янссен М., Прач К. (июнь 2000 г.). «Коррелированные случайные ленточные матрицы: переходы локализация-делокализация». Физ. Преподобный Е. 61 (6 ч. А): 6278–86. arXiv : cond-mat/9911467 . Бибкод : 2000PhRvE..61.6278J. doi : 10.1103/PhysRevE.61.6278. PMID  11088301. S2CID  34140447.
13. Зумбюль Д.М., Миллер Дж.Б., Маркус К.М., Кэмпман К., Госсард AC (декабрь 2002 г.). «Спин-орбитальная связь, антилокализация и параллельные магнитные поля в квантовых точках». Физ. Преподобный Летт . 89 (27): 276803. arXiv : cond-mat/0208436 . Бибкод : 2002PhRvL..89A6803Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.89.276803. PMID  12513231. S2CID  9344722.
14. Бахколл SR (декабрь 1996 г.). «Модель случайной матрицы для сверхпроводников в магнитном поле». Физ. Преподобный Летт . 77 (26): 5276–5279. arXiv : cond-mat/9611136 . Бибкод : 1996PhRvL..77.5276B. doi : 10.1103/PhysRevLett.77.5276. PMID  10062760. S2CID  206326136.
15. Уишарт 1928 г.
16. Тропп, Дж. (2011). «Удобные для пользователя хвостовые оценки сумм случайных матриц». Основы вычислительной математики . 12 (4): 389–434. arXiv : 1004.4389 . doi : 10.1007/s10208-011-9099-z. S2CID  17735965.
17. Пеннингтон, Джеффри; Бахри, Ясаман (2017). «Геометрия поверхностей потерь нейронных сетей с помощью теории случайных матриц». ICML'17: Материалы 34-й Международной конференции по машинному обучению . 70 . S2CID  39515197.
18. Ян, Грег (2022). «Тензорные программы V: настройка больших нейронных сетей посредством нулевой передачи гиперпараметров». arXiv : 2203.03466v2 [cs.LG].
19. фон Нейман и Голдстайн, 1947 г.
20. Эдельман и Рао, 2005 г.
21. Китинг, Джон (1993). «Дзета-функция Римана и квантовая хаология». Учеб. Интерн. Школа физ. Энрико Ферми . CXIX : 145–185. дои : 10.1016/b978-0-444-81588-0.50008-0. ISBN 9780444815880.
22. Минго, Джеймс А.; Спейчер, Роланд (2017): Свободная вероятность и случайные матрицы. Монографии Института Филдса, Том. 35, Спрингер, Нью-Йорк
23. Войкулеску, Дэн (1991): «Предельные законы для случайных матриц и свободных произведений». Математические изобретения 104.1: 201-220.
24. Сомполинский, Х.; Крисанти, А.; Соммерс, Х. (июль 1988 г.). «Хаос в случайных нейронных сетях». Письма о физических отзывах . 61 (3): 259–262. Бибкод : 1988PhRvL..61..259S. doi : 10.1103/PhysRevLett.61.259. PMID  10039285. S2CID  16967637.
25. Раджан, Канака; Эбботт, Л. (ноябрь 2006 г.). «Спектры собственных значений случайных матриц для нейронных сетей». Письма о физических отзывах . 97 (18): 188104. Бибкод : 2006PhRvL..97r8104R. doi : 10.1103/PhysRevLett.97.188104. ПМИД  17155583.
26. Уэйнриб, Жиль; Тубул, Джонатан (март 2013 г.). «Топологическая и динамическая сложность случайных нейронных сетей». Письма о физических отзывах . 110 (11): 118101. arXiv : 1210.5082 . Бибкод : 2013PhRvL.110k8101W. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.118101. PMID  25166580. S2CID  1188555.
27. Тимм, Марк; Вольф, Фред; Гейзель, Тео (февраль 2004 г.). «Топологические ограничения скорости для сетевой синхронизации». Письма о физических отзывах . 92 (7): 074101. arXiv : cond-mat/0306512 . Бибкод : 2004PhRvL..92g4101T. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.074101. PMID  14995853. S2CID  5765956.
28. Мьюир, Дилан; Мрсик-Флогель, Томас (2015). «Границы собственного спектра полуслучайных матриц с модульной и пространственной структурой для нейронных сетей» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 91 (4): 042808. Бибкод : 2015PhRvE..91d2808M. doi : 10.1103/PhysRevE.91.042808. ПМИД  25974548.
29. Вергани, Альберто А.; Мартинелли, Самуэле; Бинаги, Элизабетта (июль 2019 г.). «Анализ фМРТ в состоянии покоя с использованием алгоритмов обучения без учителя». Компьютерные методы в биомеханике и биомедицинской инженерии: визуализация и визуализация . 8 (3). Тейлор и Фрэнсис: 2168–1171. дои : 10.1080/21681163.2019.1636413.
30. Бурда, З; Корнельсен, Дж; Новак, Массачусетс; Поребски, Б; Сбото-Франкенштейн, У; Томанек, Б; Тыбурчик, Дж (2013). «Коллективные корреляции фМРТ-исследования областей Бродмана с шумоподавлением RMT». Акта Физика Полоника Б. 44 (6): 1243. arXiv : 1306.3825 . Бибкод : 2013AcPPB..44.1243B. doi : 10.5506/APhysPolB.44.1243.
31. Чоу, Грегори П. (1976). Анализ и управление динамическими экономическими системами . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-15616-7.
32. Турновский, Стивен (1974). «Свойства устойчивости оптимальной экономической политики». Американский экономический обзор . 64 (1): 136–148. JSTOR  1814888.
33. Соизе, К. (8 апреля 2005 г.). «Теория случайных матриц для моделирования неопределенностей в вычислительной механике» (PDF) . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 194 (12–16): 1333–1366. Бибкод : 2005CMAME.194.1333S. дои : 10.1016/j.cma.2004.06.038. ISSN  1879-2138. S2CID  58929758.
34. Бохигас, Ориол; Вайденмюллер, Ганс (2015). Акеманн, Гернот; Байк, Джинхо; Ди Франческо, Филипп (ред.). «История – обзор». Academic.oup.com . стр. 15–40. doi : 10.1093/oxfordhb/9780198744191.013.2. ISBN 978-0-19-874419-1. Проверено 22 апреля 2024 г.
35. Кьяни М (2014). «Распределение наибольшего собственного значения для реальных случайных матриц Уишарта и Гаусса и простое приближение для распределения Трейси-Уидома». Журнал многомерного анализа . 129 : 69–81. arXiv : 1209.3394 . дои :10.1016/j.jmva.2014.04.002. S2CID  15889291.
36. Портер, CE; Розенцвейг, Н. (1 января 1960 г.). «СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ И ЯДЕРНЫХ СПЕКТРОВ». Анна. акад. наук. Фенники. Сер. А ВИ . 44 . ОСТИ  4147616.
37. Ливан, Джакомо; Новаес, Марсель; Виво, Пьерпаоло (2018), Ливан, Джакомо; Новаес, Марсель; Виво, Пьерпаоло (ред.), «Секретный материал», Введение в случайные матрицы: теория и практика , SpringerBriefs in Mathematical Physics, vol. 26, Чам: Springer International Publishing, стр. 15–21, номер документа : 10.1007/978-3-319-70885-0_3, ISBN. 978-3-319-70885-0, получено 17 мая 2023 г.
38. Мекес, Элизабет (08 января 2021 г.). «Собственные значения случайных матриц». arXiv : 2101.02928 [мат.PR].
39. . Марченко В.А.; Пастур, Луизиана (1967). «Распределение собственных значений некоторых наборов случайных матриц». Математика СССР-Сборник . 1 (4): 457–483. Бибкод : 1967СбМат...1..457М. doi : 10.1070/SM1967v001n04ABEH001994.
40. Пастур 1973
41. Пастур, Л.; Щербина, М. (1995). «О подходе статистической механики в теории случайных матриц: интегрированная плотность состояний». Дж. Стат. Физ . 79 (3–4): 585–611. Бибкод : 1995JSP....79..585D. дои : 10.1007/BF02184872. S2CID  120731790.
42. Йоханссон, К. (1998). «О флуктуациях собственных значений случайных эрмитовых матриц». Герцог Мат. Дж . 91 (1): 151–204. дои : 10.1215/S0012-7094-98-09108-6.
43. Пастур, Луизиана (2005). «Простой подход к глобальному режиму гауссовских ансамблей случайных матриц». Украинская математика. Дж . 57 (6): 936–966. дои : 10.1007/s11253-005-0241-4. S2CID  121531907.
44. Харнад, Джон (15 июля 2013 г.). Случайные матрицы, случайные процессы и интегрируемые системы . Спрингер. стр. 263–266. ISBN 978-1461428770.
45. Эрдеш, Ласло; Шляйн, Бенджамин; Яу, Хорнг-Цер (апрель 2009 г.). «Локальный полукруговой закон и полная делокализация для случайных матриц Вигнера». Связь в математической физике . 287 (2): 641–655. arXiv : 0803.0542 . Бибкод : 2009CMaPh.287..641E. дои : 10.1007/s00220-008-0636-9. ISSN  0010-3616.
46. Бургад, Пол; Яу, Хорнг-Цер; Инь, Цзюнь (01 августа 2014 г.). «Локальный круговой закон для случайных матриц». Теория вероятностей и смежные области . 159 (3): 545–595. arXiv : 1206.1449 . doi : 10.1007/s00440-013-0514-z. ISSN  1432-2064.
47. Пастур, Л.; Щербина, М. (1997). «Универсальность локальной статистики собственных значений для класса унитарных инвариантных ансамблей случайных матриц». Журнал статистической физики . 86 (1–2): 109–147. Бибкод : 1997JSP....86..109P. дои : 10.1007/BF02180200. S2CID  15117770.
48. Дейфт, П.; Крихербауэр, Т.; Маклафлин, КТ-Р.; Венакидес, С.; Чжоу, X. (1997). «Асимптотика многочленов, ортогональных относительно переменных экспоненциальных весов». Уведомления о международных математических исследованиях . 1997 (16): 759–782. дои : 10.1155/S1073792897000500 .
49. Эрдеш, Л.; Пеше, С. ; Рамирес, Х.А.; Шляйн, Б.; Яу, HT (2010). «Объемная универсальность матриц Вигнера». Сообщения по чистой и прикладной математике . 63 (7): 895–925. arXiv : 0905.4176 . дои : 10.1002/cpa.20317.
50. Тао, Теренс ; Ву, Ван Х. (2010). «Случайные матрицы: универсальность локальной статистики собственных значений до края». Связь в математической физике . 298 (2): 549–572. arXiv : 0908.1982 . Бибкод : 2010CMaPh.298..549T. дои : 10.1007/s00220-010-1044-5. S2CID  16594369.
51. Райдер, Б (28 марта 2003 г.). «Предельная теорема на краю неэрмитова случайного ансамбля матриц». Журнал физики A: Математический и общий . 36 (12): 3401–3409. Бибкод : 2003JPhA...36.3401R. дои : 10.1088/0305-4470/36/12/331. ISSN  0305-4470.

Внешние ссылки

• Федоров Ю. (2011). «Теория случайных матриц». Схоларпедия . 6 (3): 9886. Бибкод : 2011SchpJ...6.9886F. doi : 10.4249/scholarpedia.9886 .
• Вайсштейн, Э.В. «Случайная матрица». Вольфрам Математический мир.