Компартментальные модели в эпидемиологии

Тип математической модели, используемой для инфекционных заболеваний

Компартментальные модели являются очень общей техникой моделирования. Они часто применяются для математического моделирования инфекционных заболеваний . Популяция распределяется по компартментам с метками – например, S , I или R ( восприимчивый, инфекционный или выздоровевший ) . Люди могут переходить из компартмента в компартмент. Порядок меток обычно показывает закономерности потоков между компартментами; например, SEIS означает восприимчивый , подвергшийся воздействию, инфекционный, затем снова восприимчивый.

Такие модели появились в начале 20-го века, и наиболее важными из них были работы Росса ^[1] в 1916 году, Росса и Хадсона в 1917 году, ^{[2] [3]} Кермака и Маккендрика в 1927 году, ^[4] и Кендалла в 1956 году. ^[5] Модель Рида–Фроста также была важным и широко игнорируемым предшественником современных подходов к эпидемиологическому моделированию. ^[6]

Чаще всего модели реализуются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений (которые являются детерминированными), но их также можно использовать со стохастической (случайной) структурой, которая более реалистична, но гораздо сложнее для анализа.

Эти модели используются для анализа динамики заболевания и оценки общего числа инфицированных людей, общего числа выздоровевших людей, а также для оценки эпидемиологических параметров, таких как базовое репродуктивное число или эффективное репродуктивное число . Такие модели могут показать, как различные вмешательства общественного здравоохранения могут повлиять на исход эпидемии.

Модель SIR

Модель SIR ^{[7] [8] [9] [10]} является одной из самых простых моделей отсеков, и многие модели являются производными от этой базовой формы. Модель состоит из трех отсеков:

S : Количество восприимчивых лиц. Когда восприимчивый и заразный человек вступают в «инфекционный контакт», восприимчивый человек заражается болезнью и переходит в инфекционный отсек.

I : Количество заразных лиц. Это лица, которые были инфицированы и способны заражать восприимчивых лиц.

R — количество удаленных (и иммунных) или умерших особей. Это особи, которые были инфицированы и либо выздоровели от болезни и вошли в удаленный отсек, либо умерли. Предполагается, что количество смертей пренебрежимо мало по отношению к общей численности населения. Этот отсек также можно назвать « выздоровевшим » или « устойчивым ».

Эта модель является достаточно прогнозируемой ^[11] для инфекционных заболеваний, которые передаются от человека к человеку и при которых выздоровление приводит к стойкой резистентности, таких как корь , эпидемический паротит и краснуха .

Пространственная симуляция модели SIR. Каждая клетка может заразить своих восьми непосредственных соседей.

Эти переменные ( S , I и R ) представляют собой количество людей в каждом отсеке в определенное время. Чтобы представить, что количество восприимчивых, инфекционных и удаленных лиц может меняться со временем (даже если общая численность популяции остается постоянной), мы делаем точные числа функцией t (времени): S ( t ), I ( t ) и R ( t ). Для конкретного заболевания в конкретной популяции эти функции могут быть разработаны для того, чтобы предсказать возможные вспышки и взять их под контроль. ^[11] Обратите внимание, что в модели SIR и являются разными величинами — первая описывает количество выздоровевших при t = 0, тогда как вторая описывает отношение между частотой контактов и частотой выздоровления. ${\displaystyle R(0)}$ ${\displaystyle R_{0}}$

Как следует из переменной функции t , модель является динамической в ​​том смысле, что количество в каждом отсеке может колебаться с течением времени. Важность этого динамического аспекта наиболее очевидна в эндемическом заболевании с коротким инфекционным периодом, таком как корь в Великобритании до введения вакцины в 1968 году. Такие заболевания, как правило, возникают циклами вспышек из-за изменения количества восприимчивых лиц (S( t )) с течением времени. Во время эпидемии количество восприимчивых лиц быстро падает по мере того, как все большее их число заражается и, таким образом, попадает в инфекционные и удаленные отсеки. Болезнь не может вспыхнуть снова, пока количество восприимчивых лиц не восстановится, например, в результате рождения потомства в восприимчивом отсеке. ^{[ необходима цитата ]}

Желтый = восприимчивый, бордовый = инфекционный, бирюзовый = выздоровевший

Каждый член популяции обычно прогрессирует от восприимчивого к инфицированному до выздоровевшего. Это можно изобразить в виде диаграммы потока, в которой блоки представляют различные отсеки, а стрелки — переход между отсеками (см. диаграмму).

Диаграмма состояний в модели эпидемии SIR и скорости перехода между ними

Скорость перехода

Для полной спецификации модели стрелки должны быть помечены скоростями перехода между отсеками. Между S и I скорость перехода предполагается равной , где — общая численность населения, — среднее количество контактов на человека за единицу времени, умноженное на вероятность передачи заболевания при контакте между восприимчивым и инфекционным субъектом, и — доля всех возможных контактов, в которых участвуют инфекционный и восприимчивый человек. (Это математически похоже на закон действующих масс в химии, в котором случайные столкновения между молекулами приводят к химической реакции, а дробная скорость пропорциональна концентрации двух реагентов. ^[12] ) ${\displaystyle d(S/N)/dt=-\beta SI/N^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle SI/N^{2}}$

Между I и R скорость перехода предполагается пропорциональной числу инфекционных индивидуумов, что равно . Если индивидуум заразен в течение среднего периода времени , то . Это также эквивалентно предположению, что продолжительность времени, проведенного индивидуумом в инфекционном состоянии, является случайной величиной с экспоненциальным распределением . «Классическая» модель SIR может быть модифицирована путем использования более сложных и реалистичных распределений для скорости перехода IR (например, распределение Эрланга ). ^[13] ${\displaystyle \gamma I}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma =1/D}$

Для особого случая, когда нет удаления из инфекционного отсека ( ), модель SIR сводится к очень простой модели SI, которая имеет логистическое решение, в котором каждый человек в конечном итоге становится инфицированным. ${\displaystyle \gamma =0}$

Модель SIR без рождения и смерти

Единичная реализация эпидемии SIR, полученная с помощью алгоритма Джиллеспи и численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (пунктирная линия)

Динамика эпидемии, например, гриппа , часто намного быстрее динамики рождения и смерти, поэтому рождение и смерть часто опускаются в простых компартментальных моделях. Система SIR без так называемой жизненно важной динамики (рождения и смерти, иногда называемой демографией), описанная выше, может быть выражена следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений : ^{[8] [14]}

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-\beta IS,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=\beta IS-\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}\right.}$

Модель SIR

где — численность восприимчивого населения, — численность инфицированного населения, — численность удаленного населения (в результате смерти или выздоровления), — сумма этих трех показателей. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$

Эта модель была впервые предложена Уильямом Огилви Кермаком и Андерсоном Греем Маккендриком как частный случай того, что мы сейчас называем теорией Кермака–Маккендрика , и стала продолжением работы Маккендрика с Рональдом Россом . ^{[ требуется ссылка ]}

Эта система нелинейна , однако можно вывести ее аналитическое решение в неявном виде. ^[7] Во-первых, отметим, что из:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}$

отсюда следует, что:

${\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{constant}}=N,}$

выражая в математических терминах постоянство популяции . Обратите внимание, что приведенное выше соотношение подразумевает, что нужно изучать уравнение только для двух из трех переменных. ${\displaystyle N}$

Во-вторых, отметим, что динамика инфекционного класса зависит от следующего соотношения:

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},}$

так называемое базовое репродуктивное число (также называемое базовым репродуктивным коэффициентом). Это отношение выводится как ожидаемое число новых инфекций (эти новые инфекции иногда называют вторичными инфекциями) от одной инфекции в популяции, где все субъекты восприимчивы. ^{[15] [16]} Эту идею, вероятно, можно легче увидеть, если мы скажем, что типичное время между контактами составляет , а типичное время до удаления составляет . Отсюда следует, что в среднем число контактов инфекционного человека с другими до того, как инфекционный человек был удален, составляет: ${\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}$ ${\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}$ ${\displaystyle T_{r}/T_{c}.}$

Разделив первое дифференциальное уравнение на третье, разделив переменные и проинтегрировав, получим

${\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}$

где и — начальные числа соответственно восприимчивых и удаленных субъектов. Записывая начальную долю восприимчивых особей, и и для доли восприимчивых и удаленных особей соответственно в пределе, имеем ${\displaystyle S(0)}$ ${\displaystyle R(0)}$ ${\displaystyle s_{0}=S(0)/N}$ ${\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}$ ${\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}$ ${\displaystyle t\to \infty ,}$

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}$

(обратите внимание, что инфекционный отсек опустошается в этом пределе). Это трансцендентное уравнение имеет решение в терминах функции Ламберта W , ^[17] , а именно

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}$

Это показывает, что в конце эпидемии, которая соответствует простым предположениям модели SIR, если только не все особи популяции были удалены, поэтому некоторые должны остаться восприимчивыми. Движущей силой, ведущей к окончанию эпидемии, является снижение числа заразных особей. Эпидемия обычно не заканчивается из-за полного отсутствия восприимчивых особей. ${\displaystyle s_{0}=0}$

Роль как базового числа размножения, так и начальной восприимчивости чрезвычайно важна. Фактически, переписав уравнение для инфекционных особей следующим образом:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,}$

получается, что если:

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}$

затем:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}$

т.е. будет настоящая эпидемическая вспышка с ростом числа заразившихся (которое может охватить значительную часть населения). Напротив, если

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}$

затем

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}$

т. е. независимо от первоначальной численности восприимчивой популяции болезнь никогда не может вызвать настоящую эпидемическую вспышку. Вследствие этого ясно, что как базовое репродуктивное число, так и начальная восприимчивость чрезвычайно важны.

Сила инфекции

Обратите внимание, что в приведенной выше модели функция:

${\displaystyle F=\beta I,}$

моделирует скорость перехода из отсека восприимчивых особей в отсек инфекционных особей, поэтому она называется силой инфекции . Однако для больших классов инфекционных заболеваний более реалистично рассматривать силу инфекции, которая зависит не от абсолютного числа инфекционных субъектов, а от их доли (по отношению к общей постоянной популяции ): ${\displaystyle N}$

${\displaystyle F=\beta {\frac {I}{N}}.}$

Капассо ^[18] и впоследствии другие авторы предложили использовать нелинейные силы инфекции для более реалистичного моделирования процесса заражения.

Точные аналитические решения для модели SIR

В 2014 году Харко и соавторы вывели точное так называемое аналитическое решение (включающее интеграл, который можно вычислить только численно) для модели SIR. ^[7] В случае без настройки жизненно важной динамики, для и т. д., оно соответствует следующей временной параметризации ${\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}$

для

${\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}$

с начальными условиями

${\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}$

где удовлетворяет . Из трансцендентного уравнения для выше следует, что , если и . ${\displaystyle u_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}$ ${\displaystyle S(0)\neq 0)}$ ${\displaystyle I_{\infty }=0}$

Эквивалентное так называемое аналитическое решение (включающее интеграл, который можно вычислить только численно), найденное Миллером ^{[19] [20]} , дает

${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\[8pt]I(t)&=N-S(t)-R(t)\\[8pt]R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\[8pt]\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}}$

Здесь можно интерпретировать как ожидаемое количество передач, полученных индивидуумом за время . Два решения связаны соотношением . ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}$

По сути, тот же результат можно найти в оригинальной работе Кермака и Маккендрика. ^[4]

Эти решения можно легко понять, заметив, что все члены в правых частях исходных дифференциальных уравнений пропорциональны . Таким образом, уравнения можно разделить на , а время перемасштабировать так, чтобы дифференциальный оператор в левой части стал просто , где , т.е. . Теперь все дифференциальные уравнения линейны, а третье уравнение, имеющее вид const., показывает, что и (и выше) просто линейно связаны. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d/d\tau }$ ${\displaystyle d\tau =Idt}$ ${\displaystyle \tau =\int Idt}$ ${\displaystyle dR/d\tau =}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \xi }$

Высокоточное аналитическое приближение модели SIR, а также точные аналитические выражения для конечных значений , и были предоставлены Крёгером и Шликайзером ^[9] , так что нет необходимости выполнять численное интегрирование для решения модели SIR (упрощенный пример практики численного моделирования COVID-19 с использованием Microsoft Excel можно найти здесь ^[21] ), для получения ее параметров из существующих данных или для прогнозирования будущей динамики эпидемий, смоделированных моделью SIR. Аппроксимант включает функцию Ламберта W , которая является частью всех основных программ для визуализации данных, таких как Microsoft Excel, MATLAB и Mathematica . ${\displaystyle S_{\infty }}$ ${\displaystyle I_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$

В то время как Кендалл ^[5] рассматривал так называемую модель SIR на все времена, где начальные условия , и связаны через приведенные выше соотношения, Кермак и Маккендрик ^[4] предложили изучить более общий случай полувремени, для которого и оба являются произвольными. Эта последняя версия, обозначенная как модель SIR на полувремени, ^[9] делает прогнозы только для будущих времен . Аналитическая аппроксимация и точные выражения для конечных значений также доступны для модели SIR на полувремени. ^[10] ${\displaystyle S(0)}$ ${\displaystyle I(0)}$ ${\displaystyle R(0)}$ ${\displaystyle S(0)}$ ${\displaystyle I(0)}$ ${\displaystyle t>0}$

Численные решения модели SIR с приближениями

Численные решения для модели SIR можно найти в литературе. Примером является использование модели для анализа данных о распространении COVID-19 . ^{[21] [22]} Три числа воспроизводства можно вывести из данных, проанализированных с помощью численной аппроксимации,

базовый номер воспроизводства :

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta _{0}}{\gamma _{0}}}}$

число воспроизводства в реальном времени:

${\displaystyle R_{t}={\frac {\beta _{t}}{\gamma _{t}}}}$

и эффективное число воспроизводства в реальном времени:

${\displaystyle R_{e}={\frac {\beta _{t}S}{\gamma _{t}N}}}$

${\displaystyle R_{0}}$представляет собой скорость скорости размножения в начале распространения, когда все популяции считаются восприимчивыми, например, если и означает, что один инфицированный человек в среднем заражает 0,4 восприимчивых людей в день и выздоравливает через 1/0,2=5 дней. Таким образом, когда этот человек выздоровел, есть два человека, которые все еще заразны напрямую от этого человека и , т. е. число инфицированных людей удвоилось за один цикл из 5 дней. Данные, смоделированные моделью с или реальными данными, подогнанными, дадут удвоение числа инфицированных людей быстрее, чем за 5 дней, потому что двое инфицированных людей заражают других. Из модели SIR мы можем сказать, что определяется природой заболевания, а также функцией частоты взаимодействия между инфицированным человеком и восприимчивыми людьми , а также интенсивностью/длительностью взаимодействия, например, насколько близко они взаимодействуют и как долго, и носят ли они оба маски, таким образом, он меняется со временем, когда меняется среднее поведение носителей и восприимчивых людей. Модель используется для представления этих факторов, но на самом деле она относится к начальной стадии, когда не предпринимается никаких действий для предотвращения распространения и все население восприимчиво, поэтому все изменения поглощаются изменением . ${\displaystyle \beta _{0}=0.4day^{-1}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}=0.2day^{-1}}$ ${\displaystyle R_{0}=2}$ ${\displaystyle R_{0}=2}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle SI}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \gamma }$обычно более стабилен с течением времени, если предположить, что когда у заразного человека проявятся симптомы, он/она обратится за медицинской помощью или самоизолируется. Поэтому, если мы обнаружим изменения, скорее всего, поведение людей в сообществе изменилось по сравнению с их обычными моделями до вспышки, или болезнь мутировала в новую форму. Затратное массовое выявление и изоляция восприимчивых близких контактов оказывают влияние на снижение, но эффективность этого является предметом споров. Этот спор в основном касается неопределенности количества дней, сокращенных с момента заражения или обнаружения, в зависимости от того, что наступит раньше, до появления симптома у инфицированного восприимчивого человека. Если человек заразен после появления симптомов или обнаружение работает только для человека с симптомами, то эти методы профилактики не нужны, и самоизоляция и/или медицинская помощь являются лучшим способом сократить значения . Типичное начало инфекционного периода COVID-19 составляет порядка одного дня с момента появления симптомов, что делает массовое выявление с типичной частотой в течение нескольких дней бесполезным. ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle 1/\gamma }$ ${\displaystyle 1/\gamma }$

${\displaystyle R_{t}}$не говорит нам, ускорится или замедлится распространение на последних стадиях, когда доля восприимчивых людей в сообществе значительно снизится после выздоровления или вакцинации. корректирует этот эффект разбавления, умножая долю восприимчивой популяции на общую численность популяции. Он корректирует эффективное/передающееся взаимодействие между инфицированным человеком и остальной частью сообщества, когда многие из взаимодействующих являются иммунными на средних и поздних стадиях распространения болезни. Таким образом, когда , мы увидим экспоненциальную вспышку; когда , достигается устойчивое состояние и количество инфицированных людей не меняется с течением времени; и когда , болезнь затухает и исчезает с течением времени. ${\displaystyle R_{e}}$ ${\displaystyle R_{e}>1}$ ${\displaystyle R_{e}=1}$ ${\displaystyle R_{e}<1}$

Используя дифференциальные уравнения модели SIR и преобразуя их в числовые дискретные формы, можно настроить рекурсивные уравнения и вычислить популяции S, I и R с любыми заданными начальными условиями, но накапливать ошибки в течение длительного времени расчета от точки отсчета. Иногда для оценки ошибок требуется тест сходимости . При наличии набора начальных условий и данных о распространении заболеваний можно также подогнать данные к модели SIR и вытащить три числа воспроизводства, когда ошибки обычно незначительны из-за короткого временного шага от точки отсчета. ^{[21] [22]} Любую точку времени можно использовать в качестве начального условия для прогнозирования будущего после нее с использованием этой числовой модели с предположением о временных параметрах, таких как популяция, и . Однако вдали от этой точки отсчета ошибки будут накапливаться с течением времени, поэтому необходим тест сходимости , чтобы найти оптимальный временной шаг для более точных результатов. ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle \gamma }$

Среди этих трех чисел воспроизводства очень полезно для оценки давления контроля, например, большое значение означает, что болезнь будет распространяться очень быстро и ее очень трудно контролировать. наиболее полезно для прогнозирования будущих тенденций, например, если мы знаем, что социальные взаимодействия сократились на 50% часто по сравнению с тем, что было до вспышки, а интенсивность взаимодействия между людьми осталась прежней, то мы можем установить . Если социальное дистанцирование и маски добавляют еще 50% снижения эффективности заражения, мы можем установить . будет идеально коррелировать с волнами распространения и всякий раз , когда распространение ускоряется, а когда распространение замедляется, таким образом, полезно для установления прогноза краткосрочных тенденций. Кроме того, его можно использовать для прямого расчета пороговой популяции вакцинации/иммунизации для стадии коллективного иммунитета , установив , и , т. е . . ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle R_{t}=0.5R_{0}}$ ${\displaystyle R_{t}=0.25R_{0}}$ ${\displaystyle R_{e}}$ ${\displaystyle R_{e}>1}$ ${\displaystyle R_{e}<1}$ ${\displaystyle R_{t}=R_{0}}$ ${\displaystyle R_{E}=1}$ ${\displaystyle S=N/R_{0}}$

Модель SIR с жизненно важной динамикой и постоянным населением

Рассмотрим популяцию, характеризующуюся уровнем смертности и рождаемости , и где распространяется инфекционное заболевание. ^[8] Модель с массовым распространением выглядит следующим образом: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

для которого равновесие без заболеваний (РБЗ) равно:

${\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).}$

В этом случае мы можем вывести базовое репродуктивное число :

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}$

который имеет пороговые свойства. Фактически, независимо от биологически значимых начальных значений, можно показать, что:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}$

Точка EE называется эндемическим равновесием (болезнь полностью не искоренена и остается в популяции). С помощью эвристических аргументов можно показать, что можно интерпретировать как среднее число инфекций, вызванных одним инфекционным субъектом в полностью восприимчивой популяции, указанное выше соотношение биологически означает, что если это число меньше или равно единице, болезнь вымирает, тогда как если это число больше единицы, болезнь останется постоянно эндемичной в популяции. ${\displaystyle R_{0}}$

Модель SIR

Диаграмма модели SIR с начальными значениями , а также показателями заражения и выздоровления ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$ ${\textstyle \beta =0.4}$ ${\textstyle \gamma =0.04}$

Анимация модели SIR с начальными значениями и скоростью выздоровления . Анимация показывает эффект снижения скорости заражения от до . Если нет доступных лекарств или вакцинации, снизить скорость заражения (часто называемую « сглаживанием кривой ») можно только соответствующими мерами, такими как социальное дистанцирование. ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$ ${\textstyle \gamma =0.04}$ ${\textstyle \beta =0.5}$ ${\textstyle \beta =0.12}$

В 1927 году WO Kermack и AG McKendrick создали модель, в которой они рассматривали фиксированную популяцию только с тремя отсеками: восприимчивый, ; инфицированный, ; и выздоровевший, . Отсеки, используемые для этой модели, состоят из трех классов: ^[4] ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle R(t)}$

• ${\displaystyle S(t)}$используется для представления лиц, еще не инфицированных болезнью в момент времени t, или лиц, восприимчивых к заболеванию в популяции.
• ${\displaystyle I(t)}$обозначает лиц из популяции, инфицированных данным заболеванием и способных передавать заболевание лицам, входящим в восприимчивую категорию.
• ${\displaystyle R(t)}$это отсек, используемый для лиц из популяции, которые были инфицированы, а затем выведены из болезни либо из-за иммунизации, либо из-за смерти. Те, кто относится к этой категории, не могут быть инфицированы снова или передать инфекцию другим.

Поток этой модели можно рассматривать следующим образом:

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}$

Используя фиксированную популяцию, в трех функциях решается, что значение должно оставаться постоянным в рамках моделирования, если моделирование используется для решения модели SIR. В качестве альтернативы можно использовать аналитическую аппроксимацию ^[9] без выполнения моделирования. Модель запускается со значениями , и . Это количество людей в категориях восприимчивых, инфицированных и удаленных в момент времени, равный нулю. Если предполагается, что модель SIR выполняется во все времена, эти начальные условия не являются независимыми. ^[9] Впоследствии модель потока обновляет три переменные для каждой точки времени с заданными значениями для и . Сначала моделирование обновляет инфицированных из восприимчивых, а затем удаленная категория обновляется из категории инфицированных для следующей точки времени (t=1). Это описывает поток лиц между тремя категориями. Во время эпидемии категория восприимчивых не смещается с этой моделью, изменяется в ходе эпидемии, как и . Эти переменные определяют продолжительность эпидемии и должны обновляться с каждым циклом. ${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S(t=0)}$ ${\displaystyle I(t=0)}$ ${\displaystyle R(t=0)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-\beta SI}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\beta SI-\gamma I}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}$

При формулировке этих уравнений было сделано несколько предположений: во-первых, индивидуум в популяции должен считаться имеющим равную вероятность заражения болезнью, как и любой другой индивидуум, с частотой и равной долей людей, с которыми индивидуум контактирует за единицу времени. Затем пусть будет произведением и . Это вероятность передачи, умноженная на частоту контактов. Кроме того, инфицированный индивидуум контактирует с людьми за единицу времени, тогда как только часть из них восприимчива. Таким образом, у нас есть каждый инфицированный может заразить восприимчивых людей, и, следовательно, общее число восприимчивых людей, инфицированных инфицированными за единицу времени, равно . Для второго и третьего уравнений считайте, что население, покидающее восприимчивый класс, равно числу, входящему в инфицированный класс. Однако число, равное доле (которая представляет собой средний показатель выздоровления/смертности или средний инфекционный период) инфицированных, покидает этот класс за единицу времени, чтобы войти в удаленный класс. Эти процессы, которые происходят одновременно, называются Законом Массового Действия, широко принятой идеей, что скорость контакта между двумя группами в популяции пропорциональна размеру каждой из затронутых групп. Наконец, предполагается, что скорость заражения и выздоровления намного быстрее, чем временная шкала рождений и смертей, и поэтому эти факторы игнорируются в этой модели. ^[23] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S/N}$ ${\displaystyle abS=\beta S}$ ${\displaystyle \beta SI}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 1/\gamma }$

Стационарные решения

Единственное устойчивое решение для классической модели SIR, как определено дифференциальными уравнениями выше, это I=0, S и R могут тогда принимать любые значения. Модель можно изменить, сохранив три отсека, чтобы получить устойчивое эндемическое решение, добавив некоторые входные данные в отсек S.

Например, можно постулировать, что ожидаемая продолжительность восприимчивости будет равна , где отражает время жизни (ожидаемая продолжительность жизни) и отражает время в восприимчивом состоянии до заражения, что можно упростить ^[24] до: ${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]}$ ${\displaystyle T_{L}}$ ${\displaystyle T_{S}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]=\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}$

таким образом, что число восприимчивых лиц равно числу, входящему в восприимчивый отсек, умноженному на продолжительность восприимчивости: ${\displaystyle \mu N}$

${\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}$

Аналогично, устойчивое число инфицированных лиц — это число, переходящее в инфицированное состояние из восприимчивого состояния (число восприимчивых, умноженное на скорость заражения), умноженное на продолжительность инфицирования : ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}$

${\displaystyle I={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu +v}}.}$

Другие модели с отсеками

Существует множество модификаций модели SIR, включая те, которые включают в себя рождение и смерть, где после выздоровления иммунитет отсутствует (модель SIS), где иммунитет сохраняется только в течение короткого периода времени (SIRS), где есть латентный период болезни, когда человек не заразен (SEIS и SEIR), и где младенцы могут рождаться с иммунитетом (MSIR). Компартментальные модели также могут использоваться для моделирования множественных групп риска и даже взаимодействия множественных патогенов. ^[25]

Вариации базовой модели SIR

Модель СИС

Желтый = восприимчивый, бордовый = инфицированный

Некоторые инфекции, например, простудные и гриппозные , не дают длительного иммунитета. Такие инфекции могут давать временную резистентность, но не дают длительного иммунитета после выздоровления, и люди снова становятся восприимчивыми.

Модель отсеков SIS

У нас есть модель:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-{\frac {\beta SI}{N}}+\gamma I\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что если обозначить через N общую численность населения, то получится:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}=0\Rightarrow S(t)+I(t)=N}$.

Из этого следует, что:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=(\beta -\gamma )I-{\frac {\beta }{N}}I^{2}}$,

т.е. динамика инфекционных заболеваний подчиняется логистической функции , так что : ${\displaystyle \forall I(0)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\beta }{\gamma }}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=0,\\[6pt]&{\frac {\beta }{\gamma }}>1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right)N.\end{aligned}}}$

Можно найти аналитическое решение этой модели (выполнив преобразование переменных: и подставив это в уравнения среднего поля), ^[26] так, чтобы базовая скорость воспроизводства была больше единицы. Решение дается как ${\displaystyle I=y^{-1}}$

${\displaystyle I(t)={\frac {I_{\infty }}{1+Ve^{-\chi t}}}}$.

где — эндемичная инфекционная популяция, и . Поскольку предполагается, что система закрыта, восприимчивая популяция тогда равна . ${\displaystyle I_{\infty }=(1-\gamma /\beta )N}$ ${\displaystyle \chi =\beta -\gamma }$ ${\displaystyle V=I_{\infty }/I_{0}-1}$ ${\displaystyle S(t)=N-I(t)}$

Всякий раз, когда очевидна целочисленная природа числа агентов (популяции с численностью менее десятков тысяч особей), внутренние колебания в процессе распространения заболевания, вызванные дискретными агентами, приводят к неопределенностям. ^[27] В этом сценарии эволюция заболевания, предсказанная компартментальными уравнениями, значительно отклоняется от наблюдаемых результатов. Эти неопределенности могут даже привести к тому, что эпидемия закончится раньше, чем предсказывают компартментальные уравнения.

В качестве особого случая можно получить обычную логистическую функцию, предположив . Это также можно рассмотреть в модели SIR с , т.е. никакого удаления не произойдет. Это модель SI . ^[28] Система дифференциальных уравнений с использованием таким образом сводится к: ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle S=N-I}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}\propto I\cdot (N-I).}$

В долгосрочной перспективе в модели SI все люди будут инфицированы.

Модель SIRD

Диаграмма модели SIRD с начальными значениями и показателями инфицирования , выздоровления и смертности ${\displaystyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$ ${\displaystyle \beta =0.4}$ ${\displaystyle \gamma =0.035}$ ${\displaystyle \mu =0.005}$

Анимация модели SIRD с начальными значениями , и показателями выздоровления и смертности . Анимация показывает эффект снижения уровня инфицирования от до . Если нет доступных лекарств или вакцинации, снизить уровень инфицирования (часто называемый «сглаживанием кривой») можно только такими мерами, как «социальное дистанцирование». ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$ ${\textstyle \gamma =0.035}$ ${\textstyle \mu =0.005}$ ${\textstyle \beta =0.5}$ ${\textstyle \beta =0.12}$

Модель «восприимчивый-инфицированный-выздоровевший-умерший» различает «выздоровевших» (имея в виду конкретно лиц, переживших болезнь и теперь обладающих иммунитетом) и «умерших» . ^[15] Модель SIRD имеет полуаналитические решения, основанные на методе четырех частей. ^[29] Эта модель использует следующую систему дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\mu I,\end{aligned}}}$

где — показатели инфицирования, выздоровления и смертности соответственно. ^[30] ${\displaystyle \beta ,\gamma ,\mu }$

Модель SIRV

Модель « восприимчивый-инфицированный-выздоровевший-вакцинированный» представляет собой расширенную модель SIR, которая учитывает вакцинацию восприимчивого населения. ^[31] Эта модель использует следующую систему дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta (t)IS}{N}}-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta (t)IS}{N}}-\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\end{aligned}}}$

Мультфильм для модели SIRV

где — скорости инфицирования, выздоровления и вакцинации соответственно. Для начальных условий полупериода , и постоянных соотношений и модель была решена приблизительно. ^[31] Возникновение вспышки пандемии требует и существует критический сниженный уровень вакцинации, за пределами которого стационарный размер восприимчивого отсека остается относительно близким к . Произвольные начальные условия, удовлетворяющие , могут быть сопоставлены с решенным особым случаем с . ^[31] ${\displaystyle \beta ,\gamma ,v}$ ${\displaystyle S(0)=(1-\eta )N}$ ${\displaystyle I(0)=\eta N}$ ${\displaystyle R(0)=V(0)=0}$ ${\displaystyle k=\gamma (t)/\beta (t)}$ ${\displaystyle b=v(t)/\beta (t)}$ ${\displaystyle k+b<1-2\eta }$ ${\displaystyle b_{c}}$ ${\displaystyle S_{\infty }}$ ${\displaystyle S(0)}$ ${\displaystyle S(0)+I(0)+R(0)+V(0)=N}$ ${\displaystyle R(0)=V(0)=0}$

Численное решение этой модели для расчета числа воспроизводства COVID-19 в реальном времени может быть реализовано на основе информации от различных групп населения в сообществе. ^[22] Численное решение является широко используемым методом анализа сложных кинетических сетей, когда аналитическое решение трудно получить или оно ограничено требованиями, такими как граничные условия или специальные параметры. Оно использует рекурсивные уравнения для расчета следующего шага путем преобразования численного интегрирования в сумму Римана дискретных временных шагов, например, использовать вчерашний основной долг и процентную ставку для расчета сегодняшних процентов, предполагая, что процентная ставка фиксирована в течение дня. Расчет содержит прогнозируемые ошибки, если аналитические поправки на размер числового шага не включены, например, когда процентная ставка годового сбора упрощается до 12-кратной ежемесячной ставки, вводится прогнозируемая ошибка. Таким образом, рассчитанные результаты будут нести накопительные ошибки, когда временной шаг далек от точки отсчета и для оценки ошибки требуется тест сходимости . Однако эта ошибка обычно приемлема для подгонки данных. При подгонке набора данных с близким временным шагом ошибка относительно мала, поскольку опорная точка находится близко по сравнению с прогнозированием длительного периода времени после опорной точки. После того, как реальное время извлечено, его можно сравнить с базовым репродуктивным числом . До вакцинации дает разработчикам политики и широкой общественности меру эффективности мер по смягчению социальных последствий, таких как социальное дистанцирование и ношение масок, просто разделив . При массовой вакцинации целью борьбы с болезнями является снижение эффективного репродуктивного числа , где — численность восприимчивого населения в данный момент, а — общая численность населения. Когда , распространение снижается, и ежедневные случаи заражения снижаются. ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {R_{t}}{R_{0}}}}$ ${\displaystyle R_{e}={\frac {R_{t}S}{N}}<1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R_{e}<1}$

Модель SIRVD

Модель эпидемического компартмента восприимчивый -инфицированный-выздоровевший-вакцинированный-умерший (SIRVD) расширяет модель SIR, чтобы включить эффекты кампаний вакцинации и зависящие от времени показатели смертности при вспышках эпидемий. Она охватывает модели SIR, SIRV, SIRD и SI как особые случаи, с индивидуальными зависящими от времени показателями, управляющими переходами между различными фракциями. ^[32] Эта модель использует следующую систему дифференциальных уравнений для фракций населения : ${\displaystyle S,I,R,V,D}$

В этом файле представлена ​​анимация модели SIRVD.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-a(t)SI-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=a(t)SI-\mu (t)I-\psi (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\psi (t)I\end{aligned}}}$

где - уровни инфицирования, вакцинации, выздоровления и смертности соответственно. Для начальных условий полупериода , , и постоянных соотношений , , и модель была решена приблизительно и точно для некоторых особых случаев, независимо от функциональной формы . ^[32] Это достигается путем переписывания приведенных выше уравнений модели SIRVD в эквивалентной, но сокращенной форме ${\displaystyle a(t),v(t),\mu (t),\psi (t)}$ ${\displaystyle S(0)=1-\eta }$ ${\displaystyle I(0)=\eta }$ ${\displaystyle R(0)=V(0)=D(0)=0}$ ${\displaystyle k=\mu (t)/a(t)}$ ${\displaystyle b=v(t)/a(t)}$ ${\displaystyle q=\psi (t)/a(t)}$ ${\displaystyle a(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{d\tau }}=-SI-b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dI}{d\tau }}=SI-[k(\tau )+q(\tau )]I,\\[6pt]&{\frac {dR}{d\tau }}=k(\tau )I,\\[6pt]&{\frac {dV}{d\tau }}=b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dD}{d\tau }}=q(\tau )S\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \tau (t)=\int _{0}^{t}a(\xi )d\xi }$

— это сокращенное, безразмерное время. Временная зависимость инфицированной фракции и скорости новых инфекций различается при рассмотрении эффектов вакцинации и когда зависимость в реальном времени показателей смертности и выздоровления расходится. Эти различия были выделены для стационарных соотношений и постепенно уменьшающихся показателей смертности. ^[32] Случай стационарных соотношений позволяет построить диагностический метод для аналитического извлечения всех параметров модели SIRVD из измеренных данных COVID-19 завершенной волны пандемии. ^[32] ${\displaystyle I(\tau )}$ ${\displaystyle j(\tau )=S(\tau )I(\tau )}$

Модель MSIR

Для многих инфекций, включая корь , дети не рождаются в восприимчивом отсеке, но имеют иммунитет к болезни в течение первых нескольких месяцев жизни из-за защиты от материнских антител (передаваемых через плаценту и дополнительно через молозиво ). Это называется пассивным иммунитетом . Эта дополнительная деталь может быть отображена путем включения класса M (для иммунитета, полученного от матери) в начале модели.

Модель отсека MSIR

Чтобы обозначить это математически, добавляется дополнительный отсек M ( t ) . Это приводит к следующим дифференциальным уравнениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[8pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

Состояние носителя

Некоторые люди, перенесшие инфекционное заболевание, например, туберкулез, никогда полностью не выздоравливают и продолжают быть носителями инфекции, при этом сами не страдая от болезни. Затем они могут вернуться в инфекционный отсек и страдать от симптомов (как при туберкулезе) или могут продолжать заражать других в состоянии носителя, не страдая от симптомов. Самым известным примером этого, вероятно, является Мэри Маллон , которая заразила брюшным тифом 22 человека . Отсек носителя обозначен как C.

Модель SEIR

Для многих важных инфекций существует значительный латентный период, в течение которого люди инфицированы, но еще не заразны сами. В течение этого периода человек находится в отсеке E (для подвергшихся воздействию).

Модель отсека SEIR

Предполагая, что период латентности является случайной величиной с экспоненциальным распределением с параметром (т.е. средний период латентности равен ), а также предполагая наличие динамики жизненно важных функций с уровнем рождаемости, равным уровню смертности (так что общее число является постоянным), мы имеем модель: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle N\mu }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}}$

У нас есть, но это константа только из-за упрощающего предположения, что показатели рождаемости и смертности равны; в общем случае это переменная величина. ${\displaystyle S+E+I+R=N,}$ ${\displaystyle N}$

Для этой модели базовое репродуктивное число составляет:

${\displaystyle R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}.}$

Аналогично модели SIR, в этом случае мы также имеем равновесие без заболеваний ( N , 0, 0, 0) и эндемическое равновесие EE, и можно показать, что независимо от биологически значимых начальных условий

${\displaystyle \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}}$

он гласит, что:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE.}$

В случае периодически изменяющейся скорости контакта условием глобальной привлекательности DFE является выполнение следующей линейной системы с периодическими коэффициентами: ${\displaystyle \beta (t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}}$

устойчив (т.е. имеет собственные значения Флоке внутри единичной окружности в комплексной плоскости).

Модель SEIS

Модель SEIS похожа на модель SEIR (выше), за исключением того, что в конце не приобретается иммунитет.

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {S}}}}}$

В этой модели инфекция не оставляет никакого иммунитета, поэтому выздоровевшие люди возвращаются к восприимчивости, перемещаясь обратно в отсек S ( t ). Следующие дифференциальные уравнения описывают эту модель:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S+\gamma I\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\epsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

Модель MSEIR

Для случая заболевания с факторами пассивного иммунитета и латентным периодом существует модель MSEIR.

${\displaystyle \color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[6pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\varepsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\\[6pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

Модель MSEIRS

Модель MSEIRS похожа на MSEIR, но иммунитет в классе R будет временным, так что восприимчивость людей восстановится после окончания временного иммунитета.

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}\to {\mathcal {S}}}}}$

Переменная частота контактов

Хорошо известно, что вероятность заболевания не постоянна во времени. По мере развития пандемии реакции на пандемию могут изменить частоту контактов, которая в более простых моделях предполагается постоянной. Контрмеры, такие как маски, социальное дистанцирование и локдаун, изменят частоту контактов таким образом, чтобы снизить скорость пандемии.

Кроме того, некоторые заболевания являются сезонными, например, вирусы простуды , которые более распространены зимой. С детскими заболеваниями, такими как корь, свинка и краснуха, существует сильная корреляция со школьным календарем, так что во время школьных каникул вероятность заболеть таким заболеванием резко снижается. Как следствие, для многих классов заболеваний следует учитывать силу инфекции с периодически («сезонной») изменяющейся частотой контактов

${\displaystyle F=\beta (t){\frac {I}{N}},\quad \beta (t+T)=\beta (t)}$

с периодом T, равным одному году.

Таким образом, наша модель становится

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta (t){\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta (t){\frac {I}{N}}S-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

(динамика восстановленного легко следует из ), т.е. нелинейный набор дифференциальных уравнений с периодически изменяющимися параметрами. Хорошо известно, что этот класс динамических систем может претерпевать очень интересные и сложные явления нелинейного параметрического резонанса. Легко видеть, что если: ${\displaystyle R=N-S-I}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\beta (t)}{\mu +\gamma }}\,dt<1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }(S(t),I(t))=DFE=(N,0),}$

тогда как если интеграл больше единицы, болезнь не исчезнет, ​​и могут быть такие резонансы. Например, рассматривая периодически изменяющуюся частоту контактов как «вход» системы, мы имеем, что выход является периодической функцией, период которой кратен периоду входа. Это позволило внести вклад в объяснение полигодичных (обычно двухгодичных) эпидемических вспышек некоторых инфекционных заболеваний как взаимодействия между периодом колебаний частоты контактов и псевдопериодом затухающих колебаний вблизи эндемического равновесия. Примечательно, что в некоторых случаях поведение может быть также квазипериодическим или даже хаотическим.

Модель SIR с диффузией

Пространственно-временные компартментальные модели описывают не общее число, а плотность восприимчивых/инфицированных/выздоровевших лиц. Следовательно, они также позволяют моделировать распределение инфицированных лиц в пространстве. В большинстве случаев это делается путем объединения модели SIR с уравнением диффузии

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}S=D_{S}\nabla ^{2}S-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&\partial _{t}I=D_{I}\nabla ^{2}I+{\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&\partial _{t}R=D_{R}\nabla ^{2}R+\gamma I,\end{aligned}}}$^[33]

где , и являются константами диффузии. Таким образом, получается уравнение реакции-диффузии. (Обратите внимание, что по причинам размерности параметр должен быть изменен по сравнению с простой моделью SIR.) Ранние модели этого типа использовались для моделирования распространения черной смерти в Европе. ^[34] Расширения этой модели использовались для включения, например, эффектов нефармацевтических вмешательств, таких как социальное дистанцирование. ^[35] ${\displaystyle D_{S}}$ ${\displaystyle D_{I}}$ ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle \beta }$

Модель взаимодействующей субпопуляции SEIR

Поскольку социальные контакты, тяжесть заболевания и летальность, а также эффективность профилактических мер могут существенно различаться между взаимодействующими субпопуляциями, например, пожилыми и молодыми, можно использовать отдельные модели SEIR для каждой подгруппы, которые взаимно связаны посредством связей взаимодействия. ^[33] Такие модели SEIR для взаимодействующих субпопуляций использовались для моделирования пандемии COVID-19 в масштабе континента с целью разработки персонализированных, ускоренных, ориентированных на субпопуляцию стратегий вакцинации ^[36] , которые обещают сокращение пандемии и снижение числа случаев заболевания и смертей в условиях ограниченного доступа к вакцинам во время волны вирусных вариантов, вызывающих беспокойство.

Модель SIR в сетях

Модель SIR изучалась на сетях различных типов, чтобы смоделировать более реалистичную форму связи, чем условие однородного смешивания, которое обычно требуется. Простая модель эпидемий на сетях, в которых индивидуум имеет вероятность p заражения от каждого из своих инфицированных соседей в заданный временной шаг, приводит к результатам, аналогичным образованию гигантских компонентов на случайных графах Эрдоша Реньи . ^[37]

СЭРSSмодель - сочетание SIR с моделированием социального стресса

Динамика эпидемий зависит от того, как меняется поведение людей во времени. Например, в начале эпидемии люди невежественны и беспечны, затем, после вспышки эпидемии и тревоги, они начинают соблюдать различные ограничения и распространение эпидемий может пойти на спад. Со временем некоторые люди устают/разочаровываются ограничениями и перестают им следовать (истощение), особенно если количество новых случаев падает. Отдохнув некоторое время, они могут снова следовать ограничениям. Но во время этой паузы может прийти вторая волна и стать еще сильнее первой. Следует учитывать социальную динамику . Модели социальной физики социального стресса дополняют классические модели эпидемий. ^[38]

Показан пример использования числовой модели SIR для подгонки данных COVID-19 (из US CDC) в штате Огайо, США, подогнанных с использованием моделей SIR и SIRV. Обратите внимание, что хотя модель SIR может моделировать отдельную волну, более сложная модель, такая как SIR _SS, лучше моделировала бы несколько волн. ^{[21] [22]} ${\displaystyle R_{t}}$

Простейшая модель SIR-социального стресса (SIR _SS ) организована следующим образом. Восприимчивых лиц (S) можно разделить на три подгруппы по типу поведения: неосведомленные или не знающие об эпидемии (S _sign ), рационально устойчивые (S _res ) и истощенные (S _exh ), которые не реагируют на внешние раздражители (это своего рода рефрактерный период). Другими словами: S(t) = S _sign (t) + S _res (t) + S _exh (t). Символически модель социального стресса можно представить в виде «схемы реакции» (где I обозначает инфицированных лиц):

• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{ign}}}+2{\mathcal {I}}\to {\mathcal {S_{res}}}+2{\mathcal {I}}}}}$– реакция мобилизации (автокаталитическая форма здесь означает, что скорость перехода пропорциональна квадрату инфицированной фракции I);
• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{res}}}\to {\mathcal {S_{exh}}}}}}$– процесс истощения вследствие утомления от противоэпидемических ограничений;
• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{exh}}}\to {\mathcal {S_{ign}}}}}}$– медленное расслабление до исходного состояния (конец рефрактерного периода).

Основная реакция на эпидемию SIR

• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{...}}}+{\mathcal {I}}\to {\mathcal {2I}}}}}$

имеет разные константы скорости реакции для S _sign , S _res и S _exh . Предположительно, для S _res ниже, чем для S sign _и S _sign . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

Различия между странами сосредоточены в двух кинетических константах: скорости мобилизации и скорости истощения, рассчитанных для эпидемии COVID-19 в 13 странах. ^[38] Эти константы для этой эпидемии во всех странах могут быть извлечены путем подгонки модели SIR _SS к общедоступным данным ^[39]

Уравнение КдВ-СИР

На основе классической модели SIR были предложены уравнение Кортевега-де Фриза (KdV)–SIR и его аналитическое решение для иллюстрации фундаментальной динамики эпидемической волны, зависимости решений от параметров и зависимости горизонтов предсказуемости от различных типов решений. ^[40] Уравнение KdV-SIR записывается следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt}}-\sigma _{o}^{2}I+{\frac {3}{2}}{\frac {\sigma _{o}^{2}}{I_{max}}}I^{2}=0}$.

Здесь,

${\displaystyle \sigma _{o}=\gamma (R_{o}-1)}$,

${\displaystyle R_{o}={\frac {\beta }{\gamma }}{\frac {S_{o}}{N}}}$,

и

${\displaystyle I_{max}={\frac {S_{o}}{2}}{\frac {(R_{o}-1)^{2}}{R_{o}^{2}}}}$.

${\displaystyle S_{o}}$указывает начальное значение переменной состояния . Параметры (σ-ноль) и (R-ноль) являются независимой от времени относительной скоростью роста и основным репродуктивным числом соответственно. представляет максимум переменных состояния (для числа инфицированных лиц). Аналитическое решение уравнения KdV-SIR записывается следующим образом: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma _{o}}$ ${\displaystyle R_{o}}$ ${\displaystyle I_{max}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=I_{max}sech^{2}\left({\frac {\sigma _{o}}{2}}t\right)}$,

что представляет собой решение в виде уединенной волны.

Гетерогенная (структурированная, байесовская) модель

Моделирование полной популяции, возможно, из миллионов людей, с использованием двух констант и кажется неправдоподобным; у каждого человека есть личные характеристики, которые влияют на распространение: статус иммунитета, привычки контактов и так далее. Поэтому интересно узнать, что произойдет, если, например, и являются не двумя константами, а некоторыми случайными величинами (по паре для каждого человека). Эта процедура имеет несколько названий: «гетерогенная модель», «структурирование» (см. также ниже модели, структурированные по возрасту) или «байесовский» взгляд. ^{[41] [42] [43]} Появляются удивительные результаты, например, в ^[41] было доказано , что число инфицированных на пике гетерогенной эпидемии меньше, чем детерминированной эпидемии с тем же средним значением ; то же самое справедливо для общего размера эпидемии и других моделей, например SEIR. ^[41] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle S(0)-S(\infty )}$

Моделирование вакцинации

Модель SIR может быть модифицирована для моделирования вакцинации. ^[44] Обычно они вводят дополнительный отсек в модель SIR, для вакцинированных лиц. Ниже приведены некоторые примеры. ${\displaystyle V}$

Вакцинация новорожденных

При наличии инфекционных заболеваний одной из главных задач является их искоренение с помощью профилактических мер и, по возможности, путем создания программы массовой вакцинации. Рассмотрим заболевание, от которого новорожденные вакцинируются (вакциной, дающей пожизненный иммунитет) с частотой : ${\displaystyle P\in (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\nu N(1-P)-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +\gamma )I\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\nu NP-\mu V\end{aligned}}}$

где - класс вакцинированных субъектов. Непосредственно показывается, что: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }V(t)=NP,}$

таким образом, мы будем иметь дело с долгосрочным поведением и , для которого справедливо следующее: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=DFE=\left(N\left(1-P\right),0\right)}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)>1,\quad I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=EE=\left({\frac {N}{R_{0}(1-P)}},N\left(R_{0}(1-P)-1\right)\right).}$

Другими словами, если

${\displaystyle P<P^{*}=1-{\frac {1}{R_{0}}}}$

программа вакцинации не может искоренить болезнь, напротив, она останется эндемичной, хотя и на более низком уровне, чем в случае отсутствия вакцинации. Это означает, что математическая модель предполагает, что для болезни, базовое репродуктивное число которой может достигать 18, необходимо вакцинировать не менее 94,4% новорожденных, чтобы искоренить болезнь.

Вакцинация и информация

Современные общества сталкиваются с проблемой «рационального» освобождения, то есть решения семьи не вакцинировать детей в результате «рационального» сравнения предполагаемого риска заражения и риска получения вреда от вакцины. Чтобы оценить, является ли такое поведение действительно рациональным, то есть может ли оно в равной степени привести к искоренению болезни, можно просто предположить, что уровень вакцинации является возрастающей функцией числа инфицированных субъектов:

${\displaystyle P=P(I),\quad P'(I)>0.}$

В таком случае условием ликвидации становится:

${\displaystyle P(0)\geq P^{*},}$

т. е. базовый уровень вакцинации должен быть выше порога «обязательной вакцинации», который в случае освобождения не может быть выполнен. Таким образом, «рациональное» освобождение может быть близоруким, поскольку оно основано только на текущей низкой заболеваемости из-за высокого охвата вакцинацией, а не на будущем возобновлении инфекции из-за снижения охвата.

Вакцинация не новорожденных

В случае, если вакцинация проводится также и не новорожденным с частотой ρ, уравнение для восприимчивого и вакцинированного субъекта необходимо изменить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N(1-P)-\mu S-\rho S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\mu NP+\rho S-\mu V\end{aligned}}}$

приводит к следующему состоянию искоренения:

${\displaystyle P\geq 1-\left(1+{\frac {\rho }{\mu }}\right){\frac {1}{R_{0}}}}$

Стратегия импульсной вакцинации

Эта стратегия многократно вакцинирует определенную возрастную когорту (например, маленьких детей или пожилых людей) в восприимчивой популяции с течением времени. Используя эту стратегию, блок восприимчивых лиц затем немедленно удаляется, что позволяет устранить инфекционное заболевание (например, корь) из всей популяции. Каждые T единиц времени постоянная доля p восприимчивых субъектов вакцинируется за относительно короткое (по отношению к динамике заболевания) время. Это приводит к следующим импульсным дифференциальным уравнениям для восприимчивых и вакцинированных субъектов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S,\quad S(nT^{+})=(1-p)S(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=-\mu V,\quad V(nT^{+})=V(nT^{-})+pS(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \end{aligned}}}$

Легко видеть, что, установив I = 0, получаем, что динамика восприимчивых субъектов определяется выражением:

${\displaystyle S^{*}(t)=1-{\frac {p}{1-(1-p)E^{-\mu T}}}E^{-\mu MOD(t,T)}}$

и что условием ликвидации является:

${\displaystyle R_{0}\int _{0}^{T}S^{*}(t)\,dt<1}$

Игры про вакцинацию

Огромная литература признает, что вакцинацию можно рассматривать как игру: в популяции, где все вакцинированы, любая эпидемия немедленно сойдет на нет, поэтому дополнительный человек вообще не будет заинтересован в вакцинации. Напротив, человек, прибывающий в популяцию, где никто не вакцинирован, будет иметь все стимулы для вакцинации (эпидемия вырвется наружу в такой популяции). Таким образом, кажется, что индивидуум заинтересован делать противоположное по отношению к популяции в целом. Но популяция представляет собой сумму всех индивидуумов, и предыдущее утверждение должно быть ложным. Таким образом, фактически достигается равновесие Нэша . ^{[45] [46] [47] [48] [49]} Технические инструменты для обработки таких ситуаций включают теорию игр или современные инструменты, такие как теория игр среднего поля . ^{[49] [50]}

Влияние возраста: модели, структурированные по возрасту

Возраст оказывает глубокое влияние на скорость распространения заболевания в популяции, особенно на скорость контакта. Эта скорость суммирует эффективность контактов между восприимчивыми и инфекционными субъектами. Принимая во внимание возраст эпидемических классов (чтобы ограничиться схемой восприимчивый-инфекционный-удаленный), так что: ${\displaystyle s(t,a),i(t,a),r(t,a)}$

${\displaystyle S(t)=\int _{0}^{a_{M}}s(t,a)\,da}$

${\displaystyle I(t)=\int _{0}^{a_{M}}i(t,a)\,da}$

${\displaystyle R(t)=\int _{0}^{a_{M}}r(t,a)\,da}$

(где - максимально допустимый возраст) и их динамика описывается не, как можно было бы подумать, «простыми» уравнениями в частных производных, а интегро-дифференциальными уравнениями : ${\displaystyle a_{M}\leq +\infty }$

${\displaystyle \partial _{t}s(t,a)+\partial _{a}s(t,a)=-\mu (a)s(a,t)-s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}}$

${\displaystyle \partial _{t}i(t,a)+\partial _{a}i(t,a)=s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}{k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)da_{1}}-\mu (a)i(a,t)-\gamma (a)i(a,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}r(t,a)+\partial _{a}r(t,a)=-\mu (a)r(a,t)+\gamma (a)i(a,t)}$

где:

${\displaystyle F(a,t,i(\cdot ,\cdot ))=\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}}$

сила заражения, которая, конечно, будет зависеть, через контактное ядро, от взаимодействия между возрастами. ${\displaystyle k(a,a_{1};t)}$

Сложность добавляют начальные условия для новорожденных (т.е. при a=0), которые для инфекционных просты и устраняются:

${\displaystyle i(t,0)=r(t,0)=0}$

но которые нелокальны для плотности восприимчивых новорожденных:

${\displaystyle s(t,0)=\int _{0}^{a_{M}}\left(\varphi _{s}(a)s(a,t)+\varphi _{i}(a)i(a,t)+\varphi _{r}(a)r(a,t)\right)\,da}$

где плодовитость взрослых особей. ${\displaystyle \varphi _{j}(a),j=s,i,r}$

Более того, определив теперь плотность всего населения, получаем: ${\displaystyle n(t,a)=s(t,a)+i(t,a)+r(t,a)}$

${\displaystyle \partial _{t}n(t,a)+\partial _{a}n(t,a)=-\mu (a)n(a,t)}$

В простейшем случае равной рождаемости в трех эпидемических классах мы имеем, что для достижения демографического равновесия должно выполняться следующее необходимое и достаточное условие, связывающее рождаемость со смертностью : ${\displaystyle \varphi (.)}$ ${\displaystyle \mu (a)}$

${\displaystyle 1=\int _{0}^{a_{M}}\varphi (a)\exp \left(-\int _{0}^{a}{\mu (q)dq}\right)\,da}$

и демографическое равновесие

${\displaystyle n^{*}(a)=C\exp \left(-\int _{0}^{a}\mu (q)\,dq\right),}$

автоматически гарантируя существование решения, свободного от болезней:

${\displaystyle DFS(a)=(n^{*}(a),0,0).}$

Базовое число воспроизводства можно рассчитать как спектральный радиус соответствующего функционального оператора.

Метод нового поколения

Один из способов расчета — усреднить ожидаемое число новых инфекций по всем возможным типам инфицированных. Метод следующего поколения — это общий метод вывода, когда задействовано более одного класса инфекционных агентов. Этот метод, первоначально предложенный Дикманном и др . (1990), ^[51] может использоваться для моделей с базовой возрастной структурой или пространственной структурой, среди прочих возможностей. ^[52] На этой картинке спектральный радиус матрицы следующего поколения дает базовое репродуктивное число, ^[53] ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R_{0}=\rho (G).}$

Рассмотрим заболевание, передающееся половым путем. В наивной популяции, где почти все восприимчивы, но семя инфекции, если ожидаемое число гендера 1 равно , а ожидаемое число инфицированных гендера 2 равно , мы можем узнать, сколько будет инфицировано в следующем поколении. Таким образом, матрицу следующего поколения можно записать как: ^[54] где каждый элемент является ожидаемым числом вторичных инфекций гендера, вызванных одним инфицированным индивидуумом гендера , предполагая, что популяция гендера полностью восприимчива. Диагональные элементы равны нулю, поскольку люди одного пола не могут передавать заболевание друг другу, но, например, каждый может передать заболевание в среднем . Это означает, что каждый элемент является репродуктивным числом, но таким, где учитывается, кто кого заражает. Если поколение представлено с помощью , то следующее поколение будет . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle G={\begin{pmatrix}0&f\\m&0\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \phi _{a}}$ ${\displaystyle \phi _{a+1}}$ ${\displaystyle G\phi _{a}}$

Спектральный радиус матрицы следующего поколения — это базовое репродуктивное число, , то есть здесь геометрическое среднее ожидаемого числа каждого пола в следующем поколении. Обратите внимание, что факторы умножения и чередуются, поскольку инфекционный человек должен «пройти» через второй пол, прежде чем он сможет войти в нового хозяина первого пола. Другими словами, требуется два поколения, чтобы вернуться к тому же типу, и каждые два поколения числа умножаются на × . Средний коэффициент умножения на поколение, таким образом, равен . Обратите внимание, что — это неотрицательная матрица, поэтому она имеет единственное, уникальное, положительное, действительное собственное значение, которое строго больше всех остальных. ${\displaystyle R_{0}=\rho (G)={\sqrt {mf}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\sqrt {mf}}}$ ${\displaystyle G}$

Матрица нового поколения для компартментальных моделей

В математическом моделировании инфекционных заболеваний динамика распространения обычно описывается с помощью набора нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE). Поэтому всегда существуют связанные уравнения вида , которые показывают, как число людей в отсеке изменяется с течением времени. Например, в модели SIR, , и . В отсековых моделях существует равновесие без заболеваний (DFE), что означает, что можно найти равновесие, установив число инфицированных людей равным нулю, . Другими словами, как правило, существует устойчивое состояние без инфекций . Это решение также обычно гарантирует, что равновесие без заболеваний также является равновесием системы. Существует еще одна фиксированная точка, известная как эндемическое равновесие (EE), в которой заболевание не полностью искоренено и остается в популяции. Математически это порог устойчивости равновесия без заболеваний, такой что: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\dot {C_{i}}}={\operatorname {d} \!C_{i} \over \operatorname {d} \!t}=f(C_{1},C_{2},...,C_{n})}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{1}=S}$ ${\displaystyle C_{2}=I}$ ${\displaystyle C_{3}=R}$ ${\displaystyle I=0}$ ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(C_{1}(t),C_{2}(t),\cdots ,C_{n}(t))={\textrm {DFE}}}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(C_{1}(t),C_{2}(t),\cdots ,C_{n}(t))={\textrm {EE}}.}$

Для вычисления первым шагом является линеаризация вокруг безрецидивного равновесия (DFE), но для инфицированной подсистемы нелинейных ОДУ, которые описывают производство новых инфекций и изменения состояния среди инфицированных людей. Эпидемиологически линеаризация отражает, что характеризует потенциал для начального распространения инфекционного человека в наивной популяции, предполагая, что изменение восприимчивой популяции незначительно во время начального распространения. ^[55] Линейная система ОДУ всегда может быть описана матрицей. Таким образом, следующим шагом является построение линейного положительного оператора, который обеспечивает следующее поколение инфицированных людей при применении к текущему поколению. Обратите внимание, что этот оператор (матрица) отвечает за количество инфицированных людей, а не за все отсеки. Итерация этого оператора описывает начальное прогрессирование инфекции в гетерогенной популяции. Таким образом, сравнение спектрального радиуса этого оператора с единицей определяет, растут ли поколения инфицированных людей или нет. может быть записана как произведение уровня инфицирования вблизи безрецидивного равновесия и средней продолжительности инфицированности. Он используется для определения пика и окончательного размера эпидемии. ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$

Модель SEIR с жизненно важной динамикой и постоянной численностью населения

Как описано в примере выше, очень много эпидемических процессов можно описать с помощью модели SIR‌. Однако для многих важных инфекций, таких как COVID-19 , существует значительный латентный период, в течение которого люди инфицированы, но сами еще не заразны. В течение этого периода человек находится в отсеке E (для подверженных воздействию). Здесь формирование матрицы следующего поколения из модели SEIR‌ включает определение двух отсеков, инфицированных и неинфицированных, поскольку они являются популяциями, которые распространяют инфекцию. Поэтому нам нужно смоделировать только подвергшиеся воздействию, E , и инфицированные, I , отсеки. Рассмотрим популяцию, характеризующуюся уровнем смертности и рождаемости , где распространяется инфекционное заболевание. Как и в предыдущем примере, мы можем использовать скорости перехода между отсеками на душу населения, такие, что будут уровнем инфицирования, будут уровнем выздоровления и будут скоростью, с которой латентный человек становится заразным. Затем мы можем определить динамику модели, используя следующие уравнения: ^{[52] [56]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {S}}=\lambda -\mu S-\beta SI,\\\\{\dot {E}}=\beta SI-(\mu +\kappa )E,\\\\{\dot {I}}=\kappa E-(\mu +\gamma )I,\\\\{\dot {R}}=\gamma I-\mu R.\end{cases}}}$$Здесь у нас есть 4 отсека, и мы можем определить вектор , где обозначает количество или долю особей в -ом отсеке. Пусть будет скоростью появления новых инфекций в отсеке, такой, что она включает только инфекции, которые возникают вновь, но не включает термины, которые описывают передачу инфекционных особей из одного инфицированного отсека в другой. Тогда, если - скорость передачи особей в отсек всеми другими способами, а - скорость передачи особей из -ого отсека, то разность дает скорость изменения такой, что . ${\displaystyle \mathrm {x} =(S,E,I,R)}$ ${\displaystyle \mathrm {x} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F_{i}(\mathrm {x} )}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V_{i}^{+}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V_{i}^{-}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F_{i}(\mathrm {x} )-V_{i}(\mathrm {x} )}$ ${\displaystyle V_{i}(\mathrm {x} )=V_{i}^{-}(\mathrm {x} )-V_{i}^{+}(\mathrm {x} )}$

Теперь мы можем составить матрицы частных производных и такие, что ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle F_{ij}={\partial \!\ F_{i}(\mathrm {x} ^{*}) \over \partial \!\ \mathrm {x} _{j}}}$и , где - равновесие без заболеваний. ${\displaystyle V_{ij}={\partial \!\ V_{i}(\mathrm {x} ^{*}) \over \partial \!\ \mathrm {x} _{j}}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} ^{*}=(S^{*},E^{*},I^{*},R^{*})=(\lambda /\mu ,0,0,0)}$

Теперь мы можем сформировать матрицу следующего поколения (оператор) . ^{[57] [53]} По сути, это неотрицательная матрица , которая представляет уровни инфицирования вблизи равновесия, и является М-матрицей для линейных переходных членов, создающих матрицу, которая представляет среднюю продолжительность инфицирования. Таким образом, дает скорость, с которой инфицированные особи в производят новые инфекции в , умноженную на среднюю продолжительность времени, которое особь проводит за один визит в отсек ${\displaystyle G=FV^{-1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{-1}}$ ${\displaystyle G_{ij}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} _{j}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} _{i}}$ ${\displaystyle j.}$

Наконец, для этого процесса SEIR мы можем иметь:

${\displaystyle F={\begin{pmatrix}0&\beta S^{*}\\0&0\end{pmatrix}}}$и так далее ${\displaystyle V={\begin{pmatrix}\mu +\kappa &0\\-\kappa &\gamma +\mu \end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{0}=\rho (FV^{-1})={\frac {\kappa \beta S^{*}}{(\mu +\kappa )(\mu +\gamma )}}.}$

Методы оценки

Базовое репродуктивное число можно оценить, изучив подробные цепочки передачи или с помощью геномного секвенирования . Однако чаще всего его рассчитывают с помощью эпидемиологических моделей. ^[58] Во время эпидемии обычно известно количество диагностированных инфекций с течением времени . На ранних стадиях эпидемии рост является экспоненциальным с логарифмической скоростью роста Для экспоненциального роста можно интерпретировать как совокупное количество диагнозов (включая выздоровевших лиц) или текущее количество случаев заражения; логарифмическая скорость роста одинакова для обоих определений. Для оценки необходимы предположения о временной задержке между заражением и постановкой диагноза и времени между заражением и началом заражения. ${\displaystyle N(t)}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle K:={\frac {d\ln(N)}{dt}}.}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R_{0}}$

При экспоненциальном росте связано со временем удвоения как ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T_{d}}$ $${\displaystyle K={\frac {\ln(2)}{T_{d}}}.}$$

Простая модель

Если особь, после заражения, заражает новых особей только по прошествии определенного времени (последовательного интервала), то число инфекционных особей с течением времени растет как или Базовое дифференциальное уравнение соответствия имеет вид или В этом случае или . ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle n_{E}(t)=n_{E}(0)\,R_{0}^{t/\tau }=n_{E}(0)\,e^{Kt}}$$ $${\displaystyle \ln(n_{E}(t))=\ln(n_{E}(0))+\ln(R_{0})t/\tau .}$$ $${\displaystyle {\frac {dn_{E}(t)}{dt}}=n_{E}(t){\frac {\ln(R_{0})}{\tau }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d\ln(n_{E}(t))}{dt}}={\frac {\ln(R_{0})}{\tau }}.}$$ ${\displaystyle R_{0}=e^{K\tau }}$ ${\displaystyle K={\frac {\ln R_{0}}{\tau }}}$

Например, при и мы найдем . ${\displaystyle \tau =5~\mathrm {d} }$ ${\displaystyle K=0.183~\mathrm {d} ^{-1}}$ ${\displaystyle R_{0}=2.5}$

Если это зависит от времени, это показывает, что может быть важно поддерживать значение ниже 0, усредненное по времени, чтобы избежать экспоненциального роста. ${\displaystyle R_{0}}$ $${\displaystyle \ln(n_{E}(t))=\ln(n_{E}(0))+{\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{t}\ln(R_{0}(t))dt}$$ ${\displaystyle \ln(R_{0})}$

Скрытый инфекционный период, изоляция после постановки диагноза

В этой модели индивидуальная инфекция имеет следующие стадии:

1. Подвергся воздействию: человек инфицирован, но не имеет симптомов и пока не заражает других. Средняя продолжительность состояния под воздействием составляет . ${\displaystyle \tau _{E}}$
2. Латентная инфекция: человек инфицирован, не имеет симптомов, но заражает других. Средняя продолжительность латентного инфекционного состояния составляет . В течение этого периода человек заражает других людей. ${\displaystyle \tau _{I}}$ ${\displaystyle R_{0}}$
3. Изоляция после постановки диагноза: принимаются меры для предотвращения дальнейшего заражения, например, путем изоляции инфицированного человека.

Это модель SEIR, и ее можно записать в следующем виде ^[59] Этот метод оценки был применен к COVID-19 и SARS . Это следует из дифференциального уравнения для числа подвергшихся воздействию лиц и числа латентно инфицированных лиц , Наибольшее собственное значение матрицы — это логарифмическая скорость роста , которую можно решить относительно . ${\displaystyle R_{0}}$ $${\displaystyle R_{0}=1+K(\tau _{E}+\tau _{I})+K^{2}\tau _{E}\tau _{I}.}$$ ${\displaystyle n_{E}}$ ${\displaystyle n_{I}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}n_{E}\\n_{I}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/\tau _{E}&R_{0}/\tau _{I}\\1/\tau _{E}&-1/\tau _{I}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n_{E}\\n_{I}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R_{0}}$

В особом случае эта модель приводит к , что отличается от простой модели выше ( ). Например, при тех же значениях и мы бы обнаружили , а не истинное значение . Разница обусловлена ​​тонким различием в базовой модели роста; матричное уравнение выше предполагает, что недавно инфицированные пациенты в настоящее время уже способствуют инфекциям, в то время как на самом деле инфекции происходят только из-за числа инфицированных в назад. Более правильное лечение потребовало бы использования дифференциальных уравнений задержки . ^[60] ${\displaystyle \tau _{I}=0}$ ${\displaystyle R_{0}=1+K\tau _{E}}$ ${\displaystyle R_{0}=\exp(K\tau _{E})}$ ${\displaystyle \tau =5~\mathrm {d} }$ ${\displaystyle K=0.183~\mathrm {d} ^{-1}}$ ${\displaystyle R_{0}=1.9}$ ${\displaystyle 2.5}$ ${\displaystyle \tau _{E}}$

Латентный период — это время перехода между событием заражения и проявлением болезни. В случаях заболеваний с различными латентными периодами основное репродуктивное число можно рассчитать как сумму репродуктивных чисел для каждого времени перехода в болезнь. Примером этого является туберкулез (ТБ). Блоуэр и соавторы вычислили на основе простой модели туберкулеза следующее репродуктивное число: ^[61] В их модели предполагается, что инфицированные лица могут развить активный туберкулез либо путем прямого прогрессирования (болезнь развивается сразу после заражения), рассмотренного выше как БЫСТРЫЙ туберкулез, либо путем эндогенной реактивации (болезнь развивается через годы после заражения), рассмотренного выше как МЕДЛЕННЫЙ туберкулез. ^[62] $${\displaystyle R_{0}=R_{0}^{\text{FAST}}+R_{0}^{\text{SLOW}}}$$

Другие соображения в рамках моделей компартментальной эпидемии

Вертикальная передача

В случае некоторых заболеваний, таких как СПИД и гепатит В, возможно, что потомство инфицированных родителей родится инфицированным. Такая передача болезни от матери называется вертикальной передачей. Приток дополнительных членов в инфицированную категорию можно рассмотреть в рамках модели, включив часть новорожденных членов в инфицированный отсек. ^[63]

Векторная передача

Болезни, передающиеся от человека к человеку косвенно, например, малярия, распространяемая комарами, передаются через переносчика. В этих случаях инфекция передается от человека к насекомому, и эпидемическая модель должна включать оба вида, что обычно требует гораздо большего количества компартментов, чем модель для прямой передачи. ^{[63] [64]}

Другие

Другие явления, которые, возможно, необходимо учитывать при моделировании эпидемии, включают в себя следующие: ^[63]

• Неоднородное смешивание
• Изменяющаяся инфекционность
• Распределения, которые пространственно неоднородны
• Заболевания, вызываемые макропаразитами

Детерминированные и стохастические модели эпидемий

Представленные здесь детерминированные модели действительны только в случае достаточно больших популяций, и поэтому должны использоваться с осторожностью. ^{[65] [66]} Эти модели действительны только в термодинамическом пределе , где популяция фактически бесконечна. В стохастических моделях долгосрочное эндемическое равновесие, выведенное выше, не выполняется, поскольку существует конечная вероятность того, что число инфицированных особей в системе упадет ниже одного. В истинной системе патоген может не распространяться, поскольку ни один хозяин не будет инфицирован. Но в детерминированных моделях среднего поля число инфицированных может принимать реальные, а именно нецелые значения инфицированных хозяев, а число хозяев в модели может быть меньше одного, но больше нуля, тем самым позволяя патогену в модели распространяться. Надежность компартментальных моделей ограничена компартментальными приложениями.

Одно из возможных расширений моделей среднего поля рассматривает распространение эпидемий в сети на основе концепций теории перколяции . ^[37] Стохастические модели эпидемий изучались на различных сетях ^{[67] [68] [69]} и совсем недавно были применены к пандемии COVID-19 . ^[70]

Смотрите также

• Скорость атаки
• Базовый номер репродукции
• Сгладить кривую
• Список имитационных моделей COVID-19
• Математическое моделирование в эпидемиологии
• Проблема изменяемой площади
• Матрица нового поколения
• Оценка риска

Ссылки

1. Росс Р. (1 февраля 1916 г.). «Применение теории вероятностей к изучению априорной патометрии. — Часть I». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 92 (638): 204–230. Bibcode : 1916RSPSA..92..204R. doi : 10.1098/rspa.1916.0007 .
2. Росс Р., Хадсон Х. (3 мая 1917 г.). «Применение теории вероятностей к изучению априорной патометрии. — Часть II». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 93 (650): 212–225. Bibcode :1917RSPSA..93..212R. doi : 10.1098/rspa.1917.0014 .
3. Росс Р., Хадсон Х. (1917). «Применение теории вероятностей к изучению априорной патометрии. — Часть III». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 89 (621): 225–240. Bibcode :1917RSPSA..93..225R. doi : 10.1098/rspa.1917.0015 .
4. Kermack WO, McKendrick AG (1927). "Вклад в математическую теорию эпидемий". Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 115 (772): 700–721. Bibcode :1927RSPSA.115..700K. doi : 10.1098/rspa.1927.0118 .
5. Kendall DG (1956). "Детерминированные и стохастические эпидемии в закрытых популяциях". Вклад в биологию и проблемы здоровья . Том 4. Издательство Калифорнийского университета. С. 149–165. doi :10.1525/9780520350717-011. ISBN 978-0-520-35071-7. MR  0084936. Zbl  0070.15101.
6. Энгельманн, Лукас (2021-08-30). «Коробка, корыто и шарики: как теория эпидемии Рида-Фроста сформировала эпидемиологическое мышление в 20 веке». История и философия наук о жизни . 43 (3): 105. doi :10.1007/s40656-021-00445-z. ISSN  1742-6316. PMC 8404547. PMID  34462807 . 
7. Harko T, Lobo FS, Mak MK (2014). «Точные аналитические решения эпидемической модели восприимчивых-инфицированных-выздоровевших (SIR) и модели SIR с равными показателями смертности и рождаемости». Прикладная математика и вычисления . 236 : 184–194. arXiv : 1403.2160 . Bibcode : 2014arXiv1403.2160H. doi : 10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID  14509477.
8. Beckley R, Weatherspoon C, Alexander M, Chandler M, Johnson A, Bhatt GS (2013). "Моделирование эпидемий с помощью дифференциальных уравнений" (PDF) . Внутренний отчет Университета штата Теннесси . Получено 19 июля 2020 г.
9. Kröger M, Schlickeiser R (2020). "Аналитическое решение SIR-модели для временной эволюции эпидемий. Часть A: Независимый от времени фактор воспроизводства". Journal of Physics A . 53 (50): 505601. Bibcode :2020JPhA...53X5601K. doi : 10.1088/1751-8121/abc65d . S2CID  225555567.
10. Schlickeiser R, Kröger M (2021). "Аналитическое решение SIR-модели для временной эволюции эпидемий. Часть B: Полувременной случай". Journal of Physics A . 54 (17): 175601. Bibcode :2021JPhA...54q5601S. doi : 10.1088/1751-8121/abed66 . hdl : 20.500.11850/479548 .
11. Yang W, Zhang D, Peng L, Zhuge C, Hong L (2020). «Рациональная оценка различных моделей эпидемии на основе данных о COVID-19 в Китае». arXiv : 2003.05666v1 [q-bio.PE].
12. Саймон, Кори (2020). «Динамическая модель SIR передачи инфекционных заболеваний и ее аналогия с химической кинетикой». PeerJ Physical Chemistry . 2 (2): e14. doi : 10.7717/peerj-pchem.14 .
13. Крылова О, Эрн DJ (июль 2013 г.). «Влияние распределения инфекционного периода на прогнозируемые переходы в динамике детских заболеваний». Журнал Королевского общества, Интерфейс . 10 (84): 20130098. doi : 10.1098/rsif.2013.0098 . PMC 3673147. PMID  23676892 . 
14. Hethcote H (2000). «Математика инфекционных заболеваний». Обзор SIAM . 42 (4): 599–653. Bibcode : 2000SIAMR..42..599H. doi : 10.1137/s0036144500371907. S2CID  10836889.
15. Бейли, Норман Т.Дж. (1975). Математическая теория инфекционных заболеваний и ее приложения (2-е изд.). Лондон: Гриффин. ISBN 0-85264-231-8.
16. Соня Альтизер; Нанн, Чарльз (2006). Инфекционные заболевания приматов: поведение, экология и эволюция . Серия Oxford по экологии и эволюции. Оксфорд [Оксфордшир]: Oxford University Press. ISBN 0-19-856585-2.
17. Wolfram Research, Inc. "Mathematica, версия 12.1". Шампейн, Иллинойс, 2020.
18. Капассо V (1993). Математическая структура эпидемических систем . Берлин: Springer. ISBN 3-540-56526-4.
19. Miller JC (сентябрь 2012 г.). «Заметка о выводе окончательных размеров эпидемии». Бюллетень математической биологии . 74 (9): 2125–2141. doi :10.1007/s11538-012-9749-6. PMC 3506030. PMID 22829179.  Раздел 4.1 
20. Miller JC (февраль 2017 г.). «Математические модели распространения SIR-заболеваний с комбинированными неполовыми и половыми путями передачи». Моделирование инфекционных заболеваний . 2 (1): 35–55. doi :10.1016/j.idm.2016.12.003. PMC 5963332. PMID 29928728.  Раздел 2.1.3 
21. Hart KD, Thompson C, Burger C, Hardwick D, Michaud AH, Bulushi A, Pridemore C, Ward C, Chen J (2021). «Дистанционное обучение кинетическому анализу COVID-19 в лабораторном классе физической химии». ACS Omega . 6 (43): 29223–29232. doi :10.1021/acsomega.1c04842. PMC 8547164 . PMID  34723043. 
22. Смит Д.К., Лауро К., Келли Д., Фиш Дж., Линтельман Э., Макьюэн Д., Смит К., Стеч М., Амбагаспития Т.Д., Чен Дж. (2022). «Обучение студентов физической химии в лабораторных условиях с использованием кинетического анализа COVID-19 в Соединенных Штатах». Журнал химического образования . 99 (10): 3471–3477. Bibcode : 2022JChEd..99.3471S. doi : 10.1021/acs.jchemed.2c00416. PMC 9799982. PMID 36589277.  S2CID 251484056  . 
23. Padua RN, Tulang AB (2 декабря 2010 г.). «Эпидемиологическая модель распространения инфекционных заболеваний, зависящая от плотности». Журнал исследований высшего образования Liceo . 6 (2). doi :10.7828/ljher.v6i2.62.
24. Мэй Р. М. , Андерсон Б. (1992-09-24). Инфекционные заболевания человека: динамика и контроль (пересмотренное издание). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-854040-3.
25. фон Чефалвай, Крис (2023-01-01), фон Чефалвай, Крис (ред.), «Факторы хозяина», Вычислительное моделирование инфекционных заболеваний , Academic Press, стр. 93–119, doi : 10.1016/b978-0-32-395389-4.00012-8 , ISBN 978-0-323-95389-4
26. Hethcote HW (1989). "Три основные эпидемиологические модели". В Levin SA, Hallam TG, Gross LJ (ред.). Прикладная математическая экология . Биоматематика. Т. 18. Берлин: Springer. С. 119–144. doi :10.1007/978-3-642-61317-3_5. ISBN 3-540-19465-7.
27. Накамура, GM; Кардосо, GC; Мартинес, AS (2020). «Улучшенные уравнения восприимчивость–инфекционность–восприимчивость к эпидемиям на основе неопределенностей и автокорреляционных функций». Royal Society Open Science . 7 (2): 191504. Bibcode :2020RSOS....791504N. doi :10.1098/rsos.191504. PMC 7062106 . PMID  32257317. 
28. «(стр. 19) Модель SI» (PDF) .
29. Аль-Раи, Марван (2021). «Основное репродуктивное число новой пандемии коронавируса со смертностью для Индии, Сирийской Арабской Республики, США, Йемена, Китая, Франции, Нигерии и России с разной частотой случаев». Клиническая эпидемиология и глобальное здравоохранение . 9 : 147–149. doi : 10.1016/j.cegh.2020.08.005. ISSN  2452-0918. PMC 7438206. PMID 32844133  . 
30. Первое и второе дифференциальные уравнения преобразованы и приведены к той же форме, что и для модели SIR выше.
31. Шликейзер Р., Крёгер М. (2021). «Аналитическое моделирование временной эволюции вспышек эпидемий с учетом вакцинации». Физика . 3 (2): 386. Bibcode : 2021Physi...3..386S. doi : 10.3390/physics3020028 . hdl : 20.500.11850/487253 . S2CID  233589998.
32. Шликейзер Р., Крёгер М. (2024). «Математика эпидемий: общее решение моделей SIRVD, SIRV, SIRD и SIR». Математика . 12 : 941. doi : 10.3390/math12070941 . hdl : 20.500.11850/665745 .
33. Hunziker P (24.07.2021). «Персонализированная вакцинация от COVID-19 на волне вирусных разновидностей, вызывающих беспокойство: торговля индивидуальной эффективностью ради общественной пользы». Precision Nanomedicine . 4 (3): 805–820. doi : 10.33218/001c.26101 .
34. Noble JV (август 1974). «Географическое и временное развитие эпидемий». Nature . 250 (5469): 726–729. Bibcode :1974Natur.250..726N. doi :10.1038/250726a0. PMID  4606583. S2CID  4210869.
35. Te Vrugt M, Bickmann J, Wittkowski R (ноябрь 2020 г.). «Влияние социального дистанцирования и изоляции на распространение эпидемий, смоделированное с помощью динамической теории функционала плотности». Nature Communications . 11 (1): 5576. arXiv : 2003.13967 . Bibcode :2020NatCo..11.5576T. doi : 10.1038/s41467-020-19024-0 . PMC 7643184 . PMID  33149128. 
36. Ханцикер П. (07.03.2021). «Стратегии вакцинации для минимизации потерь жизни при COVID-19 в Европе, где нет вакцин». medRxiv 10.1101/29.01.2021.21250747 . 
37. Croccolo F, Roman HE (октябрь 2020 г.). «Распространение инфекций на случайных графах: модель перколяционного типа для COVID-19». Хаос, солитоны и фракталы . 139 : 110077. arXiv : 2006.10490 . Bibcode : 2020CSF...13910077C. doi : 10.1016/j.chaos.2020.110077. PMC 7332959. PMID 32834619.  S2CID 219792089  . 
38. Кастальский, ИА; Панкратова, ЕВ; Миркес, ЕМ; и др. (2021). «Социальный стресс обуславливает многоволновую динамику вспышек COVID-19». Scientific Reports . 11 (1): 22497. arXiv : 2106.08966 . Bibcode :2021NatSR..1122497K. doi : 10.1038/s41598-021-01317-z . PMC 8602246 . PMID  34795311. 
39. Репозиторий данных COVID-19. Центр системной науки и инженерии (CSSE) при Университете Джонса Хопкинса (JHU); предварительно обработанные данные здесь: проект World in Data.
40. Paxson, Wei; Shen, Bo-Wen (2022-10-01). "Уравнение KdV–SIR и его аналитические решения для одиночных эпидемических волн". International Journal of Bifurcation and Chaos . 32 (13): 2250199–2250780. Bibcode : 2022IJBC...3250199P. doi : 10.1142/S0218127422501991. ISSN  0218-1274. S2CID  253314121.
41. Dolbeault, Jean; Turinici, Gabriel (2020). «Гетерогенные социальные взаимодействия и результаты изоляции COVID-19 в многогрупповой модели SEIR». Math. Model. Nat. Phenom . 15 : 36. arXiv : 2005.00049 . doi : 10.1051/mmnp/2020025.
42. Берихуэте, Анхель; Санчес-Санчес, Марта; Суарес-Льоренс, Альфонсо (2021). «Байесовская модель случаев COVID-19, основанная на кривой Гомпертца». Математика . 9 (3): 228. дои : 10.3390/math9030228 . hdl : 10498/24604 . ISSN  2227-7390.
43. Берестицкий, Анри; Дежарденс, Бенуа; Вайц, Джошуа С.; Ури, Жан-Марк (2023). «Моделирование эпидемий с учетом гетерогенности и социальной диффузии». Журнал математической биологии . 86 (4): 60. doi :10.1007/s00285-022-01861-w. PMC 10039364 . 
44. Гао С, Тенг З, Нието Дж. Дж., Торрес А. (2007). «Анализ модели эпидемии SIR с импульсной вакцинацией и распределенной задержкой по времени». Журнал биомедицины и биотехнологии . 2007 : 64870. doi : 10.1155/2007/64870 . PMC 2217597. PMID  18322563 . 
45. Файн, Пол Э.М.; Кларксон, Жаклин А. (1986). «Индивидуальные и общественные приоритеты в определении оптимальной политики вакцинации». Американский журнал эпидемиологии . 124 (6). Oxford University Press: 1012–1020. doi :10.1093/oxfordjournals.aje.a114471. PMID  3096132.
46. Джеффард, Пьер-Ив; Филипсон, Томас (1997). «Искоренение болезней: частная вакцинация против государственной». The American Economic Review . 87 (1). JSTOR: 222–230.
47. Bauch, Chris T.; Earn, David JD (2004). «Вакцинация и теория игр». Труды Национальной академии наук . 101 (36). National Acad Sciences: 13391–13394. Bibcode : 2004PNAS..10113391B. doi : 10.1073/pnas.0403823101 . hdl : 10214/14336 . PMID  15329411.
48. Шим, Ынха; Чапман, Гретхен Б.; Таунсенд, Джеффри П.; Гальвани, Элисон П. (2012). «Влияние альтруизма на решения о вакцинации от гриппа». Журнал интерфейса Королевского общества . 9 (74). Королевское общество: 2234–2243. doi :10.1098/rsif.2012.0115. PMC 3405754. PMID  22496100 . 
49. Laguzet, Laetitia; Turinici, Gabriel (1 октября 2015 г.). «Индивидуальная вакцинация как равновесие Нэша в модели SIR с применением к эпидемии гриппа A (H1N1) 2009–2010 гг. во Франции». Бюллетень математической биологии . 77 (10): 1955–1984. doi :10.1007/s11538-015-0111-7. ISSN  1522-9602. PMID  26443437.
50. Эли, Ромуальд; Хьюберт, Эмма; Туриничи, Габриэль (2020). «Контроль эпидемии COVID-19 с точки зрения частоты контактов: равновесный взгляд». Математическое моделирование природных явлений . 15. EDP Sciences: 35. arXiv : 2004.08221 . doi : 10.1051/mmnp/2020022.
51. Diekmann, O.; Heesterbeek, JAP; Metz, JAJ (1990-06-01). «Об определении и вычислении основного коэффициента воспроизводства R0 в моделях инфекционных заболеваний в гетерогенных популяциях». Журнал математической биологии . 28 (4): 365–382. doi :10.1007/BF00178324. hdl : 1874/8051 . ISSN  1432-1416. PMID  2117040. S2CID  22275430.
52. Хеффернан, Дж. М.; Смит, Р. Дж.; Валь, Л. М. (2005-09-22). «Перспективы базового репродуктивного коэффициента». Журнал интерфейса Королевского общества . 2 (4): 281–293. doi :10.1098/rsif.2005.0042. ISSN  1742-5689. PMC 1578275. PMID 16849186  . 
53. van den Driessche, P.; Watmough, James (2002-11-01). «Числа размножения и субпороговые эндемические равновесия для компартментальных моделей передачи заболеваний». Mathematical Biosciences . 180 (1): 29–48. doi :10.1016/S0025-5564(02)00108-6. ISSN  0025-5564. PMID  12387915. S2CID  17313221.
54. Дж. Х. Джонс, Заметки о R0. Стэнфордский университет (2007).
55. Дикманн, Одо; Хестербек, Ганс; Бриттон, Том (18.11.2012). Математические инструменты для понимания динамики инфекционных заболеваний. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15539-5.
56. ван ден Дриссе, П.; Уотмо, Джеймс (2008), Брауэр, Фред; ван ден Дриссе, Полина; Ву, Цзяньхун (ред.), «Дальнейшие замечания по базовому числу воспроизводства», Математическая эпидемиология , Конспекты лекций по математике, том. 1945, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 159–178, номер документа : 10.1007/978-3-540-78911-6_6, ISBN. 978-3-540-78911-6, получено 2022-11-08
57. Diekmann O, Heesterbeek JA, Metz JA (1990). «Об определении и вычислении основного коэффициента воспроизводства R0 в моделях инфекционных заболеваний в гетерогенных популяциях». Журнал математической биологии . 28 (4): 365–82. doi :10.1007/BF00178324. hdl : 1874/8051 . PMID  2117040. S2CID  22275430.
58. Wohl S, Schaffner SF, Sabeti PC (сентябрь 2016 г.). «Геномный анализ вирусных вспышек». Annual Review of Virology . 3 (1): 173–195. doi :10.1146/annurev-virology-110615-035747. PMC 5210220. PMID  27501264 . 
59. Lipsitch M, Cohen T, Cooper B, Robins JM, Ma S, James L, et al. (июнь 2003 г.). «Динамика передачи и контроль тяжелого острого респираторного синдрома». Science . 300 (5627): 1966–70. Bibcode :2003Sci...300.1966L. doi :10.1126/science.1086616. PMC 2760158 . PMID  12766207. 
60. Рихан, Фатхалла А.; Анвар, М. Наим (2012). «Качественный анализ модели эпидемии с задержкой SIR с насыщенным уровнем заболеваемости». Международный журнал дифференциальных уравнений . 2012 : 1–13. doi : 10.1155/2012/408637 .
61. Blower SM, McLean AR, Porco TC, Small PM, Hopewell PC, Sanchez MA, Moss AR (август 1995 г.). «Внутренняя динамика передачи эпидемий туберкулеза». Nature Medicine . 1 (8): 815–21. doi :10.1038/nm0895-815. PMID  7585186. S2CID  19795498.
62. Ma Y, Horsburgh CR, White LF, Jenkins HE (сентябрь 2018 г.). «Количественная оценка передачи туберкулеза: систематический обзор числа воспроизводства и оценок последовательных интервалов для туберкулеза». Эпидемиология и инфекция . 146 (12): 1478–1494. doi :10.1017/S0950268818001760. PMC 6092233. PMID  29970199 . 
63. Brauer F, Castillo-Chávez C (2001). Математические модели в популяционной биологии и эпидемиологии . NY: Springer. ISBN 0-387-98902-1.
64. Для получения дополнительной информации об этом типе модели см. Anderson RM , ed. (1982). Population Dynamics of Infectious Diseases: Theory and Applications . London-New York: Chapman and Hall. ISBN 0-412-21610-8.
65. Тембин, Х (2020). «COVID-19: Data-Driven Mean-Field-Type Game Perspective». Games Journal . 11, 51 (4): 1–111 . Получено 24 ноября 2022 г.
66. Bartlett MS (1957). «Периодичность кори и размер сообщества». Журнал Королевского статистического общества, Серия A. 120 ( 1): 48–70. doi :10.2307/2342553. JSTOR  2342553. S2CID  91114210.
67. May RM, Lloyd AL (декабрь 2001 г.). «Динамика заражения в сетях без масштабирования». Physical Review E. 64 ( 6 Pt 2): 066112. Bibcode : 2001PhRvE..64f6112M. doi : 10.1103/PhysRevE.64.066112. PMID  11736241.
68. Пастор-Саторрас Р., Веспиньяни А. (апрель 2001 г.). «Эпидемическое распространение в сетях без масштаба». Physical Review Letters . 86 (14): 3200–3203. arXiv : cond-mat/0010317 . Bibcode : 2001PhRvL..86.3200P. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.3200. hdl : 2117/126209. PMID  11290142. S2CID  16298768.
69. Newman ME (июль 2002 г.). «Распространение эпидемических заболеваний в сетях». Physical Review E. 66 ( 1 Pt 2): 016128. arXiv : cond-mat/0205009 . Bibcode : 2002PhRvE..66a6128N. doi : 10.1103/PhysRevE.66.016128. PMID  12241447. S2CID  15291065.
70. Wong F, Collins JJ (ноябрь 2020 г.). «Доказательства того, что суперраспространение коронавируса имеет толстый хвост». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 117 (47): 29416–29418. Bibcode : 2020PNAS..11729416W. doi : 10.1073/pnas.2018490117 . PMC 7703634. PMID  33139561. S2CID  226242440 . 

Дальнейшее чтение

• Мэй Р. М. , Андерсон Р. М. (1991). Инфекционные заболевания человека: динамика и контроль . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-854040-X.
• Vynnycky E, White RG, ред. (2010). Введение в моделирование инфекционных заболеваний . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856576-5.
• Капассо V (2008). Математические структуры эпидемических систем. 2-е издание . Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-56526-0.
• Карлсон CS, Рубин DM, Хейккиля V, Постема M (2021). «Извлечение параметров передачи и восстановления для адаптивной глобальной модели системной динамики пандемии COVID-19». 2021 IEEE Africon (PDF) . стр. 456–459. doi :10.1109/AFRICON51333.2021.9570946. ISBN 978-1-6654-1984-0. S2CID  239899862.

Внешние ссылки

• Модель SIR: Онлайн-эксперименты с JSXGraph
• «Имитация эпидемии». 3Blue1Brown . 27 марта 2020 г. – через YouTube .