Закрытый коллектор

В математике замкнутое многообразие — это компактное многообразие без края . Для сравнения: открытое многообразие — это многообразие без края, имеющее только некомпактные компоненты.

Примеры

Единственный связный одномерный пример — это круг . Сфера , тор и бутылка Клейна — замкнутые двумерные многообразия . Вещественное проективное пространство RP ⁿ представляет собой замкнутое n-мерное многообразие. Комплексное проективное пространство CP ⁿ представляет собой замкнутое 2n-мерное многообразие. ^[1] Линия не является замкнутой , поскольку она некомпактна. Замкнутый диск — компактное двумерное многообразие, но оно не замкнуто, поскольку имеет границу.

Характеристики

Каждое замкнутое многообразие является ретрактом евклидовой окрестности и, следовательно, имеет конечно порожденные группы гомологии. ^[2]

Если — замкнутое связное n-многообразие, n-я группа гомологии равна или 0 в зависимости от того, ориентируема она или нет. ^[3] Более того, периодическая подгруппа (n-1)-й группы гомологий равна 0 или зависит от того, ориентируема она или нет. Это следует из применения теоремы об универсальных коэффициентах . ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle M}$

Пусть – коммутативное кольцо. Для -ориентируемого с фундаментальным классом отображение, определенное как, является изоморфизмом для всех k. Это двойственность Пуанкаре . ^[5] В частности, всякое замкнутое многообразие -ориентируемо. Следовательно, всегда существует изоморфизм . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M;R)}$ ${\displaystyle D:H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R)}$ ${\displaystyle D(\alpha )=[M]\cap \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\cong H_{n-k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

Открытые коллекторы

Для связного многообразия «открытое» эквивалентно «без края и некомпактному», но для несвязного многообразия «открытое» является более сильным. Например, дизъюнктное объединение окружности и прямой некомпактно, поскольку линия некомпактна, но это не открытое многообразие, поскольку окружность (одна из ее компонент) компактна.

Злоупотребление языком

В большинстве книг многообразие обычно определяется как пространство, которое локально гомеоморфно евклидову пространству (наряду с некоторыми другими техническими условиями), поэтому по этому определению многообразие не включает свою границу, когда оно вложено в большее пространство. Однако это определение не охватывает некоторые базовые объекты, такие как закрытый диск , поэтому авторы иногда определяют многообразие с краем и оскорбительно говорят «многообразие» без ссылки на край. Но обычно компактное многообразие (компактное относительно лежащей в его основе топологии) может использоваться как синоним замкнутого многообразия , если используется обычное определение многообразия.

Понятие замкнутого многообразия не связано с понятием замкнутого множества . Прямая — это замкнутое подмножество плоскости и многообразие, но не замкнутое многообразие.

Использование в физике

Понятие « закрытая Вселенная » может относиться к Вселенной как к замкнутому многообразию, но, скорее всего, относится к Вселенной как к многообразию постоянной положительной кривизны Риччи .

Смотрите также

• Прирученное многообразие

Рекомендации

1. См. Хэтчер 2002, стр. 231.
2. См. Хэтчер 2002, стр. 536.
3. См. Хэтчер 2002, стр. 236.
4. См. Хэтчер 2002, стр. 238.
5. См. Хэтчер 2002, стр. 250.

• Майкл Спивак : Всестороннее введение в дифференциальную геометрию. Том 1. Издание 3-е с исправлениями. Опубликуй или погибни, Хьюстон, Техас, 2005 г., ISBN  0-914098-70-5 .
• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002.