Теория модульных представлений — это раздел математики , и часть теории представлений , которая изучает линейные представления конечных групп над полем K положительной характеристики p , обязательно простого числа . Помимо приложений к теории групп , модулярные представления естественным образом возникают в других разделах математики, таких как алгебраическая геометрия , теория кодирования [ требуется ссылка ] , комбинаторика и теория чисел .
В теории конечных групп результаты теории характеров , доказанные Ричардом Брауэром с использованием теории модульных представлений, сыграли важную роль в раннем прогрессе в направлении классификации конечных простых групп , особенно для простых групп , характеризация которых не поддавалась чисто групповым методам, поскольку их силовские 2-подгруппы были слишком малы в соответствующем смысле. Кроме того, общий результат о вложении элементов порядка 2 в конечные группы, называемый теоремой Z* , доказанный Джорджем Глауберманом с использованием теории, разработанной Брауэром, был особенно полезен в программе классификации.
Если характеристика p поля K не делит порядок | G |, то модулярные представления полностью приводимы, как и обычные (характеристика 0) представления, в силу теоремы Машке . В другом случае, когда | G | ≡ 0 mod p , процесс усреднения по группе, необходимый для доказательства теоремы Машке, нарушается, и представления не обязаны быть полностью приводимыми. Большая часть обсуждения ниже неявно предполагает, что поле K достаточно велико (например, K алгебраически замкнуто достаточно), в противном случае некоторые утверждения нуждаются в уточнении.
Самая ранняя работа по теории представлений над конечными полями принадлежит Диксону (1902), который показал, что когда p не делит порядок группы, теория представлений подобна теории в характеристике 0. Он также исследовал модулярные инварианты некоторых конечных групп. Систематическое изучение модулярных представлений, когда характеристика p делит порядок группы, было начато Брауэром (1935) и продолжалось им в течение следующих нескольких десятилетий.
Нахождение представления циклической группы из двух элементов над F 2 эквивалентно задаче нахождения матриц, квадрат которых является единичной матрицей . Над каждым полем характеристики, отличной от 2, всегда существует базис такой, что матрицу можно записать в виде диагональной матрицы, на диагонали которой встречаются только 1 или −1, например:
Над F 2 существует много других возможных матриц, таких как
Над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики теория представлений конечной циклической группы полностью объясняется теорией жордановой нормальной формы . Недиагональные жордановы формы возникают, когда характеристика делит порядок группы.
Если задано поле K и конечная группа G , то групповая алгебра K [ G ] (которая представляет собой K - векторное пространство с K -базисом, состоящим из элементов G , наделенное алгебраическим умножением посредством расширения умножения G по линейности) является артиновым кольцом .
Когда порядок G делится на характеристику K , групповая алгебра не является полупростой , следовательно, имеет ненулевой радикал Джекобсона . В этом случае существуют конечномерные модули для групповой алгебры, которые не являются проективными . Напротив, в случае характеристики 0 каждое неприводимое представление является прямым слагаемым регулярного представления , следовательно, является проективным.
Теория модульных представлений была разработана Ричардом Брауэром примерно с 1940 года для более глубокого изучения взаимосвязей между теорией характеристических p- представлений, обычной теорией характеров и структурой G , особенно в том, что касается вложения и взаимоотношений между ее p -подгруппами. Такие результаты могут быть применены в теории групп к проблемам, которые не сформулированы напрямую в терминах представлений.
Брауэр ввел понятие, теперь известное как характер Брауэра . Когда K алгебраически замкнуто положительной характеристики p , существует биекция между корнями из единицы в K и комплексными корнями из единицы порядка, взаимно простого с p . Как только выбор такой биекции зафиксирован, характер Брауэра представления присваивает каждому элементу группы порядка, взаимно простого с p, сумму комплексных корней из единицы, соответствующих собственным значениям (включая кратности) этого элемента в данном представлении.
Характер Брауэра представления определяет его композиционные факторы, но не, в общем случае, его тип эквивалентности. Неприводимые характеры Брауэра — это те, которые предоставляются простыми модулями. Это целые (хотя и не обязательно неотрицательные) комбинации ограничений на элементы порядка, взаимно простого с p обычных неприводимых характеров. Наоборот, ограничение на элементы порядка, взаимно простого с p каждого обычного неприводимого характера однозначно выражается как неотрицательная целочисленная комбинация неприводимых характеров Брауэра.
В теории, первоначально разработанной Брауэром, связь между обычной теорией представлений и модулярной теорией представлений лучше всего иллюстрируется рассмотрением групповой алгебры группы G над полным дискретным кольцом нормирования R с полем вычетов K положительной характеристики p и полем дробей F характеристики 0, таких как p -адические целые числа . Структура R [ G ] тесно связана как со структурой групповой алгебры K [ G ], так и со структурой полупростой групповой алгебры F [ G ], и между модульной теорией трех алгебр существует много взаимодействий.
Каждый R [ G ]-модуль естественным образом порождает F [ G ]-модуль и, посредством процесса, часто неформально известного как редукция (mod p ) , к K [ G ]-модулю. С другой стороны, поскольку R является областью главных идеалов , каждый конечномерный F [ G ]-модуль возникает путем расширения скаляров из R [ G ]-модуля. [ необходима цитата ] В общем случае, однако, не все K [ G ]-модули возникают как редукция (mod p ) R [ G ]-модулей. Те, которые это делают, являются поднимаемыми .
В обычной теории представлений число простых модулей k ( G ) равно числу классов сопряженности G . В модулярном случае число простых модулей l ( G ) равно числу классов сопряженности, элементы которых имеют порядок, взаимно простой с соответствующим простым числом p , так называемые p -регулярные классы.
В теории модульных представлений, хотя теорема Машке не выполняется, когда характеристика делит порядок группы, групповая алгебра может быть разложена как прямая сумма максимального набора двусторонних идеалов, известных как блоки . Когда поле F имеет характеристику 0 или характеристику, взаимно простую с порядком группы, все еще существует такое разложение групповой алгебры F [ G ] как сумма блоков (по одному для каждого типа изоморфизма простого модуля), но ситуация относительно прозрачна, когда F достаточно велико: каждый блок является полной матричной алгеброй над F , кольцом эндоморфизмов векторного пространства, лежащего в основе связанного простого модуля.
Для получения блоков единичный элемент группы G разлагается в сумму примитивных идемпотентов в Z ( R [G]), центре групповой алгебры над максимальным порядком R группы F . Блок, соответствующий примитивному идемпотенту e , является двусторонним идеалом e R [ G ]. Для каждого неразложимого R [ G ]-модуля существует только один такой примитивный идемпотент, который его не аннулирует, и говорят, что модуль принадлежит (или находится в) соответствующему блоку (в этом случае все его композиционные факторы также принадлежат этому блоку). В частности, каждый простой модуль принадлежит уникальному блоку. Каждый обычный неприводимый характер также может быть назначен уникальному блоку в соответствии с его разложением в сумму неприводимых характеров Брауэра. Блок, содержащий тривиальный модуль , называется главным блоком .
В обычной теории представлений каждый неразложимый модуль неприводим, и поэтому каждый модуль проективен. Однако простые модули с характеристикой, делящей порядок группы, редко бывают проективными. Действительно, если простой модуль проективен, то он является единственным простым модулем в своем блоке, который затем изоморфен алгебре эндоморфизмов базового векторного пространства, полной матричной алгебре. В этом случае говорят, что блок имеет «дефект 0». Как правило, структуру проективных модулей трудно определить.
Для групповой алгебры конечной группы (типы изоморфизма) проективных неразложимых модулей находятся во взаимно однозначном соответствии с (типами изоморфизма) простыми модулями: цоколь каждого проективного неразложимого модуля прост (и изоморфен вершине), и это дает биекцию, поскольку неизоморфные проективные неразложимые модули имеют неизоморфные цоколи. Кратность проективного неразложимого модуля как слагаемого групповой алгебры (рассматриваемой как регулярный модуль) является размерностью его цоколя (для достаточно больших полей нулевой характеристики это восстанавливает тот факт, что каждый простой модуль встречается с кратностью, равной его размерности, как прямое слагаемое регулярного модуля).
Каждый проективный неразложимый модуль (и, следовательно, каждый проективный модуль) в положительной характеристике p может быть поднят до модуля в характеристике 0. Используя кольцо R , как указано выше, с полем вычетов K , единичный элемент G может быть разложен в сумму взаимно ортогональных примитивных идемпотентов (не обязательно центральных) из K [ G ]. Каждый проективный неразложимый K [ G ]-модуль изоморфен e . K [ G ] для примитивного идемпотента e , который встречается в этом разложении. Идемпотент e поднимается до примитивного идемпотента, скажем E , из R [ G ], и левый модуль E . R [ G ] имеет редукцию (mod p ), изоморфную e . K [ G ].
Когда проективный модуль поднимается, ассоциированный характер исчезает на всех элементах порядка, делящегося на p , и (при последовательном выборе корней из единицы) согласуется с характером Брауэра исходного характеристического p- модуля на p -регулярных элементах. Таким образом, можно определить (обычное характерно-кольцевое) скалярное произведение характера Брауэра проективного неразложимого с любым другим характером Брауэра: оно равно 0, если второй характер Брауэра является характером цоколя неизоморфного проективного неразложимого, и 1, если второй характер Брауэра является характером своего собственного цоколя. Кратность обычного неприводимого характера в характере подъема проективного неразложимого равна числу вхождений характера Брауэра цоколя проективного неразложимого, когда ограничение обычного характера на p -регулярные элементы выражается как сумма неприводимых характеров Брауэра.
Факторы композиции проективных неразложимых модулей могут быть вычислены следующим образом: учитывая обычные неприводимые и неприводимые характеры Брауэра конкретной конечной группы, неприводимые обычные характеры могут быть разложены как неотрицательные целые комбинации неразложимых характеров Брауэра. Целые числа, участвующие в этом, могут быть помещены в матрицу, в которой обычным неприводимым характерам назначены строки, а неразложимым характерам Брауэра — столбцы. Это называется матрицей разложения и часто обозначается D. Обычно тривиальные обычные и Брауэровские характеры размещаются в первой строке и столбце соответственно. Произведение транспонирования D с самим D дает матрицу Картана , обычно обозначаемую C ; это симметричная матрица, элементы которой в ее j -й строке являются кратностями соответствующих простых модулей как факторами композиции j -го проективного неразложимого модуля. Матрица Картана невырожденна; на самом деле, ее определитель является степенью характеристики K.
Поскольку проективный неразложимый модуль в данном блоке имеет все свои композиционные факторы в этом же блоке, каждый блок имеет свою собственную матрицу Картана.
Каждому блоку B групповой алгебры K [ G ] Брауэр сопоставил некоторую p -подгруппу, известную как ее дефектная группа ( где p — характеристика K ) . Формально, это наибольшая p -подгруппа D из G , для которой существует корреспондент Брауэра B для подгруппы , где — централизатор D в G .
Группа дефекта блока единственна с точностью до сопряженности и оказывает сильное влияние на структуру блока. Например, если группа дефекта тривиальна, то блок содержит всего один простой модуль, всего один обычный характер, обычные и неприводимые по Брауэру характеры совпадают по элементам порядка, простого с соответствующей характеристикой p , и простой модуль проективен. В другом крайнем случае, когда K имеет характеристику p , силовская p -подгруппа конечной группы G является группой дефекта для главного блока K [ G ].
Порядок группы дефектов блока имеет много арифметических характеристик, связанных с теорией представлений. Это наибольший инвариантный множитель матрицы Картана блока, и он встречается с кратностью один. Кроме того, степень p, делящая индекс группы дефектов блока, является наибольшим общим делителем степеней p, делящих размеры простых модулей в этом блоке, и это совпадает с наибольшим общим делителем степеней p, делящих степени обычных неприводимых характеров в этом блоке.
Другие связи между дефектной группой блока и теорией характеров включают результат Брауэра о том, что если в дефектной группе данного блока нет сопряженного элемента p -части элемента группы g , то каждый неприводимый характер в этом блоке исчезает в g . Это одно из многих следствий второй основной теоремы Брауэра.
Группа дефектов блока также имеет несколько характеристик в более модульно-теоретическом подходе к теории блоков, основанном на работе JA Green , который связывает p -подгруппу, известную как вершина , с неразложимым модулем, определяемым в терминах относительной проективности модуля. Например, вершина каждого неразложимого модуля в блоке содержится (с точностью до сопряженности) в группе дефектов блока, и никакая собственная подгруппа группы дефектов не обладает этим свойством.
Первая основная теорема Брауэра утверждает, что число блоков конечной группы, имеющих заданную p -подгруппу в качестве дефектной группы, равно соответствующему числу для нормализатора в группе этой p -подгруппы.
Проще всего проанализировать блочную структуру с нетривиальной дефектной группой, когда последняя является циклической. Тогда в блоке имеется только конечное число типов изоморфизма неразложимых модулей, и структура блока к настоящему времени хорошо изучена благодаря работам Брауэра, EC Дейда, JA Грина и JG Томпсона и других. Во всех остальных случаях в блоке имеется бесконечное число типов изоморфизма неразложимых модулей.
Блоки, дефектные группы которых не являются циклическими, можно разделить на два типа: ручные и дикие. Ручные блоки (которые встречаются только для простого числа 2) имеют в качестве дефектной группы диэдральную группу , полудиэдральную группу или (обобщенную) группу кватернионов , и их структура была в общих чертах определена в серии статей Карин Эрдманн . Неразложимые модули в диких блоках крайне сложно классифицировать, даже в принципе.
