Метрика Буреса

Риманова метрика на пространстве смешанных состояний квантовой системы

В математике , в области квантовой информационной геометрии , метрика Буреса (названная в честь Дональда Буреса) ^[1] или метрика Хелстрома (названная в честь Карла В. Хелстрома ) ^[2] определяет бесконечно малое расстояние между операторами матрицы плотности , определяющими квантовые состояния . Это квантовое обобщение информационной метрики Фишера , и она идентична метрике Фубини–Штуди ^[3] , когда ограничивается только чистыми состояниями.

Определение

Метрику Буреса можно определить как

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),}$

где эрмитов оператор 1-формы неявно задан как ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho G+G\rho =d\rho ,}$

что является частным случаем непрерывного уравнения Ляпунова .

Некоторые из приложений метрики Буреса включают в себя то, что при заданной ошибке она позволяет вычислить минимальное число измерений для различения двух различных состояний ^[4] и использовать элемент объема в качестве кандидата для априорной плотности вероятности Джеффриса ^[5] для смешанных квантовых состояний.

Расстояние Буреса

Расстояние Буреса является конечной версией бесконечно малого квадратного расстояния, описанного выше, и задается формулой

${\displaystyle D_{B}(\rho _{1},\rho _{2})^{2}=2(1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}),}$

где функция верности определяется как ^[6]

${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})=\left[{\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})\right]^{2}.}$

Другая связанная функция — дуга Буреса, также известная как угол Буреса, длина Буреса или квантовый угол , определяемая как

${\displaystyle D_{A}(\rho _{1},\rho _{2})=\arccos {\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}},}$

что является мерой статистического расстояния ^[7] между квантовыми состояниями.

Расстояние Вуттерса

Когда оба оператора плотности диагональны (так что они являются просто классическими распределениями вероятностей), тогда пусть и аналогично , тогда точность такова, что длина Буреса становится расстоянием Вуттерса . Расстояние Вуттерса является геодезическим расстоянием между распределениями вероятностей в соответствии с метрикой хи-квадрат . ^[8] ${\displaystyle \rho _{1}=diag(p_{1},...)}$ ${\displaystyle \rho _{2}=diag(q_{1},...)}$ $${\displaystyle {\sqrt {F}}=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$$ ${\displaystyle \arccos \left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {dp_{i}^{2}}{p_{i}}}}$

Выполним замену переменных с , тогда метрика хи-квадрат станет . Поскольку , точки ограничены перемещением по положительному квадранту единичной гиперсферы. Таким образом, геодезические — это просто большие окружности на гиперсфере, и мы также получаем формулу расстояния Вуттерса. ${\displaystyle x_{i}:={\sqrt {p_{i}}}}$ ${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i}dx_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \sum _{i}x_{i}^{2}=\sum _{i}p_{i}=1}$ ${\displaystyle x}$

Если оба оператора плотности являются чистыми состояниями, то точность равна , и мы получаем квантовую версию расстояния Вуттерса ${\displaystyle \psi ,\phi }$ ${\displaystyle {\sqrt {F}}=|\langle \psi |\phi \rangle |}$

${\displaystyle \arccos(|\langle \psi |\phi \rangle |)}$. ^[9]

В частности, прямое расстояние Буреса между любыми двумя ортогональными состояниями равно , тогда как расстояние Буреса, просуммированное вдоль геодезического пути, соединяющего их, равно . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Информация о квантовом Фишере

Метрику Буреса можно рассматривать как квантовый эквивалент информационной метрики Фишера и можно переписать в терминах изменения параметров координат следующим образом:

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right)d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

что справедливо до тех пор, пока и имеют одинаковый ранг. В случаях, когда они не имеют одинакового ранга, в правой части есть дополнительный член. ^{[10] [11]} — симметричный логарифмический производный оператор (SLD), определенный из ^[12] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho +d\rho }$ ${\displaystyle L_{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {\rho L_{\mu }+L_{\mu }\rho }{2}}={\frac {d\rho ^{\,}}{d\theta ^{\mu }}}.}$

Таким образом, можно

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right]d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

где квантовая метрика Фишера (тензорные компоненты) определяется как

${\displaystyle J_{\mu \nu }={\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right].}$

Определение SLD подразумевает, что квантовая метрика Фишера в 4 раза больше метрики Буреса. Другими словами, учитывая, что являются компонентами тензора метрики Буреса, имеем ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle J_{\mu \nu }^{}=4g_{\mu \nu }.}$

Как и в случае с классической информационной метрикой Фишера, квантовая метрика Фишера может быть использована для нахождения границы Крамера– Рао ковариации .

Явные формулы

Фактическое вычисление метрики Буреса не очевидно из определения, поэтому для этой цели были разработаны некоторые формулы. Для систем 2x2 и 3x3, соответственно, квадратичная форма метрики Буреса вычисляется как ^[13]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {1}{\det(\rho )}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho \right],}$

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {3}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho +{\frac {3\det {\rho }}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho (\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho \right].}$

Для общих систем метрику Буреса можно записать в терминах собственных векторов и собственных значений матрицы плотности как ^{[14] [15]} ${\displaystyle \rho =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|j\rangle \langle j|}$

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},}$

как интеграл, ^[16]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}[e^{-\rho t}d\rho e^{-\rho t}d\rho ]\ dt,}$

или в терминах произведения Кронекера и векторизации , ^[17]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}[d\rho ]^{\dagger }{\big (}\rho ^{*}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}}[d\rho ],}$

где обозначает комплексно сопряженное , а обозначает сопряженно транспонированное . Эта формула справедлива для обратимых матриц плотности. Для необратимых матриц плотности обратная матрица выше заменяется псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза . В качестве альтернативы выражение можно также вычислить, выполнив предел для определенного смешанного и, следовательно, обратимого состояния. ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle ^{\dagger }}$

Двухуровневая система

Состояние двухуровневой системы можно параметризовать тремя переменными следующим образом:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(I+{\boldsymbol {r\cdot \sigma }}),}$

где — вектор матриц Паули , а — (трехмерный) вектор Блоха, удовлетворяющий . Компоненты метрики Буреса в этой параметризации можно вычислить как ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle r^{2}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\boldsymbol {r\cdot r}}\leq 1}$

${\displaystyle {\mathsf {g}}={\frac {\mathsf {I}}{4}}+{\frac {\boldsymbol {r\otimes r}}{4(1-r^{2})}}}$.

Меру Буреса можно вычислить, извлекая квадратный корень из определителя, чтобы найти

${\displaystyle dV_{B}={\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}},}$

который можно использовать для расчета объема Буреса как

${\displaystyle V_{B}=\iiint _{r^{2}\leq 1}{\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}$

Трехуровневая система

Состояние трехуровневой системы можно параметризовать восемью переменными следующим образом:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{3}}(I+{\sqrt {3}}\sum _{\nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),}$

где — восемь матриц Гелл-Манна и 8-мерный вектор Блоха, удовлетворяющие определенным ограничениям. ${\displaystyle \lambda _{\nu }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{8}}$

Смотрите также

• Метрика Фубини–Исследования
• Точность квантовых состояний
• Информация о Фишере
• Информационная метрика Фишера

Ссылки

1. Bures, Donald (1969). "Распространение теоремы Какутани о бесконечных мерах произведения на тензорное произведение полуконечных ω {\displaystyle \omega } *-алгебр" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 135 . American Mathematical Society (AMS): 199. doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0236719-2 . ISSN  0002-9947.
2. Helstrom, CW (1967). «Минимальная среднеквадратичная ошибка оценок в квантовой статистике». Physics Letters A. 25 ( 2). Elsevier BV: 101–102. Bibcode : 1967PhLA...25..101H. doi : 10.1016/0375-9601(67)90366-0. ISSN  0375-9601.
3. Facchi, Paolo; Kulkarni, Ravi; Man'ko, VI; Marmo, Giuseppe; Sudarshan, ECG; Ventriglia, Franco (2010). «Классическая и квантовая информация Фишера в геометрической формулировке квантовой механики». Physics Letters A. 374 ( 48): 4801–4803. arXiv : 1009.5219 . Bibcode : 2010PhLA..374.4801F. doi : 10.1016/j.physleta.2010.10.005. ISSN  0375-9601. S2CID  55558124.
4. Braunstein, Samuel L.; Caves, Carlton M. (1994-05-30). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Physical Review Letters . 72 (22). Американское физическое общество (APS): 3439–3443. Bibcode : 1994PhRvL..72.3439B. doi : 10.1103/physrevlett.72.3439. ISSN  0031-9007. PMID  10056200.
5. Слейтер, Пол Б. (1996). «Применение квантовой и классической информации Фишера к двухуровневым комплексным и кватернионным и трехуровневым комплексным системам». Журнал математической физики . 37 (6). AIP Publishing: 2682–2693. Bibcode : 1996JMP....37.2682S. doi : 10.1063/1.531528. ISSN  0022-2488.
6. К сожалению, некоторые авторы используют другое определение, ${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})={\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})}$
7. Wootters, WK (1981-01-15). "Статистическое расстояние и гильбертово пространство". Physical Review D. 23 ( 2). Американское физическое общество (APS): 357–362. Bibcode : 1981PhRvD..23..357W. doi : 10.1103/physrevd.23.357. ISSN  0556-2821.
8. Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М. (1994-05-30). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Physical Review Letters . 72 (22): 3439–3443. Bibcode : 1994PhRvL..72.3439B. doi : 10.1103/PhysRevLett.72.3439. PMID  10056200.
9. Деффнер, Себастьян; Кэмпбелл, Стив (2017-11-10). «Пределы квантовой скорости: от принципа неопределенности Гейзенберга до оптимального квантового управления». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 50 (45): 453001. arXiv : 1705.08023 . Bibcode :2017JPhA...50S3001D. doi :10.1088/1751-8121/aa86c6. hdl :11603/19391. ISSN  1751-8113. S2CID  3477317.
10. Шафранек, Доминик (2017-05-11). «Разрывы квантовой информации Фишера и метрика Буреса». Physical Review A. 95 ( 5): 052320. arXiv : 1612.04581 . Bibcode : 2017PhRvA..95e2320S. doi : 10.1103/physreva.95.052320. ISSN  2469-9926.
11. Резакхани, AT; Хассани, M.; Алипур, S. (2019-09-12). «Непрерывность квантовой информации Фишера». Physical Review A. 100 ( 3): 032317. arXiv : 1507.01736 . Bibcode : 2019PhRvA.100c2317R. doi : 10.1103/PhysRevA.100.032317. S2CID  51680508.
12. Париж, Маттео GA (2009). «Квантовая оценка для квантовой технологии». Международный журнал квантовой информации . 07 (supp01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . doi : 10.1142/s0219749909004839. ISSN  0219-7499. S2CID  2365312.
13. Диттманн, Дж. (1999-01-01). «Явные формулы для метрики Буреса». Журнал физики A: Mathematical and General . 32 (14): 2663–2670. arXiv : quant-ph/9808044 . Bibcode : 1999JPhA...32.2663D. doi : 10.1088/0305-4470/32/14/007. ISSN  0305-4470. S2CID  18298901.
14. Хюбнер, Маттиас (1992). «Явное вычисление расстояния Буреса для матриц плотности». Physics Letters A. 163 ( 4). Elsevier BV: 239–242. Bibcode : 1992PhLA..163..239H. doi : 10.1016/0375-9601(92)91004-b. ISSN  0375-9601.
15. Хюбнер, Маттиас (1993). «Вычисление параллельного переноса Ульмана для матриц плотности и метрики Буреса в трехмерном гильбертовом пространстве». Physics Letters A. 179 ( 4–5). Elsevier BV: 226–230. Bibcode :1993PhLA..179..226H. doi :10.1016/0375-9601(93)90668-p. ISSN  0375-9601.
16. PARIS, MATTEO GA (2009). «Квантовая оценка для квантовой технологии». International Journal of Quantum Information . 07 (supp01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . doi : 10.1142/s0219749909004839. ISSN  0219-7499. S2CID  2365312.
17. Шафранек, Доминик (2018-04-12). "Простое выражение для квантовой информационной матрицы Фишера". Physical Review A. 97 ( 4): 042322. arXiv : 1801.00945 . Bibcode : 2018PhRvA..97d2322S. doi : 10.1103/physreva.97.042322. ISSN  2469-9926.

Дальнейшее чтение

• Uhlmann, A. (1992). "Метрика Буреса и геометрическая фаза". В Gielerak, R.; Lukierski, J.; Popowicz, Z. (ред.). Группы и смежные темы . Труды первого симпозиума Макса Борна. стр. 267–274. doi :10.1007/978-94-011-2801-8_23. ISBN 94-010-5244-1.
• Sommers, HJ; Zyczkowski, K. (2003). "Объем Bures множества смешанных квантовых состояний". Journal of Physics A. 36 ( 39): 10083–10100. arXiv : quant-ph/0304041 . Bibcode : 2003JPhA...3610083S. doi : 10.1088/0305-4470/36/39/308. S2CID  39943897.
• Диттманн, Дж. (1993). "О римановой геометрии конечномерных смешанных состояний" (PDF) . Семинар Софуса Ли . 73 .
• Слейтер, Пол Б. (1996). «Квантовая информация Фишера-Бьюреса двухуровневых систем и трехуровневое расширение». J. Phys. A: Math. Gen. 29 ( 10): L271–L275. doi :10.1088/0305-4470/29/10/008.
• Нильсен, MA; Чуан, IL (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Cambridge University Press. ISBN 0-521-63235-8.