Метрика Кэли – Клейна

Метрическое расстояние между двумя точками внутри абсолюта — это логарифм перекрестного отношения, образованного этими двумя точками и двумя пересечениями их линии с абсолютом.

В математике метрика Кэли-Клейна — это метрика дополнения к фиксированной квадрике в проективном пространстве , которая определяется с помощью перекрестного отношения . Начало конструкции положило эссе Артура Кэли «К теории расстояния» ^[1] , где он называет квадрику абсолютом . Конструкция была более подробно развита Феликсом Кляйном в статьях 1871 и 1873 годов, а также в последующих книгах и статьях. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]} Метрики Кэли-Клейна являются объединяющей идеей в геометрии, поскольку этот метод используется для получения метрик в гиперболической геометрии , эллиптической геометрии , и евклидова геометрия . Область неевклидовой геометрии во многом опирается на метрики Кэли – Клейна.

Фонды

Алгебра бросков Карла фон Штаудта (1847) — это подход к геометрии, не зависящий от метрики . Идея заключалась в том, чтобы использовать отношение проективных гармонических сопряжений и перекрестных отношений как фундаментальное для измерения на прямой. ^[10] Еще одним важным открытием стала формула Лагерра Эдмона Лагерра (1853 г.), которая показала, что евклидов угол между двумя линиями может быть выражен как логарифм перекрестного отношения. ^[11] В конце концов, Кэли (1859) сформулировал соотношения для выражения расстояния в терминах проективной метрики и связал их с общими квадриками или кониками , служащими абсолютом геометрии . ^{[12] [13]} Кляйн (1871, 1873) удалил последние остатки метрических концепций из работы фон Штаудта и объединил их с теорией Кэли, чтобы основать новую метрику Кэли на логарифме и перекрестном отношении как числе, порождаемом геометрическое расположение четырех точек. ^[14] Эта процедура необходима, чтобы избежать кругового определения расстояния, если перекрестное отношение представляет собой просто двойное отношение ранее определенных расстояний. ^[15] В частности, он показал, что неевклидовы геометрии могут быть основаны на метрике Кэли-Клейна. ^[16]

Геометрия Кэли-Клейна - это исследование группы движений , которые оставляют инвариант метрики Кэли-Клейна . Это зависит от выбора квадрики или коники, которая станет абсолютом пространства . Эта группа получается как коллинеации , для которых абсолют устойчив . Действительно, перекрестное отношение инвариантно при любой коллинеации, а стабильный абсолют позволяет проводить метрическое сравнение, которое будет равенством. Например, единичный круг является абсолютом модели диска Пуанкаре и модели Бельтрами-Клейна в гиперболической геометрии . Точно так же действительная линия является абсолютом модели полуплоскости Пуанкаре .

Степень геометрии Кэли – Клейна была резюмирована Хорстом и Рольфом Струве в 2004 году: ^[17]

В реальной проективной линии три абсолюта, в реальной проективной плоскости — семь, в реальном проективном пространстве — 18. Таким образом можно определить все классические неевклидовы проективные пространства, такие как гиперболические, эллиптические, галилеевы и Минковские, а также двойственные им.

Диаграммы Кэли-Клейна- Вороного представляют собой аффинные диаграммы с линейными биссектрисами гиперплоскости . ^[18]

Перекрестное соотношение и расстояние

Метрика Кэли-Клейна впервые проиллюстрирована на вещественной проективной прямой P( R ) и проективных координатах . Обычно проективная геометрия не связана с метрической геометрией, но связь обеспечивает устройство с гомографией и натуральным логарифмом. Начните с двух точек p и q на P( R ). В каноническом вложении это [ p :1] и [ q :1]. Гомографическая карта

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}-1&1\\p&-q\end{pmatrix}}=[p-z:z-q]}$

переводит p в ноль и q в бесконечность. Более того, средняя точка ( p + q )/2 переходит в [1:1]. Натуральный логарифм переводит изображение интервала [ p , q ] в действительную линию, причем логарифм изображения средней точки равен 0.

Для расстояния между двумя точками в интервале метрика Кэли – Клейна использует логарифм отношения точек. Как соотношение сохраняется, когда числитель и знаменатель перепропорциональны, так и логарифм таких отношений сохраняется. Эта гибкость соотношений позволяет перемещать нулевую точку на расстояние: чтобы переместить ее в a , примените вышеуказанную гомографию, скажем, получив w . Затем сформируйте эту гомографию:

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}1&0\\0&w\end{pmatrix}}}$который переводит [ w ,1] в [1 : 1].

Композиция первой и второй гомографии переводит a в 1, тем самым нормализуя произвольное a в интервале. Составленные гомографии называются гомографиями перекрестных отношений p , q и a . Часто перекрестное соотношение вводится как функция четырех величин. Здесь три определяют гомографию, а четвертый является аргументом гомографии. Расстояние этой четвертой точки от 0 является логарифмом оцененной гомографии.

Предположим, что в проективном пространстве, содержащем P( R ), задана коника K с p и q на K . Гомография в большем пространстве может иметь K как инвариантное множество, поскольку оно переставляет точки пространства. Такая гомография индуцирует гомографию на P( R ), и поскольку p и q остаются на K , перекрестное отношение остается инвариантным. Высшие гомографии обеспечивают движение области, ограниченной K , с расстоянием, сохраняющим движение, - изометрию .

Дисковые приложения

Предположим, в качестве абсолюта выбрана единичная окружность. Это может быть в P ² ( R ), как

${\displaystyle \{[x:y:z]:x^{2}+y^{2}=z^{2}\}}$что соответствует ${\displaystyle (x/z)^{2}+(y/z)^{2}=1.}$

С другой стороны, единичная окружность в обычной комплексной плоскости

${\displaystyle \{z:|z|^{2}=zz^{*}=1\}}$использует арифметику комплексных чисел

и находится в комплексной проективной прямой P( C ), чем ^- то отличном от действительной проективной плоскости P2 ( R ). Понятие расстояния для P( R ), введенное в предыдущем разделе, доступно, поскольку P( R ) включено как в P2 ⁽ R ) , так и в P( C ). Скажем, a и b находятся внутри круга в P ² ( R ). Тогда они лежат на прямой, пересекающей окружность в точках p и q . Расстояние от a до b — это логарифм значения гомографии, созданной выше с помощью p , q и a , применительно к b . В этом случае геодезические на диске представляют собой отрезки прямых.

С другой стороны, геодезические представляют собой дуги обобщенных окружностей в диске комплексной плоскости. Этот класс кривых переставляется преобразованиями Мёбиуса , источником движений этого диска, которые покидают единичную окружность как инвариантное множество . Учитывая a и b в этом диске, существует уникальная обобщенная окружность, которая пересекает единичную окружность под прямым углом, скажем, пересекая ее в точках p и q . Опять же, для расстояния от a до b сначала строится гомография для p, q и a , затем вычисляется ее в b и, наконец, используется логарифм. Двумя моделями гиперболической плоскости , полученными таким образом, являются модель Кэли-Клейна и модель диска Пуанкаре .

Специальная теория относительности

В своих лекциях по истории математики 1919/20 г., опубликованных посмертно в 1926 г., Кляйн писал: ^[19]

Случай в четырехмерном мире или (оставаться в трех измерениях и использовать однородные координаты ) в последнее время приобрел особое значение благодаря теории относительности в физике. ${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0}$

То есть абсолюты или в гиперболической геометрии (как обсуждалось выше) соответствуют интервалам или в пространстве-времени , и их преобразования, оставляющие абсолютный инвариант, могут быть связаны с преобразованиями Лоренца . Точно так же уравнения единичного круга или единичной сферы в гиперболической геометрии соответствуют физическим скоростям или в теории относительности, которые ограничены скоростью света c , так что для любой физической скорости v отношение v / c ограничивается внутренним пространством. единичной сферы, а поверхность сферы образует абсолют Кэли для геометрии. ${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$ ${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$ ${\textstyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}$ ${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ ${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ ${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dz}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ 

Дополнительные подробности о связи между метрикой Кэли-Клейна для гиперболического пространства и пространством Минковского специальной теории относительности были указаны Клейном в 1910 году ^[20] , а также в издании 1928 года его лекций по неевклидовой геометрии. ^[21]

Аффинная CK-геометрия

В 2008 году Хорст Мартини и Маргарита Спирова обобщили первую из теорем Клиффорда о окружности и другую евклидову геометрию, используя аффинную геометрию , связанную с абсолютом Кэли:

Если абсолют содержит линию, то получается подсемейство аффинных геометрий Кэли – Клейна . Если абсолют состоит из линии f и точки F на f , то мы имеем изотропную геометрию . Изотропный круг — это коника, касающаяся f в точке F. ^[22]

Используйте однородные координаты ( x,y,z ). Линия f на бесконечности равна z = 0. Если F = (0,1,0), то парабола с диаметром, параллельным оси y, представляет собой изотропный круг.

Пусть P = (1,0,0) и Q = (0,1,0) находятся в абсолюте, поэтому f такой же, как указано выше. Считается, что прямоугольная гипербола в плоскости ( x,y ) проходит через P и Q на бесконечной прямой. Эти кривые представляют собой псевдоевклидовы круги.

В трактовке Мартини и Спировой используются двойственные числа для изотропной геометрии и числа сплит-комплекса для псевдоевклидовой геометрии. Эти обобщенные комплексные числа связаны со своей геометрией так же, как обычные комплексные числа связаны с евклидовой геометрией.

История

Кэли

Недавно в разговоре возник вопрос, может ли диссертация в 2 строки заслужить и получить стипендию. ... Проективное определение длины Кэли является наглядным примером, если мы можем интерпретировать «2 линии» с разумной широтой. ... В случае с Кэли важность идеи очевидна с первого взгляда.

Литтлвуд (1986, стр. 39–40)

Артур Кэли (1859) определил «абсолют», на котором он основывал свою проективную метрику, как общее уравнение поверхности второй степени в терминах однородных координат : ^[1]

Тогда расстояние между двумя точками определяется выражением

В двух измерениях

с расстоянием

из которых он обсудил частный случай с расстоянием ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

$${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}}$$

Он также упомянул случай (единичную сферу). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Кляйн

Феликс Кляйн (1871) переформулировал выражения Кэли следующим образом: Он написал абсолют (который он назвал фундаментальным коническим сечением) в терминах однородных координат: ^[23]

и, образовав абсолюты и для двух элементов, определил метрическое расстояние между ними через перекрестное отношение: ${\displaystyle \Omega _{xx}}$ ${\displaystyle \Omega _{yy}}$

$${\displaystyle c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \arccos {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$$

На плоскости сохраняются те же соотношения для метрических расстояний, за исключением того, что и теперь каждая связана с тремя координатами . В качестве фундаментального конического раздела он обсудил особый случай , который относится к гиперболической геометрии, когда она реальна, и к эллиптической геометрии, когда она воображаема. ^[24] Преобразования, оставляющие инвариант этой формы, представляют собой движения в соответствующем неевклидовом пространстве. В качестве альтернативы он использовал уравнение окружности в форме , которое относится к гиперболической геометрии, когда оно положительное (модель Бельтрами-Клейна), или к эллиптической геометрии, когда оно отрицательное. ^[25] В пространстве он обсуждал фундаментальные поверхности второй степени, согласно которым мнимые относятся к эллиптической геометрии, вещественные и прямолинейные соответствуют однополостному гиперболоиду , не имеющему отношения к одной из трех основных геометрий, а действительные и не -прямолинейные относятся к гиперболическому пространству. ${\displaystyle \Omega _{xx}}$ ${\displaystyle \Omega _{yy}}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0}$ ${\displaystyle \Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

В своей статье 1873 года он указал на связь между метрикой Кэли и группами преобразований. ^[26] В частности, квадратные уравнения с действительными коэффициентами, соответствующие поверхностям второй степени, можно преобразовать в сумму квадратов, у которой разница между числом положительных и отрицательных знаков остается равной (это теперь называется законом Сильвестра). инерция ). Если знаки всех квадратов одинаковы, поверхность является мнимой с положительной кривизной. Если один признак отличается от других, поверхность становится эллипсоидом или двуполостным гиперболоидом отрицательной кривизны.

В первом томе своих лекций по неевклидовой геометрии в зимнем семестре 1889/90 г. (опубликовано в 1892/1893 г.) он обсуждал неевклидову плоскость, используя эти выражения для абсолюта: ^[27] и обсуждал их инвариантность относительно к коллинеациям и преобразованиям Мёбиуса, представляющим движения в неевклидовых пространствах. $${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&{\text{(elliptic)}}\\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&{\text{(hyperbolic)}}\end{matrix}}}$$

Во втором томе, содержащем лекции летнего семестра 1890 г. (также опубликованном в 1892/1893 г.), Кляйн обсуждал неевклидово пространство с метрикой Кэли ^[28] и продолжал показывать, что варианты этой четвертичной квадратичной формы можно привести в одну следующих пяти форм вещественными линейными преобразованиями ^[29] $${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{4}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}}$$

Эта форма использовалась Кляйном как абсолют Кэли эллиптической геометрии ^[30] , а к гиперболической геометрии он отнес и, альтернативно, уравнение единичной сферы . ^[31] В конце концов он обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах. ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0}$ ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

Роберт Фрике и Кляйн суммировали все это во введении к первому тому лекций по автоморфным функциям 1897 года, в которых они использовали абсолют как в геометрии на плоскости, так и в гиперболическом пространстве. ^[32] Лекции Кляйна по неевклидовой геометрии были посмертно переизданы в одном томе и значительно отредактированы Вальтером Роземаном в 1928 году. ^[9] Исторический анализ работ Кляйна по неевклидовой геометрии был дан А'Кампо и Пападопулосом (2014). . ^[16] ${\displaystyle e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}$ ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$ ${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1}$

Смотрите также

• Гильбертова метрика

Цитаты

1. Кэли (1859), с. 82, §§209–229
2. Кляйн (1871)
3. Кляйн (1873)
4. Кляйн (1893a)
5. Кляйн (1893b)
6. Фрике и Кляйн (1897)
7. Кляйн (1910)
8. Кляйн (1926)
9. Кляйн (1928)
10. Кляйн (1928), с. 163
11. Кляйн (1928), с. 138
12. Кляйн (1928), с. 303
13. Пьерпон (1930), с. 67 и далее
14. Кляйн (1928), стр. 163, 304.
15. Рассел (1898), с. 32
16. А'Кампо и Пападопулос (2014)
17. Струве и Струве (2004), с. 157
18. Нильсен (2016)
19. Кляйн (1926), с. 138
20. Кляйн (1910)
21. Кляйн (1928), глава XI, §5
22. Мартини и Спирова (2008)
23. Кляйн (1871), с. 587
24. Кляйн (1871), с. 601
25. Кляйн (1871), с. 618
26. Кляйн (1873), §7
27. Кляйн (1893a), стр. 64, 94, 109, 138.
28. Кляйн (1893b), с. 61
29. Кляйн (1893b), с. 64
30. Кляйн (1893b), стр. 76 и далее, 108 и далее.
31. Кляйн (1893b), стр. 82 и далее, 142 и далее.
32. Фрике и Кляйн (1897), стр. 1–60, Введение.

Рекомендации

Исторический

• фон Штаудт, К. (1847). Геометрия дер Лаге. Нюрнберг: Нюрнберг Ф. Корн.
• Лагер, Э. (1853). «Примечание к теории фойе». Новые анналы математики . 12 : 57–66.
• Кэли, А. (1859). «Шестые мемуары о квантике». Философские труды Лондонского королевского общества . 149 : 61–90. дои : 10.1098/rstl.1859.0004 .
• Кляйн, Ф. (1871). «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometry». Математические Аннален . 4 (4): 573–625. дои : 10.1007/BF02100583. S2CID  119465069.
• Кляйн, Ф. (1873). «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometry». Математические Аннален . 6 (2): 112–145. дои : 10.1007/BF01443189. S2CID  123810749.
• Кляйн, Ф. (1893a). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometry I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90. Геттинген.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(второй отпечаток, первый отпечаток 1892 г.)
• Кляйн, Ф. (1893b). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890. Геттинген.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(второй отпечаток, первый отпечаток 1892 г.)

Вторичные источники

• Киллинг, В. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen. Лейпциг: Тойбнер.
• Фрике, Р.; Кляйн, Ф. (1897). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen – Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Лейпциг: Тойбнер.
• Рассел, Бертран (1898), Очерк основ геометриипереиздан в 1956 году издательством Dover Publications, Inc.
• Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра, Книга VI, Глава 1: Теория расстояния, стр. 347–70, особенно раздел 199 «Теория расстояния Кэли».
• Хаусдорф, Ф. (1899). «Аналитическая работа по нихтеуклидиской геометрии». Лейпцигерская математика-физ. Берихте . 51 : 161–214. hdl :2027/hvd.32044092889328.
• Дункан Соммервилл (1910/11) «Метрики Кэли – Клейна в n -мерном пространстве», Труды Эдинбургского математического общества 28: 25–41.
• Кляйн, Феликс (1921). «Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe»  . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 19 : 533–552. дои : 10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN 978-3-642-51898-0.Перепечатано в книге Кляйн, Феликс (1921). Gesammelte mathematische Abhandlungen . Том. 1. С. 533–552. дои : 10.1007/978-3-642-51960-4_31.Английский перевод Дэвида Дельфениха: О геометрических основах группы Лоренца.
• Веблен, О.; Янг, JW (1918). Проективная геометрия. Бостон: Джинн.
• Либманн, Х. (1923). Никтеуклидская геометрия. Берлин и Лейпциг: Берлин В. де Грюйтер.
• Кляйн, Ф. (1926). Курант Р.; Нойгебауэр, О. (ред.). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik в 19 лет. Берлин: Шпрингер.; Английский перевод: Развитие математики в XIX веке М. Акермана, Math Sci Press.
• Кляйн, Ф. (1928). Розманн, В. (ред.). Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometry. Берлин: Шпрингер.
• Пирпон, Дж. (1930). «Неевклидова геометрия, ретроспектива» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 36 (2): 66–76. дои : 10.1090/S0002-9904-1930-04885-5.
• Литтлвуд, JE (1986) [1953], сборник Литтлвуда, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33058-9, МР  0872858
• Харви Липкин (1985) Метрическая геометрия из Технологического института Джорджии.
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2004), «Проективные пространства с метриками Кэли – Клейна», Journal of Geometry , 81 (1): 155–167, doi : 10.1007/s00022-004-1679-5, ISSN  0047-2468, MR  2134074, S2CID  121783102
• Мартини, Хорст; Спирова, Маргарита (2008). «Геометрия окружности в аффинных плоскостях Кэли – Клейна». Периодика Математика Венгерка . 57 (2): 197–206. doi : 10.1007/s10998-008-8197-5. S2CID  31045705.
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), «Неевклидовы геометрии: подход Кэли-Клейна», Journal of Geometry , 89 (1): 151–170, doi : 10.1007/s00022-010-0053-z, ISSN  0047-2468, МР  2739193, S2CID  123015988
• А'Кампо, Н.; Пападопулос, А. (2014). «О так называемой неевклидовой геометрии Клейна». Ин Джи, Л.; Пападопулос, А. (ред.). Софус Ли и Феликс Кляйн: Эрлангенская программа и ее влияние на математику и физику . стр. 91–136. arXiv : 1406.7309 . дои : 10.4171/148-1/5. ISBN 978-3-03719-148-4. S2CID  6389531.
• Нильсен, Франк; Мюзеллек, Борис; Нок, Ричард (2016), «Классификация с использованием смесей кривых показателей Махаланобиса», Международная конференция IEEE по обработке изображений (ICIP) , 2016 г., стр. 241–245, doi : 10.1109/ICIP.2016.7532355, ISBN 978-1-4673-9961-6, S2CID  7481968

дальнейшее чтение

• Дрёслер, Ян (1979), «Основы многомерного метрического масштабирования в геометрии Кэли – Клейна», Британский журнал математической и статистической психологии , 32 (2): 185–211