Ядерный космос

Обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличных от гильбертовых пространств.

В математике ядерные пространства — это топологические векторные пространства , которые можно рассматривать как обобщение конечномерных евклидовых пространств и которые разделяют многие из их желаемых свойств. Однако ядерные пространства сильно отличаются от гильбертовых пространств , еще одного обобщения конечномерных евклидовых пространств. Их представил Александр Гротендик .

Топологию ядерных пространств можно определить с помощью семейства полунорм , единичные шары которых быстро уменьшаются в размерах. Векторные пространства, элементы которых в некотором смысле «гладкие», имеют тенденцию быть ядерными пространствами; типичным примером ядерного пространства является множество гладких функций на компактном многообразии . Все конечномерные векторные пространства являются ядерными. Не существует ядерных банаховых пространств , за исключением конечномерных. На практике часто верно обратное: если «естественное» топологическое векторное пространство не является банаховым пространством, то есть большая вероятность, что оно является ядерным.

Первоначальная мотивация: теорема о ядре Шварца.

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александром Гротендиком при исследовании теоремы о ядре Шварца и опубликована в (Гротендик, 1955). Сейчас мы опишем эту мотивацию.

Для любых открытых подмножеств и канонического отображения является изоморфизмом TVS (где имеет топологию равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ) и, кроме того, оба этих пространства канонически TVS-изоморфны (где, поскольку является ядерным, это тензорное произведение одновременно является инъективное тензорное произведение и проективное тензорное произведение ). ^[1] Короче говоря, теорема о ядре Шварца утверждает, что: ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\to L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ ${\displaystyle L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right){\widehat {\otimes }}{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)}$

$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\cong {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right){\widehat {\otimes }}{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)\cong L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$$

TVS-изоморфизмы

Этот результат является ложным, если заменить пространство на (которое является рефлексивным пространством , даже изоморфным своему собственному сильному дуальному пространству) и заменить двойственным к этому пространству. ^[2] Почему такой хороший результат справедлив для пространства распределений и пробных функций, но не для гильбертова пространства (которое обычно считается одним из «самых хороших» TVS)? Этот вопрос привел Гротендика к открытию ядерных пространств, ядерных карт и инъективного тензорного произведения . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Мотивы из геометрии

Другой набор мотивирующих примеров взят непосредственно из геометрии и теории гладких многообразий ^{[3], приложение 2} . Для гладких многообразий и локально выпуклого топологического векторного пространства Хаусдорфа существуют следующие изоморфизмы ядерных пространств ${\displaystyle M,N}$

• ${\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes C^{\infty }(N)\cong C^{\infty }(M\times N)}$
• ${\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes F\cong \{f:M\to F:f{\text{ is smooth }}\}}$

Определение

В этом разделе перечислены некоторые из наиболее распространенных определений ядерного пространства. Все приведенные ниже определения эквивалентны. Обратите внимание, что некоторые авторы используют более ограничительное определение ядерного пространства, добавляя условие, согласно которому это пространство также должно быть пространством Фреше . (Это означает, что пространство полно и топология задается счетным семейством полунорм.)

Следующее определение было использовано Гротендиком для определения ядерных пространств. ^[4]

Определение 0 : Пусть — локально выпуклое топологическое векторное пространство. Тогда является ядерным, если для любого локально выпуклого пространства вложение в каноническое векторное пространство является вложением ТВС, образ которых плотен в кодобласти (где областью определения является проективное тензорное произведение , а кодобластью является пространство всех отдельно непрерывных билинейных форм на, наделенных топология равномерной сходимости на равнонепрерывных подмножествах ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$

Начнем с того, что вспомним некоторую предысторию. Локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет топологию, которая определяется некоторым семейством полунорм . Для любой полунормы единичный шар является замкнутой выпуклой симметричной окрестностью начала координат, и наоборот, любая замкнутая выпуклая симметричная окрестность точки 0 является единичным шаром некоторой полунормы. (Для комплексных векторных пространств условие «симметричный» следует заменить на « сбалансированный ».) Если — полунорма, то обозначает банахово пространство , заданное путем дополнения вспомогательного нормированного пространства с использованием полунормы. Существует естественное отображение (не обязательно инъективное). . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$

Если - другая полунорма, большая (поточечно как функция от ), то существует естественное отображение от до такое, что первое отображение факторизуется как Эти отображения всегда непрерывны. Пространство является ядерным, когда выполняется более сильное условие, а именно, что эти отображения являются ядерными операторами . Условия работы оператором атомной станции непростые, более подробную информацию можно найти в соответствующей статье. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle X\to X_{q}\to X_{p}.}$ ${\displaystyle X}$

Определение 1. Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое, что для любой полунормы можно найти большую полунорму , так что естественное отображение является ядерным . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$

Неформально это означает, что всякий раз, когда нам дан единичный шар некоторой полунормы, мы можем найти внутри него «гораздо меньший» единичный шар другой полунормы или что любая окрестность 0 содержит «гораздо меньшую» окрестность. Нет необходимости проверять это условие для всех полунорм ; достаточно проверить его на наборе полунорм, порождающих топологию, т. е. наборе полунорм, являющихся подбазой топологии . ${\displaystyle p}$

Вместо использования произвольных банаховых пространств и ядерных операторов мы можем дать определение в терминах гильбертовых пространств и ядерных операторов, которые легче понять. (В гильбертовых пространствах ядерные операторы часто называют операторами ядерного класса.) Мы будем говорить, что полунорма является гильбертовой полунормой , если она является гильбертовым пространством или, что то же самое, если происходит из полуторалинейной положительно полуопределенной формы на ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Определение 2 : Ядерное пространство — это топологическое векторное пространство с топологией, определяемой семейством полунорм Гильберта, такое, что для любой полунормы Гильберта мы можем найти большую полунорму Гильберта , так что естественное отображение от до является ядерным классом . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$

Некоторые авторы предпочитают использовать операторы Гильберта–Шмидта, а не операторы трассового класса. Это не имеет большого значения, потому что любой оператор ядерного класса принадлежит Гильберту – Шмидту, а произведение двух операторов Гильберта – Шмидта имеет ядерный класс.

Определение 3 : Ядерное пространство — это топологическое векторное пространство с топологией, определяемой семейством полунорм Гильберта, такое, что для любой полунормы Гильберта мы можем найти большую полунорму Гильберта, так что естественным отображением от до является Гильберт-Шмидт. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$

Если мы хотим использовать концепцию ядерного оператора из произвольного локально выпуклого топологического векторного пространства в банахово пространство, мы можем дать более короткие определения следующим образом:

Определение 4. Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое, что для любой полунормы естественное отображение из является ядерным . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$

Определение 5. Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое, что любое непрерывное линейное отображение в банахово пространство является ядерным.

Гротендик использовал определение, подобное следующему:

Определение 6 : Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство такое, что для любого локально выпуклого топологического векторного пространства естественное отображение проективного тензорного произведения в инъективное и является изоморфизмом. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

На самом деле достаточно проверить это только для банаховых пространств или даже только для одного банахова пространства абсолютно сходящихся рядов. ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Характеристики

Пусть – хаусдорфово локально выпуклое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является ядерным;
2. для любого локально выпуклого пространства вложение в каноническое векторное пространство представляет собой вложение ТВС, образ которых плотен в кодомене; ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$
3. для любого банахова пространства вложение в каноническое векторное пространство является сюръективным изоморфизмом TVS; ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$
4. для любого локально выпуклого хаусдорфова пространства вложение в каноническое векторное пространство является сюръективным изоморфизмом TVS; ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$
5. каноническое вложение in является сюръективным изоморфизмом TVS; ^[6] ${\displaystyle \ell ^{1}[\mathbb {N} ,X]}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ,X)}$
6. каноническое отображение является сюръективным TVS-изоморфизмом. ^[6] ${\displaystyle \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }X}$
7. для любой полунормы мы можем найти большую полунорму, так что естественное отображение будет ядерным ; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
8. для любой полунормы мы можем найти большую полунорму, так что каноническая инъекция будет ядерной; ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{p}^{\prime }\to X_{q}^{\prime }}$
9. топология определяется семейством полунорм Гильберта, так что для любой полунормы Гильберта мы можем найти большую полунорму Гильберта , так что естественное отображение является ядерным классом ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
10. ${\displaystyle X}$имеет топологию, определенную семейством полунорм Гильберта, такую, что для любой полунормы Гильберта мы можем найти большую полунорму Гильберта , так что естественным отображением будет Гильберт – Шмидт; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
11. для любой полунормы естественное отображение из является ядерным . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$
12. любое непрерывное линейное отображение банахова пространства является ядерным;
13. каждая непрерывная полунорма на является доядерной; ^[7] ${\displaystyle X}$
14. каждое равнонепрерывное подмножество является доядерным; ^[7] ${\displaystyle X^{\prime }}$
15. всякое линейное отображение банахова пространства в , преобразующее единичный шар в равнонепрерывное множество, является ядерным; ^[5] ${\displaystyle X^{\prime }}$
16. завершение строительства ядерного космоса; ${\displaystyle X}$

Если пространство Фреше , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является ядерным;
2. каждая суммируемая последовательность в абсолютно суммируема; ^[6] ${\displaystyle X}$
3. сильный двойник — ядерный; ${\displaystyle X}$

Достаточные условия

• Локально выпуклое хаусдорфово пространство является ядерным тогда и только тогда, когда его пополнение ядерно.
• Каждое подпространство ядерного пространства является ядерным. ^[8]
• Каждое факторпространство Хаусдорфа ядерного пространства является ядерным. ^[8]
• Индуктивный предел счетной последовательности ядерных пространств является ядерным. ^[8]
• Локально выпуклая прямая сумма счетной последовательности ядерных пространств является ядерной. ^[8]
• Сильный двойник ядерного пространства Фреше является ядерным. ^[9]
  • В целом сильный дуал ядерного пространства может и не оказаться ядерным. ^[9]
• Пространство Фреше, сильный двойник которого является ядерным, само является ядерным. ^[9]
• Пределом семейства ядерных пространств является ядерный. ^[8]
• Продукт семейства ядерных пространств является ядерным. ^[8]
• Завершение ядерного пространства является ядерным (и фактически пространство является ядерным тогда и только тогда, когда его завершение является ядерным).
• Тензорное произведение двух ядерных пространств является ядерным.
• Проективное тензорное произведение , как и его пополнение, двух ядерных пространств является ядерным. ^[10]

Предположим, что и - локально выпуклое пространство с ядерным характером. ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

• Если ядерно, то векторное пространство непрерывных линейных отображений, наделенное топологией простой сходимости, является ядерным пространством. ^[9] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X,N)}$
• Если — полурефлексивное пространство, сильный двойник которого является ядерным, и если оно является ядерным, то векторное пространство непрерывных линейных отображений (наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ) является ядерным пространством. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L_{b}(X,N)}$ ${\displaystyle X}$

Примеры

Если — множество любой мощности, то и (с топологией произведения ) — оба ядерных пространства. ^[12] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Относительно простой бесконечномерный пример ядерного пространства — это пространство всех быстро убывающих последовательностей («быстро убывающие» означает, что оно ограничено для любого многочлена ). Для каждого действительного числа можно определить норму следующим образом: ${\displaystyle c=\left(c_{1},c_{2},\ldots \right).}$ ${\displaystyle c_{n}p(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{s}}$

$${\displaystyle \|c\|_{s}=\sup _{}\left|c_{n}\right|n^{s}}$$

${\displaystyle C_{s},}$ ${\displaystyle C_{s}\to C_{t}}$ ${\displaystyle s\geq t,}$ ${\displaystyle s>t+1}$ ${\displaystyle \sum n^{t-s}}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t}}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t+1},}$ ${\displaystyle C_{t+2}\to C_{t}}$

• Пространство гладких функций на любом компактном многообразии ядерно.
• Пространство Шварца гладких функций, у которых производные всех порядков быстро убывают, является ядерным пространством. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Пространство целых голоморфных функций на комплексной плоскости является ядерным.
• Пространство распределений, сильным двойником которого является ядерное. ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime },}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}},}$

Характеристики

Ядерные пространства во многом похожи на конечномерные пространства и обладают многими их хорошими свойствами.

• Каждое конечномерное хаусдорфово пространство является ядерным.
• Пространство Фреше является ядерным тогда и только тогда, когда его сильный двойник является ядерным.
• Каждое ограниченное подмножество ядерного пространства предкомпактно (напомним, что множество предкомпактно, если его замыкание при пополнении пространства компактно). ^[13] Это аналогично теореме Гейне-Бореля . Напротив, ни одно бесконечномерное нормированное пространство не обладает этим свойством (хотя конечномерные пространства обладают).
• Если это квазиполное (т.е. все замкнутые и ограниченные подмножества полные) ядерное пространство, то оно обладает свойством Гейне-Бореля . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Ядерное квазиполное бочкообразное пространство — это пространство Монтеля .
• Каждое замкнутое равнонепрерывное подмножество двойственного ядерного пространства является компактным метризуемым множеством (для сильной двойственной топологии).
• Каждое ядерное пространство является подпространством произведения гильбертовых пространств.
• Каждое ядерное пространство допускает базис полунорм, состоящий из гильбертовых норм.
• Каждое ядерное пространство является пространством Шварца.
• Каждое ядерное пространство обладает свойством аппроксимации. ^[15]
• Любое подпространство и любое факторпространство по замкнутому подпространству ядерного пространства является ядерным.
• Если является ядерным и является любым локально выпуклым топологическим векторным пространством, то естественное отображение проективного тензорного произведения A в инъективное тензорное произведение является изоморфизмом. Грубо говоря, это означает, что существует только один разумный способ определить тензорное произведение. Это свойство характеризует ядерные пространства. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$
• В теории мер в топологических векторных пространствах основная теорема гласит, что любая мера множества непрерывных цилиндров на двойственном ядерному пространству Фреше автоматически расширяется до меры Радона . Это полезно, потому что часто легко построить меры цилиндрического множества в топологических векторных пространствах, но они недостаточно хороши для большинства приложений, если только они не являются мерами Радона (например, они вообще не являются счетно-аддитивными).

Теорема о ядре

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александром Гротендиком при исследовании теоремы о ядре Шварца и опубликована в (Гротендик, 1955). Имеем следующее обобщение теоремы.

Теорема Шварца о ядре : ^[9] Предположим, что это ядерная форма, локально выпуклая и непрерывная билинейная форма на Тогда возникает из пространства вида где и являются подходящими равнонепрерывными подмножествами и, что эквивалентно, имеет вид ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}(x,y)\in X\times Y}$$

${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \left\{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \left\{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime },}$

Теорема Бохнера – Минлоса

Любой непрерывный положительно определенный функционал на ядерном пространстве называется характеристическим функционалом, если и для любого комплекса ^{[16] [17]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(0)=1,}$ ${\displaystyle z_{j}{\text{ and }}x_{j}\in A,}$ ${\displaystyle j,k=1,\ldots ,n,}$

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}z_{j}{\bar {z}}_{k}C(x_{j}-x_{k})\geq 0.}$$

Учитывая характеристический функционал в ядерном пространстве, теорема Бохнера -Минлоса (по Саломону Бохнеру и Роберту Адольфовичу Минлосу ) гарантирует существование и единственность соответствующей вероятностной меры в дуальном пространстве, заданном формулой ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A^{\prime },}$

$${\displaystyle C(y)=\int _{A^{\prime }}e^{i\langle x,y\rangle }\,d\mu (x).}$$

Это расширяет обратное преобразование Фурье на ядерные пространства.

В частности, если ядерное пространство ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=\bigcap _{k=0}^{\infty }H_{k},}$$

дуальном пространствемерой белого шумаслучайный элементслучайным распределением ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\|y\|_{H_{0}}^{2}},}$ ${\displaystyle A}$

Сильно ядерные пространства

Сильно ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое, что для любой полунормы существует большая полунорма, так что естественное отображение является сильно ядерным . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$

Смотрите также

• Вспомогательное нормированное помещение
• Ядро Фредгольма  - тип ядра в банаховом пространстве.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Атомный оператор
• Проективное тензорное произведение  - тензорное произведение, определенное в двух топологических векторных пространствах.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Оснащенное гильбертово пространство  - конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе.
• Класс трассировки  - компактный оператор, для которого можно определить конечный след.
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.

Рекомендации

1. Тревес 2006, с. 531.
2. Тревес 2006, стр. 509–510.
3. Костелло, Кевин (2011). Перенормировка и эффективная теория поля. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5288-0. ОСЛК  692084741.
4. Шефер и Вольф 1999, стр. 170.
5. Treves 2006, с. 511.
6. Schaefer & Wolff 1999, стр. 184.
7. Schaefer & Wolff 1999, стр. 178.
8. Schaefer & Wolff 1999, стр. 103.
9. Schaefer & Wolff 1999, стр. 172.
10. Шефер и Вольф 1999, стр. 105.
11. Schaefer & Wolff 1999, стр. 173.
12. Шефер и Вольф 1999, стр. 100.
13. Шефер и Вольф 1999, стр. 101.
14. Тревес 2006, с. 520.
15. Шефер и Вольф 1999, стр. 110.
16. Холден и др. 2009, с. 258.
17. Т. Р. Йохансен, Теорема Бохнера-Минлоса для ядерных пространств и абстрактного пространства белого шума , 2003.

Библиография

• Бекнель, Джереми (2021). Инструменты для бесконечномерного анализа . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-367-54366-2. ОСЛК  1195816154.
• Гротендик, Александр (1955). «Продукты тензорных топологий и ядерных пространств». Мемуары Американского математического общества . 16 .
• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4440-3. ОСЛК  185095773.
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. ОСЛК  5126156.
• Гротендик, Гротендик (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1216-5. ОСЛК  1315788.
• Холден, Хельге; Оксендал, Бернт; Убё, Ян; Чжан, Тушэн (2009). Стохастические уравнения в частных производных . Лондон, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-89488-1.
• Хусейн, Такдир (1978). Бочечность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. ОСЛК  4493665.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Нленд, Х (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственности топологии-борнологии и ее использованию в функциональном анализе . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Компания Единственный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. ОСЛК  2798822.
• Нленд, Х (1981). Ядерные и ядерные пространства: вводные курсы по ядерным и ядерным пространствам в свете дуальности . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк, Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Компания Единственный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. ОСЛК  7553061.
• Гельфанд, И.М.; Виленкин, Н.Я. (1964). Обобщенные функции – вып. 4: Применение гармонического анализа . Нью-Йорк: Академическая пресса. ОСЛК  310816279.
• Такеюки Хида и Си Си, Лекции по функционалам белого шума , World Scientific Publishing, 2008. ISBN 978-981-256-052-0 
• Г.Л. Литвинов (2001) [1994], «Ядерный космос», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Питч, Альбрехт (1972) [1965]. Ядерные локально-выпуклые пространства. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 66. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-05644-9. МР  0350360.
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. ОСЛК  539541.
• Робертсон, AP; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . п. 141.
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN 0-521-29882-2. ОСЛК  589250.
• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 1-85233-437-1. ОСЛК  48092184.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. ОСЛК  5126158.