Уравнение Майораны

Релятивистское волновое описание фермионов

В физике уравнение Майораны — это релятивистское волновое уравнение . Оно названо в честь итальянского физика Этторе Майораны , который предложил его в 1937 году как средство описания фермионов , которые являются своими собственными античастицами . ^[1] Частицы, соответствующие этому уравнению, называются частицами Майораны , хотя этот термин теперь имеет более широкое значение, относящееся к любой (возможно, нерелятивистской) фермионной частице, которая является своей собственной античастицей (и, следовательно, электрически нейтральна).

Были высказаны предположения, что массивные нейтрино описываются частицами Майораны; существуют различные расширения Стандартной модели , которые позволяют это сделать. Статья о частицах Майораны представляет статус экспериментальных поисков, включая подробности о нейтрино. Эта статья в первую очередь фокусируется на математическом развитии теории, уделяя внимание ее дискретным и непрерывным симметриям . Дискретные симметрии — это сопряжение зарядов , преобразование четности и обращение времени ; непрерывная симметрия — это инвариантность Лоренца .

Сопряжение зарядов играет огромную роль, так как это ключевая симметрия, которая позволяет описывать частицы Майораны как электрически нейтральные. Особенно примечательным аспектом является то, что электрическая нейтральность позволяет свободно выбирать несколько глобальных фаз, по одной для левого и правого хиральных полей. Это подразумевает, что без явных ограничений на эти фазы поля Майораны естественным образом нарушают CP . Другим аспектом электрической нейтральности является то, что левому и правому хиральным полям можно придать различные массы. То есть электрический заряд является инвариантом Лоренца , а также константой движения ; тогда как хиральность является инвариантом Лоренца, но не является константой движения для массивных полей. Таким образом, электрически нейтральные поля менее ограничены, чем заряженные поля. При сопряжении зарядов две свободные глобальные фазы появляются в массовых терминах (поскольку они инвариантны Лоренца), и поэтому масса Майораны описывается комплексной матрицей, а не одним числом. Короче говоря, дискретные симметрии уравнения Майораны значительно сложнее, чем у уравнения Дирака , где симметрия электрического заряда ограничивает и устраняет эти свободы. ${\displaystyle U(1)}$

Определение

Уравнение Майораны можно записать в нескольких различных формах:

• Поскольку уравнение Дирака записано таким образом, что оператор Дирака является чисто эрмитовым, то и решения получаются чисто действительными.
• Как оператор, связывающий четырехкомпонентный спинор с его зарядовым сопряжением .
• Как дифференциальное уравнение 2×2, действующее на сложный двухкомпонентный спинор, напоминающее уравнение Вейля с собственно Лоренц-ковариантным массовым членом. ^{[2] [3] [4] [5]}

Эти три формы эквивалентны и могут быть выведены друг из друга. Каждая из них предлагает немного различное понимание природы уравнения. Первая форма подчеркивает, что могут быть найдены чисто вещественные решения. Вторая форма проясняет роль сопряжения зарядов . Третья форма обеспечивает наиболее прямой контакт с теорией представления группы Лоренца .

Чисто действительная четырехкомпонентная форма

Традиционной отправной точкой является утверждение, что « уравнение Дирака может быть записано в эрмитовой форме », когда гамма-матрицы берутся в представлении Майораны . Уравнение Дирака тогда записывается как ^[6]

${\displaystyle \left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0}$

с чисто вещественными симметричными матрицами 4×4 и чисто мнимыми кососимметричными; как требуется для обеспечения эрмитового оператора (часть внутри скобок). В этом случае могут быть найдены чисто вещественные 4-спинорные решения уравнения; это спиноры Майораны . ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle \beta }$

Зарядово-сопряженная четырехкомпонентная форма

Уравнение Майораны имеет вид

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~}$

с оператором производной, записанным в нотации Фейнмана с косой чертой, чтобы включить гамма-матрицы , а также суммирование по компонентам спинора. Спинор является зарядовым сопряжением По построению зарядовые сопряжения обязательно задаются как ${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}$ ${\textstyle \,\psi _{c}\,}$ ${\textstyle \,\psi \,.}$

${\displaystyle \psi _{c}=\eta _{c}\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}~}$

где обозначает транспонирование , — произвольный фазовый множитель , условно принимаемый за и — матрица 4×4, матрица сопряжения заряда . Матричное представление зависит от выбора представления гамма-матриц . По соглашению сопряженный спинор записывается как ${\displaystyle \,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,}$ ${\displaystyle \,\eta _{c}\,}$ ${\displaystyle \,|\eta _{c}|=1\,,}$ ${\displaystyle \,\eta _{c}=1\,,}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\,\gamma ^{0}~.}$

Из матрицы сопряжения зарядов следует ряд алгебраических тождеств ^[a]. Одно из них утверждает, что в любом представлении гамма -матриц , включая представления Дирака, Вейля и Майораны, и поэтому можно записать ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \,C\,\gamma _{\mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,}$

${\displaystyle \psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~}$

где — комплексно сопряженная матрица. Матрица зарядового сопряжения также обладает тем свойством, что ${\displaystyle \,\psi ^{*}\,}$ ${\displaystyle \,\psi \,.}$ ${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }=C^{\mathsf {T}}=-C}$

во всех представлениях (Дирака, хирального, Майорана). Из этого и изрядной доли алгебры можно получить эквивалентное уравнение:

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

Доказательство

Эта форма не совсем очевидна, поэтому требует доказательства. Начиная с

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,\psi _{c}=0}$

Расширять : ${\displaystyle \,\psi _{c}=C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0}$

Умножить на использование : ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,C^{2}=-1\,}$

${\displaystyle -i\,C\,{\partial \!\!\!{\big /}}C^{-1}\,C\,\psi -m\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0}$

Зарядовое сопряжение транспонирует гамма-матрицы:

${\displaystyle +i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\mathsf {T}}\,C\,\psi -m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\mathsf {T}}\,\psi ^{*}=0}$

Возьмем комплексно сопряженное число:

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }\,\psi =0}$

Матрица является эрмитовой во всех трех представлениях (Дирака, хиральной, Майорана): ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle \,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0}$

Это также инволюция , принимающая эрмитово сопряжение : ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{0}=\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }}$

${\displaystyle -i\,\gamma ^{0}\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0}$

Умножаем на , отмечаем это и используем : ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle \,\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I\,}$ ${\displaystyle \,C^{*}=C\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}-m\,\psi =0}$

Вышеизложенное — это всего лишь определение сопряженного числа, поэтому делаем вывод, что

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

Подробное обсуждение физической интерпретации матрицы как зарядового сопряжения можно найти в статье о зарядовом сопряжении . Короче говоря, она участвует в отображении частиц в их античастицы , что включает, среди прочего, изменение электрического заряда на противоположный . Хотя определяется как «зарядовое сопряжение» оператора зарядового сопряжения, имеет не одно, а два собственных значения. Это позволяет определить второй спинор, спинор ELKO. Это обсуждается более подробно ниже. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi ^{c}}$ ${\displaystyle \psi ,}$

Сложная двухкомпонентная форма

Оператор Майораны определяется как ${\displaystyle \,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K}$

где

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin{bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2}&-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}}$

— вектор , компонентами которого являются единичная матрица 2×2 для и (минус) матрицы Паули для — произвольный фазовый множитель, обычно принимаемый равным единице: — матрица 2×2, которую можно интерпретировать как симплектическую форму для симплектической группы , которая является двойным покрытием группы Лоренца . Это ${\displaystyle \,I_{2}\,}$ ${\displaystyle \,\mu =0\,}$ ${\displaystyle \,\mu \in \{1,\,2,\,3\}\,.}$ ${\displaystyle \,\eta \,}$ ${\displaystyle \,|\eta |=1\,,}$ ${\displaystyle \,\eta =1\,.}$ ${\displaystyle \,\omega \,}$ ${\displaystyle \,\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,}$

${\displaystyle \omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,}$

которая оказывается изоморфной мнимой единице « i » (т.е. и для ), причем транспонирование матрицы является аналогом комплексного сопряжения . ${\displaystyle \omega ^{2}=-I\,}$ ${\displaystyle \,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,}$ ${\displaystyle \,a,b\in \mathbb {R} }$

Наконец, это краткое напоминание о том, что нужно взять комплексное сопряжение. Уравнение Майораны для левостороннего комплекснозначного двухкомпонентного спинора тогда будет ${\displaystyle \,K\,}$ ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}\,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0}$

или, что то же самое,

${\displaystyle i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0}$

с комплексным сопряжением Нижний индекс L используется в этом разделе для обозначения левостороннего хирального спинора; при преобразовании четности его можно перевести в правосторонний спинор, и, таким образом, также получим правостороннюю форму уравнения. Это применимо и к четырехкомпонентному уравнению; более подробная информация представлена ​​ниже. ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,}$ ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}(x)\,.}$

Ключевые идеи

Здесь обобщены некоторые свойства уравнения Майораны, его решения и его лагранжевой формулировки.

• Уравнение Майораны похоже на уравнение Дирака в том смысле, что оно включает в себя четырехкомпонентные спиноры, гамма-матрицы и массовые члены, но включает в себя зарядовое сопряжение  спинора . Напротив, уравнение Вейля относится к двухкомпонентному спинору без массы . ${\textstyle \psi _{c}}$  ${\textstyle \psi }$
• Решения уравнения Майораны можно интерпретировать как электрически нейтральные частицы, которые являются своими собственными античастицами. По соглашению оператор сопряжения зарядов переводит частицы в их античастицы, и поэтому спинор Майораны традиционно определяется как решение, где То есть спинор Майораны является «своей собственной античастицей». Поскольку сопряжение зарядов переводит электрически заряженную частицу в ее античастицу с противоположным зарядом, следует заключить, что спинор Майораны электрически нейтрален. ${\displaystyle \psi =\psi _{c}.}$
• Уравнение Майораны является ковариантным относительно Лоренца , и из его спиноров можно построить множество скаляров Лоренца. Это позволяет построить несколько различных лагранжианов для полей Майораны.
• Когда лагранжиан выражается в терминах двухкомпонентных левых и правых хиральных спиноров, он может содержать три различных массовых члена: левый и правый массовые члены Майораны и массовый член Дирака. Они физически проявляются как две различные массы; это ключевая идея механизма качелей для описания нейтрино малой массы с левосторонней связью со Стандартной моделью, при этом правосторонняя компонента соответствует стерильному нейтрино в массах масштаба GUT .
• Дискретные симметрии сопряжения C , P и T тесно контролируются свободно выбранным фазовым множителем на операторе сопряжения заряда . Это проявляется в виде отдельных комплексных фаз на массовых членах. Это позволяет записывать как CP-симметричные, так и CP-нарушающие лагранжианы.
• Поля Майораны являются CPT-инвариантными , но инвариантность в некотором смысле "более свободная", чем для заряженных частиц. Это происходит потому, что заряд обязательно является Лоренц-инвариантным свойством и, таким образом, ограничен для заряженных полей. Нейтральные поля Майораны не ограничены таким образом и могут смешиваться.

Двухкомпонентное уравнение Майораны

Уравнение Майораны может быть записано как в терминах действительного четырехкомпонентного спинора, так и в виде комплексного двухкомпонентного спинора. Оба могут быть построены из уравнения Вейля с добавлением собственно Лоренц-ковариантного массового члена. ^[7] В этом разделе дается явное построение и артикуляция.

Уравнение Вейля

Уравнение Вейля описывает временную эволюцию безмассового комплекснозначного двухкомпонентного спинора . Его условно записывают как ^{[8] [9] [10]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Написанное явно, это

${\displaystyle I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

Четырехвектор Паули — это

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

то есть вектор , компонентами которого являются единичная матрица 2 × 2 при μ = 0 и матрицы Паули при μ = 1, 2, 3. При преобразовании четности получается двойственное уравнение ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}}$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

где . Это две различные формы уравнения Вейля; их решения также различны. Можно показать, что решения имеют левую и правую спиральность , и, следовательно, хиральность . Принято явно обозначать эти две различные формы, таким образом: ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Лоренц-инвариантность

Уравнение Вейля описывает безмассовую частицу; уравнение Майораны добавляет массовый член. Масса должна быть введена лоренц -инвариантным образом. Это достигается наблюдением того, что специальная линейная группа изоморфна симплектической группе. Обе эти группы являются двойными покрытиями группы Лоренца . Лоренц -инвариантность производного члена (из уравнения Вейля) традиционно формулируется в терминах действия группы на спиноры, тогда как лоренц-инвариантность массового члена требует вызова определяющего соотношения для симплектической группы. ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3).}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$

Двойное покрытие группы Лоренца задается формулой

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

где и и — эрмитово транспонирование . Это используется для связи свойств преобразования дифференциалов при преобразовании Лоренца со свойствами преобразования спиноров. ${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$ ${\displaystyle S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S^{\dagger }}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

Симплектическая группа определяется как множество всех комплексных матриц 2×2, удовлетворяющих ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}}$

где

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

является кососимметричной матрицей . Она используется для определения симплектической билинейной формы на Записывая пару произвольных двухвекторов как ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}}$

симплектическое произведение равно

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

где транспонировано Эта форма инвариантна относительно преобразований Лоренца, в том смысле, что ${\displaystyle u^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle u~.}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle }$

Перекошенная матрица вычитает из матриц Паули их транспонированные значения:

${\displaystyle \omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}}$

для Матрицу косого угла можно интерпретировать как произведение преобразования четности и транспонирования, действующего на два спинора. Однако, как будет подчеркнуто в следующем разделе, ее можно также интерпретировать как один из компонентов оператора сопряжения зарядов , причем другим компонентом является комплексное сопряжение . Применение ее к преобразованию Лоренца дает ${\displaystyle k=1,2,3.}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Эти два варианта описывают ковариационные свойства дифференциалов, действующих на левые и правые спиноры соответственно.

Дифференциалы

При преобразовании Лоренца дифференциальный член преобразуется как ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

при условии, что правостороннее поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

Аналогично, левосторонний дифференциал преобразуется как

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

при условии, что левый спинор преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)}$

Доказательство

Эти свойства преобразования не являются особенно "очевидными", и поэтому заслуживают тщательного вывода. Начните с формы

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

для определения некоторого неизвестного . Преобразование Лоренца в координатах равно ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

или, что то же самое,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Это приводит к

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Для того чтобы использовать карту Вейля

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

несколько индексов должны быть подняты и опущены. Это легче сказать, чем сделать, так как это вызывает тождество

${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}}$

где - метрика Минковского в плоском пространстве . Вышеуказанное тождество часто используется для определения элементов. Берем транспонирование: ${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

писать

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Таким образом, восстанавливается исходная форма, если то есть, Выполняя те же манипуляции для левостороннего уравнения, приходим к выводу, что ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ ${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

с ^[б] ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

Массовый член

Комплексное сопряжение правого спинорного поля преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Определяющее соотношение для можно переписать как Из этого следует, что косокомплексное поле преобразуется как ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \,.}$

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Это полностью совместимо со свойством ковариации дифференциала. Принимая за произвольный комплексный фазовый фактор, линейная комбинация ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

преобразуется ковариантным образом. Установка этого значения в ноль дает комплексное двухкомпонентное уравнение Майораны для правого поля. Аналогично, левохиральное уравнение Майораны (включая произвольный фазовый фактор ) имеет вид ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Левая и правая хиральные версии связаны преобразованием четности . Как показано ниже, они квадратятся к оператору Клейна–Гордона только если Косое комплексное сопряжение может быть распознано как зарядово-сопряженная форма этого, более подробно изложенная ниже. Таким образом, уравнение Майораны можно читать как уравнение, которое связывает спинор с его зарядово-сопряженной формой. ${\displaystyle \eta =\zeta .}$ ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ ${\displaystyle \psi ~;}$

Левый и правый операторы Майораны

Определим пару операторов, операторы Майораны,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}&=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}}$

где — сокращенное напоминание о том, что нужно взять комплексное сопряжение. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dagger }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\mathrm {D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}}$

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}}$

как и выше. Таким образом, соответствующие комбинации этих являются Лоренц-ковариантными, и можно взять

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}}$

как пара комплексных 2-спинорных уравнений Майораны.

Оба продукта и являются Лоренц-ковариантными. Продукт явно ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Для проверки этого необходимо иметь в виду, что и что Правая часть сводится к оператору Клейна–Гордона при условии, что , то есть Таким образом, эти два оператора Майораны являются «квадратными корнями» оператора Клейна–Гордона. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$ ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Четырехкомпонентное уравнение Майораны

Реальная четырехкомпонентная версия уравнения Майораны может быть построена из комплексного двухкомпонентного уравнения следующим образом. Учитывая комплексное поле, удовлетворяющее, как указано выше, определим ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle \chi _{\rm {R}}\equiv -\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}}$

Используя приведенный выше алгебраический аппарат, нетрудно показать, что

${\displaystyle \left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\right)\chi _{\rm {R}}=0}$

Определение сопряженного оператора

${\displaystyle \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

Четырехкомпонентное уравнение Майораны тогда имеет вид

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)\left(\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}\right)=0}$

Если описать это подробно, то можно

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}={\begin{bmatrix}\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\\0&\delta _{\rm {R}}\end{bmatrix}}=i{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\partial _{t}+i{\begin{bmatrix}-\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{bmatrix}}\nabla _{k}+m{\begin{bmatrix}\eta \omega K&0\\0&-\eta \omega K\end{bmatrix}}}$

Умножение слева на

${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}}}$

приводит вышесказанное в матричную форму, в которой гамма-матрицы в хиральном представлении могут быть распознаны. Это

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)={\begin{bmatrix}0&\delta _{\rm {R}}\\\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\end{bmatrix}}=i\beta \partial _{t}+i{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\nabla _{k}-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

То есть,

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Применяем это к 4-спинору

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\chi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

и вспоминая , что спинор является собственным состоянием массового члена, ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

и поэтому для этого конкретного спинора четырехкомпонентное уравнение Майораны сводится к уравнению Дирака

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right){\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}=0}$

Косая матрица может быть отождествлена ​​с оператором сопряжения зарядов (в базисе Вейля ). Явно это

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Для произвольного четырехкомпонентного спинора его зарядовое сопряжение равно ${\displaystyle \psi ~,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}=\eta C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

с обычной матрицей 4×4, имеющей форму, явно указанную в статье о гамма-матрицах . В заключение, 4-компонентное уравнение Майораны можно записать как ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi \\&=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi ^{c}\end{aligned}}}$

Зарядовое сопряжение и четность

Оператор сопряжения зарядов появляется непосредственно в 4-компонентной версии уравнения Майораны. Когда спинорное поле является зарядовым сопряжением самого себя, то есть когда тогда уравнение Майораны сводится к уравнению Дирака, и любое решение может быть интерпретировано как описание электрически нейтрального поля. Однако оператор сопряжения зарядов имеет не одно, а два различных собственных состояния, одним из которых является спинор ELKO; он не решает уравнение Майораны, а скорее его версию с измененным знаком. ${\displaystyle \psi ^{c}=\psi ,}$

Оператор сопряжения заряда для четырехкомпонентного спинора определяется как ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$

Общее обсуждение физической интерпретации этого оператора в терминах электрического заряда дано в статье о сопряжении зарядов . Дополнительные обсуждения предоставлены Бьёркеном и Дреллом ^[11] или Ициксоном и Зубером. ^[c] В более абстрактных терминах это спинорный эквивалент комплексного сопряжения связи электромагнитного поля. Это можно увидеть следующим образом. Если у вас есть одно действительное скалярное поле , оно не может связываться с электромагнетизмом; однако пара действительных скалярных полей, организованных в виде комплексного числа , может. Для скалярных полей сопряжение зарядов совпадает с комплексным сопряжением . Дискретные симметрии калибровочной теории вытекают из «тривиального» наблюдения, что ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle *:U(1)\to U(1)\quad e^{i\phi }\mapsto e^{-i\phi }}$

является автоморфизмом Для спинорных полей ситуация более запутанная. Грубо говоря, однако, можно сказать, что поле Майорана электрически нейтрально, и что, взяв подходящую комбинацию двух полей Майорана, можно интерпретировать как единое электрически заряженное поле Дирака. Оператор сопряжения зарядов, приведенный выше, соответствует автоморфизму ${\displaystyle U(1).}$ ${\displaystyle U(1).}$

В приведенном выше примере — это матрица 4×4, приведенная в статье о гамма-матрицах . Ее явная форма зависит от представления. Оператор не может быть записан как матрица 4×4, поскольку он берет комплексное сопряжение , а комплексное сопряжение не может быть достигнуто с комплексной матрицей 4×4. Его можно записать как действительную матрицу 8×8, предполагая, что также записывается как чисто действительный 8-компонентный спинор. Позволяя обозначать комплексное сопряжение, так что затем можно записать для четырехкомпонентных спиноров, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(x+iy)=x-iy,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}=-\eta \gamma ^{0}CK}$

Нетрудно показать, что и что Из первого тождества следует, что оно имеет два собственных значения, которые можно записать как ${\displaystyle {\mathsf {C}}^{2}=1}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}=-\gamma ^{\mu }~.}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}}$

Собственные векторы легко находятся в базисе Вейля. Из вышесказанного, в этом базисе, явно ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

и таким образом

${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\mp \eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Оба собственных вектора, очевидно, являются решениями уравнения Майораны. Однако только положительный собственный вектор является решением уравнения Дирака:

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi ^{(+)}=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ^{(+)}}$

Отрицательный собственный вектор "не работает", у него неправильный знак на члене массы Дирака. Однако он все еще решает уравнение Клейна–Гордона. Отрицательный собственный вектор называется спинором ELKO.

Доказательство

То, что оба собственных состояния решают уравнение Клейна–Гордона, следует из более ранних тождеств для двухкомпонентных версий. Определяя, как и прежде,

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\qquad \mathrm {D} _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

Как было показано ранее

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Четырехкомпонентный спинор требует введения

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\qquad \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

которые также подчиняются

${\displaystyle \delta _{\rm {R}}\delta _{\rm {L}}=\delta _{\rm {L}}\delta _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Поэтому

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Хиральное представление требует дополнительного множителя : ${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}}$

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\qquad \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

и поэтому можно сделать вывод, что

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}\right)\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)}$

То есть оба собственных вектора оператора сопряжения зарядов решают уравнение Клейна–Гордона. Последнее тождество можно проверить и напрямую, заметив, что и что ${\displaystyle {\mathsf {C}}i=-i{\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}~.}$

Паритет

При четности левые спиноры преобразуются в правые спиноры. Два собственных вектора оператора сопряжения зарядов, снова в базисе Вейля, равны

${\displaystyle \psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Как и прежде, оба решают четырехкомпонентное уравнение Майораны, но только одно также решает уравнение Дирака. Это можно показать, построив четырехкомпонентное уравнение четности-дуальное. Оно принимает вид

${\displaystyle \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

где

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

Учитывая двухкомпонентный спинор, определим его сопряжение как Нетрудно показать, что и что, следовательно, если то также и, следовательно, что ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}.}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}})}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$ ${\displaystyle \delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)}$

или эквивалентно

${\displaystyle 0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Это работает, потому что и поэтому это сводится к уравнению Дирака для ${\displaystyle {\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})}$

${\displaystyle \psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}=\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

В заключение и еще раз напомним, что уравнение Майораны имеет вид

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}}$

Оно имеет четыре неэквивалентных, линейно независимых решения. Из них только два являются также решениями уравнения Дирака: а именно и ${\displaystyle \psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(+)}}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{(-)}~.}$

Решения

Собственные состояния спина

Удобной отправной точкой для записи решений является работа в системе покоя спиноров. Запись квантового гамильтониана с использованием общепринятых правил знаков приводит к уравнению Майораны, принимающему вид ${\displaystyle H=i\partial _{t}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}}$

В хиральном (вейлевском) базисе имеем, что

${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$

с вектором Паули . Соглашение о знаках здесь соответствует статье gamma matrices . Подставляя положительное зарядовое сопряженное собственное состояние, приведенное выше, получаем уравнение для двухкомпонентного спинора ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ ${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(+)}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})}$

и также

${\displaystyle i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})+m\psi _{\rm {L}}}$

На самом деле эти два уравнения представляют собой одно и то же уравнение, в чем можно убедиться, заметив, что оно дает комплексное сопряжение матриц Паули: ${\displaystyle \sigma _{2}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.}$

Решения плоской волны могут быть разработаны для энергии-импульса и наиболее просто сформулированы в системе покоя. Решение для системы покоя со спином вверх имеет вид ${\displaystyle \left(k_{0},{\vec {k}}\right)}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}}$

в то время как решение спин-дауна

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}}$

То, что они интерпретируются правильно, можно увидеть, перевыразив их в базисе Дирака, как спиноры Дирака . В этом случае они принимают форму

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}}$

Это спиноры системы покоя. Их можно рассматривать как линейную комбинацию решений уравнения Дирака с положительной и отрицательной энергией. Это единственные два решения; уравнение Майораны имеет только два линейно независимых решения, в отличие от уравнения Дирака, у которого их четыре. Удвоение степеней свободы уравнения Дирака можно приписать спинорам Дирака, несущим заряд.

Собственные состояния импульса

В общей системе импульса спинор Майораны можно записать как

Электрический заряд

Появление и и в уравнении Майораны означает, что поле  не может быть связано с заряженным электромагнитным полем без нарушения закона сохранения заряда , поскольку частицы имеют противоположный заряд своим собственным античастицам. Чтобы удовлетворить этому ограничению, необходимо считать электрически нейтральным. Это можно сформулировать более подробно. ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \psi _{c}}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \psi }$

Уравнение Дирака можно записать в чисто вещественной форме, когда гамма-матрицы берутся в представлении Майораны. Тогда уравнение Дирака можно записать как ^[d]

${\displaystyle \left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0}$

с чисто вещественными симметричными матрицами и чисто мнимыми кососимметричными. В этом случае можно найти чисто вещественные решения уравнения; это спиноры Майораны. Под действием преобразований Лоренца они преобразуются под действием (чисто вещественной) группы спинов Это контрастирует со спинорами Дирака , которые ковариантны только под действием комплексированной группы спинов. Интерпретация заключается в том, что комплексированная группа спинов кодирует электромагнитный потенциал, а вещественная группа спинов — нет. ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3).}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(1,3).}$

Это можно сформулировать и по-другому: уравнение Дирака и спиноры Дирака содержат достаточное количество калибровочной свободы для естественного кодирования электромагнитных взаимодействий. Это можно увидеть, заметив, что электромагнитный потенциал можно очень просто добавить к уравнению Дирака, не требуя никаких дополнительных изменений или расширений ни уравнения, ни спинора. Местоположение этой дополнительной степени свободы точно указывается оператором сопряжения зарядов, а наложение ограничения Майораны устраняет эту дополнительную степень свободы. После удаления не может быть никакой связи с электромагнитным потенциалом, следовательно, спинор Майораны обязательно электрически нейтрален. Электромагнитная связь может быть получена только путем добавления обратно комплексно-значного фазового множителя и связывания этого фазового множителя с электромагнитным потенциалом. ${\textstyle \psi =\psi _{c}}$

Вышеизложенное можно еще больше заострить, рассмотрев ситуацию в пространственных измерениях. В этом случае комплексифицированная спиновая группа имеет двойное покрытие с помощью окружности. Подразумевается, что кодирует обобщенные преобразования Лоренца (конечно), в то время как окружность можно отождествить с действием калибровочной группы на электрические заряды. То есть, действие калибровочной группы комплексифицированной спиновой группы на спиноре Дирака можно разделить на чисто вещественную лоренцеву часть и электромагнитную часть. Это можно дополнительно разработать на неплоских (не плоских по Минковскому) спиновых многообразиях . В этом случае оператор Дирака действует на спинорное расслоение . Разложенный на отдельные члены, он включает обычную ковариантную производную. Можно видеть, что поле возникает непосредственно из кривизны комплексифицированной части спинового расслоения, в том смысле, что калибровочные преобразования связываются с комплексифицированной частью, а не с вещественной спинорной частью. То, что поле соответствует электромагнитному потенциалу, можно увидеть, заметив, что (например) квадрат оператора Дирака равен Лапласиану плюс скалярная кривизна (базового многообразия, на котором находится спинорное поле) плюс (электромагнитная) напряженность поля. Для случая Майораны имеются только преобразования Лоренца, действующие на спинор Майораны; комплексификация не играет никакой роли. Подробное рассмотрение этих тем можно найти в Jost ^[12], тогда как случай изложен в Bleeker. ^[13] К сожалению, ни в одном из текстов спинор Майораны явно не сформулирован в прямой форме. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle d+A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F=dA.}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

Кванты поля

Кванты уравнения Майораны допускают два класса частиц: нейтральную частицу и ее нейтральную античастицу . Часто применяемое дополнительное условие соответствует спинору Майораны. ${\textstyle \Psi =\Psi _{c}}$

частица Майораны

Частицы, соответствующие спинорам Майораны, известны как майорановские частицы из-за вышеуказанного ограничения самосопряженности. Все фермионы, включенные в Стандартную модель, были исключены как майорановские фермионы (поскольку они имеют ненулевой электрический заряд, они не могут быть античастицами самих себя), за исключением нейтрино ( которое нейтрально).

Теоретически нейтрино является возможным исключением из этой модели. Если это так, то возможен двойной бета-распад без нейтрино , а также ряд распадов мезонов и заряженных лептонов , нарушающих лептонное число. В настоящее время проводится ряд экспериментов, проверяющих, является ли нейтрино частицей Майораны. ^[14]

Примечания

1. Внимание: не все авторы используют одни и те же соглашения для сопряжения зарядов, поэтому есть много места для тонких ошибок знаков. В этой статье и в статье о сопряжении зарядов используются соглашения Ициксона и Зубера ( Квантовая теория поля , см. Главу 2 и Приложение A). Они очень немного отличаются от релятивистской квантовой механики Бьёркена и Дрелла , поэтому при сравнении этих двух статей необходимо делать допущения.
2. Результаты, представленные здесь, идентичны результатам Aste, op. cit. , уравнения 52 и 57, хотя вывод, выполненный здесь, совершенно другой. Двойное покрытие, используемое здесь, также идентично уравнениям Aste 48 и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи о группе Лоренца .
3. Ицыксон и Зубер, цит. соч. (Глава 2-4)
4. Ициксон и Зубер, (см. главу 2-1-2, стр. 49)

Ссылки

1. Этторе Майорана, "Teoria Simmetrica Dell' Elettrone E Del Positrone", Nuovo Cimento 14 (1937), стр. 171–184. PDF Оригинальная итальянская версия
2. Асте, Андреас (2010). «Прямая дорога к полям Майораны». Симметрия . 2010 (2): 1776–1809. arXiv : 0806.1690 . Bibcode : 2010Symm....2.1776A. doi : 10.3390/sym2041776 .
3. Пал, Палаш Б. (2011). «Фермионы Дирака, Майораны и Вейля». American Journal of Physics . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . Bibcode : 2011AmJPh..79..485P. doi : 10.1119/1.3549729. S2CID  118685467.
4. Марш, Эккарт (2012). «Об уравнении Майораны: соотношения между его комплексными двухкомпонентными и действительными четырехкомпонентными собственными функциями». ISRN Mathematical Physics . 2012 : 1–17. arXiv : 1207.4685 . doi : 10.5402/2012/760239 . Статья 760239.
5. Марш, Эккарт (2013). «Новый путь к уравнению Майораны». Симметрия . 5 (4): 271–286. Bibcode :2013Symm....5..271M. doi : 10.3390/sym5040271 .
6. Ициксон, Клод; Зубер, Жан-Бернард (1980). Квантовая теория поля . MacGraw-Hill. §2‑1‑2, стр. 49.
7. Андреас Асте, (2010) «Прямая дорога к Майорана-Филдс», Symmetry 2010 (2) 1776-1809; doi:10.3390/sym2041776 ISSN 2073-8994.
8. Квантовая механика, Э. Аберс, редактор Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
9. Кембриджский справочник по физическим формулам, Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
10. Введение в квантовую теорию поля, ME Peskin, DV Schroeder, Addison-Wesley, 1995, ISBN 0-201-50397-2 
11. Джеймс Д. Бьоркен, Сидней Д. Дрелл, (1964) «Релятивистская квантовая механика», McGraw-Hill (см. главу 5.2, страницы 66-70)
12. Юрген Йост (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ» (3-е издание) Springer Universitext. (См. главу 1.8 о спиновых структурах и главу 3.4 об операторе Дирака.)
13. Дэвид Бликер, (1981) «Калибровочная теория и вариационные принципы» Эддисон-Уэсли (см. главу 6 о свободном поле Дирака и главу 7 о взаимодействующем поле).
14. А. Франклин, Существуют ли нейтрино на самом деле?: Доказательная история (Westview Press, 2004), стр. 186

Дополнительное чтение

• "Наследие Майораны в современной физике", Электронный журнал теоретической физики (EJTP) Том 3, Выпуск 10 (апрель 2006 г.) Специальный выпуск к столетию Этторе Майораны (1906-1938?) . ISSN 1729-5254
• Фрэнк Вильчек, (2009) «Майорана возвращается», Nature Physics , том 5, страницы 614–618.