Список евклидовых равномерных мозаик

Пример однородной плитки в Археологическом музее Севильи , Севилья, Испания : ромбитригексагональная плитка.

Регулярные мозаики и их двойники, нарисованные Максом Брюкнером в Vielecke und Vielflache (1900).

В этой таблице показаны 11 выпуклых однородных мозаик (правильных и полуправильных) евклидовой плоскости , а также их двойственные мозаики.

На плоскости имеется три правильных и восемь полуправильных мозаик . Полуправильные мозаики образуют новые мозаики из своих двойников, каждая из которых состоит из одного типа неправильных граней.

Джон Конвей назвал эти однородные двойственные элементы каталонскими мозаиками , параллельно каталонским сплошным многогранникам.

Однородные мозаики перечислены по конфигурации их вершин — последовательности граней, существующих в каждой вершине. Например, 4.8.8 означает один квадрат и два восьмиугольника в вершине.

Эти 11 однородных плиток имеют 32 различных однородных цвета . Равномерная раскраска позволяет окрашивать односторонние многоугольники в вершинах по-разному, сохраняя при этом однородность вершин и трансформационное соответствие между вершинами. (Примечание. Некоторые изображения мозаики, показанные ниже, не имеют однородного цвета.)

В дополнение к 11 выпуклым однородным мозаикам, существует также 14 известных невыпуклых мозаик , использующих звездчатые многоугольники и конфигурации вершин с обратной ориентацией. Еще 28 однородных мозаик известны с использованием апейрогонов . Если допускаются и зигзаги, то известно еще 23 однородных замощения и еще 10 известных семейств в зависимости от параметра: в 8 случаях параметр непрерывен, а в остальных 2 - дискретен. Известно, что набор не полный.

Плитки Лавеса

В книге 1987 года «Плитки и шаблоны » Бранко Грюнбаум называет вершинно-однородные мозаики архимедовыми , параллельными архимедовым телам . Их двойственные мозаики названы мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса . ^{[1] [2]} Их также называют мозаиками Шубникова–Лавеса в честь Алексея Шубникова . ^[3] Джон Конвей назвал равномерные двойственные каталонские мозаики параллельно каталонским сплошным многогранникам.

Мозаики Лавеса имеют вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников, имеющих общее ребро. Плитки мозаики Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 обычных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток. ^[4] Каждая вершина имеет ребра, равномерно расположенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами .

Эти двойные мозаики перечислены по конфигурации граней — количеству граней в каждой вершине грани. Например, V4.8.8 означает плитку равнобедренного треугольника с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами, содержащими восемь треугольников. Ориентация планигонов вершин (до D 12 ) соответствует диаграммам вершин в разделах ниже.

Выпуклые однородные мозаики евклидовой плоскости

Все отражательные формы могут быть созданы с помощью конструкций Витгофа , представленных символами Витгофа , или диаграмм Кокстера-Динкина , каждая из которых оперирует одним из трех треугольников Шварца (4,4,2), (6,3,2) или (3,3). ,3), с симметрией, представленной группами Кокстера : [4,4], [6,3] или [3 ^[3] ]. Альтернативные формы, такие как курносый, также могут быть представлены специальными разметками внутри каждой системы. Только одна однородная мозаика не может быть построена с помощью процесса Витгофа, но может быть получена путем удлинения треугольной мозаики. Также существует конструкция ортогонального зеркала [∞,2,∞], рассматриваемая как два набора параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область. Если область квадратная, эту симметрию можно удвоить с помощью диагонального зеркала в семейство [4,4].

Семьи:

• (4,4,2), , [4,4] – Симметрия правильного квадратного замощения ${\displaystyle {\tilde {BC}}_{2}}$
  • ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}^{2}}$, [∞,2,∞]
• (6,3,2), , [6,3] – Симметрия правильной шестиугольной и треугольной мозаики . ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$
  • (3,3,3), , [3 ^[3] ] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$

Семейство групп [4,4]

Семейство групп [6,3]

Не-витоффова равномерная мозаика

Равномерные раскраски

Всего существует 32 однородных раскраски 11 однородных плиток:

1. Треугольная мозаика - 9 однородных раскрасок, 4 витоффовых, 5 невитоффовых.
   •          
2. Квадратная мозаика — 9 раскрасок: 7 витоффовых, 2 невитоффовых.
   •          
3. Шестиугольная мозаика – 3 раскраски, все витоффовы.
   •    
4. Трехгексагональная мозаика - 2 раскраски, обе витоффовы.
   •   
5. Курносая квадратная плитка - 2 раскраски, обе чередуются по Витоффиану.
   •   
6. Усеченная квадратная плитка - 2 раскраски, обе витоффовы.
   •   
7. Усеченная шестиугольная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
   •  
8. Ромбитригексагональная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
   •  
9. Усеченная тригексагональная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
   •  
10. Курносая шестиугольная плитка - 1 раскраска, чередующаяся витоффианом.
    •  
11. Вытянутая треугольная мозаика – 1 раскраска, нонвитоффова
    •  

Смотрите также

• Выпуклые однородные соты - 28 однородных трехмерных мозаик, параллельная конструкция выпуклых однородных евклидовых плоских мозаик.
• Евклидово разбиение выпуклыми правильными многоугольниками
• Список тесселяций
• Порог перколяции
• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости

Рекомендации

1. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Фриман и компания. стр. 59, 96. ISBN. 0-7167-1193-1.
2. Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 21, Названия архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, евклидовых плоских мозаик ». Симметрии вещей. АК Петерс / CRC Press . п. 288. ИСБН 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 года.
3. Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея, 1991
4. Иванов, AB (2001) [1994], «Планигон», Математическая энциклопедия , EMS Press

дальнейшее чтение

• Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 19, Архимедовы разбиения , таблица 19.1». Симметрии вещей. АК Петерс / CRC Press . ISBN 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 года.
• Коксетер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Фил. Пер. 246 А: 401–450.
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-Х.(Раздел 2–3. Упаковки кругов, плоские мозаики и сети , стр. 34–40).
• Асаро, Лаура; Хайд, Джон; Дженсен, Мелани; Манн, Кейси; Шредер, Тайлер. «Равномерные раскраски ребер архимедовых плиток» (PDF) . Университет Вашингтона .(Кейси Манн из Вашингтонского университета)
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) .
• Сеймур, Дейл; Бриттон, Джилл (1989). Введение в тесселяции. Публикации Дейла Сеймура. стр. 50–57, 71–74. ISBN 978-0866514613.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Равномерная мозаика». Математический мир .
• Равномерные мозаики на плоскости Евклида
• Мозаика плоскости
• Мир тесселяций Дэвида Бэйли
• k-однородные мозаики
• n-однородные мозаики