В геометрии пятиугольная мозаика — это мозаика плоскости , где каждая отдельная часть имеет форму пятиугольника .
Правильная пятиугольная мозаика на евклидовой плоскости невозможна, поскольку внутренний угол правильного пятиугольника , 108°, не является делителем 360°, меры угла целого поворота . Однако правильные пятиугольники могут замостить гиперболическую плоскость четырьмя пятиугольниками вокруг каждой вершины ( или более ), а сферу - тремя пятиугольниками ; последний создает мозаику, топологически эквивалентную додекаэдру . [1]
Известно пятнадцать типов выпуклых пятиугольников, которые закрывают плоскость моноэдрально (т. е. плиткой одного типа). [2] Самый последний из них был обнаружен в 2015 году. Рао (2017) показал, что этот список полон (результат подлежит экспертной оценке). Багина (2011) показала, что существует только восемь типов выпуклости от края до края , результат, полученный независимо Сугимото (2012).
Микаэль Рао из Высшей нормальной школы Лиона заявил в мае 2017 года, что нашел доказательство того, что на самом деле не существует выпуклых пятиугольников, которые бы располагались за пределами этих 15 типов. [3] По состоянию на 11 июля 2017 года первая половина доказательства Рао была независимо проверена (доступен компьютерный код [4] ) Томасом Хейлсом, профессором математики из Питтсбургского университета. [5] По состоянию на декабрь 2017 года доказательство еще не было полностью рецензировано.
Каждое перечислимое семейство мозаик содержит пятиугольники, не принадлежащие ни к какому другому типу; однако некоторые отдельные пятиугольники могут принадлежать к нескольким типам. Кроме того, некоторые пятиугольники в известных типах мозаики также допускают альтернативные образцы мозаики, выходящие за рамки стандартной мозаики, представленной всеми членами этого типа.
Стороны длиной a , b , c , d , e направлены по часовой стрелке от углов при вершинах A , B , C , D , E соответственно. (Таким образом, A , B , C , D , E противоположны d , e , a , b , c соответственно.)
Многие из этих типов моноэдральных плиток имеют степени свободы. Эти свободы включают в себя изменение внутренних углов и длин кромок. В пределе ребра могут иметь длину, приближающуюся к нулю, или углы, приближающиеся к 180°. Типы 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 допускают параметрические возможности с невыпуклыми прототипами.
Периодические мозаики характеризуются симметрией группы обоев , например, p2 (2222) определяется четырьмя точками двукратного вращения. Эта номенклатура используется на диаграммах ниже, где плитки также окрашены в соответствии с их k -изоэдрическими положениями в пределах симметрии.
Примитивная единица — это часть мозаики, которая генерирует всю мозаику, используя только переводы, и является минимально возможной.
Рейнхардт (1918) обнаружил первые пять типов пятиугольной плитки. Все пять могут создавать изоэдральные мозаики, а это означает, что симметрия мозаики может переводить любую плитку в любую другую плитку (более формально, группа автоморфизмов действует на плитках транзитивно ).
Б. Грюнбаум и Г. Шепард показали, что согласно их классификационной схеме существует ровно двадцать четыре различных «типа» изоэдральных разбиений плоскости пятиугольниками. [6] Все используют плитки Рейнхардта, обычно с дополнительными условиями, необходимыми для замощения. Есть две мозаики для всех плиток типа 2 и по одной для всех остальных четырех типов. Пятнадцать из остальных восемнадцати мозаик представляют собой особые случаи плиток типа 1. Девять из двадцати четырех плиток расположены от края до края. [7]
Существуют также 2-изоэдральные мозаики по особым случаям плиток типа 1, 2 и типа 4, а также 3-изоэдральные мозаики, все от края до края, по особым случаям плиток типа 1. Не существует верхней границы для k для k-изоэдральных мозаик из определенных плиток как типа 1, так и типа 2, а, следовательно, и для количества плиток в примитивной единице.
Симметрия группы обоев для каждой мозаики указана с обозначением орбифолда в скобках. Вторая нижняя группа симметрии задается, если существует хиральность плитки , при которой зеркальные изображения считаются отдельными. В таких случаях они отображаются в виде желтых и зеленых плиток.
Существует множество топологий мозаики, содержащих пятиугольники типа 1. Ниже приведены пять примеров топологий.
Эти примеры типа 2 являются изоэдрическими. Второй вариант — от края до края. Они оба имеют симметрию pgg (22×). Если плитки зеркального отображения (желтые и зеленые) считаются отдельными, симметрия равна p2 (2222).
Кершнер (1968) обнаружил еще три типа пятиугольной плитки, в результате чего их общее количество достигло восьми. Он ошибочно утверждал, что это полный список пятиугольников, которыми можно замостить плоскость.
Эти примеры являются 2-изоэдральными и от края до края. Типы 7 и 8 имеют хиральные пары плиток, которые окрашены в желто-зеленый цвет, а остальные - в два оттенка синего. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.
В 1975 году Ричард Э. Джеймс III обнаружил девятый тип, прочитав о результатах Кершнера в колонке Мартина Гарднера « Математические игры » в журнале Scientific American за июль 1975 года (перепечатано Гарднером (1988)). [8] Ему присвоен тип 10. Мозаика 3-изоэдральная и не от края до края.
Марджори Райс , математик-любитель, открыла четыре новых типа мозаичных пятиугольников в 1976 и 1977 годах. [7] [9]
Все четыре мозаики 2-изоэдральны. Хиральные пары плиток окрашены в желтый и зеленый цвета для одного изоэдрального набора и в два оттенка синего цвета для другого набора. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.
Замощение тайлами типа 9 является сквозным, а остальные нет.
Каждая примитивная единица содержит восемь плиток.
14-й тип выпуклого пятиугольника был обнаружен Рольфом Штайном в 1985 году. [10]
Замощение 3-изоэдральное и безреберное. Он имеет полностью определенные плитки без степеней свободы. Точные пропорции указаны как и тупой угол B с . Другие отношения легко вывести.
Примитивные единицы содержат шесть плиток соответственно. Он имеет симметрию p2 (2222).
Математики Ботелла из Вашингтонского университета Кейси Манн , Дженнифер Маклауд-Манн и Дэвид фон Дерау открыли 15-й моноэдральный замощенный выпуклый пятиугольник в 2015 году с помощью компьютерного алгоритма . [11] [12] Это 3-изоэдральный объект без границ, нарисованный 6 цветами, 2 оттенками 3 цветов, представляющий киральные пары трех изоэдральных положений. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными. Он имеет полностью определенные плитки без степеней свободы. Примитивные единицы содержат двенадцать плиток соответственно. Он имеет симметрию pgg (22×) и p2 (2222), если киральные пары считаются различными.
В июле 2017 года Микаэль Рао завершил компьютерное доказательство, показав, что не существует других типов выпуклых пятиугольников, которые могли бы замостить плоскость. Полный список выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость, включает указанные выше 15 пятиугольников, три типа шестиугольников, а также все четырехугольники и треугольники. [5] Следствием этого доказательства является то, что не существует выпуклого многоугольника, который замощал бы плоскость только апериодически, поскольку все вышеперечисленные типы допускают периодическое замощение.
Также можно построить непериодические моноэдральные пятиугольные мозаики, как в примере ниже с 6-кратной вращательной симметрией Майкла Хиршхорна. Углы A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°. [13] [14]
В 2016 году Бернхард Клаассен смог показать, что каждый дискретный тип вращательной симметрии может быть представлен моноэдральной пятиугольной мозаикой из одного и того же класса пятиугольников. [15] Ниже показаны примеры 5-кратной и 7-кратной симметрии. Такие мозаики возможны для любого типа n -кратной вращательной симметрии с n >2.
Есть три изоэдральных пятиугольных мозаики, двойственных однородным мозаикам с 5-валентными вершинами. Они представляют собой особые случаи более высокой симметрии 15 моноэдральных мозаик, представленных выше. Все однородные мозаики и их двойники являются сквозными. Эти двойственные мозаики также называются мозаиками Лавеса . Симметрия однородных двойственных мозаик такая же, как и у однородных мозаик. Поскольку однородные мозаики изогональны , двойственные мозаики изоэдральны .
K -однородные мозаики с вершинами с валентностью 5 также имеют пятиугольные двойственные мозаики, содержащие те же три пятиугольника, что и полуправильные двойственные мозаики , приведенные выше, но содержат смесь пятиугольных типов. k - однородная мозаика имеет k- изоэдральную двойную мозаику и представлена разными цветами и оттенками цветов ниже.
Например, все эти 2, 3, 4 и 5-однородные двойственные числа пятиугольны: [18] [19]
Пятиугольники имеют своеобразные отношения с шестиугольниками. Как показано на графике ниже, некоторые типы шестиугольников можно разделить на пятиугольники. Например, правильный шестиугольник делится пополам на два пятиугольника 1-го типа. Разделение выпуклых шестиугольников возможно также на три (тип 3), четыре (тип 4) и девять (тип 3) пятиугольников.
Расширяя это соотношение, плоскость может быть замощена одним пятиугольным прототипом таким образом, чтобы генерировать шестиугольные наложения. Например:
Для пятиугольников, которые не обязательно должны быть выпуклыми , возможны дополнительные типы мозаики. Примером может служить плитка сфинкса , апериодическая плитка, образованная пятиугольной рептилией . [20] Сфинкс также может периодически замостить плоскость, соединив две плитки сфинкса вместе, чтобы сформировать параллелограмм, а затем замостить плоскость трансляциями этого параллелограмма, [20] шаблон, который можно расширить до любого невыпуклого пятиугольника, имеющего два последовательных угла в сумме дают 2 π .
Можно разделить равносторонний треугольник на три конгруэнтных невыпуклых пятиугольника, встречающихся в центре треугольника, и замостить плоскость полученной трехпятиугольной единицей. [21] Подобный метод можно использовать для разделения квадратов на четыре конгруэнтных невыпуклых пятиугольника или правильных шестиугольников на шесть конгруэнтных невыпуклых пятиугольников, а затем замостить плоскость полученной единицей.
Додекаэдр можно рассматривать как правильную мозаику из 12 пятиугольников на поверхности сферы с символом Шлефли {5,3}, имеющим три пятиугольника вокруг каждой вершины.
В гиперболической плоскости существуют мозаики из правильных пятиугольников, например пятиугольная мозаика четвертого порядка , {5,4}, имеющая четыре пятиугольника вокруг каждой вершины. Регулярные мозаики высшего порядка {5,n} можно построить на гиперболической плоскости, оканчивающиеся на {5,∞}.
Существует бесконечное количество двойственных однородных мозаик в гиперболической плоскости с изогональными неправильными пятиугольными гранями. Они имеют конфигурации лиц как V3.3. п .3. q .
Версия бинарного мозаики , в которой плитки ограничены отрезками гиперболических прямых, а не дугами орициклов , образует пятиугольные мозаики, которые должны быть непериодическими в том смысле, что их группы симметрии могут быть одномерными, но не двумерными. [22]
