Микрополосковая линия

Линия электропередачи проводник-земля

Поперечное сечение микрополосковой геометрии. Проводник (A) отделен от заземляющей плоскости (D) диэлектрической подложкой (C). Верхний диэлектрик (B) обычно представляет собой воздух.

Микрополосковая линия — это тип линии электропередачи , которая может быть изготовлена ​​с помощью любой технологии, где проводник отделен от заземляющей плоскости диэлектрическим слоем, известным как «подложка». Микрополосковые линии используются для передачи сигналов СВЧ -частоты.

Типичные технологии реализации — печатная плата (PCB), оксид алюминия, покрытый слоем диэлектрика или иногда кремния, или некоторые другие подобные технологии. Микроволновые компоненты, такие как антенны , ответвители , фильтры , делители мощности и т. д., могут быть сформированы из микрополосковой линии, при этом все устройство существует как шаблон металлизации на подложке. Таким образом, микрополосковая линия намного дешевле традиционной волноводной технологии, а также намного легче и компактнее. Микрополосковая линия была разработана лабораториями ITT в качестве конкурента полосковой линии (впервые опубликовано Григом и Энгельманном в трудах IRE в декабре 1952 года). ^[1]

Недостатками микрополосковой линии по сравнению с волноводом являются, как правило, меньшая мощность передачи и более высокие потери. Кроме того, в отличие от волновода, микрополосковая линия обычно не закрыта, и поэтому подвержена перекрестным помехам и непреднамеренному излучению.

Для наименьшей стоимости микрополосковые устройства могут быть построены на обычной подложке FR-4 (стандартная печатная плата). Однако часто оказывается, что диэлектрические потери в FR4 слишком высоки на микроволновых частотах, и что диэлектрическая проницаемость недостаточно жестко контролируется. По этим причинам обычно используется подложка из оксида алюминия . С точки зрения монолитной интеграции микрополоски с технологиями интегральных схем/ монолитных микроволновых интегральных схем могут быть осуществимы, однако их производительность может быть ограничена имеющимися диэлектрическими слоями и толщиной проводника.

Микрополосковые линии также используются в высокоскоростных цифровых печатных платах, где сигналы необходимо направлять из одной части сборки в другую с минимальными искажениями и без сильных перекрестных помех и излучений.

Микрополосковая линия является одной из многих форм планарной линии передачи , другие включают полосковую линию и копланарный волновод , и все они могут быть интегрированы на одной подложке.

Дифференциальная микрополосковая линия — сбалансированная сигнальная пара микрополосковых линий — часто используется для высокоскоростных сигналов, таких как тактовые частоты DDR2 SDRAM , высокоскоростные линии данных USB, линии данных PCI Express , линии данных LVDS и т. д., часто все на одной печатной плате. ^{[2] [3] [4]} Большинство инструментов проектирования печатных плат поддерживают такие дифференциальные пары . ^{[5] [6]}

Неоднородность

Электромагнитная волна, переносимая микрополосковой линией, частично существует в диэлектрической подложке, а частично в воздухе над ней. В общем случае диэлектрическая проницаемость подложки будет отличаться (и больше), чем у воздуха, так что волна распространяется в неоднородной среде. В результате скорость распространения находится где-то между скоростью радиоволн в подложке и скоростью радиоволн в воздухе. Такое поведение обычно описывается указанием эффективной диэлектрической проницаемости микрополосковой линии; это диэлектрическая проницаемость эквивалентной однородной среды (т. е. среды, дающей ту же скорость распространения).

К другим последствиям неоднородной среды относятся:

• Линия не будет поддерживать истинную волну TEM ; на ненулевых частотах поля E и H будут иметь продольные компоненты ( гибридная мода ). ^[7] Однако продольные компоненты малы, и поэтому доминирующая мода называется квази-TEM. ^[8]
• Линия дисперсионная . С ростом частоты эффективная диэлектрическая проницаемость постепенно приближается к диэлектрической проницаемости подложки, так что фазовая скорость постепенно уменьшается. ^{[7] [9]} Это справедливо даже для недисперсионного материала подложки (диэлектрическая проницаемость подложки обычно падает с ростом частоты).
• Характеристическое сопротивление линии немного меняется с частотой (опять же, даже с недисперсионным материалом подложки). Характеристическое сопротивление не-TEM-мод не определено однозначно, и в зависимости от используемого точного определения, импеданс микрополоски либо растет, либо падает, либо падает, а затем растет с ростом частоты. ^[10] Низкочастотный предел характеристического сопротивления называется квазистатическим характеристическим сопротивлением и является одинаковым для всех определений характеристического сопротивления.
• Волновое сопротивление изменяется по поперечному сечению линии.
• Микрополосковые линии излучают, а элементы разрыва, такие как шлейфы и столбы, которые были бы чистыми реактивными сопротивлениями в полосковой линии, имеют небольшую резистивную составляющую из-за излучения от них. ^[11]

Характеристическое сопротивление

Замкнутое приближенное выражение для квазистатического характеристического сопротивления микрополосковой линии было разработано Уилером : ^{[12] [13] [14]}

${\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\frac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {2(1+\varepsilon _{r})}}}}\mathrm {ln} \left(1+{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}+{\sqrt {\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\right)^{2}+\pi ^{2}{\frac {1+1/\varepsilon _{\text{r}}}{2}}}}\right)\right),}$

где w _eff — эффективная ширина , которая представляет собой фактическую ширину полосы плюс поправка для учета ненулевой толщины металлизации:

${\displaystyle w_{\textrm {eff}}=w+t{\frac {1+1/\varepsilon _{r}}{2\pi }}\ln \left({\frac {4e}{\sqrt {\left({\frac {t}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{w/t+11/10}}\right)^{2}}}}\right).}$

Здесь Z ₀ — импеданс свободного пространства , ε _r — относительная диэлектрическая проницаемость подложки, w — ширина полоски, h — толщина («высота») подложки, t — толщина металлизации полоски.

Эта формула асимптотически близка к точному решению в трех различных случаях:

1. w ≫ h , любое ε _r (линия передачи с параллельными пластинами),
2. w ≪ h , ε _r = 1 (провод над заземляющей плоскостью), и
3. w ≪ h , ε _r ≫ 1 .

Утверждается, что для большинства других случаев ошибка в импедансе составляет менее 1% и всегда менее 2%. ^[14] Охватывая все соотношения сторон в одной формуле, Уиллер 1977 улучшает Уиллер 1965 ^[13] , который дает одну формулу для w / h > 3,3 и другую для w / h ≤ 3,3 (таким образом, внося разрыв в результат при w / h = 3,3 ).

Гарольд Уиллер не любил термины «микрополосковая линия» и «характеристическое сопротивление» и избегал их использования в своих работах.

Ряд других приближенных формул для характеристического импеданса были предложены другими авторами. Однако большинство из них применимы только к ограниченному диапазону соотношений сторон или же покрывают весь диапазон кусочно.

В частности, набор уравнений, предложенный Хаммерстадом ^[15], который модифицировал Уилера ^{[12] [13]} , пожалуй, наиболее часто цитируется:

${\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\begin{cases}{\dfrac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}}}\ln \left(8{\dfrac {h}{w}}+{\dfrac {w}{4h}}\right),&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\{\dfrac {Z_{0}}{{\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}\left[{\frac {w}{h}}+1.393+0.667\ln \left({\frac {w}{h}}+1.444\right)\right]}},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}}$

где ε _eff — эффективная диэлектрическая проницаемость, приближенно определяемая как: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\textrm {eff}}&={\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}-1}{2}}q\\q&={\frac {1}{\sqrt {1+12(h/w)}}}+q_{2}\\q_{2}&={\begin{cases}0.04{\bigg (}1-{\dfrac {w}{h}}{\bigg )}^{2},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\0,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\\\end{cases}}.\\\end{aligned}}}$

Эффект металлического корпуса

Микрополосковые схемы могут потребовать металлического корпуса, в зависимости от применения. Если верхняя крышка корпуса вторгается в микрополоску, характеристическое сопротивление микрополоски может быть уменьшено из-за дополнительного пути для пластины и краевой емкости. Когда это происходит, были разработаны уравнения для регулировки характеристического сопротивления в воздухе ( ε _r = 1) микрополоски, , где , а - сопротивление непокрытой микрополоски в воздухе. Уравнения для могут быть скорректированы для учета металлического покрытия и использованы для вычисления Z _o с диэлектриком с использованием выражения, , где - скорректированное для металлического покрытия. Компенсация конечной толщины полосы может быть вычислена путем замены сверху для обоих расчетов и , используя все расчеты воздуха и для всех расчетов диэлектрического материала. В приведенных ниже выражениях c - высота покрытия, расстояние от верха диэлектрика до металлического покрытия. ^[17] ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$ ${\displaystyle Z_{om}^{a}=Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}$ ${\displaystyle Z_{o\infty }^{a}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re}}$ ${\displaystyle Z_{om}=Z_{om}^{a}/{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re}}$ ${\displaystyle w_{\textrm {eff}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}}$

Уравнение для имеет вид: ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re_{m}}&={\frac {\varepsilon _{r}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{r}-1}{2}}{\frac {q}{q_{C}}}\\q&{\text{ is defined above}}\\q_{C}&=tanh(1.043+.121{\frac {c}{h}}-1.164{\frac {h}{c}})\\\end{aligned}}}$.

Уравнение для имеет вид ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta Z_{om}^{a}&=PQ\\P&=270{\bigg [}1-tanh{\biggr (}0.28+1.2{\sqrt {\frac {c}{h}}}{\biggr )}{\bigg ]}\\Q&={\begin{cases}1,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\1-tanh^{-1}{\biggr (}{\frac {0.48{\sqrt {(w/h)-1}}}{(1+(c/h))^{2}}}{\biggr )},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}\end{aligned}}}$.

Уравнение для имеет вид ${\displaystyle Z_{om}}$

${\displaystyle Z_{om}={\frac {Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}}$.

Утверждается, что уравнения имеют точность в пределах 1% для:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1\leq \varepsilon _{r}\leq 30\\&0.05\leq w/h\leq 30.0\\&t/h\leq 0.1\\&c/h\geq 1.0\\\end{aligned}}}$.

Подвесная и перевернутая микрополосковая

Когда диэлектрический слой подвешен над нижней плоскостью заземления воздушным слоем, подложка известна как подвешенная подложка, которая аналогична слою D на иллюстрации микрополосковой линии в правом верхнем углу страницы, будучи ненулевым. Преимущества использования подвешенной подложки по сравнению с традиционной микрополосковой линией заключаются в уменьшении эффектов дисперсии, увеличении проектных частот, более широкой геометрии полос, уменьшении структурных неточностей, более точных электрических свойствах и более высоком получаемом характеристическом импедансе . Недостатком является то, что подвешенные подложки больше традиционных микрополосковых подложек и их сложнее изготавливать. Когда проводник расположен под диэлектрическим слоем, а не над ним, микрополосковая линия известна как перевернутая микрополосковая линия. ^{[18] [19]}

Характеристическое сопротивление

Праманик и Бхартия задокументировали ряд уравнений, используемых для аппроксимации характеристического импеданса (Zo) и эффективной диэлектрической проницаемости (Ere) для подвешенных и инвертированных микрополосок. ^[18] Уравнения доступны непосредственно из ссылки и здесь не повторяются.

Джон Смит разработал уравнения для четной и нечетной модовой емкости полосы для массивов связанных микрополосковых линий в подвешенной подложке, используя разложение распределения заряда в ряд Фурье , и предоставляет код Fortran в стиле 1960-х годов , который выполняет эту функцию. Работа Смита подробно описана в разделе ниже. Отдельные отдельные микрополосковые линии ведут себя как связанные микрополоски с бесконечно широкими зазорами. Поэтому уравнения Смита можно использовать для вычисления емкости полосы отдельных микрополосковых линий, введя в уравнения большое число для зазора, так что другая связанная микрополоска больше не будет существенно влиять на электрическую характеристику отдельной микрополоски, которая обычно составляет значение в семь высот подложки или выше. Инвертированные микрополоски можно вычислить, поменяв местами переменные высоты покрытия и высоты подвешивания. Микрополоски без металлического корпуса могут быть рассчитаны путем ввода большой переменной в высоту металлического покрытия, так что металлическое покрытие больше не будет существенно влиять на электрические характеристики микрополоски, обычно в 50 или более раз больше высоты проводника над подложкой. Инвертированные микрополоски могут быть рассчитаны путем замены переменных высоты металлического покрытия и высоты подвеса. ^{[20] [21]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+2C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_air}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_air}|_{G=\infty }\\C_{\_air}&=C_{plate\_air}+2C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

где B, C и D определяются геометрией микрополоски, показанной в правом верхнем углу страницы.

Чтобы вычислить значения Zo и Ere для подвешенной или перевернутой микрополосковой линии, емкость пластины может быть добавлена ​​к емкости края для каждой стороны микрополосковой линии, чтобы вычислить общую емкость как для случая диэлектрика ( ε _r ), так и для случая воздуха ( ε _ra ), а результаты могут быть использованы для вычисления Zo и Ere, как показано: ^{[22] [21]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re}&={\frac {C_{\varepsilon _{r}}}{C_{air}}}\\Zo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air}C_{e_{r}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}.}$

Изгибы

Для того чтобы построить полную схему в микрополосковой линии, часто необходимо, чтобы путь полосы поворачивался на большой угол. Резкий изгиб на 90° в микрополосковой линии приведет к тому, что значительная часть сигнала на полосе будет отражаться обратно к ее источнику, и только часть сигнала будет передаваться вокруг изгиба. Одним из способов создания изгиба с низким отражением является изгиб пути полосы в дугу радиусом не менее 3-кратной ширины полосы. ^[23] Однако гораздо более распространенной техникой, которая потребляет меньшую площадь подложки, является использование скоса.

Микрополосковый скос 90°. Процент скоса составляет 100 x / d .

В первом приближении резкий нескошенный изгиб ведет себя как шунтирующая емкость, размещенная между заземляющей плоскостью и изгибом в полосе. Скос изгиба уменьшает площадь металлизации и, таким образом, удаляет избыточную емкость. Процент скоса — это срезанная часть диагонали между внутренним и внешним углами нескошенного изгиба.

Оптимальный угол скоса для широкого диапазона геометрий микрополосок был экспериментально определен Дувиллем и Джеймсом. ^[24] Они обнаружили, что хорошее соответствие для оптимального процентного угла скоса дается формулой

${\displaystyle M=100{\frac {x}{d}}\%=(52+65e^{-(27/20)(w/h)})\%}$

при условии w / h ≥ 0,25 и диэлектрической проницаемости подложки ε _r ≤ 25 . Эта формула полностью независима от ε _r . Фактический диапазон параметров, для которых Дувилль и Джеймс представляют доказательства, составляет 0,25 ≤ w / h ≤ 2,75 и 2,5 ≤ ε _r ≤ 25 . Они сообщают о КСВН лучше 1,1 (т. е. обратных потерях лучше −26 дБ) для любого процентного скоса в пределах 4% (от исходного d ) от заданного формулой. При минимальном w / h 0,25 процентный скос составляет 98,4%, так что полоса почти прорезана.

Как для изогнутых, так и для скошенных изгибов электрическая длина несколько короче физической длины пути полосы.

Прерывистые соединения

Другие типы микрополосковых разрывов, помимо изгибов (см. выше), также называемые углами, — это открытые концы, сквозные отверстия (соединения с заземляющей плоскостью), шаги по ширине, зазоры между микрополосками, тройниковые соединения и перекрестные соединения. Была проделана обширная работа по разработке моделей для этих типов соединений, и они задокументированы в общедоступной литературе, такой как Quite universal circuit simulator (QUCS). ^[25]

Связанные микрополоски

Микрополосковые линии могут быть установлены достаточно близко к другим микрополосковым линиям, так что между линиями могут существовать электрические взаимодействия связи. Это может произойти непреднамеренно, когда линии прокладываются, или преднамеренно, чтобы сформировать желаемую передаточную функцию или спроектировать распределенный фильтр . Если две линии идентичны по ширине, их можно охарактеризовать с помощью анализа четных и нечетных мод связанной линии передачи .

Характеристическое сопротивление

Выражения замкнутой формы для четного и нечетного мод характеристического импеданса (Zoe, Zoo) и эффективной диэлектрической проницаемости ( ε _ree , ε _reo ) были разработаны с определенной точностью при указанных условиях. Они доступны из ссылок ^{[26] [27] [28]} и не повторяются здесь.

Решение ряда Фурье

Джон Смит разработал уравнения для четной и нечетной модовой емкости полосы для массивов связанных микрополосковых линий с металлическим покрытием, включая подвешенные микрополосковые линии, используя разложение распределения заряда в ряд Фурье , и предоставляет код Fortran в стиле 1960-х годов , который выполняет эту функцию. Непокрытые микрополосковые линии поддерживаются путем назначения высоты покрытия, как правило, в 50 или более раз превышающей высоту проводника над плоскостью заземления. Инвертированные микрополосковые линии поддерживаются путем изменения переменных высоты покрытия и высоты подвешивания. Уравнения Смита выгодны тем, что они теоретически справедливы для всех значений ширины проводника, разделения проводников, диэлектрической проницаемости, высоты покрытия и высоты диэлектрической подвески. ^[20]

Уравнения Смита содержат узкое место (уравнение 37 на странице 429), где необходимо решить обратную функцию эллиптического интегрального отношения, , где — полный эллиптический интеграл первого рода, известен, а — переменная, которую необходимо решить. Смит предлагает сложный алгоритм поиска, который обычно сходится к решению для . Однако метод Ньютона или таблицы интерполяции могут обеспечить более быстрое и полное решение для . ${\displaystyle K(1,{\sqrt {1-k^{2}}})/K(1,k)=X}$ ${\displaystyle K(,)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Для вычисления значений Zo четного и нечетного режима и ε _re для несвязанной микрополоски емкость пластины добавляется к емкости полосы четного и нечетного режима для внутренней части микрополоски и емкости полосы несвязанного режима внешних сторон. Емкость полосы несвязанного режима может быть вычислена путем применения зазора или значения разделения между проводниками, чтобы они были бесконечными, что может быть аппроксимировано значением в 7 или более раз больше высоты проводника над плоскостью заземления. Затем вычисляются значения Zo четного и нечетного режима и ε _re как функции емкости четного и нечетного режима для случая диэлектрика ( ε _r ) и случая воздуха ( ε _r =1), как показано: ^{[22] [21]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ree}&={\frac {C_{\varepsilon _{re}}}{C_{air_{e}}}}\\\varepsilon _{reo}&={\frac {C_{\varepsilon _{ro}}}{C_{air_{o}}}}\\Zoe&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{e}}C_{e_{re}}}}}}\\Zoo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{o}}C_{e_{ro}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}}$.

Подробное решение Джона Смита

Ряд Фурье Смита требует обратного решения, k , для эллиптического интегрального отношения, , где K () — полный эллиптический интеграл первого рода. Хотя Смит предоставляет сложный алгоритм поиска для нахождения k , более быстрой и точной сходимости можно добиться с помощью метода Ньютона , или можно использовать таблицы интерполяции . Поскольку становится крайне нелинейной, когда k приближается к 0 и 1, метод Ньютона лучше работает с функцией . Как только значение k _lg решено для , k получается из . ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$ ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$ ${\displaystyle K{\big (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\big )}/K{\big (}e^{k_{lg}}{\big )}}$ ${\displaystyle k=e^{k_{lg}}}$

Выражение метода Ньютона для решения k _lg выглядит следующим образом с использованием стандартных правил производных . Эллиптические интегральные производные можно найти на странице эллиптических интегралов.:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{lg}[n+1]&=k_{lg}[n]-{\frac {F_{[}n]-F_{known}}{F'}}\\F&={\frac {K{\bigg (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\bigg )}}{K{\bigl (}e^{k_{lg}}{\bigl )}}}\\F'&={\begin{cases}\approx -{\frac {2}{\pi }},&{\text{if }}k_{lg}<\approx -14\\{\frac {dF}{dk_{lg}}},&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\{\text{then: }}&\\k&=e^{k_{lg}}\\\end{aligned}}}$

Ниже приведена интерполяционная таблица для нахождения k _lg и k .

Для значений полезно применять соотношение, показанное в таблице, чтобы максимизировать линейность функции , или , для использования в методе Ньютона или интерполяции. Например, . ${\displaystyle F(x)<1}$ ${\displaystyle k_{lg}}$ ${\displaystyle ln(k)}$ ${\displaystyle F^{-1}(.5)={\sqrt {1-{\big [}F^{-1}(2){\big ]}^{2}}}=0.985\ 171\ 43}$

Для вычисления значения общей емкости четного и нечетного режима на основе работы Смита с использованием эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби ^[29] . Смит использует третий быстрый алгоритм оценки эллиптической функции Якоби, найденный на странице эллиптических функций. ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{let:}}&\\C&={\text{ substrate dielectric height}}\\D&={\text{ substrate suspended height}}\\B&={\text{ substrate cover height (50(C+D) for uncovered micrstrips)}}\\W_{lim}&={\text{ misrostrip conductor width}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\G_{lim}&={\text{ gap or speparation between the microstrips conductors}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\\varepsilon _{r}&={\text{ dielectric constant}}\\\varepsilon _{o}&={\text{ vacuum permittivity }}\\\\{\text{then:}}\\{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}&={\frac {W_{lim}+G_{lim}}{2(C+D)}}={\text{ where }}K(){\text{ is the complete ellipic integral of the first kind}}\\{\text{determine }}&{\text{ the value of k, then proceed:}}\\\\N_{eo}&={\begin{cases}1,&{\text{for even mode}}\\2,&{\text{for odd mode}}\end{cases}}\\M_{max}&=30{\text{ (or greater)}}\\W_{egr}&={\frac {W_{lim}K({\sqrt {1-k^{2}}})}{W_{lim}+G_{lim}}}\\W_{n}&={\frac {W_{egr}}{M_{max}-2}}\\(SN)_{wk}&=sn{\big (}W_{egr},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}{\text{ where sn() is a jacobi elliptic function}}\\(SN)_{wk2}&={\begin{cases}(SN)_{wk},&{\text{for odd mode}}\\(SN)_{wk}{\sqrt {1-k^{2}}},&{\text{for even mode}}\end{cases}}\\C_{T}&=4{\frac {K((SN)_{wk2})}{K{\big (}{\sqrt {1-(SN)_{wk2}^{2}}}{\big )}}}\\\Phi [m]&={\frac {1+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})}{coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})(\varepsilon _{r}+coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}}))}}\\&-{\frac {tanh({\frac {m\pi (D+C)}{W_{lim}+G_{lim}}})}{\varepsilon _{r}+1}}\\c[m]&=cos{\bigg (}{\frac {m\pi W_{egr}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}\\(SN)_{we}[j]&=sn{\big (}(j-1)W_{n},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}\\t[j]&={\sqrt {\frac {1-{\big (}(2{\sqrt {1-k^{2}}}-1+(1-{\sqrt {1-k^{2}}})N_{eo})(SN)_{we}[j]{\big )}^{2}}{1-{\bigg (}{\frac {(SN)_{we}[j]}{(SN)_{wk}}}{\bigg )}^{2}}}}\\\rho [m]&=1-c[m]+4t[M_{max}-2]{\big (}cos{\big (}{\frac {m(W_{egr}-W_{n})\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\big )}-c(m){\big )}\\&+\sum _{j=2,j+=2}^{M_{max}-2}4t[j](cos{\bigg (}{\frac {(j-1)\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])+2t(j+1)(cos{\bigg (}{\frac {j\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])\\C_{pl}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\{\frac {1}{C_{all}}}&={\frac {\pi }{2C_{T}^{2}}}{\bigg [}\sum _{m=N_{eo},m+=2}^{\infty }{\frac {\rho (m)^{2}\Phi (m)}{m}}{\bigg ]}+{\begin{cases}2({\frac {1}{C_{T}}}-{\frac {H}{2\pi }})/(\varepsilon _{r}+1)+{\frac {W}{C_{pl}(W_{lim}+G_{lim})}},&{\text{for even mode}}\\{\frac {2}{(\varepsilon _{r}+1)C_{T}}},&{\text{for odd mode}}\\\end{cases}}\\&{\text{break the summation when }}{\frac {|\phi [m]|}{\varepsilon _{r}+1}}<10^{-6}{\text{ or less}}\\C_{f(e/o)}&={\frac {\varepsilon _{o}(C_{all}-C_{pl})}{2}}{\text{ farads per unit length }}\\\end{aligned}}}$

Для получения общей емкости: ^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{e\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fe\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\C_{o\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fo\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }\\C_{e\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\C_{o\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

где может быть приблизительно равна или более чем в 1 раз больше высоты проводника над заземляющей плоскостью. ${\displaystyle (G=\infty )}$ ${\displaystyle (G=7)}$

Пример и сравнение точности

Смит сравнивает точность своих решений емкости ряда Фурье с опубликованными таблицами того времени. Однако более современный подход заключается в сравнении результатов импеданса четной и нечетной моды и эффективной диэлектрической проницаемости с результатами, полученными из электромагнитного моделирования, такого как Sonnet. Приведенный ниже пример выполняется при следующих условиях: B = 2,5 мм, C = 0,4 мм, D = 0,6 мм, W = 1,5 мм, G = 0,5 мм, Er = 12, где B, C и D определяются геометрией микрополоски, которая показана в правом верхнем углу страницы. Пример начинается с вычисления значения log( k ), затем k и продолжается использованием k , ε _r , геометрии подложки и геометрии проводника для вычисления емкостей, а затем импеданса четной и нечетной моды и эффективной диэлектрической проницаемости ( Z _oe , Z _oo , ε _re и ε _ro ).

Моделирование Sonnet выполняется с высоким разрешением сетки 4096 × 4096 , опорными плоскостями 7 мм с каждой стороны и моделирует связанную линию на длине 10 мм. Результаты параметров Y преобразуются в четный и нечетный режим Z o и ε _r путем алгебраического инвертирования уравнений параметров Y для связанных линий передачи .

Асимметрично связанные микрополоски

Когда две микрополосковые линии находятся достаточно близко друг к другу для возникновения связи, но не симметричны по ширине, анализ четных и нечетных мод не применим напрямую для характеристики линий. В этом случае линии обычно характеризуются собственной и взаимной индуктивностью и емкостью. Определяющие методы и выражения доступны в ссылках. ^{[30] [31] [32] [33]}

Множественные связанные микрополоски

В некоторых случаях несколько микрополосковых линий могут быть связаны вместе. Когда это происходит, каждая микрополосковая линия будет иметь собственную емкость и взаимную емкость ко всем другим линиям. Анализ аналогичен случаю асимметричной связи выше, но матрицы емкости и индуктивности будут иметь размер NXN, где N — количество микрополосковых линий, связанных вместе. ^{[34] [35]}

Потери

Затухание из-за потерь в проводнике и диэлектрике обычно учитывается при моделировании микрополосковой линии. Общие потери являются функцией длины микрополосковой линии, поэтому затухание обычно рассчитывается в единицах затухания на единицу длины, при этом общие потери рассчитываются как затухание × длина, с единицами затухания Nepers , хотя в некоторых приложениях затухание может использоваться в единицах дБ . Когда характеристическое сопротивление микрополосковой линии (Zo), эффективная диэлектрическая проницаемость (Ere) и общие потери ( ) известны, микрополосковую линию можно смоделировать как стандартную линию передачи . ${\displaystyle \alpha l}$

Потери в проводнике

Потери в проводнике определяются «удельным сопротивлением» или «сопротивлением» материала проводника и обычно выражаются так, как в литературе. ^[36] Каждый материал проводника обычно имеет опубликованное удельное сопротивление, связанное с ним. Например, обычный материал проводника из меди имеет опубликованное удельное сопротивление ${\displaystyle \rho }$1,68 × 10−8  Ом⋅м . ^[37] Э. Хаммерстад и О. Йенсен предложили следующие выражения для затухания из-за потерь в проводнике: ^{[38] [ 39]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\frac {R^{s}}{Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c}&={\frac {27.3R^{s}}{\pi Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ dB per unit length}}\\{\text{Where :}}&\\R^{s}&={\frac {\rho }{\delta }}={\sqrt {\frac {\rho \omega u_{o}}{2}}}\\K_{i}&=exp{\bigg [}-1.2{\bigg (}{\frac {Z_{o}}{n_{o}}}{\bigg )}^{0.7}{\bigg ]}\\K_{r}&=1+{\frac {2tan^{-1}(1.4({\frac {\Delta }{\delta }})^{2})}{\pi }}\end{aligned}}}$и

${\displaystyle R^{s}}$= поверхностное сопротивление проводника

${\displaystyle K_{i}}$= текущий коэффициент распределения

${\displaystyle K_{r}}$= поправочный член из-за шероховатости поверхности

${\displaystyle u_{o}}$= проницаемость вакуума ( ) ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}H/m}$

${\displaystyle \rho }$= удельное сопротивление или удельное сопротивление проводника

${\displaystyle \Delta }$= эффективная (среднеквадратическая) шероховатость поверхности подложки

${\displaystyle \delta }$= глубина скин-слоя

${\displaystyle n_{o}}$= волновое сопротивление в вакууме (376,730 313 412 (59) Ом ‍ [ ^40] )

Обратите внимание, что если пренебречь шероховатостью поверхности, то исчезает из выражения, и это часто так и есть. ${\displaystyle K_{\text{r}}}$

Некоторые авторы используют толщину проводника вместо глубины скин-слоя для расчета сопротивления слоя, R ^s . ^[41] В этом случае,

${\displaystyle R^{s}={\frac {\rho }{t}}}$

где t — толщина проводника.

Диэлектрические потери

Диэлектрические потери определяются "тангенсом угла потерь" диэлектрического материала и обычно выражаются так, как в литературе. Каждый диэлектрический материал обычно имеет опубликованный тангенс угла потерь, связанный с ним. Например, распространенный диэлектрический материал - оксид алюминия - имеет опубликованный тангенс угла потерь ${\displaystyle tan\delta _{d}}$От 0,0002 до 0,0003 в зависимости от частоты. ^[42] Уэлч, Пратт и Шнайдер предложили следующие выражения для затухания из-за диэлектрических потерь. ^{[43] [44] [38]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{d}&={\frac {tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{d}&={\frac {27.3{\text{ }}tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$.

Диэлектрические потери, как правило, намного меньше потерь в проводнике и в некоторых приложениях ими часто пренебрегают.

Связанные потери микрополосковой линии

Связанные потери микрополосок можно оценить, используя тот же четный и нечетный анализ мод, который используется для характеристического импеданса, диэлектрической проницаемости и эффективной диэлектрической проницаемости для микрополосок одной линии. Связанные четные и нечетные моды имеют свои независимо рассчитанные значения потерь проводника и диэлектрика, вычисленные из соответствующей одиночной линии Zo и Ere. ^{[45] [46]}

Уиллер предложил решение для потерь в проводнике, которое учитывает разделение между проводниками ^[45] : где: ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c(e/o)}&={\frac {R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o)}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c(e/o)}&={\frac {8.688R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$

h = высота проводника над заземляющей плоскостью

S = расстояние между проводниками

W = ширина проводников

t = толщина проводников.

Частные производные по разделению, толщине и ширине проводника можно рассчитать в цифровом виде.

Смотрите также

• Фильтр распределенных элементов
• Медленноволновой ответвитель
• Spurline , микрополосковый режекторный фильтр

Ссылки

1. Григ, ДД; Энгельман, ХФ (декабрь 1952 г.). «Микрополосковая линия — новый метод передачи для диапазона киломегациклов». Труды IRE . 40 (12): 1644–1650. doi :10.1109/JRPROC.1952.274144. ISSN  0096-8390.
2. Олни, Барри. «Дифференциальная парная маршрутизация» (PDF) . стр. 51.
3. Texas Instruments (2015). "High-Speed ​​Interface Layout Guidelines" (PDF) . стр. 10. SPRAAR7E. По возможности прокладывайте высокоскоростные дифференциальные сигналы на верхнем или нижнем слое печатной платы с соседним слоем GND. TI не рекомендует использовать полосковую трассировку высокоскоростных дифференциальных сигналов.
4. Intel (2000). "High Speed ​​USB Platform Design Guidelines" (PDF) . стр. 7. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-08-26 . Получено 2015-11-27 .
5. Silicon Labs. «Руководство по проектированию оборудования USB» (PDF) . стр. 9. AN0046.
6. Крёгер, Йенс (2014). «Передача данных на высоких скоростях с помощью Kapton Flexprints для эксперимента Mu3e» (PDF) . стр. 19–21.
7. Denlinger, EJ (январь 1971). "Частотно-зависимое решение для микрополосковых линий передачи". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . MTT-19 (1): 30–39. Bibcode :1971ITMTT..19...30D. doi :10.1109/TMTT.1971.1127442.
8. Позар, Дэвид М. (2017). Microwave Engineering Addison–Wesley Publishing Company. ISBN 978-81-265-4190-4 . 
9. Cory, H. (январь 1981). "Дисперсионные характеристики микрополосковых линий". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . MTT-29 (1): 59–61. Bibcode :1981ITMTT..29...59C. doi :10.1109/TMTT.1981.1130287.
10. Bianco, B.; Panini, L.; Parodi, M.; Ridetlaj, S. (март 1978 г.). «Некоторые соображения о частотной зависимости характеристического импеданса однородных микрополосок». Труды IEEE по теории и технике СВЧ . MTT-26 (3): 182–185. Bibcode : 1978ITMTT..26..182B. doi : 10.1109/TMTT.1978.1129341.
11. Олинер, Артур А. (2006). "Эволюция электромагнитных волноводов". В Sarkar, Тапан К .; Майу, Роберт Дж.; Олинер, Артур А.; Салазар-Пальма, Магдалена; Сенгупта, Дипак Л. (ред.). История беспроводной связи . Серия Wiley по микроволновой и оптической технике. Т. 177. John Wiley and Sons. стр. 559. ISBN 978-0-471-71814-7.
12. Wheeler, HA (май 1964). "Свойства линии передачи параллельных широких полос с помощью приближения конформного отображения". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . MTT-12 (3): 280–289. Bibcode : 1964ITMTT..12..280W. doi : 10.1109/TMTT.1964.1125810.
13. Wheeler, HA (март 1965). "Свойства линии передачи параллельных полос, разделенных диэлектрическим листом". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . MTT-13 (2): 172–185. Bibcode :1965ITMTT..13..172W. doi :10.1109/TMTT.1965.1125962.
14. Wheeler, HA (август 1977). "Свойства линии передачи полосы на диэлектрическом листе на плоскости". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . MTT-25 (8): 631–647. Bibcode :1977ITMTT..25..631W. doi :10.1109/TMTT.1977.1129179.
15. EO Hammerstad (1975). Уравнения для проектирования микрополосковых цепей . 1975 5-я Европейская микроволновая конференция. С. 268–272. doi :10.1109/EUMA.1975.332206.
16. Гарг, Рамеш; Бахл, Индер; Боцци, Маурицио (2013). Микрополосковые линии и щелевые линии (3-е изд.). Бостон | Лондон: Artech House. стр. 95. ISBN 978-1-60807-535-5.
17. Гарг, Рамеш; Бахл, Индер; Боцци, Маурицио (2013). Микрополосковые линии и щелевые линии (3-е изд.). Бостон | Лондон: Artech House. стр. 95–98. ISBN 978-1-60807-535-5.
18. Лехтовуори, Ану и Коста, Луис. (2009). Модель микрополосковой линии с экранированной подвесной подложкой.
19. Гарг, Рамеш; Бахл, Индер; Маурицио, Боцци (2013). Микрополоски и щелевые линии (3-е изд.). Бостон, Лондон: Artech House. стр. 109–114. ISBN 978-1-60807-535-5.
20. Smith, John I. (5 мая 1971 г.). «Параметры ёмкости чётного и нечётного режимов для связанных линий в подвешенной подложке». Труды IEEE по теории и технике СВЧ . MTT-19 (5): 424–431. Bibcode : 1971ITMTT..19..424S. doi : 10.1109/TMTT.1971.1127543 – через IEEE Xplore.
21. Garg, Ramesh; Bahl, IJ (7 июля 1979 г.). "Характеристики связанных микрополосковых линий". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . MTT-27 (7): 700, 701. Bibcode :1979ITMTT..27..700G. doi :10.1109/TMTT.1979.1129704 – через IEEE Xplore.
22. Garg, Ramesh; Bahl, Inder; Bozzi, Maurizio (2013). Microstrip Lines and Slotlines (3-е изд.). Бостон | Лондон: Artech House. стр. 465, 466. ISBN 978-1-60807-535-5.
23. Ли, TH (2004). Планарная микроволновая инженерия . Cambridge University Press. С. 173–174.
24. Douville, RJP; James, DS (март 1978). «Экспериментальное исследование симметричных изгибов микрополосковых линий и их компенсация». Труды IEEE по теории и технике СВЧ . MTT-26 (3): 175–182. Bibcode : 1978ITMTT..26..175D. doi : 10.1109/TMTT.1978.1129340.
25. Дракос, Никос; Хеннеке, Маркус; Мур, Росс; Свон, Херб (2 февраля 2002 г.). "Микрополосковые компоненты". Довольно универсальный симулятор схем .
26. "5.6: Формулы для импеданса связанных микрополосковых линий". Engineering LibreTexts . 21 октября 2022 г.
27. Дракос, Никос; Хеннеке, Маркус; Мур, Росс; Херб, Свон (22 ноября 2013 г.). "Параллельно связанные микрополосковые линии". Довольно универсальный симулятор схем .
28. Гарг, Рамеш; Бахл, Индер; Боцци, Маурицио (2013). Микрополосковые линии и щелевые линии (3-е изд.). Бостон, Лондон: Artech House. стр. 462–468. ISBN 978-1-60807-535-5.
29. Смит использует отношение высоты подложки 3 для оценки бесконечности ширины и не определяет бесконечность для зазоров и высоты покрытия. В документации используются современные оценки 7 соотношений подложки для определения бесконечности ширины и зазоров и 50 для определения бесконечной высоты металлического покрытия.
30. Бедэр, СС (6 января 2003 г.). «Характеристики некоторых асимметричных связанных линий передачи». Труды IEEE по теории и технике СВЧ . 32 (1): 108–110. doi :10.1109/TMTT.1984.1132620 – через IEEE Xplore.
31. Гарг, Рамеш; Бахл, Индер; Боцци, Маурицио (2013). Микрополосковые линии и щелевые линии (3-е изд.). Бостон, Лондон: Artech House. стр. 468, 469. ISBN 978-1-60807-535-5.
32. Tripathy, Vijai K. (сентябрь 1975 г.). «Асимметричные связанные линии передачи в неоднородной среде». Труды IEEE по теории и технике микроволн . 23 (9): 734–739. Bibcode : 1975ITMTT..23..734T. doi : 10.1109/TMTT.1975.1128665 – через IEEE Explore.
33. Муса, Сархан М.; Садику, Мэтью НО (весна 2008 г.). «Расчет емкости и индуктивности многопроводных линий передачи» (PDF) . The Technology Interface International Journal . 8 (2) – через The Technology Interface International Journal.
34. Tripathy, Vijai K. (сентябрь 1977 г.). «Об анализе симметричных трехлинейных микрополосковых цепей». Труды IEEE по теории и технике СВЧ . 25 (9): 726–729. Bibcode : 1977ITMTT..25..726T. doi : 10.1109/TMTT.1977.1129202.
35. Гарг, Рамеш; Бахл, Индер; Боцци, Маурицио (2013). Микрополосковые линии и щелевые линии (3-е изд.). Бостон, Лондон: Artech House. стр. 483–485. ISBN 978-1-60807-535-5.
36. "Что такое сопротивление? Удельное сопротивление (ρ) и удельное сопротивление Ω". ЭЛЕКТРОТЕХНИКА . 15 августа 2020 г.
37. Блаттенбергер, Кирт. "Удельное сопротивление (ρ) и проводимость (σ) металлов и сплавов - RF Cafe". RF Cafe .
38. Hennecke, Marcus; Moore, Ross; Swan, Herb (1 февраля 2002 г.). "Одиночная микрополосковая линия". Довольно универсальный симулятор схем (qucs) .
39. Единицы потерь, используемые в цитате, опущены, но предполагается, что это Неперс на единицу длины. Это коррелирует с другими использованными уравнениями потерь, которые можно легко подтвердить из других источников.
40. "2022 CODATA Value: Characteristic Impedance of Vacuum". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
41. "3.5: Микрополосковые линии передачи - Engineering LibreTexts". Libretexts Engineering . 21 октября 2020 г.
42. Блаттенбергер, Кирт. «Диэлектрическая постоянная, прочность и тангенс угла потерь — RF Cafe». RF Cafe .
43. Гарг, Рамеш; Бахл, Индер; Боцци, Маурицио (2013). Микрополосковые линии и щелевые линии (3-е изд.). Бостон, Лондон: Artech House. стр. 81, 82. ISBN 978-1-60807-535-5.
44. "3.5: Микрополосковые линии передачи - Engineering LibreTexts". Engineering Libre Texts . 21 октября 2020 г.
45. Garg, Ramesh; Bahl, Inder; Bozzi, Maurizio (2013). Microstrip Lines and Slotlines (3-е изд.). Бостон, Лондон: Artech House. стр. 469–473. ISBN 978-1-60807-535-5.
46. Хеннеке, Маркус; Мур, Росс; Свон, Херб (1 февраля 2002 г.). "Параллельно связанные микрополосковые линии". Довольно универсальный симулятор схем (qucs) .

Внешние ссылки

• Микрополосковая энциклопедия в микроволновке
• Калькулятор анализа/синтеза микрополосковых схем