Однородный многочлен

Многочлен, все ненулевые члены которого имеют одинаковую степень

В математике однородный многочлен , иногда называемый квантическим в старых текстах, — это многочлен , все ненулевые члены которого имеют одинаковую степень . ^[1] Например, — однородный многочлен степени 5 от двух переменных; сумма показателей степеней в каждом члене всегда равна 5. Многочлен не является однородным, поскольку сумма показателей степеней не совпадает от члена к члену. Функция, определяемая однородным многочленом, всегда является однородной функцией . ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$ ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$

Алгебраическая форма , или просто форма , — это функция, определяемая однородным многочленом. ^{[примечания 1]} Бинарная форма — это форма от двух переменных. Форма — это также функция, определяемая на векторном пространстве , которая может быть выражена как однородная функция координат по любому базису .

Многочлен степени 0 всегда однороден; это просто элемент поля или кольца коэффициентов , обычно называемый константой или скаляром. Форма степени 1 — это линейная форма . ^{[примечания 2]} Форма степени 2 — это квадратичная форма . В геометрии евклидово расстояние — это квадратный корень квадратной формы.

Однородные многочлены повсеместно встречаются в математике и физике. ^{[примечания 3]} Они играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии , поскольку проективное алгебраическое многообразие определяется как множество общих нулей набора однородных многочленов.

Характеристики

Однородный многочлен определяет однородную функцию . Это означает, что если многомерный многочлен P является однородным степени d , то

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

для каждого в любом поле, содержащем коэффициенты P. Наоборот, если указанное выше соотношение верно для бесконечного числа, то многочлен является однородным степени d . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

В частности, если P однородно, то

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,}$

для каждого Это свойство является фундаментальным в определении проективного многообразия . ${\displaystyle \lambda .}$

Любой ненулевой многочлен может быть разложен единственным образом в виде суммы однородных многочленов разных степеней, которые называются однородными компонентами многочлена.

Для данного кольца многочленов над полем (или, в более общем смысле, кольца ) K однородные многочлены степени d образуют векторное пространство (или модуль ), обычно обозначаемое Указанное выше уникальное разложение означает, что является прямой суммой ( суммы по всем неотрицательным целым числам ). ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R_{d}.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{d}}$

Размерность векторного пространства (или свободный модуль ) — это число различных одночленов степени d от n переменных (т.е. максимальное число ненулевых членов в однородном многочлене степени d от n переменных). Она равна биномиальному коэффициенту ${\displaystyle R_{d}}$

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

Однородный многочлен удовлетворяет тождеству Эйлера для однородных функций . То есть, если P — однородный многочлен степени d от имеющихся неопределенностей , то, какое бы ни было коммутативное кольцо коэффициентов, ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

где обозначает формальную частную производную P по ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle x_{i}.}$

Гомогенизация

Неоднородный многочлен P ( x ₁ ,..., x _n ) можно гомогенизировать, введя дополнительную переменную x ₀ и определив однородный многочлен, иногда обозначаемый ^h P : ^[2]

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

где d — степень P. Например, если

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

затем

${\displaystyle ^{h}\!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

Гомогенизированный полином можно дегомогенизировать, установив дополнительную переменную x ₀ = 1. То есть

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

Смотрите также

• Многооднородный многочлен
• Квазиоднородный полином
• Диагональная форма
• Градуированная алгебра
• Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
• Многолинейная форма
• Многолинейная карта
• Поляризация алгебраической формы
• полином Шура
• Символ дифференциального оператора

Примечания

1. Однако, поскольку некоторые авторы не проводят четкого различия между многочленом и связанной с ним функцией, термины «однородный многочлен» и «форма» иногда рассматриваются как синонимы.
2. Линейные формы определены только для конечномерного векторного пространства и поэтому должны отличаться от линейных функционалов , которые определены для любого векторного пространства. «Линейный функционал» редко используется для конечномерных векторных пространств.
3. Однородные полиномы в физике часто появляются как следствие размерного анализа , где измеренные величины должны совпадать в реальных задачах.

Ссылки

1. Кокс, Дэвид А .; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2005). Использование алгебраической геометрии. Graduate Texts in Mathematics. Т. 185 (2-е изд.). Springer. С. 2. ISBN 978-0-387-20733-9.
2. Кокс, Литтл и О'Ши 2005, стр. 35

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Однородные многочлены на Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. «Однородный многочлен». MathWorld .