Метризуемое пространство

В топологии и смежных областях математики метризуемое пространство — это топологическое пространство , гомеоморфное метрическому пространству . То есть топологическое пространство называется метризуемым, если существует метрика , индуцированная ею топология ^[1]^[2]Теоремы метризации — это теоремы , которые дают достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было метризуемым. $(X,\тау)$ $d:X\times X\to [0,\infty )$ $д$ $\тау .$

Характеристики

Метризуемые пространства наследуют все топологические свойства метрических пространств. Например, они являются хаусдорфовыми паракомпактными пространствами (и, следовательно, нормальными и тихоновскими ) и с первой счетностью . Однако некоторые свойства метрики, такие как полнота , нельзя назвать унаследованными. Это также верно для других структур, связанных с метрикой. Например, метризуемое равномерное пространство может иметь другой набор отображений сжатия , чем метрическое пространство, которому оно гомеоморфно.

Теоремы метризации

Одной из первых широко признанных теорем метризации былаТеорема Урысона о метризации . Она утверждает, что каждоерегулярное хаусдорфово пространство,удовлетворяющее второй арифметической счетности , метризуемо. Так, например, каждоемногообразие, метризуемо. (Историческая справка: форма теоремы, показанная здесь, была фактически доказанаТихоновымв 1926 году.Урысонпоказал в статье, опубликованной посмертно в 1925 году, что каждое нормальное хаусдорфово пространство, удовлетворяющее второй арифметической счетности, метризуемо.) Обратное утверждение неверно: существуют метрические пространства, не удовлетворяющие второй арифметической счетности, например, несчетное множество, снабженное дискретной метрикой.^[3]Теоремао метризации Нагаты–Смирнова, описанная ниже, дает более конкретную теорему, где обратное утверждение верно.

Несколько других теорем метризации вытекают из теоремы Урысона как простые следствия. Например, компактное хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно является счетно-секундным.

Теорему Урысона можно переформулировать так: Топологическое пространство сепарабельно и метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и счетно-секундно. Теорема о метризации Нагаты–Смирнова распространяет ее на несепарабельный случай. Она утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет σ-локально конечную базу. σ-локально конечная база — это база, которая является объединением счетного числа локально конечных наборов открытых множеств. Для получения тесно связанной теоремы см. теорему о метризации Бинга .

Сепарабельные метризуемые пространства можно также охарактеризовать как пространства, гомеоморфные подпространству гильбертова куба , то есть счетному бесконечному произведению единичного интервала (с его естественной топологией подпространства из действительных чисел) на себя, наделенное топологией произведения . $\lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },$

Пространство называется локально метризуемым, если каждая точка имеет метризуемую окрестность . Смирнов доказал, что локально метризуемое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и паракомпактно . В частности, многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно.

Примеры

Группа унитарных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве , наделенном сильной операторной топологией, метризуема (см. предложение II.1 в ^[4] ). $\mathbb {U} ({\mathcal {H}})$ ${\mathcal {H}}$

Примеры неметризуемых пространств

Ненормальные пространства не могут быть метризуемыми; важные примеры включают

топология Зарисского на алгебраическом многообразии или на спектре кольца , используемая в алгебраической геометрии ,
топологическое векторное пространство всех функций от действительной прямой до себя, с топологией поточечной сходимости . $\mathbb {R}$

Действительная прямая с топологией нижнего предела не метризуема. Обычная функция расстояния не является метрикой на этом пространстве, поскольку топология, которую она определяет, является обычной топологией, а не топологией нижнего предела. Это пространство является хаусдорфовым, паракомпактным и удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Локально метризуемо, но не метризуемо

Прямая с двумя началами , также называемая линией с глазами-пуговиками, является нехаусдорфовым многообразием (и, следовательно, не может быть метризуемой). Как и все многообразия, она локально гомеоморфна евклидову пространству и, следовательно, локально метризуема (но не метризуема) и локально хаусдорфова (но не хаусдорфова ). Она также является локально регулярным пространством T 1 , но не полурегулярным пространством .

Длинная линия локально метризуема, но не метризуема; в некотором смысле она «слишком длинная».

Смотрите также

Аполлоновская метрика – румынский математик и поэт
Теорема метризации Бинга – Характеризует, когда топологическое пространство метризуемо.
Метризуемое топологическое векторное пространство – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
Пространство Мура (топология) – развертывающееся регулярное пространство Хаусдорфа
Теорема метризации Нагаты–Смирнова – Характеризует, когда топологическое пространство метризуемо.
Униформизируемость — топологическое пространство, топология которого порождается однородной структурой , свойство топологического пространства быть гомеоморфным однородному пространству или, что эквивалентно, топология определяется семейством псевдометрик.

Ссылки

^ Саймон, Джонатан. "Metrization Theorems" (PDF) . Получено 16 июня 2016 г.
^ Манкрес, Джеймс (1999). Топология (второе изд.). Пирсон . стр. 119.
^ Митя Боярченко (осень 2010 г.). "Математика 395 - Анализ с отличием I: 10. Некоторые контрпримеры в топологии" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-09-25 . Получено 2012-08-08 .
^ Нееб, Карл-Германн, Об одной теореме С. Банаха. J. Lie Theory 7 (1997), № 2, 293–300.

В данной статье использованы материалы Metrizable на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .