Наклонная плоскость

Наклонная плоская опорная поверхность

Пандус для инвалидных колясок , Hotel Montescot, Шартр, Франция

Демонстрационная наклонная плоскость, используемая в образовании, Музей Галилея , Флоренция.

Наклонная плоскость , также известная как пандус , представляет собой плоскую опорную поверхность, наклоненную под углом к ​​вертикальному направлению , с одним концом выше другого, используемую в качестве вспомогательного средства для подъема или опускания груза. ^{[1] [2] [3]} Наклонная плоскость является одним из шести классических простых механизмов, определенных учеными эпохи Возрождения. Наклонные плоскости используются для перемещения тяжелых грузов через вертикальные препятствия. Примеры варьируются от пандуса, используемого для загрузки товаров в грузовик, до человека, идущего по пешеходному пандусу, до автомобиля или железнодорожного поезда, поднимающегося на уклон. ^[3]

Перемещение объекта вверх по наклонной плоскости требует меньше силы , чем его подъем прямо вверх, за счет увеличения пройденного расстояния. ^[4] Механическое преимущество наклонной плоскости, фактор, на который уменьшается сила, равно отношению длины наклонной поверхности к высоте, которую она охватывает. Вследствие сохранения энергии , для подъема данного объекта на заданное вертикальное расстояние требуется то же количество механической энергии ( работы ) , не принимая во внимание потери от трения , но наклонная плоскость позволяет выполнить ту же работу с меньшей силой, приложенной на большем расстоянии. ^{[5] [6]}

Угол трения ^[7], также иногда называемый углом естественного откоса ^[8], — это максимальный угол, под которым груз может неподвижно лежать на наклонной плоскости из-за трения , не скользя вниз. Этот угол равен арктангенсу коэффициента статического трения μ _s между поверхностями ^{[8] .}

Два других простых механизма часто считаются производными от наклонной плоскости. ^[9] Клин можно рассматривать как движущуюся наклонную плоскость или две наклонные плоскости, соединенные в основании. ^[5] Винт состоит из узкой наклонной плоскости, обернутой вокруг цилиндра . ^[5]

Термин может также относиться к конкретной реализации; прямой пандус, вырезанный в крутом склоне холма для транспортировки грузов вверх и вниз по склону. Это может включать автомобили на рельсах или поднятые с помощью канатной системы; фуникулер или канатная дорога , например Johnstown Inclined Plane .

Использует

Наклонные плоскости широко используются в виде погрузочных рамп для загрузки и выгрузки товаров на грузовиках, кораблях и самолетах. ^[3] Пандусы для инвалидных колясок используются для того, чтобы люди в инвалидных колясках могли преодолевать вертикальные препятствия, не превышая своих сил. Эскалаторы и наклонные конвейерные ленты также являются формами наклонной плоскости. ^[6] В фуникулере или канатной дороге железнодорожный вагон поднимается по крутой наклонной плоскости с помощью тросов. Наклонные плоскости также позволяют безопасно опускать тяжелые хрупкие предметы, включая людей, вниз по вертикали, используя нормальную силу плоскости для уменьшения силы тяжести . Аварийные трапы для самолетов позволяют людям быстро и безопасно спускаться на землю с высоты пассажирского авиалайнера .

Другие наклонные плоскости встроены в постоянные конструкции. Дороги для транспортных средств и железные дороги имеют наклонные плоскости в виде постепенных уклонов, пандусов и насыпей, чтобы позволить транспортным средствам преодолевать вертикальные препятствия, такие как холмы, не теряя сцепления с поверхностью дороги. ^[3] Аналогично, пешеходные дорожки и тротуары имеют пологие пандусы, чтобы ограничить их уклон, чтобы гарантировать, что пешеходы могут сохранять сцепление. ^{[1] [4]} Наклонные плоскости также используются в качестве развлечения для людей, чтобы скатываться контролируемым образом, на игровых горках , водных горках , горнолыжных склонах и скейт-парках .

История

Наклонные плоскости использовались людьми с доисторических времен для перемещения тяжелых предметов. ^{[14] [15]} Наклонные дороги и дамбы, построенные древними цивилизациями, такими как римляне, являются примерами ранних наклонных плоскостей, которые сохранились, и показывают, что они понимали ценность этого устройства для перемещения вещей в гору. Тяжелые камни, используемые в древних каменных сооружениях, таких как Стоунхендж ^[16] , как полагают, были перемещены и установлены на место с помощью наклонных плоскостей, сделанных из земли, ^[17] хотя трудно найти доказательства таких временных строительных пандусов. Египетские пирамиды были построены с использованием наклонных плоскостей, ^{[18] [19] [20]} Осадные пандусы позволяли древним армиям преодолевать крепостные стены. Древние греки построили мощеную рампу длиной 6 км (3,7 мили), Диолкос , чтобы перетаскивать корабли по суше через Коринфский перешеек . ^[4]

Однако наклонная плоскость была последней из шести классических простых машин , признанной машиной. Вероятно, это потому, что это пассивное и неподвижное устройство (груз — движущаяся часть), ^[21] а также потому, что она встречается в природе в виде склонов и холмов. Хотя они понимали ее использование для подъема тяжелых предметов, древнегреческие философы, которые определили другие пять простых машин, не включали наклонную плоскость в качестве машины. ^[22] Эта точка зрения сохранялась среди нескольких более поздних ученых; еще в 1826 году Карл фон Лангсдорф писал, что наклонная плоскость « ...не более машина, чем склон горы ». ^[21] Задача расчета силы, необходимой для подъема груза по наклонной плоскости (ее механическое преимущество), была предпринята греческими философами Героном Александрийским (ок. 10 - 60 гг. н. э.) и Паппом Александрийским (ок. 290 - 350 гг. н. э.), но их решения были неверными. ^{[23] [24] [25]}

Только в эпоху Возрождения наклонная плоскость была решена математически и классифицирована вместе с другими простыми машинами. Первый правильный анализ наклонной плоскости появился в работе автора 13-го века Иордана де Немора , ^{[26] [27]} однако его решение, по-видимому, не было сообщено другим философам того времени. ^[24] Джироламо Кардано (1570) предложил неверное решение, согласно которому входная сила пропорциональна углу плоскости. ^[10] Затем, в конце 16-го века, в течение десяти лет были опубликованы три правильных решения: Михаэлем Варро (1584), Симоном Стевином (1586) и Галилео Галилеем (1592). ^[24] Хотя это и не было первым, вывод фламандского инженера Симона Стевина ^[25] является наиболее известным из-за его оригинальности и использования нити бус (см. вставку). ^{[12] [26]} В 1600 году итальянский ученый Галилео Галилей включил наклонную плоскость в свой анализ простых машин в Le Meccaniche («О механике»), показав ее основное сходство с другими машинами как усилителя силы. ^[28]

Первые элементарные правила трения скольжения на наклонной плоскости были открыты Леонардо да Винчи (1452-1519), но остались неопубликованными в его записных книжках. ^[29] Они были заново открыты Гийомом Амонтонсом (1699) и получили дальнейшее развитие у Шарля-Огюстена де Кулона (1785). ^[29] Леонард Эйлер (1750) показал, что тангенс угла естественного откоса на наклонной плоскости равен коэффициенту трения . ^[30]

Терминология

Склон

Механическое преимущество наклонной плоскости зависит от ее наклона , то есть градиента или крутизны. Чем меньше наклон, тем больше механическое преимущество и тем меньше сила, необходимая для подъема заданного веса. Наклон плоскости s равен разнице высот между ее двумя концами, или « подъему », деленной на ее горизонтальную длину, или « пробег ». ^[31] Его также можно выразить углом, который плоскость образует с горизонталью, . ${\displaystyle \theta }$

Геометрия наклонной плоскости основана на прямоугольном треугольнике . ^[31] Горизонтальную длину иногда называют Пробегом , вертикальное изменение высоты — Подъемом .

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\bigg (}{\frac {\text{Rise}}{\text{Run}}}{\bigg )}\,}$

Механическое преимущество

Механическое преимущество простой машины, определяемое как отношение выходной силы, приложенной к нагрузке, к приложенной входной силе. Наклонная плоскость выходная сила нагрузки — это просто сила тяжести груза на плоскости, его вес . Входная сила — это сила , приложенная к объекту параллельно плоскости, чтобы переместить его вверх по плоскости. Механическое преимущество ${\displaystyle \mathrm {MA} }$ ${\displaystyle F_{\text{w}}}$ ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{\text{w}}}{F_{\text{i}}}}\,}$

Идеальной наклонной плоскости без трения иногда называют идеальным механическим преимуществом , тогда как МА с учетом трения называют фактическим механическим преимуществом . ^[32] ${\displaystyle \mathrm {MA} }$ ${\displaystyle \mathrm {IMA} }$ ${\displaystyle \mathrm {AMA} }$

Наклонная плоскость без трения

Инструментальная наклонная плоскость, используемая для обучения физике, около 1900 г. Левый груз обеспечивает силу нагрузки . Правый груз обеспечивает входную силу, тянущую ролик вверх по плоскости. ${\displaystyle F_{\text{w}}}$ ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

Если между перемещаемым объектом и плоскостью нет трения , устройство называется идеальной наклонной плоскостью . Это условие может быть приближено, если объект катится как бочка или поддерживается колесами или роликами . Из-за сохранения энергии , для наклонной плоскости без трения работа, совершаемая над грузом, поднимающим ее, равна работе, совершаемой входной силой, ^{[33] [34] [35]} ${\displaystyle W_{\text{out}}}$ ${\displaystyle W_{\text{in}}}$

${\displaystyle W_{\rm {out}}=W_{\rm {in}}\,}$

Работа определяется как сила, умноженная на перемещение объекта. Работа, произведенная над грузом, равна его весу, умноженному на вертикальное перемещение, которое он поднимает, что является «подъемом» наклонной плоскости.

${\displaystyle W_{\rm {out}}=F_{\rm {w}}\cdot {\text{Rise}}\,}$

Входная работа равна силе, действующей на объект, умноженной на длину диагонали наклонной плоскости. ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

${\displaystyle W_{\rm {in}}=F_{\rm {i}}\cdot {\text{Length}}\,}$

Подставим эти значения в уравнение сохранения энергии выше и переставим

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {\text{Length}}{\text{Rise}}}\,}$

Чтобы выразить механическое преимущество углом наклона плоскости, ^{[34] из диаграммы} (выше) видно, что ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{Rise}}{\text{Length}}}\,}$

Так

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {1}{\sin \theta }}\,}$

Итак, механическое преимущество наклонной плоскости без трения равно обратной величине синуса угла наклона. Входная сила из этого уравнения — это сила, необходимая для удержания груза неподвижным на наклонной плоскости или для его подталкивания с постоянной скоростью. Если входная сила больше этой, груз будет ускоряться вверх по плоскости. Если сила меньше, он будет ускоряться вниз по плоскости. ${\displaystyle F_{\rm {i}}}$

Наклонная плоскость с трением

Когда между плоскостью и грузом есть трение , например, когда тяжелый ящик скользит вверх по пандусу, часть работы, приложенной входной силой, рассеивается в виде тепла за счет трения, поэтому на грузе выполняется меньше работы. Из-за сохранения энергии сумма выходной работы и потерь энергии на трение равна входной работе ${\displaystyle W_{\text{fric}}}$

${\displaystyle W_{\text{in}}=W_{\text{fric}}+W_{\text{out}}\,}$

Поэтому требуется большее входное усилие, а механическое преимущество меньше, чем если бы трение отсутствовало. При трении груз будет двигаться только в том случае, если чистая сила, параллельная поверхности, больше силы трения, противодействующей ей. ^{[8] [36] [37]} Максимальная сила трения определяется как ${\displaystyle F_{\text{f}}}$

${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$

где - нормальная сила между грузом и плоскостью, направленная по нормали к поверхности, а - коэффициент трения покоя между двумя поверхностями, который меняется в зависимости от материала. При отсутствии входной силы, если угол наклона плоскости меньше некоторого максимального значения, составляющая силы тяжести, параллельная плоскости, будет слишком мала, чтобы преодолеть трение, и груз останется неподвижным. Этот угол называется углом естественного откоса и зависит от состава поверхностей, но не зависит от веса груза. Ниже показано, что тангенс угла естественного откоса равен ${\displaystyle F_{\text{n}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

При трении всегда существует некоторый диапазон входной силы, при котором нагрузка неподвижна, не скользя ни вверх, ни вниз по плоскости, тогда как при отсутствии трения наклонной плоскости существует только одно конкретное значение входной силы, при котором нагрузка неподвижна. ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

Анализ

Обозначения: F _n = N = Нормальная сила , перпендикулярная плоскости, F _i = f = входная сила, F _w = mg = вес груза, где m = масса , g = сила тяжести.

Груз, покоящийся на наклонной плоскости, рассматриваемый как свободное тело, имеет три силы, действующие на него: ^{[8] [36] [37]}

• Сила, приложенная к грузу для его перемещения, которая действует параллельно наклонной плоскости. ${\displaystyle F_{\text{i}}}$
• Вес груза, , действующий вертикально вниз ${\displaystyle F_{\text{w}}}$
• Сила самолета, действующая на груз. Ее можно разложить на две составляющие:
  • Нормальная сила наклонной плоскости, действующая на груз, поддерживающая его. Она направлена ​​перпендикулярно ( нормально ) к поверхности. ${\displaystyle F_{\text{n}}}$
  • Сила трения плоскости о груз действует параллельно поверхности и всегда направлена ​​противоположно движению объекта. Она равна нормальной силе, умноженной на коэффициент трения покоя μ между двумя поверхностями. ${\displaystyle F_{\text{f}}}$

Используя второй закон движения Ньютона, груз будет неподвижен или находиться в устойчивом движении, если сумма сил на нем равна нулю. Поскольку направление силы трения противоположно для случая движения вверх и вниз, эти два случая следует рассматривать отдельно:

• Движение вверх: общая сила, действующая на груз, направлена ​​в сторону подъема, поэтому сила трения направлена ​​вниз по плоскости, противодействуя входной силе.

Механическое преимущество

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta +\phi )}}\,}$

где . Это условие предстоящего движения вверх по наклонной плоскости. Если приложенная сила F _i больше, чем задано этим уравнением, груз будет двигаться вверх по плоскости. ${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

• Движение вниз по склону: общая сила, действующая на груз, направлена ​​вниз по склону, поэтому сила трения направлена ​​вверх по плоскости.

Механическое преимущество

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta -\phi )}}\,}$

Это условие надвигающегося движения вниз по плоскости; если приложенная сила F _i меньше, чем указано в этом уравнении, груз будет скользить вниз по плоскости. Возможны три случая:

1. ${\displaystyle \theta <\phi \,}$: Механическое преимущество отрицательное. При отсутствии приложенной силы груз останется неподвижным и потребует некоторой отрицательной (направленной вниз) приложенной силы, чтобы соскользнуть вниз.
2. ${\displaystyle \theta =\phi \,}$: « Угол естественного откоса ». Механическое преимущество бесконечно. При отсутствии приложенной силы груз не будет скользить, но малейшая отрицательная (направленная вниз) сила заставит его скользить.
3. ${\displaystyle \theta >\phi \,}$: Механическое преимущество положительно. При отсутствии приложенной силы груз будет скользить вниз по плоскости, и требуется некоторая положительная (подъемная) сила, чтобы удерживать его неподвижным

Механическое преимущество с использованием мощности

Обозначения: N = нормальная сила , перпендикулярная плоскости, W = mg, где m = масса , g = сила тяжести , а θ ( тета ) = угол наклона плоскости.

Механическое преимущество наклонной плоскости — это отношение веса груза на пандусе к силе, необходимой для его подъема по пандусу. Если энергия не рассеивается и не сохраняется при движении груза, то это механическое преимущество можно вычислить из размеров пандуса.

Чтобы показать это, пусть положение r железнодорожного вагона на пандусе с углом θ над горизонталью определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {r} =R(\cos \theta ,\sin \theta ),}$

где R — расстояние вдоль пандуса. Скорость автомобиля на пандусе теперь равна

${\displaystyle \mathbf {v} =V(\cos \theta ,\sin \theta ).}$

Поскольку потерь нет, мощность, используемая силой F для перемещения груза вверх по пандусу, равна выходной мощности, которая представляет собой вертикальный подъем веса W груза.

Входная мощность, тянущая автомобиль вверх по пандусу, определяется по формуле

${\displaystyle P_{\mathrm {in} }=FV,\!}$

и выход мощности

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=\mathbf {W} \cdot \mathbf {v} =(0,W)\cdot V(\cos \theta ,\sin \theta )=WV\sin \theta .}$

Приравняйте входную мощность к выходной мощности, чтобы получить механическое преимущество:

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

Механическое преимущество наклонной плоскости также можно рассчитать из отношения длины пандуса L к его высоте H, поскольку синус угла пандуса определяется по формуле

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {H}{L}},}$

поэтому,

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {L}{H}}.}$

Компоновка системы канатного привода для наклонной плоскости Ливерпуль-Минард.

Пример: если высота пандуса H = 1 метр, а его длина L = 5 метров, то механическое преимущество равно

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=5,}$

это означает, что сила в 20 фунтов поднимет груз в 100 фунтов.

Наклонная плоскость Ливерпуль-Минард имеет размеры 1804 метра на 37,50 метра, что обеспечивает механическое преимущество

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=1804/37.50=48.1,}$

поэтому сила натяжения троса в 100 фунтов поднимет груз в 4810 фунтов. Уклон этого уклона составляет 2%, что означает, что угол θ достаточно мал, чтобы sin θ≈tan θ.

Смотрите также

• Наклонная плоскость канала
• Уклон (наклон)
• Наклонная плоская железная дорога
• Функция рампы
• Шифе Эбене
• Лестница

Ссылки

1. Коул, Мэтью (2005). Исследуйте науку, 2-е изд. Pearson Education. стр. 178. ISBN 978-981-06-2002-8.
2. Словарь Merriam-Webster's Collegiate, 11-е изд . Merriam-Webster. 2003. С. 629. ISBN 978-0-87779-809-5. словарь определений термина «наклонная плоскость».
3. "Наклонная плоскость". Центр математической и естественнонаучной деятельности . Edinformatics. 1999. Получено 11 марта 2012 г.
4. Silverman, Buffy (2009). Простые машины: силы в действии, 4-е изд. США: Heinemann-Raintree Classroom. стр. 7. ISBN 978-1-4329-2317-4.
5. Ortleb, Edward P.; Richard Cadice (1993). Машины и работа. Lorenz Educational Press. стр. iv. ISBN 978-1-55863-060-4.
6. Reilly, Travis (24 ноября 2011 г.). "Урок 04: Скольжение вправо с помощью наклонной плоскости". Преподавать инженерное дело . Инженерный колледж, Университет Колорадо в Боулдере. Архивировано из оригинала 8 мая 2012 г. Получено 8 сентября 2012 г.
7. Скотт, Джон С. (1993). Словарь гражданского строительства. Chapman & Hill. стр. 14. ISBN 978-0-412-98421-1. угол трения [мех.] при изучении тел, скользящих по плоским поверхностям, угол между перпендикуляром к поверхности и результирующей силой (между телом и поверхностью), когда тело начинает скользить. угол естественного откоса [см] для любого заданного сыпучего материала наибольший угол к горизонтали, под которым будет стоять нагроможденная поверхность в заданных условиях.
8. Амбекар, АГ (2007). Теория механизмов и машин. PHI Learning. стр. 446. ISBN 978-81-203-3134-1. Угол естественного откоса — предельный угол наклона плоскости, при котором тело, помещенное на наклонную плоскость, только начинает скользить по ней.
9. Розен, Джо; Лиза Куинн Готхард (2009). Энциклопедия физической науки, том 1. Infobase Publishing. стр. 375. ISBN 978-0-8160-7011-4.
10. Koetsier, Teun (2010). «Саймон Стевин и рост архимедовой механики в эпоху Возрождения». Гений Архимеда – 23 века влияния на математику, науку и технику: Труды международной конференции, состоявшейся в Сиракузах, Италия, 8–10 июня 2010 г. Springer. стр. 94–99. ISBN 978-90-481-9090-4.
11. Девриз, Йозеф Т.; Гвидо Ванден Берге (2008). «Магия — это не магия»: удивительный мир Саймона Стевина. WIT Press. С. 136–139. ISBN 978-1-84564-391-1.
12. Фейнман, Ричард П.; Роберт Б. Лейтон; Мэтью Сэндс (1963). Лекции Фейнмана по физике, т. I. США: Калифорнийский технологический институт. стр. 4.4–4.5. ISBN 978-0-465-02493-3.
13. EJDijksterhuis: Саймон Стевин, 1943 г.
14. Therese McGuire, Light on Sacred Stones , в Conn, Marie A.; Therese Benedict McGuire (2007). Не запечатленные в камне: эссе о ритуальной памяти, душе и обществе. University Press of America. стр. 23. ISBN 978-0-7618-3702-2.
15. Датч, Стивен (1999). «Догреческие достижения». Наследие Древнего мира . Страница профессора Стива Датча, Университет Висконсина в Грин-Бей. Архивировано из оригинала 21 августа 2016 года . Получено 13 марта 2012 года .
16. Моффетт, Мэриан; Майкл В. Фацио; Лоуренс Вудхауз (2003). Всемирная история архитектуры. Издательство Laurence King. стр. 9. ISBN 978-1-85669-371-4.
17. Пит, Т. Эрик (2006). Грубые каменные памятники и их строители. Библиотека Echo. С. 11–12. ISBN 978-1-4068-2203-8.
18. Томас, Берк (2005). «Транспорт и наклонная плоскость». Строительство пирамид Гизы . world-mysteries.com. Архивировано из оригинала 13 марта 2012 г. Получено 10 марта 2012 г.
19. Isler, Martin (2001). Палки, камни и тени: строительство египетских пирамид . США: University of Oklahoma Press. С. 211–216. ISBN 978-0-8061-3342-3.
20. Спраг де Камп, Л. (1990). Древние инженеры. США: Barnes & Noble. стр. 43. ISBN 978-0-88029-456-0.
21. Karl von Langsdorf (1826) Machinenkunde , цитируется в Reuleaux, Franz (1876). Кинематика машин: Очерки теории машин. MacMillan. стр. 604.
22. например, списки простых машин, оставленные римским архитектором Витрувием (ок. 80 – 15 гг. до н. э.) и греческим философом Героном Александрийским (ок. 10 – 70 гг. н. э.), состоят из пяти классических простых машин, за исключением наклонной плоскости. – Смит, Уильям (1848). Словарь греческих и римских древностей. Лондон: Уолтон и Маберли; Джон Мюррей. стр. 722., Ашер, Эбботт Пейсон (1988). История механических изобретений. США: Courier Dover Publications. стр. 98, 120. ISBN 978-0-486-25593-4.
23. Хит, Томас Литтл (1921). История греческой математики, т. 2. Великобритания: The Clarendon Press. стр. 349, 433–434.
24. Эджидио Феста и Софи Ру , Загадка наклонной плоскости в Laird, Уолтер Рой; Софи Ру (2008). Механика и натурфилософия до научной революции. США: Springer. С. 195–221. ISBN 978-1-4020-5966-7.
25. Meli, Domenico Bertoloni (2006). Thinking With Objects: The Transformation of Mechanics in the XVII Century. JHU Press. С. 35–39. ISBN 978-0-8018-8426-9.
26. Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (2010). История математики, 3-е изд. John Wiley and Sons. ISBN 978-0-470-63056-3.
27. Ашер, Эбботт Пейсон (1988). История механических изобретений. Courier Dover Publications. стр. 106. ISBN 978-0-486-25593-4.
28. Machamer, Peter K. (1998). The Cambridge Companion to Galileo. Лондон: Cambridge University Press. С. 47–48. ISBN 978-0-521-58841-6.
29. Armstrong-Hélouvry, Brian (1991). Управление машинами с трением. США: Springer. стр. 10. ISBN 978-0-7923-9133-3.
30. Мейер, Эрнст (2002). Нанонаука: трение и реология в нанометровом масштабе. World Scientific. стр. 7. ISBN 978-981-238-062-3.
31. Handley, Brett; David M. Marshall; Craig Coon (2011). Принципы инженерии. Cengage Learning. стр. 71–73. ISBN 978-1-4354-2836-2.
32. Деннис, Джонни Т. (2003). Полный идиотский путеводитель по физике. Penguin. С. 116–117. ISBN 978-1-59257-081-2.
33. Nave, Carl R. (2010). "The Incline". Гиперфизика . Кафедра физики и астрономии, Georgia State Univ . Получено 8 сентября 2012 г.
34. Martin, Lori (2010). "Lab Mech14:The Inclined Plane - A Simple Machine" (PDF) . Science in Motion . Westminster College . Получено 8 сентября 2012 г. .
35. Pearson (2009). Физика класс 10 - IIT Foundation Series. Нью-Дели: Pearson Education India. стр. 69. ISBN 978-81-317-2843-7.
36. Bansal, RK (2005). Инженерная механика и прочность материалов. Laxmi Publications. С. 165–167. ISBN 978-81-7008-094-7.
37. Это выводит немного более общие уравнения, которые охватывают силу, приложенную под любым углом: Gujral, IS (2008). Engineering Mechanics. Firewall Media. стр. 275–277. ISBN 978-81-318-0295-3.

Внешние ссылки

• Интерактивное моделирование физики наклонной плоскости