Модули алгебраических кривых

В алгебраической геометрии пространство модулей ( алгебраических ) кривых — это геометрическое пространство (обычно схема или алгебраический стек ), точки которого представляют классы изоморфизма алгебраических кривых . Таким образом, это особый случай пространства модулей . В зависимости от ограничений, применяемых к рассматриваемым классам алгебраических кривых, соответствующая проблема модулей и пространство модулей различаются. Также различают тонкие и грубые пространства модулей для одной и той же проблемы модулей.

Самой основной проблемой является проблема модулей гладких полных кривых фиксированного рода . Над полем комплексных чисел они в точности соответствуют компактным римановым поверхностям данного рода, для которых Бернхард Риман доказал первые результаты о пространствах модулей, в частности об их размерностях («число параметров, от которых зависит комплексная структура»).

Модули стеков устойчивых кривых

Стек модулей классифицирует семейства гладких проективных кривых вместе с их изоморфизмами. Когда , этот стек может быть компактифицирован путем добавления новых «граничных» точек, которые соответствуют устойчивым узловым кривым (вместе с их изоморфизмами). Кривая устойчива, если она полна, связна, не имеет особенностей, отличных от двойных точек, и имеет только конечную группу автоморфизмов. Полученный стек обозначается . Оба стека модулей несут универсальные семейства кривых. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

Оба стека выше имеют размерность ; следовательно, стабильная узловая кривая может быть полностью определена выбором значений параметров, когда . В нижнем роде необходимо учитывать наличие гладких семейств автоморфизмов, вычитая их число. Существует ровно одна комплексная кривая рода ноль, сфера Римана, и ее группа изоморфизмов — PGL(2). Следовательно, размерность равна ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim({\text{space of genus 0 curves}})-\dim({\text{group of automorphisms}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}}$

Аналогично, в роде 1 есть одномерное пространство кривых, но каждая такая кривая имеет одномерную группу автоморфизмов. Следовательно, стек имеет размерность 0. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

Конструкция и неприводимость

Это нетривиальная теорема, доказанная Пьером Делинем и Дэвидом Мамфордом ^[1] , что стек модулей неприводим, то есть он не может быть выражен как объединение двух собственных подстеков. Они доказывают это, анализируя геометрическое место устойчивых кривых в схеме Гильберта триканонически вложенных кривых (из вложения очень обильного для каждой кривой), которые имеют полином Гильберта . Тогда стек является конструкцией пространства модулей . Используя теорию деформации , Делинь и Мамфорд показывают, что этот стек является гладким, и используют стек изоморфизмов между устойчивыми кривыми , чтобы показать, что имеет конечные стабилизаторы, следовательно, это стек Делиня–Мамфорда . Более того, они находят стратификацию как ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$ ${\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle \mathrm {Isom} _{S}(C,C')}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle H_{g}}$

${\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}$,

где — подсхема гладких устойчивых кривых, а — неприводимый компонент . Они анализируют компоненты (как фактор GIT ). Если бы существовало несколько компонентов , ни один из них не был бы полным. Кроме того, любой компонент должен содержать неособые кривые. Следовательно, особое локус является связным, следовательно, он содержится в одном компоненте . Кроме того, поскольку каждый компонент пересекает , все компоненты должны содержаться в одном компоненте, следовательно, грубое пространство неприводимо. Из общей теории алгебраических стеков это означает, что фактор стека неприводим. ${\displaystyle H_{g}^{o}}$ ${\displaystyle H_{g,i}}$ ${\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}$ ${\displaystyle H_{g}^{o}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle S^{*}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle S^{*}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

Правильность

Правильность , или компактность , для орбифолдов следует из теоремы об устойчивой редукции на кривых. ^[1] Это можно найти, используя теорему Гротендика об устойчивой редукции абелевых многообразий и показывая ее эквивалентность устойчивой редукции кривых. ^{[1] раздел 5.2}

Грубые пространства модулей

Можно также рассмотреть грубые пространства модулей, представляющие классы изоморфизма гладких или устойчивых кривых. Эти грубые пространства модулей фактически изучались до того, как было введено понятие стека модулей. Фактически, идея стека модулей была введена Делинем и Мамфордом в попытке доказать проективность грубых пространств модулей. В последние годы стало очевидно, что стек кривых на самом деле является более фундаментальным объектом.

Пространства грубых модулей имеют ту же размерность, что и стеки, когда ; однако в нулевом роде пространство грубых модулей имеет размерность нулевую, а в первом роде — размерность единицу. ${\displaystyle g>1}$

Примеры пространств модулей низкого рода

Род 0

Определение геометрии пространства модулей родовых кривых может быть установлено с помощью теории деформации . Число модулей для родовой кривой, например , задается группой когомологий ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

С двойственностью Серра эта группа когомологий изоморфна

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}$

для дуализирующего пучка . Но использование Римана–Роха показывает, что степень канонического расслоения равна , поэтому степень равна , следовательно, глобальных сечений нет, что означает ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$ ${\displaystyle -4}$

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

показывая, что нет никаких деформаций кривых рода . Это доказывает, что есть только одна точка, и единственная кривая рода задается как . Единственная техническая трудность заключается в том, что группа автоморфизмов является алгебраической группой , которая становится жесткой, как только три точки ^[2] на фиксируются, поэтому большинство авторов подразумевают . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}$

Род 1

Случай рода 1 является одним из первых хорошо изученных случаев пространств модулей, по крайней мере над комплексными числами, поскольку классы изоморфизма эллиптических кривых классифицируются J-инвариантом

${\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$

где . Топологически это просто аффинная линия, но ее можно компактифицировать до стека с базовым топологическим пространством , добавив устойчивую кривую на бесконечности. Это эллиптическая кривая с одним острием. Построение общего случая над было первоначально завершено Делинем и Рапопортом . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

Обратите внимание, что большинство авторов рассматривают случай кривых рода один с одной отмеченной точкой как начало группы, поскольку в противном случае группа стабилизатора в гипотетическом пространстве модулей имела бы группу стабилизатора в точке, заданной кривой, поскольку эллиптические кривые имеют структуру абелевой группы. Это добавляет ненужную техническую сложность этому гипотетическому пространству модулей. С другой стороны, является гладким стеком Делиня–Мамфорда . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ ${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

Род 2

Аффинное параметрическое пространство

В роде 2 классический результат заключается в том, что все такие кривые являются гиперэллиптическими , ^{[4] стр. 298} , поэтому пространство модулей может быть полностью определено из ветвления кривой с использованием формулы Римана–Гурвица . Поскольку произвольная кривая рода 2 задается многочленом вида

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)}$

для некоторых однозначно определенных , пространство параметров для таких кривых задается выражением ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),}$

где соответствует локусу . ^[5] ${\displaystyle \Delta _{i,j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Взвешенное проективное пространство

Используя взвешенное проективное пространство и формулу Римана–Гурвица , гиперэллиптическую кривую можно описать как многочлен вида ^[6]

${\displaystyle z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},}$

где — параметры для секций . Тогда геометрическое место секций, не содержащих тройного корня, содержит каждую кривую, представленную точкой . ${\displaystyle a,\ldots ,f}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{2}}$

Род 3

Это первое модульное пространство кривых, которое имеет как гиперэллиптическое, так и негиперэллиптическое место точек. ^{[7] [8]} Все негиперэллиптические кривые задаются плоскими кривыми степени 4 (с использованием формулы степени рода ), которые параметризуются гладким местом точек в схеме Гильберта гиперповерхностей.

${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}$.

Затем пространство модулей стратифицируется подстеками

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}$.

Бирациональная геометрия

Гипотеза об унирациональности

Во всех предыдущих случаях можно обнаружить, что пространства модулей являются унирациональными , что означает, что существует доминирующий рациональный морфизм

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}}$

и долго ожидалось, что это будет верно для всех родов. Фактически, Севери доказал, что это верно для родов вплоть до . ^[9] Хотя, оказывается, что для рода ^{[10] [11] [12]} все такие пространства модулей являются пространствами общего типа, то есть они не являются унирациональными. Они достигли этого, изучая размерность Кодаиры грубых пространств модулей ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle g\geq 23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}$

и найдено для . Фактически, для , ${\displaystyle \kappa _{g}>0}$ ${\displaystyle g\geq 23}$ ${\displaystyle g>23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}$

и, следовательно, имеет общий тип. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

Геометрическое импликация

Это имеет геометрическое значение, поскольку подразумевает, что любая линейная система на линейчатом многообразии не может содержать универсальную кривую . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}}$

Стратификация границы

Пространство модулей имеет естественную стратификацию на границе , точки которой представляют собой сингулярные родовые кривые. ^[14] Оно распадается на слои ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}}$,

где

• ${\displaystyle \Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}}$для . ${\displaystyle 1\leq h<g/2}$
• ${\displaystyle \Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)}$где действие переставляет две отмеченные точки.
• ${\displaystyle \Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)}$когда четное. ${\displaystyle g}$

Кривые, лежащие выше этих локусов, соответствуют

• Пара кривых, соединенных в двойной точке. ${\displaystyle C,C'}$
• Нормализация родовой кривой в единственной двойной точке сингулярности . ${\displaystyle g}$
• Пара кривых одного рода, соединенных в двойной точке с точностью до перестановки.

Стратификация для рода 2

Для случая рода существует стратификация, заданная следующим образом: ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$.

Дальнейший анализ этих страт может быть использован для получения генераторов кольца Чжоу ^{[14] предложения 9.1} . ${\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}$

Модули отмеченных кривых

Можно также обогатить задачу, рассматривая стек модулей узловых кривых рода g с n отмеченными точками, попарно различными и отличными от узлов. Такие отмеченные кривые называются устойчивыми, если подгруппа автоморфизмов кривых, фиксирующих отмеченные точки, конечна. Полученные стеки модулей гладких (или устойчивых) кривых рода g с n отмеченными точками обозначаются (или ) и имеют размерность . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle 3g-3+n}$

Случай, представляющий особый интерес, — это стек модулей кривых рода 1 с одной отмеченной точкой. Это стек эллиптических кривых . Модульные формы уровня 1 являются сечениями линейных расслоений на этом стеке, а модульные формы уровня N являются сечениями линейных расслоений на стеке эллиптических кривых со структурой уровня N (грубо говоря, маркировкой точек порядка N ). ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$

Геометрия границ

Важным свойством компактифицированных пространств модулей является то, что их граница может быть описана в терминах пространств модулей для родов . Данной отмеченной, устойчивой, узловой кривой можно связать ее двойственный граф , граф с вершинами, помеченными неотрицательными целыми числами и допускающими наличие петель, кратных ребер, а также пронумерованных полуребер. Здесь вершины графа соответствуют неприводимым компонентам узловой кривой, маркировка вершины является арифметическим родом соответствующей компоненты, ребра соответствуют узлам кривой, а полуребра соответствуют маркировкам. Замыкание геометрического места кривых с данным двойственным графом в изоморфно стековому фактору произведения компактифицированных пространств модулей кривых на конечную группу. В произведении множитель, соответствующий вершине v, имеет род g _{v ,} взятый из маркировки, и число маркировок, равное числу исходящих ребер и полуребер в v . Общий род g равен сумме gv _и числа замкнутых циклов в графе. ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}}$ ${\displaystyle g'<g}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}$ ${\displaystyle n_{v}}$

Стабильные кривые, двойственный граф которых содержит вершину, помеченную (следовательно, все остальные вершины имеют и граф является деревом), называются «рациональным хвостом», а их модульное пространство обозначается . Стабильные кривые, двойственный граф которых является деревом, называются «компактного типа» (потому что якобиан компактен), а их модульное пространство обозначается . ^[2] ${\displaystyle g_{v}=g}$ ${\displaystyle g_{v}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }}$

Смотрите также

• гипотеза Виттена
• Тавтологическое кольцо
• Теорема Гротендика–Римана–Роха

Ссылки

1. Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода». Publications Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. doi :10.1007/BF02684599. S2CID  16482150.
2. Faber, Carel; Pandharipande, Rahul (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv : 1101.5489 [math.AG].
3. Делинь, П.; Рапопорт, М. (1973), Les Schémas de Modules de Courbes elliptiques , Конспекты лекций по математике, том. 349, Springer Berlin Heidelberg, стр. 143–316, номер документа : 10.1007/bfb0066716, ISBN. 978-3-540-06558-6, URL-адрес: http://publications.ias.edu/node/367
4. Хартшорн, Робин (29 июня 2013 г.). Алгебраическая геометрия . Нью-Йорк. ISBN 978-1-4757-3849-0. OCLC  861706007.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Игуса, Дзюн-Ичи (1960). «Арифметическое разнообразие модулей для рода два». Annals of Mathematics . 72 (3): 612–649. doi :10.2307/1970233. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970233.
6. Ларсон, Эрик (17.04.2019). "Интегральное кольцо Чжоу ". arXiv : 1904.08081 [math.AG]. ${\displaystyle {\overline {M}}_{2}}$
7. Жирар, Мартин; Кохель, Дэвид Р. (2006), Гесс, Флориан; Паули, Себастьян; Пост, Михаэль (ред.), «Классификация кривых рода 3 в специальных слоях пространства модулей», Алгоритмическая теория чисел , т. 4076, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 346–360, arXiv : math/0603555 , Bibcode : 2006math......3555G, doi : 10.1007/11792086_25, ISBN 978-3-540-36075-9, MR  2282935, S2CID  15638167
8. Пенев, Никола; Вакил, Рави (2015). «Кольцо Чжоу пространства модулей кривых шестого рода». Алгебраическая геометрия . 2 (1): 123–136. arXiv : 1307.6614 . doi :10.14231/ag-2015-006. ISSN  2214-2584. MR  3322200. S2CID  54876684.
9. Севери, Франческо, 1879–1961. (1915). Вот классификация алгебраических кривых и теория теории Римана . Типография делла Р. Академия деи Линчеи. ОСЛК  881814709.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
10. Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1987). «Кодаирская размерность пространства модулей кривых рода ?23». Математические изобретения . 90 (2): 359–387. Бибкод : 1987InMat..90..359E. дои : 10.1007/bf01388710. ISSN  0020-9910. S2CID  120642775.
11. Харрис, Джо ; Мамфорд, Дэвид (1982), «О размерности Кодаиры пространства модулей кривых» (PDF) , Избранные статьи , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 171–234, doi :10.1007/978-1-4757-4265-7_8, ISBN 978-1-4419-1936-6
12. Харрис, Джо; Мамфорд, Дэвид (1982), «О размерности Кодаиры пространства модулей кривых», Избранные статьи , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 171–234, doi :10.1007/978-1-4757-4265-7_8, ISBN 978-1-4419-1936-6
13. Фаркаш, Гаврил (2009). "Глобальная геометрия пространства модулей кривых". Алгебраическая геометрия . Труды симпозиумов по чистой математике. Т. 80. С. 125–147. doi :10.1090/pspum/080.1/2483934. ISBN 9780821847022. S2CID  8281102.
14. Арифметика и геометрия: статьи, посвященные И. Р. Шафаревичу по случаю его шестидесятилетия (PDF) . Шафаревич, Игорь Ростиславович, 1923-2017, Артин, Майкл, Тейт, Джон Торренс, 1925-2019. Бостон: Birkhäuser. 1983. ISBN 978-1-4757-9286-7. OCLC  681426064.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

Классические ссылки

• Гротендик, Александр (1960–1961). «Методы построения аналитической геометрии. I. Описание аксиоматического пространства Тейхмюллера и его вариантов» (PDF) . Семинар Анри Картана . 13 (1). Париж. Збл  0142.33503. Разоблачения №7 и 8.

• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис Клэр (1994). Геометрическая теория инвариантов (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-56963-4. MR  1304906. OCLC  29184987.
• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» (PDF) . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. CiteSeerX  10.1.1.589.288 . doi :10.1007/bf02684599. S2CID  16482150.

Книги по модулям кривых

• Харрис, Джо ; Моррисон, Ян (1998). Модули кривых . Springer Verlag . ISBN 978-0-387-98429-2.

• Кац, Николас М .; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08352-0.
• Арбарелло, Энрико; Корнальба, Маурицио; Гриффитс, Филипп А. (2011). Геометрия алгебраических кривых II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 268. дои : 10.1007/978-3-540-69392-5. ISBN 978-3-540-42688-2.

Когомологии и теория пересечений

• Звонкин, Димитрий (2012). «Введение в модульные пространства кривых и их теорию пересечений». В Пападопулос, Атанас (ред.). Справочник по теории Тейхмюллера, том III (PDF) . Лекции IRMA по математике и теоретической физике. Том 17. Цюрих, Швейцария: Издательство Европейского математического общества. стр. 667–716. doi :10.4171/103-1/12. ISBN 978-3-03719-103-3. МР  2952773.
• Faber, Carel; Pandharipande, Rahul (2013). "Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых" (PDF) . В Farkas, Gavril; Morrison, Ian (ред.). Handbook of Moduli, Vol. I . Advanced Lectures in Mathematics (ALM). Vol. 24. Somerville, MA: International Press. стр. 293–330. ISBN 9781571462572. МР  3184167.

Внешние ссылки

• «Топология и геометрия пространства модулей кривых». Американский институт математики .
• «Модули стабильных отображений, инварианты Громова-Виттена и квантовые когомологии»