Мировая линия

Уникальный путь объекта при его перемещении в пространстве-времени

Мировая линия (или мировая линия ) объекта — это путь , который объект прокладывает в 4- мерном пространстве-времени . Это важное понятие современной физики , и в частности теоретической физики .

Понятие «мировая линия» отличается от таких понятий, как « орбита » или « траектория » (например, орбита планеты в космосе или траектория автомобиля на дороге) включением измерения времени и, как правило, охватывает большую область пространства-времени, в которой пути, которые воспринимаются как прямые, отображаются в виде кривых в пространстве-времени, чтобы показать их ( относительно ) более абсолютные состояния положения — чтобы раскрыть природу специальной теории относительности или гравитационных взаимодействий.

Идея мировых линий была выдвинута физиками и впервые предложена Германом Минковским . В настоящее время этот термин чаще всего используется в контексте теорий относительности (т. е. специальной теории относительности и общей теории относительности ).

Использование в физике

Мировая линия объекта (обычно аппроксимируемая точкой в ​​пространстве, например, частицей или наблюдателем) — это последовательность событий пространства-времени, соответствующих истории объекта. Мировая линия — это особый тип кривой в пространстве-времени. Ниже будет объяснено эквивалентное определение: Мировая линия — это либо времениподобная, либо нулевая кривая в пространстве-времени. Каждая точка мировой линии — это событие, которое может быть помечено временем и пространственным положением объекта в это время.

Например, орбита Земли в космосе представляет собой приблизительно окружность, трехмерную (замкнутую) кривую в пространстве: Земля возвращается каждый год в одну и ту же точку пространства относительно Солнца. Однако она прибывает туда в разное (более позднее) время. Мировая линия Земли, таким образом, является винтовой в пространстве-времени (кривая в четырехмерном пространстве) и не возвращается в ту же точку.

Пространство-время — это совокупность событий вместе с непрерывной и гладкой системой координат , идентифицирующей события. Каждое событие можно обозначить четырьмя числами: временной координатой и тремя пространственными координатами; таким образом, пространство-время — это четырехмерное пространство. Математический термин для пространства-времени — четырехмерное многообразие (топологическое пространство, которое локально напоминает евклидово пространство вблизи каждой точки). Эта концепция может быть применена также к многомерному пространству. Для легкой визуализации четырех измерений две пространственные координаты часто опускаются. Затем событие представляется точкой на диаграмме Минковского , которая представляет собой плоскость, обычно построенную с временной координатой, скажем , по вертикали, и пространственной координатой, скажем , по горизонтали. Как выразился FR Harvey ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

Кривая M в [пространстве-времени] называется мировой линией частицы , если ее касательная подобна будущему времени в каждой точке. Параметр длины дуги называется собственным временем и обычно обозначается τ. Длина M называется собственным временем частицы. Если мировая линия M является отрезком прямой, то говорят, что частица находится в свободном падении . ^{[1] : 62–63}

Мировая линия вычерчивает путь одной точки в пространстве-времени. Мировой лист — это аналогичная двумерная поверхность, вычерченная одномерной линией (например, струной), проходящей через пространство-время. Мировой лист открытой струны (со свободными концами) — это полоска; мировой лист замкнутой струны (петли) напоминает трубку.

Если объект не аппроксимируется как простая точка, а имеет протяженный объем, то он описывает не мировую линию , а мировую трубку.

Мировые линии как метод описания событий

Мировая линия, мировой лист и мировой объем, поскольку они выводятся из частиц , струн и бран .

Одномерная линия или кривая может быть представлена ​​координатами как функция одного параметра. Каждое значение параметра соответствует точке в пространстве-времени, а изменение параметра вычерчивает линию. Таким образом, в математических терминах кривая определяется четырьмя функциями координат (где обычно обозначает временную координату), зависящими от одного параметра . Координатная сетка в пространстве-времени — это набор кривых, которые получаются, если три из четырех функций координат установить в константу. ${\displaystyle x^{a}(\tau ),\;a=0,1,2,3}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle \tau }$

Иногда термин мировая линия неформально используется для любой кривой в пространстве-времени. Эта терминология вызывает путаницу. Более правильно, мировая линия — это кривая в пространстве-времени, которая отслеживает (временную) историю частицы, наблюдателя или малого объекта. Обычно в качестве параметра кривой вдоль мировой линии используется собственное время объекта или наблюдателя . ${\displaystyle \tau }$

Тривиальные примеры кривых пространства-времени

Три различные мировые линии, представляющие движение с различными постоянными 4-скоростями. t — время, а x — расстояние.

Кривая, состоящая из горизонтального отрезка (линии с постоянным координатным временем), может представлять стержень в пространстве-времени и не будет мировой линией в собственном смысле. Параметр просто отслеживает длину стержня.

Линия с постоянной пространственной координатой (вертикальная линия, согласно принятому выше соглашению) может представлять частицу в состоянии покоя (или неподвижного наблюдателя). Наклонная линия представляет частицу с постоянной координатной скоростью (постоянное изменение пространственной координаты с увеличением временной координаты). Чем больше линия наклонена от вертикали, тем больше скорость.

Две мировые линии, которые начинаются отдельно, а затем пересекаются, означают столкновение или «встречу». Две мировые линии, начинающиеся в одном и том же событии в пространстве-времени, каждая из которых следует своим собственным путем, могут представлять, например, распад частицы на две другие или испускание одной частицы другой.

Мировые линии частицы и наблюдателя могут быть взаимосвязаны с мировой линией фотона (путью света) и образовывать диаграмму, изображающую испускание фотона частицей, который впоследствии наблюдается наблюдателем (или поглощается другой частицей).

Касательный вектор к мировой линии: четырехскоростной

Четыре функции координат, определяющие мировую линию, являются функциями действительных чисел действительной переменной и могут быть просто дифференцированы с помощью обычного исчисления. Без существования метрики (это важно понимать) можно представить себе разницу между точкой на кривой при значении параметра и точкой на кривой немного (параметр ) дальше. В пределе эта разница, деленная на , определяет вектор, касательный вектор мировой линии в точке . Это четырехмерный вектор, определенный в точке . Он связан с нормальной 3-мерной скоростью объекта (но это не то же самое) и поэтому называется четырехскоростным , или в компонентах: ${\displaystyle x^{a}(\tau ),\;a=0,1,2,3}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau _{0}}$ ${\displaystyle \tau _{0}+\Delta \tau }$ ${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$ ${\displaystyle \Delta \tau }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ $${\displaystyle {\vec {v}}=\left(v^{0},v^{1},v^{2},v^{3}\right)=\left({\frac {dx^{0}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{1}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{2}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{3}}{d\tau }}\right)}$$

таким образом, что производные берутся в точке , поэтому при . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

Все кривые, проходящие через точку p, имеют касательный вектор, а не только мировые линии. Сумма двух векторов снова является касательным вектором к некоторой другой кривой, и то же самое справедливо для умножения на скаляр. Таким образом, все касательные векторы для точки p охватывают линейное пространство , называемое касательным пространством в точке p. Например, если взять двумерное пространство, такое как (искривленная) поверхность Земли, то ее касательное пространство в определенной точке будет плоским приближением искривленного пространства.

Мировые линии в специальной теории относительности

До сих пор мировая линия (и концепция касательных векторов) описывалась без средств количественной оценки интервала между событиями. Основная математика такова: Теория специальной теории относительности накладывает некоторые ограничения на возможные мировые линии. В специальной теории относительности описание пространства-времени ограничивается специальными системами координат, которые не ускоряются (и, следовательно, не вращаются), называемыми инерциальными системами координат . В таких системах координат скорость света является константой. Структура пространства-времени определяется билинейной формой η, которая дает действительное число для каждой пары событий. Билинейная форма иногда называется метрикой пространства-времени , но поскольку отдельные события иногда приводят к нулевому значению, в отличие от метрик в метрических пространствах математики, билинейная форма не является математической метрикой пространства-времени.

Мировые линии свободно падающих частиц/объектов называются геодезическими . В специальной теории относительности это прямые линии в пространстве Минковского .

Часто единицы времени выбираются таким образом, что скорость света представляется линиями под фиксированным углом, обычно в 45 градусов, образуя конус с вертикальной (временной) осью. В общем, полезные кривые в пространстве-времени могут быть трех типов (другие типы будут частично одного, частично другого типа):

• Светоподобные кривые, имеющие в каждой точке скорость света. Они образуют конус в пространстве-времени, разделяя его на две части. Конус трехмерен в пространстве-времени, выглядит как линия на рисунках с подавленными двумя измерениями и как конус на рисунках с подавленным одним пространственным измерением.

Пример светового конуса , трехмерной поверхности всех возможных световых лучей, приходящих и исходящих из точки пространства-времени. Здесь она изображена с подавленным одним пространственным измерением.

Мгновенно сопутствующие инерциальные системы отсчета вдоль траектории («мировая линия») быстро ускоряющегося наблюдателя (в центре). Вертикальное направление указывает время, а горизонтальное — расстояние, пунктирная линия — пространство-время наблюдателя. Маленькие точки — это конкретные события в пространстве-времени. Обратите внимание, как мгновенно сопутствующая инерциальная система отсчета изменяется, когда наблюдатель ускоряется.

• времениподобные кривые, со скоростью, меньшей скорости света. Эти кривые должны попадать в конус, определяемый светоподобными кривыми. В нашем определении выше: мировые линии являются времениподобными кривыми в пространстве-времени .
• пространственно-подобные кривые, падающие за пределы светового конуса. Такие кривые могут описывать, например, длину физического объекта. Окружность цилиндра и длина стержня являются пространственно-подобными кривыми.

При заданном событии на мировой линии пространство-время ( пространство Минковского ) делится на три части.

• Будущее данного события формируется всеми событиями, которые могут быть достигнуты посредством времениподобных кривых, лежащих внутри будущего светового конуса.
• Прошлое данного события формируется всеми событиями, которые могут повлиять на событие (то есть которые могут быть связаны мировыми линиями внутри светового конуса прошлого с данным событием).
  • Световой конус в данном событии формируется всеми событиями, которые могут быть связаны с событием посредством световых лучей. Когда мы наблюдаем небо ночью, мы в основном видим только прошлый световой конус в пределах всего пространства-времени.
• Elsewhere — это область между двумя световыми конусами. Точки в where of наблюдателя недоступны для них; только точки в прошлом могут посылать сигналы наблюдателю. В обычном лабораторном опыте, используя общие единицы и методы измерения, может показаться, что мы смотрим на настоящее, но на самом деле всегда есть задержка времени для распространения света. Например, мы видим Солнце таким , каким оно было около 8 минут назад, а не таким, какое оно «прямо сейчас». В отличие от настоящего в галилеевской/ньютоновской теории, where of является толстым; это не 3-мерный объем, а 4-мерная область пространства-времени.
  • В "elsewhere" включена одновременная гиперплоскость , которая определяется для данного наблюдателя пространством , которое гиперболически-ортогонально его мировой линии. Она действительно трехмерна, хотя на диаграмме это была бы 2-плоскость, потому что нам пришлось отбросить одно измерение, чтобы сделать понятную картину. Хотя световые конусы одинаковы для всех наблюдателей в данном событии пространства-времени, разные наблюдатели, с разными скоростями, но совпадающие в событии (точке) в пространстве-времени, имеют мировые линии, пересекающиеся друг с другом под углом, определяемым их относительными скоростями, и, таким образом, они имеют разные одновременные гиперплоскости.
  • Под настоящим часто подразумевается отдельное рассматриваемое пространственно-временное событие.

Одновременная гиперплоскость

Поскольку мировая линия определяет 4-вектор скорости , который является времениподобным, форма Минковского определяет линейную функцию Пусть N будет нулевым пространством этого линейного функционала. Тогда N называется одновременной гиперплоскостью относительно v . Относительность одновременности - это утверждение, что N зависит от v . Действительно, N является ортогональным дополнением v относительно η. Когда две мировые линии u и w связаны, то они разделяют одну и ту же одновременную гиперплоскость. Эта гиперплоскость существует математически, но физические отношения в теории относительности включают перемещение информации посредством света. Например, традиционная электростатическая сила, описываемая законом Кулона, может быть изображена в одновременной гиперплоскости, но релятивистские отношения заряда и силы включают запаздывающие потенциалы . ${\displaystyle w(\tau )\in R^{4}}$ ${\displaystyle v={\frac {dw}{d\tau }}}$ ${\displaystyle \eta (v,x)}$ ${\displaystyle R^{4}\rightarrow R}$ ${\displaystyle x\mapsto \eta (v,x).}$ ${\displaystyle {\frac {du}{d\tau }}={\frac {dw}{d\tau }},}$

Мировые линии в общей теории относительности

Использование мировых линий в общей теории относительности в основном такое же, как и в специальной теории относительности , с той разницей, что пространство-время может быть искривлено . Метрика существует, и ее динамика определяется уравнениями поля Эйнштейна и зависит от распределения массы-энергии в пространстве-времени. Опять же, метрика определяет светоподобные (нулевые), пространственноподобные и времениподобные кривые. Кроме того, в общей теории относительности мировые линии включают времениподобные кривые и нулевые кривые в пространстве-времени, где времениподобные кривые попадают в световой конус. Однако световой конус не обязательно наклонен под углом 45 градусов к оси времени. Однако это артефакт выбранной системы координат и отражает свободу координат ( инвариантность диффеоморфизма ) общей теории относительности. Любая времениподобная кривая допускает сопутствующего наблюдателя, «ось времени» которого соответствует этой кривой, и, поскольку ни один наблюдатель не является привилегированным, мы всегда можем найти локальную систему координат, в которой световые конусы наклонены под углом 45 градусов к оси времени. См. также, например, координаты Эддингтона-Финкельштейна .

Мировые линии свободно падающих частиц или объектов (например, планет вокруг Солнца или астронавта в космосе) называются геодезическими .

Мировые линии в квантовой теории поля

Квантовая теория поля, структура, в которой описывается вся современная физика элементарных частиц, обычно описывается как теория квантованных полей. Однако, хотя это и не получило широкого признания, со времен Фейнмана ^[2] было известно , что многие квантовые теории поля могут быть эквивалентно описаны в терминах мировых линий. Это предшествовало многим его работам ^[3] по формулировке, которая позже стала более стандартной. Формулировка мировой линии квантовой теории поля оказалась особенно плодотворной для различных вычислений в калибровочных теориях ^{[4] [5] [6]} и при описании нелинейных эффектов электромагнитных полей. ^{[7] [8]}

Мировые линии в литературе

В 1884 году CH Hinton написал эссе «Что такое четвертое измерение?», которое он опубликовал в виде научного романа . Он написал

Почему же тогда четырехмерными существами не должны быть мы сами, а наши последовательные состояния – их прохождение через трехмерное пространство, которым ограничено наше сознание. ^{[9] : 18–19}

Популярное описание человеческих мировых линий было дано Дж. К. Филдсом в Университете Торонто в ранние дни теории относительности. Как описал юрист из Торонто Норман Робертсон:

Я помню, как [Филдс] читал лекцию на одной из субботних вечерних лекций в Королевском канадском институте . Это было объявлено как «Математическая фантазия» — и так оно и было! Суть упражнения была следующей: он постулировал, что, начиная с его рождения, каждое человеческое существо имеет некую духовную ауру с длинной прикрепленной нитью или нитью, которая путешествовала позади него на протяжении всей его жизни. Затем он продолжил в воображении описывать сложную запутанность, в которую каждый человек был вовлечен в своих отношениях с другими людьми, сравнивая простые запутанности юности с теми сложными узлами, которые развиваются в более поздней жизни. ^[10]

Курт Воннегут в своем романе «Бойня номер пять » описывает мировые линии звезд и людей:

«Билли Пилигрим говорит, что Вселенная не выглядит как множество ярких маленьких точек для существ с Тральфамадора. Существа могут видеть, где была каждая звезда и куда она движется, так что небеса заполнены разреженными, светящимися спагетти. И тральфамадорцы также не видят людей как двуногих существ. Они видят их как огромных тысяченог — «с ножками младенцев на одном конце и ногами стариков на другом», — говорит Билли Пилигрим».

Почти все научно-фантастические рассказы, которые активно используют эту концепцию, например, для того, чтобы сделать возможным путешествие во времени , чрезмерно упрощают эту концепцию до одномерной временной шкалы, чтобы соответствовать линейной структуре, которая не соответствует моделям реальности. Такие машины времени часто изображаются как мгновенные, с ее содержимым, отправляющимся в одно время и прибывающим в другое, но в одну и ту же буквальную географическую точку в пространстве. Это часто выполняется без указания системы отсчета или с неявным предположением, что система отсчета локальна; как таковое, это потребовало бы либо точной телепортации, поскольку вращающаяся планета, находящаяся под ускорением, не является инерциальной системой, либо для машины времени, чтобы оставаться в том же месте, ее содержимое «заморожено».

Автор Оливер Франклин опубликовал в 2008 году научно-фантастическое произведение под названием «Мировые линии» , в котором он дал упрощенное объяснение гипотезы для неспециалистов. ^[11]

В рассказе «Линия жизни» автор Роберт А. Хайнлайн описывает мировую линию человека: ^[12]

Он подошел к одному из репортеров. «Предположим, мы возьмем вас в качестве примера. Вас зовут Роджерс, не так ли? Очень хорошо, Роджерс, вы — пространственно-временное событие, имеющее длительность в четырех направлениях. Вы не совсем шести футов ростом, вы около двадцати дюймов в ширину и, возможно, десять дюймов в толщину. Со временем за вами простирается больше этого пространственно-временного события, достигая, возможно, девятнадцатого года, поперечное сечение которого мы видим здесь под прямым углом к ​​оси времени, и такое же толстое, как настоящее. На дальнем конце — младенец, пахнущий кислым молоком и пускающий слюни от завтрака на свой нагрудник. На другом конце, возможно, лежит старик где-то в восьмидесятых годах.

«Представьте себе это пространственно-временное событие, которое мы называем Роджерсом, как длинного розового червя, продолжающегося на протяжении многих лет, один конец которого находится в утробе матери, а другой — у могилы...»

Этот термин используется в романе Хайнлайна « Дети Мафусаила» ​​и в романе Джеймса Блиша «Квинканс времени» (расширенное название «Пипа»).

Визуальный роман под названием Steins;Gate , созданный 5pb. , рассказывает историю, основанную на смещении мировых линий. Steins;Gate является частью серии " Science Adventure ". Мировые линии и другие физические концепции, такие как море Дирака, также используются на протяжении всей серии.

Роман Нила Стивенсона « Анафем» включает в себя долгое обсуждение мировых линий за ужином в разгар философского спора между платоновским реализмом и номинализмом .

«Абсолютный выбор» изображает различные мировые линии как подсюжет и сеттинговый прием.

Космическая армада, пытающаяся пройти по (почти) замкнутому временному пути в качестве стратегического маневра, образует фон и основной сюжетный ход романа «Небо сингулярности» Чарльза Стросса .

Смотрите также

• Конкретные типы мировых линий
  • Геодезические
  • Замкнутые времениподобные кривые
  • Причинно-следственная структура , кривые, представляющие собой различные типы мировых линий.
  • Изотропная линия
• Диаграмма Фейнмана
• География времени

Ссылки

1. Харви, Ф. Риз (1990). Раздел «Специальная теория относительности» главы «Евклидовы/Лоренцевы векторные пространства». Спиноры и калибровки . Academic Press . С. 62–67. ISBN 9780080918631.
2. Фейнман, Ричард П. (1950). «Математическая формулировка квантовой теории электромагнитного взаимодействия». Physical Review . 80 (1): 108–128. doi :10.1103/PhysRev.80.440.
3. Фейнман, Ричард П. (1951). «Операторное исчисление, имеющее приложения в квантовой электродинамике» (PDF) . Physical Review . 84 (3): 440–457. Bibcode :1951PhRv...84..108F. doi :10.1103/PhysRev.84.108.
4. Берн, Цви ; Косовер, Дэвид А. (1991). «Эффективный расчет амплитуд КХД с одной петлей». Physical Review Letters . 66 (13): 1669–1672. Bibcode : 1991PhRvL..66.1669B. doi : 10.1103/PhysRevLett.66.1669. PMID  10043277.
5. Берн, Цви ; Диксон, Лэнс ; Косовер, Дэвид А. (1996). «Прогресс в вычислениях КХД с одной петлей» (PDF) . Annual Review of Nuclear and Particle Science . 46 : 109–148. arXiv : hep-ph/9602280 . Bibcode : 1996ARNPS..46..109B. doi : 10.1146/annurev.nucl.46.1.109 .
6. Шуберт, Кристиан (2001). «Пертурбативная квантовая теория поля в струнно-вдохновленном формализме». Physics Reports . 355 (2–3): 73–234. arXiv : hep-th/0101036 . Bibcode : 2001PhR...355...73S. doi : 10.1016/S0370-1573(01)00013-8. S2CID  118891361.
7. Аффлек, Ян К.; Альварес, Орландо; Мэнтон, Николас С. (1982). «Рождение пар при сильной связи в слабых внешних полях». Nuclear Physics B. 197 ( 3): 509–519. Bibcode : 1982NuPhB.197..509A. doi : 10.1016/0550-3213(82)90455-2.
8. Данн, Джеральд В.; Шуберт, Кристиан (2005). «Инстантоны мировой линии и рождение пар в неоднородных полях» (PDF) . Physical Review D. 72 ( 10): 105004. arXiv : hep-th/0507174 . Bibcode : 2005PhRvD..72j5004D. doi : 10.1103/PhysRevD.72.105004. S2CID  119357180.
9. Хинтон, CH (1884). «Что такое четвертое измерение?». Научные романсы: Первая серия . S. Sonnenschein . С. 1–32.
10. Робинсон, Жильбер де Борегар (1979). Математический факультет в Университете Торонто, 1827–1978 . Издательство Университета Торонто . стр. 19. ISBN 0-7727-1600-5.
11. Оливер Франклин (2008). Мировые линии . Epic Press. ISBN 978-1-906557-00-3.
12. "Technovelgy: Chronovitameter" . Получено 8 сентября 2010 г.

• Минковский, Герман (1909), «Raum und Zeit»  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88.

• Различные переводы на английский язык на Wikisource: Space and Time

• Людвик Зильберштейн (1914) Теория относительности , стр. 130, Macmillan and Company .

Внешние ссылки

• Статья о мировых линиях на h2g2 .

• подробный текст о мировых линиях и специальной теории относительности