stringtranslate.com

Гомотопия

Два пунктирных пути, показанные выше, гомотопны относительно своих конечных точек. Анимация представляет одну возможную гомотопию.

В топологии , разделе математики , две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопными (от древнегреческого : ὁμός homós «тот же, подобный» и τόπος tópos «место»), если одна может быть «непрерывно деформирована» в другую, такая деформация называется гомотопией ( / h ə ˈ m ɒ t ə p / , [ 1] hə- MO -tə-pee ; / ˈ h m ˌ t p / , [2] HOH -moh-toh-pee ) между двумя функциями. Известное применение гомотопии — определение гомотопических групп и когомотопических групп , важных инвариантов в алгебраической топологии . [3]

На практике существуют технические трудности в использовании гомотопий с некоторыми пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно сгенерированными пространствами , комплексами CW или спектрами .

Формальное определение

Гомотопия между двумя вложениями тора в R 3 : как "поверхность бублика" и как "поверхность кофейной кружки". Это также пример изотопии.

Формально гомотопия между двумя непрерывными функциями f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y определяется как непрерывная функция из произведения пространства X на единичный интервал [0, 1] до Y такая, что и для всех .

Если мы думаем о втором параметре H как о времени, то H описывает непрерывную деформацию f в g : в момент времени 0 у нас есть функция f , а в момент времени 1 у нас есть функция g . Мы также можем думать о втором параметре как о «ползунковом управлении», которое позволяет нам плавно переходить от f к g, когда ползунок перемещается от 0 к 1, и наоборот.

Альтернативная запись заключается в том, чтобы сказать, что гомотопия между двумя непрерывными функциями является семейством непрерывных функций для таких, что и , и отображение непрерывно от до . Две версии совпадают, устанавливая . Недостаточно требовать, чтобы каждое отображение было непрерывным. [4]

Анимация, зацикленная выше справа, представляет собой пример гомотопии между двумя вложениями , f и g , тора в R 3 . X — тор, YR 3 , f — некоторая непрерывная функция от тора до R 3 , которая переводит тор во вложенную форму поверхности бублика, с которой начинается анимация; g — некоторая непрерывная функция, которая переводит тор во вложенную форму поверхности кофейной кружки. Анимация показывает изображение h t (X) как функцию параметра t , где t изменяется со временем от 0 до 1 в течение каждого цикла цикла анимации. Она останавливается, затем показывает изображение, когда t изменяется обратно от 1 до 0, останавливается и повторяет этот цикл.

Характеристики

Непрерывные функции f и g называются гомотопными тогда и только тогда, когда существует гомотопия H, переводящая f в g, как описано выше. Гомотопность — это отношение эквивалентности на множестве всех непрерывных функций из X в Y . Это отношение гомотопии совместимо с композицией функций в следующем смысле: если f 1 , g 1  : XY гомотопны и f 2 , g 2  : YZ гомотопны, то их композиции f 2  ∘  f 1 и g 2  ∘  g 1  : XZ также гомотопны.

Примеры

Гомотопическая эквивалентность

Для двух топологических пространств X и Y гомотопическая эквивалентность между X и Y — это пара непрерывных отображений f  : XY и g  : YX , таких, что g  ∘  f гомотопно тождественному отображению id X , а f  ∘  g гомотопно id Y . Если такая пара существует, то X и Y называются гомотопически эквивалентными или одного и того же гомотопического типа . Интуитивно понятно, что два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если их можно преобразовать друг в друга с помощью операций изгибания, сжатия и расширения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми .

Гомотопическая эквивалентность против гомеоморфизма

Гомеоморфизм — это частный случай гомотопической эквивалентности, в котором g  ∘  f равно тождественному отображению id X (а не только гомотопно ему), а f  ∘  g равно id Y . [6] : 0:53:00  Следовательно, если X и Y гомеоморфны , то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Вот несколько примеров:

Примеры

Нуль-гомотопия

Функция называется нуль-гомотопной. если она гомотопна постоянной функции. (Гомотопия от к постоянной функции тогда иногда называется нуль-гомотопией .) Например, отображение из единичной окружности в любое пространство является нуль-гомотопным в точности тогда, когда его можно непрерывно продолжить до отображения из единичного круга в , которое совпадает с на границе.

Из этих определений следует, что пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда тождественное отображение из в себя (которое всегда является гомотопической эквивалентностью) является нуль-гомотопным.

Инвариантность

Гомотопическая эквивалентность важна, поскольку в алгебраической топологии многие концепции гомотопически инвариантны , то есть они соблюдают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y являются гомотопически эквивалентными пространствами, то:

Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопически инвариантным, является гомология с компактным носителем (которая, грубо говоря, является гомологией компактификации , а компактификация не является гомотопически инвариантной).

Варианты

Относительная гомотопия

Для определения фундаментальной группы необходимо понятие гомотопии относительно подпространства . Это гомотопии, которые сохраняют элементы подпространства фиксированными. Формально: если f и g являются непрерывными отображениями из X в Y , а K является подмножеством X , то мы говорим, что f и g гомотопны относительно K, если существует гомотопия H  : X × [0, 1] → Y между f и g такая, что H ( k ,  t ) = f ( k ) = g ( k ) для всех kK и t ∈ [0, 1]. Кроме того, если g является ретракцией из X в K , а f является тождественным отображением , это известно как сильный деформационный ретракт из X в K. Когда K является точкой, используется термин пунктированная гомотопия .

Изотопия

Трилистник не эквивалентен узлу-трилистнику, поскольку один не может быть деформирован в другой посредством непрерывного пути гомеоморфизмов окружающего пространства. Таким образом, они не являются окружающе-изотопными.

Когда две заданные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями , можно спросить, могут ли они быть связаны «через вложения». Это приводит к концепции изотопии , которая является гомотопией, H , в обозначениях, используемых ранее, такой, что для каждого фиксированного t , H ( x ,  t ) дает вложение. [8]

Схожая, но другая концепция — это концепция изотопии окружающей среды .

Требование, чтобы два вложения были изотопными, является более сильным требованием, чем требование, чтобы они были гомотопными. Например, отображение из интервала [−1, 1] в действительные числа, определяемое как f ( x ) = − x , не изотопно тождеству g ( x ) = x . Любая гомотопия из f в тождество должна была бы поменять конечные точки, что означало бы, что они должны были бы «пройти» друг через друга. Более того, f изменил ориентацию интервала, а g — нет, что невозможно при изотопии. Однако отображения гомотопны; одна гомотопия из f в тождество — это H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданная как H ( x ,  y ) = 2 yx  −  x .

Два гомеоморфизма (являющиеся частными случаями вложений) единичного шара, которые совпадают на границе, можно изотопизировать, используя трюк Александера . По этой причине отображение единичного круга в R 2 , определяемое как f ( x ,  y ) = (− x , − y ), изотопно повороту на 180 градусов вокруг начала координат, и поэтому тождественное отображение и f изотопны, поскольку их можно соединить поворотами.

В геометрической топологии — например, в теории узлов — идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда два узла следует считать одинаковыми? Возьмем два узла, K 1 и K 2 , в трехмерном пространстве . Узел — это вложение одномерного пространства, «петли струны» (или окружности), в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между окружностью и ее образом в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узлов, заключается в том, что можно деформировать одно вложение в другое посредством пути вложений: непрерывная функция, начинающаяся при t  = 0, дающая вложение K 1 , заканчивающаяся при t  = 1, дающая вложение K 2 , со всеми промежуточными значениями, соответствующими вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия , изучаемая в этом контексте, является изотопией большего пространства, рассматриваемого в свете его действия на вложенном подмногообразии. Узлы K 1 и K 2 считаются эквивалентными, когда существует окружающая изотопия, которая перемещает K 1 в K 2 . Это подходящее определение в топологической категории.

Похожий язык используется для эквивалентной концепции в контекстах, где есть более сильное понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями является гладкой изотопией .

Временная гомотопия

На лоренцевом многообразии некоторые кривые различаются как времениподобные (представляющие собой нечто, что движется только вперед, а не назад во времени в каждой локальной системе отсчета). Временноподобная гомотопия между двумя времениподобными кривыми — это гомотопия, при которой кривая остается времениподобной во время непрерывного преобразования из одной кривой в другую. Никакая замкнутая времениподобная кривая (ЗВК) на лоренцевом многообразии не является времениподобной гомотопной точке (то есть нулевой времениподобной гомотопной); поэтому такое многообразие называется многократно связанным с времениподобными кривыми. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть просто связано (любым типом кривой) и при этом быть времениподобным многократно связанным . [9]

Характеристики

Подъемные и растягивающие свойства

Если у нас есть гомотопия H  : X × [0,1] → Y и покрытие p  : YY и нам дано отображение h 0  : XY такое, что H 0 = ph 0 ( h 0 называется поднятием h 0 ), то мы можем поднять все H до отображения H  : X × [0, 1] → Y такого , что pH = H. Свойство поднятия гомотопии используется для характеристики расслоений .

Другим полезным свойством, связанным с гомотопией, является свойство расширения гомотопии , которое характеризует расширение гомотопии между двумя функциями из подмножества некоторого множества на само множество. Оно полезно при работе с кофибрациями .

Группы

Поскольку отношение двух функций , гомотопных относительно подпространства, является отношением эквивалентности, мы можем рассмотреть классы эквивалентности отображений между фиксированными X и Y. Если мы фиксируем , единичный интервал [0, 1], пересекающийся сам с собой n раз, и берем его границу в качестве подпространства, то классы эквивалентности образуют группу, обозначаемую , где находится в образе подпространства .

Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и так мы получим группу. Эти группы называются гомотопическими группами . В случае , ее также называют фундаментальной группой .

Гомотопическая категория

Идею гомотопии можно превратить в формальную категорию теории категорий . Гомотопическая категория — это категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами — классы гомотопической эквивалентности непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны. Тогда функтор в категории топологических пространств гомотопически инвариантен, если его можно выразить как функтор в гомотопической категории.

Например, группы гомологий являются функториальным гомотопическим инвариантом: это означает, что если f и g из X в Y гомотопны, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне групп гомологий , одинаковы: H n ( f ) = H n ( g ) : H n ( X ) → H n ( Y ) для всех n . Аналогично, если X и Y дополнительно линейно связаны , а гомотопия между f и g является точечной, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне гомотопических групп , также одинаковы: π n ( f ) = π n ( g ) : π n ( X ) → π n ( Y ).

Приложения

На основе концепции гомотопии разработаны методы вычисления алгебраических и дифференциальных уравнений . К методам для алгебраических уравнений относятся метод продолжения гомотопии [10] и метод продолжения (см. численное продолжение ). К методам для дифференциальных уравнений относится метод анализа гомотопии .

Теория гомотопий может быть использована в качестве основы для теории гомологии : можно представить функтор когомологии на пространстве X с помощью отображений X в соответствующее фиксированное пространство с точностью до гомотопической эквивалентности. Например, для любой абелевой группы G и любого базового CW-комплекса X множество базовых гомотопических классов базовых отображений из X в  пространство Эйленберга–Маклейна находится в естественной биекции с n -й сингулярной группой когомологий  пространства X. Говорят, что омега -спектр пространств Эйленберга–Маклейна представляет пространства для сингулярных когомологий с коэффициентами в G.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ "Определение и значение гомотопии" . Получено 22 апреля 2022 г.
  2. ^ "Обсуждение теории гомотопических типов - Computerphile". YouTube . Получено 22 апреля 2022 г.
  3. ^ "Гомотопия | математика". Encyclopedia Britannica . Получено 2019-08-17 .
  4. ^ "Алгебраическая топология - Гомотопия путей и раздельно непрерывные функции". Mathematics Stack Exchange .
  5. ^ Аллен, Хэтчер (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 185. ISBN 9780521795401. OCLC  45420394.
  6. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Альбин, Пьер (2019). «История алгебраической топологии». YouTube .
  7. ^ Аллен, Хэтчер (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 11. ISBN 9780521795401. OCLC  45420394.
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Изотопия». Математический мир .
  9. ^ Монро, Хантер (2008-11-01). «Нежелательны ли нарушения причинности?». Основы физики . 38 (11): 1065–1069. arXiv : gr-qc/0609054 . Bibcode :2008FoPh...38.1065M. doi :10.1007/s10701-008-9254-9. ISSN  0015-9018. S2CID  119707350.
  10. ^ Allgower, EL (2003). Введение в методы численного продолжения. Курт Георг. Филадельфия: SIAM. ISBN 0-89871-544-X. OCLC  52377653.

Источники