Многообразие Уайтхеда

Первые три тора конструкции многообразия Уайтхеда

В математике многообразие Уайтхеда представляет собой открытое трехмерное многообразие , которое стягивается , но не гомеоморфно Дж . Х. Уайтхеду  (1935), который обнаружил этот загадочный объект, когда пытался доказать гипотезу Пуанкаре , исправляя ошибку в более ранней статье Уайтхеда (1934). теорема 3), где он ошибочно утверждал, что такого многообразия не существует. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Сжимаемое многообразие — это многообразие, которое можно непрерывно сжимать до точки внутри самого многообразия. Например, открытый шар представляет собой сжимаемое многообразие. Все многообразия, гомеоморфные шару, также стягиваемы. Можно задаться вопросом, все ли стягиваемые многообразия гомеоморфны шару. Для измерений 1 и 2 ответ классический: «да». В размерности 2 это следует, например, из теоремы Римана об отображении . Размерность 3 представляет первый контрпример : многообразие Уайтхеда. ^[1]

Строительство

Возьмите копию трехмерной сферы . Теперь найдите внутри сферы компактный полноторий без узлов . (Полоторый тор — это обычный трехмерный пончик , то есть заполненный тор , который топологически представляет собой круг , умноженный на диск . ) Замкнутое дополнение полнотора внутри — это еще один полноторий. ${\displaystyle S^{3},}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Утолщенное звено Уайтхеда. В конструкции многообразия Уайтхеда синий (раскрученный) тор представляет собой трубчатую окрестность меридиональной кривой , а оранжевый тор — все должно содержаться внутри ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}.}$ ${\displaystyle T_{1}.}$

Теперь возьмем внутри второй полноторий так, чтобы трубчатая окрестность меридианной кривой представляла собой утолщенное звено Уайтхеда . ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Обратите внимание, что он гомотопен по нулю в дополнении к меридиану. Это можно увидеть, рассматривая кривую меридиана как ось z вместе с Тор имеет нулевое число витков вокруг оси z . Отсюда следует необходимая нуль-гомотопия. Поскольку зацепление Уайтхеда симметрично, то есть является гомеоморфизмом компонентов трехсферных переключателей, верно также, что меридиан также является нуль-гомотопным в дополнении ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}.}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}.}$

Теперь вставляем внутрь так же, как лежит внутри и так далее; до бесконечности. Определим W , континуум Уайтхеда , как точку пересечения всех for. ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1},}$ ${\displaystyle W=T_{\infty },}$ ${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,3,\dots .}$

Многообразие Уайтхеда определяется как некомпактное многообразие без края. Из нашего предыдущего наблюдения, теоремы Гуревича и теоремы Уайтхеда о гомотопической эквивалентности следует , что X стягиваемо. Фактически, более тщательный анализ, включающий результат Мортона Брауна, показывает, что Однако X не гомеоморфен. Причина в том, что он не просто связан на бесконечности . ${\displaystyle X=S^{3}\setminus W,}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Одноточечная компактификация X — это пространство (с сжатым в точку W ). Это не многообразие. Однако гомеоморфен ${\displaystyle S^{3}/W}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{3}/W\right)\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Давид Габай показал, что X представляет собой объединение двух копий, пересечение которых также гомеоморфно ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Похожие пространства

Дополнительные примеры открытых сжимаемых 3-многообразий можно построить, действуя аналогичным образом и выбирая различные вложения в в итерационном процессе. Каждое вложение должно представлять собой развязанный полноторий в 3-сфере. Существенными свойствами являются то, что меридиан должен быть нуль-гомотопным в дополнении и, кроме того, долгота не должна быть нуль-гомотопной в ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i+1},}$ ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{i}\setminus T_{i+1}.}$

Другой вариант — на каждом этапе выбирать несколько субтори вместо одного. Конусы над некоторыми из этих континуумов выглядят как дополнения к ручкам Кассона в четверке.

Пространство «собачья кость» не является многообразием, но его произведение с гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Смотрите также

• Список топологий
• Прирученное многообразие

Рекомендации

1. Габай, Дэвид (2011). «Многообразие Уайтхеда представляет собой объединение двух евклидовых пространств». Журнал топологии . 4 (3): 529–534. doi : 10.1112/jtopol/jtr010.

дальнейшее чтение

• Кирби, Робион (1989). Топология 4-многообразий . Конспект лекций по математике, вып. 1374 г., Шпрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-51148-1.
• Рольфсен, Дейл (2003), «Раздел 3.I.8.», Узлы и связи , AMS Chelsea Publishing, стр. 82, ISBN 978-0821834367
• Уайтхед, JHC (1934), «Некоторые теоремы о трехмерных многообразиях (I)», Quarterly Journal of Mathematics , 5 (1): 308–320, Бибкод : 1934QJMat...5..308W, doi : 10.1093/qmath /os-5.1.308
• Уайтхед, JHC (1935), «Некоторое открытое многообразие, группа которого равна единице», Quarterly Journal of Mathematics , 6 (1): 268–279, Бибкод : 1935QJMat...6..268W, doi : 10.1093/qmath/os -6.1.268