Максимум и минимум

Наибольшее и наименьшее значение, принимаемое функцией, принимается в данной точке

Локальные и глобальные максимумы и минимумы для cos(3π x )/ x , 0,1≤ x ≤1,1

В математическом анализе максимум и минимум ^[a] функции — это соответственно наибольшее и наименьшее значение , принимаемое функцией. Известные в общем как экстремумы , ^[b] они могут быть определены либо в заданном диапазоне ( локальные или относительные экстремумы), либо во всей области ( глобальные или абсолютные экстремумы) функции. ^{[1] [2] [3]} Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общий метод — адекватность — для нахождения максимумов и минимумов функций.

Согласно теории множеств , максимум и минимум набора — это наибольший и наименьший элементы набора соответственно. Неограниченные бесконечные множества , такие как набор действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

В статистике соответствующим понятием является выборочный максимум и минимум .

Определение

Действительная функция f , определенная в области X , имеет глобальную (или абсолютную ) точку максимума.в точке x ^∗ , если f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X. Аналогично, функция имеет глобальную (или абсолютную ) точку минимума.в точке x ^∗ , если f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) для всех x в X. Значение функции в точке максимума называетсямаксимальное значение функции обозначается, а значение функции в минимальной точке называется ${\displaystyle \max(f(x))}$минимальное значение функции. Символически это можно записать так:

${\displaystyle x_{0}\in X}$является глобальной точкой максимума функции, если ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}$

Определение точки глобального минимума также происходит аналогичным образом.

Если область X является метрическим пространством , то говорят, что f имеет локальную (или относительную ) точку максимума.в точке x ^∗ , если существует такое ε > 0, что f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ^∗ . Аналогично функция имеет точку локального минимумав точке x ^∗ , если f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ^∗ . Аналогичное определение можно использовать, когда X является топологическим пространством , поскольку только что данное определение можно перефразировать в терминах окрестностей. Математически данное определение записывается следующим образом:

Пусть – метрическое пространство и функция . Тогда является точкой локального максимума функции, если такова, что ${\displaystyle (X,d_{X})}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$ ${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}$

Определение точки локального минимума также может быть произведено аналогичным образом.

И в глобальном, и в локальном случаях концепцияможно определить строгий экстремум . Например,x^∗— этострогая глобальная точка максимума, если для всехxвX, где x ≠ x ^∗ , мы имеем f ( x ^∗ ) > f ( x ), иx^∗являетсяточка строгого локального максимума, если существует некоторое ε > 0такое, что для всехxвXна расстоянииεотx^∗, где x ≠ x ^∗ , мы имеем f ( x ^∗ ) > f ( x ). Обратите внимание, что точка является строгой глобальной точкой максимума тогда и только тогда, когда она является уникальной глобальной точкой максимума, и аналогично для точек минимума.

Непрерывная действительная функция с компактной областью определения всегда имеет точку максимума и точку минимума. Важным примером является функция, областью определения которой является замкнутый и ограниченный интервал действительных чисел (см. график выше).

Поиск

Нахождение глобальных максимумов и минимумов является целью математической оптимизации . Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то по теореме об крайних значениях существуют глобальные максимумы и минимумы. Более того, глобальный максимум (или минимум) либо должен быть локальным максимумом (или минимумом) внутри области, либо должен лежать на границе области. Таким образом, метод поиска глобального максимума (или минимума) состоит в том, чтобы просмотреть все локальные максимумы (или минимумы) внутри, а также посмотреть максимумы (или минимумы) точек на границе и взять наибольший ( или самый маленький) один.

Для дифференцируемых функций теорема Ферма утверждает , что локальные экстремумы внутри области должны возникать в критических точках (или точках, где производная равна нулю). ^[4] Однако не все критические точки являются экстремумами. Часто можно отличить, является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим, используя тест первой производной , тест второй производной или тест производной более высокого порядка , при условии достаточной дифференцируемости. ^[5]

Для любой функции, которая определена кусочно , максимум (или минимум) находится путем нахождения максимума (или минимума) каждой части отдельно, а затем просмотра того, какой из них является наибольшим (или наименьшим).

Примеры

Глобальный максимум ^x √ x происходит при x = e .

В качестве практического примера ^[6] предположим, что у кого-то есть ограждение на ножках и он пытается максимизировать площадь прямоугольного ограждения, где – длина, – ширина и – площадь: ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

Производная по : ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

Установка этого значения равным ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

показывает, что это наша единственная критическая точка . Теперь извлеките конечные точки , определив интервал, которым ограничено. Поскольку ширина положительна, то , и поскольку , это означает, что . Подключите критическую точку , а также конечные точки и , в , и результаты будут и соответственно. ${\displaystyle x=50}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x=100-y}$ ${\displaystyle x<100}$ ${\displaystyle 50}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 100}$ ${\displaystyle xy=x(100-x)}$ ${\displaystyle 2500,0,}$ ${\displaystyle 0}$

Следовательно, наибольшая площадь, достижимая с помощью прямоугольника в футах ограждения, равна . ^[6] ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle 50\times 50=2500}$

Функции более чем одной переменной

Поверхность Пеано , контрпример к некоторым критериям локальных максимумов XIX века.

Глобальный максимум — это точка вверху

Контрпример: красная точка показывает локальный минимум, который не является глобальным минимумом.

Для функций более чем одной переменной применяются аналогичные условия. Например, на (увеличенном) рисунке справа необходимые условия локального максимума аналогичны условиям функции только с одной переменной. Первые частные производные по z (переменная, которую нужно максимизировать) в максимуме равны нулю (светящаяся точка вверху на рисунке). Вторые частные производные отрицательны. Это лишь необходимые, но не достаточные условия локального максимума из-за возможности существования седловой точки . Чтобы использовать эти условия для поиска максимума, функция z также должна быть дифференцируемой во всем. Второй тест частной производной может помочь классифицировать точку как относительный максимум или относительный минимум. Напротив, существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной при идентификации глобальных экстремумов. Например, если ограниченная дифференцируемая функция f , определенная на замкнутом интервале вещественной прямой, имеет единственную критическую точку, которая является локальным минимумом, то она также является глобальным минимумом (используйте теорему о промежуточном значении и теорему Ролля , чтобы доказать это с помощью противоречие ). В двух и более измерениях этот аргумент не работает. Это иллюстрируется функцией

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

единственная критическая точка которого находится в точке (0,0), что является локальным минимумом с f (0,0) = 0. Однако он не может быть глобальным, поскольку f (2,3) = −5.

Максимумы или минимумы функционала

Если область определения функции, для которой необходимо найти экстремум, сама состоит из функций (т. е. если необходимо найти экстремум функционала ) , то экстремум находится с помощью вариационного исчисления .

По отношению к наборам

Для наборов также можно определить максимумы и минимумы. В общем, если упорядоченный набор S имеет наибольший элемент m , то m является максимальным элементом набора, также обозначаемым как . Более того, если S — подмножество упорядоченного множества T , а m — наибольший элемент S с ( относительно порядка, индуцированного T ), то m — наименьшая верхняя граница S в T. Аналогичные результаты справедливы для наименьшего элемента , минимального элемента и наибольшей нижней границы . Функция максимума и минимума для наборов используется в базах данных и может быть быстро вычислена, поскольку максимум (или минимум) набора можно вычислить по максимумам раздела; формально они являются саморазложимыми агрегирующими функциями . ${\displaystyle \max(S)}$

В случае общего частичного порядка наименьший элемент (т. е. тот, который меньше всех остальных) не следует путать с минимальным элементом (ничто не меньше). Аналогично, наибольший элемент частично упорядоченного множества (ЧУМ) — это верхняя граница множества, содержащегося в этом множестве, тогда как максимальный элемент m частично упорядоченного множества А — это такой элемент А , что если m ⩽ b (для любого b в A ), то m = b . Любой наименьший или наибольший элемент ЧУУ уникален, но ЧУУ может иметь несколько минимальных или максимальных элементов. Если ЧУ-множество имеет более одного максимального элемента, то эти элементы не будут взаимно сопоставимы.

В полностью упорядоченном множестве, или цепочке , все элементы взаимно сопоставимы, поэтому такой набор может иметь не более одного минимального элемента и не более одного максимального элемента. Тогда из-за взаимной сравнимости минимальный элемент будет также наименьшим элементом, а максимальный элемент также будет наибольшим элементом. Таким образом, в полностью упорядоченном множестве мы можем просто использовать термины минимум и максимум .

Если цепь конечна, то она всегда будет иметь максимум и минимум. Если цепь бесконечна, то у нее не обязательно должен быть максимум или минимум. Например, набор натуральных чисел не имеет максимума, но имеет минимум. Если бесконечная цепь S ограничена, то замыкание Cl ( S ) множества иногда имеет минимум и максимум, и в этом случае они называются наибольшей нижней границей и наименьшей верхней границей множества S соответственно.

Аргумент максимума

Например, как ненормализованная, так и нормализованная функция sinc , приведенная выше, имеют значение {0}, поскольку обе достигают своего глобального максимального значения, равного 1, при x  = 0. Ненормализованная функция sinc (красная) имеет arg min примерно равный {-4,49, 4,49}, потому что он имеет два глобальных минимальных значения примерно -0,217 при x  = ±4,49. Однако нормализованная функция sinc (синяя) имеет arg min примерно равный {-1,43, 1,43}, поскольку их глобальные минимумы происходят при x  = ±1,43, хотя минимальное значение одинаковое. ^[7] ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

В математике аргументы максимумов (сокращенно arg max или argmax) и аргументы минимумов (сокращенно arg min или argmin) являются входными точками, в которых выходное значение функции максимизируется и минимизируется соответственно. ^[8] Хотя аргументы определяются в области домена функции , выходные данные являются частью ее кодомена .

Смотрите также

• Производный тест
• Инфимум и супремум
• Ограничьте верхнее и ограничьте худшее
• Тождество максимум-минимум
• Механическое равновесие
• Мекс (математика)
• Примерный максимум и минимум
• Точка перевала

Примечания

1. PL : максимумы и минимумы (или максимумы и минимумы ).
2. ПЛ : экстремумы .

Рекомендации

1. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-547-16702-2.
3. Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (12-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-58876-0.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Минимум». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 г.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Максимум». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 г.
6. Гарретт, Пол. «Повышение квалификации по минимизации и максимизации».
7. «Ненормализованная функция Sinc, заархивированная 15 февраля 2017 г. в Wayback Machine », Сиднейский университет.
8. Для ясности мы называем входные данные ( x ) точками , а выходные данные ( y ) — значениями; сравнить критическую точку и критическое значение .

Внешние ссылки

• Работа Томаса Симпсона о максимумах и минимумах при конвергенции
• Применение максимумов и минимумов с подстраницами решенных задач
• Джоллифф, Артур Эрнест (1911). «Максима и минимум»  . Британская энциклопедия . Том. 17 (11-е изд.). стр. 918–920.