Наклонная плоскость

Наклонная плоская опорная поверхность

Пандус для инвалидных колясок , отель Montescot, Шартр, Франция

Демонстрационный наклонный самолет, используемый в образовании, Музей Галилея , Флоренция.

Наклонная плоскость , также известная как рампа , представляет собой плоскую опорную поверхность, наклоненную под углом к ​​вертикальному направлению , причем один конец выше другого, используемую в качестве вспомогательного средства для подъема или опускания груза. ^{[1] [2] [3]} Наклонная плоскость — одна из шести классических простых машин , определенных учеными эпохи Возрождения. Наклонные плоскости используются для перемещения тяжелых грузов через вертикальные препятствия. Примеры варьируются от пандуса, используемого для погрузки товаров в грузовик, до человека, поднимающегося по пешеходному пандусу, до автомобиля или железнодорожного поезда, поднимающегося на уклон. ^[3]

Перемещение объекта вверх по наклонной плоскости требует меньше усилий , чем подъем его прямо вверх, но за счет увеличения пройденного расстояния. ^[4] Механическое преимущество наклонной плоскости, коэффициент уменьшения силы, равно отношению длины наклонной поверхности к высоте, которую она охватывает. Благодаря сохранению энергии для подъема данного предмета на данное вертикальное расстояние требуется одно и то же количество механической энергии ( работы ) , не считая потерь от трения , но наклонная плоскость позволяет совершить ту же работу с меньшей силой, приложенной над поверхностью. большее расстояние. ^{[5] [6]}

Угол трения , ^[7] также иногда называют углом естественного откоса , ^[8] — это максимальный угол, при котором груз может неподвижно лежать на наклонной плоскости из-за трения , не соскальзывая вниз. _Этот угол равен арктангенсу коэффициента статического трения µs между поверхностями. ^[8]

Две другие простые машины часто считаются производными от наклонной плоскости. ^[9] Клин можно рассматривать как движущуюся наклонную плоскость или две наклонные плоскости , соединенные в основании. ^[5] Винт представляет собой узкую наклонную плоскость, обернутую вокруг цилиндра . ^[5]

Этот термин может также относиться к конкретной реализации; прямой пандус, врезанный в крутой склон холма, для перевозки грузов вверх и вниз по холму. Сюда могут относиться автомобили, идущие по рельсам или подтянутые канатной системой; фуникулер или канатная дорога , например Джонстаунская наклонная плоскость .

Использование

Наклонные плоскости широко используются в виде погрузочных рамп для погрузки и разгрузки грузов на грузовые автомобили, корабли и самолеты. ^[3] Пандусы для инвалидных колясок используются для того, чтобы люди в инвалидных колясках могли преодолевать вертикальные препятствия, не превышая при этом своих сил. Эскалаторы и наклонные конвейерные ленты также представляют собой формы наклонной плоскости. ^[6] На фуникулере или канатной дороге вагон поднимают по крутой наклонной плоскости с помощью тросов. Наклонные самолеты также позволяют безопасно опускать тяжелые хрупкие объекты, включая людей, на вертикальное расстояние, используя нормальную силу самолета для уменьшения силы гравитации . Эвакуационные трапы для самолетов позволяют людям быстро и безопасно спуститься на землю с высоты пассажирского авиалайнера .

Другие наклонные плоскости встроены в постоянные конструкции. Дороги для транспортных средств и железные дороги имеют наклонные плоскости в виде пологих уклонов, пандусов и дамб, что позволяет транспортным средствам преодолевать вертикальные препятствия, такие как холмы, без потери сцепления с поверхностью дороги. ^[3] Аналогичным образом, пешеходные дорожки и тротуары имеют пологие пандусы, ограничивающие уклон и обеспечивающие пешеходам возможность сохранять сцепление с дорогой. ^{[1] [4]} Наклонные плоскости также используются в качестве развлечения, позволяющего людям контролируемо скатиться вниз, на игровых площадках , водных горках , лыжных склонах и в скейт-парках .

История

Наклонные плоскости использовались людьми с доисторических времен для перемещения тяжелых предметов. ^{[14] [15]} Наклонные дороги и дамбы , построенные древними цивилизациями, такими как римляне, являются примерами сохранившихся ранних наклонных плоскостей и показывают, что они понимали ценность этого устройства для перемещения предметов в гору. Считается , что тяжелые камни, используемые в древних каменных сооружениях, таких как Стоунхендж ^[16], были перемещены и установлены на месте с помощью наклонных плоскостей, сделанных из земли, ^[17] хотя трудно найти свидетельства существования таких временных пандусов. Египетские пирамиды были построены с использованием наклонных плоскостей, ^{[18] [19] [20]} Осадные рампы позволяли древним армиям преодолевать крепостные стены. Древние греки построили мощеную рампу Диолкос длиной 6 км (3,7 мили) , чтобы перетаскивать корабли по суше через Коринфский перешеек . ^[4]

Однако наклонная плоскость была последней из шести классических простых машин , признанных машиной. Вероятно, это связано с тем, что это пассивное и неподвижное устройство (грузом является движущаяся часть), ^[21] , а также с тем, что оно встречается в природе в виде склонов и холмов. Хотя они понимали его использование для подъема тяжелых предметов, древнегреческие философы , определившие остальные пять простых машин, не включали наклонную плоскость в число машин. ^[22] Эта точка зрения сохранялась среди нескольких более поздних ученых; еще в 1826 году Карл фон Лангсдорф писал, что наклонная плоскость « …не более машина, чем склон горы ». ^[21] Задача расчета силы, необходимой для поднятия груза по наклонной плоскости (его механическое преимущество), была предпринята греческими философами Героном Александрийским (ок. 10–60 н. э.) и Паппом Александрийским (ок. 290–350 н. э.). ), но их решения были неверными. ^{[23] [24] [25]}

Лишь в эпоху Возрождения наклонная плоскость была решена математически и отнесена к другим простым машинам. Первый правильный анализ наклонной плоскости появился в работе автора 13-го века Иордана де Немора ^{[26] [27]} , однако его решение, по-видимому, не было сообщено другим философам того времени. ^[24] Джироламо Кардано (1570) предложил неправильное решение, заключающееся в том, что входная сила пропорциональна углу плоскости. ^[10] Затем, в конце 16-го века, в течение десяти лет были опубликованы три правильных решения: Майкл Варро (1584 г.), Симон Стевин (1586 г.) и Галилео Галилей (1592 г.). ^[24] Хотя это и не первое изобретение, изобретение фламандского инженера Саймона Стевина ^[25] является наиболее известным из-за его оригинальности и использования нитки бус (см. рамку). ^{[12] [26]} В 1600 году итальянский ученый Галилео Галилей включил наклонную плоскость в свой анализ простых машин в книге «Механика » («О механике»), показав ее основное сходство с другими машинами в качестве усилителя силы. ^[28]

Первые элементарные правила трения скольжения по наклонной плоскости были открыты Леонардо да Винчи (1452-1519), но остались неопубликованными в его записных книжках. ^[29] Они были заново открыты Гийомом Амонтоном (1699 г.) и получили дальнейшее развитие Шарля-Огюстена де Кулона (1785 г.). ^[29] Леонард Эйлер (1750) показал, что тангенс угла естественного откоса на наклонной плоскости равен коэффициенту трения . ^[30]

Терминология

Склон

Механическое преимущество наклонной плоскости зависит от ее наклона , то есть уклона или крутизны. Чем меньше уклон, тем больше механическое преимущество и тем меньше сила, необходимая для поднятия заданного веса. Наклон плоскости s равен разнице высот между двумя ее концами, или « подъемом », деленной на ее горизонтальную длину, или « пробег ». ^[31] Его также можно выразить через угол, образуемый плоскостью с горизонтом, θ .

Геометрия наклонной плоскости основана на прямоугольном треугольнике . ^[31] Горизонтальную длину иногда называют Run , вертикальное изменение высоты Rise .

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\bigg (}{\frac {\text{Rise}}{\text{Run}}}{\bigg )}\,}$

Механическое преимущество

Механическое преимущество MA простой машины определяется как отношение выходной силы, действующей на нагрузку, к приложенной входной силе. Для наклонной плоскости выходная сила нагрузки представляет собой просто силу гравитации объекта нагрузки на плоскости, его вес F _w . Входная сила — это сила F _i , приложенная к объекту параллельно плоскости, чтобы переместить его вверх по плоскости. Механическое преимущество заключается в

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}\,}$

MA идеальной наклонной плоскости без трения иногда называют идеальным механическим преимуществом (IMA), тогда как MA с учетом трения называют фактическим механическим преимуществом (AMA). ^[32]

Наклонная плоскость без трения

Наклонная плоскость с инструментами, используемая для обучения физике, около 1900 года. Левая гиря обеспечивает силу нагрузки F _w . Правый груз обеспечивает входную силу F _i , поднимающую ролик вверх по плоскости.

Если между перемещаемым предметом и плоскостью нет трения , то устройство называется идеальной наклонной плоскостью . Это условие может быть достигнуто, если объект катится как бочка или поддерживается на колесах или роликах . Из-за сохранения энергии для наклонной плоскости без трения работа, совершаемая по подъему груза, W _out , равна работе, совершаемой прилагаемой силой, W _в ^{[33] [34] [35]}

${\displaystyle W_{\rm {out}}=W_{\rm {in}}\,}$

Работа определяется как сила, умноженная на перемещение объекта. Работа, совершаемая над грузом, равна его весу, умноженному на вертикальное перемещение, которое он поднимает, что представляет собой «подъем» наклонной плоскости.

${\displaystyle W_{\rm {out}}=F_{w}\cdot {\text{Rise}}\,}$

Входная работа равна силе F _i , действующей на объект, умноженной на длину диагонали наклонной плоскости.

${\displaystyle W_{\rm {in}}=F_{i}\cdot {\text{Length}}\,}$

Подставляя эти значения в приведенное выше уравнение сохранения энергии и переставляя

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\text{Length}}{\text{Rise}}}\,}$

Чтобы выразить механическое преимущество через угол плоскости θ , ^{[34] из диаграммы} (выше) видно, что

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{Rise}}{\text{Length}}}\,}$

Так

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta }}\,}$

Таким образом, механическое преимущество наклонной плоскости без трения равно обратной величине синуса угла наклона. Входная сила F _i из этого уравнения — это сила, необходимая для того, чтобы удерживать груз неподвижно на наклонной плоскости или толкать его вверх с постоянной скоростью. Если входная сила больше этого значения, нагрузка ускорит самолет. Если сила меньше, он будет ускоряться вниз по самолету.

Наклонная плоскость с трением

Там, где между плоскостью и грузом существует трение , как, например, когда тяжелый ящик скользит вверх по пандусу, часть работы, приложенной входной силой, рассеивается в виде тепла за счет трения, W _fric , поэтому на поверхность совершается меньше работы. нагрузка. Благодаря сохранению энергии сумма выходной работы и потерь энергии на трение равна входной работе.

${\displaystyle W_{\text{in}}=W_{\text{fric}}+W_{\text{out}}\,}$

Следовательно, требуется большая входная сила, а механическое преимущество ниже, чем если бы трение отсутствовало. При трении груз будет двигаться только в том случае, если результирующая сила, параллельная поверхности, больше силы трения F _f , противодействующей ей. ^{[8] [36] [37]} Максимальная сила трения определяется выражением

${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$

где F _n — нормальная сила между нагрузкой и плоскостью, направленная перпендикулярно поверхности, а μ — коэффициент статического трения между двумя поверхностями, который меняется в зависимости от материала. При отсутствии приложения входной силы, если угол наклона плоскости θ меньше некоторого максимального значения φ , составляющая гравитационной силы, параллельной плоскости, будет слишком мала, чтобы преодолеть трение, и груз останется неподвижным. Этот угол называется углом естественного откоса и зависит от состава поверхностей, но не зависит от веса груза. Ниже будет показано, что тангенс угла естественного откоса φ равен µ

${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

При трении всегда существует некоторый диапазон входной силы Fi , в котором нагрузка является стационарной, не скользя вверх или вниз по плоскости, тогда как при наклонной плоскости без _трения существует только одно конкретное значение входной силы, при котором нагрузка является стационарной.

Анализ

Ключ: F _n = N = нормальная сила , перпендикулярная плоскости, F _i = f = входная сила, F _w = mg = вес груза, где m = масса , g = сила тяжести.

На груз, лежащий на наклонной плоскости, если рассматривать его как свободное тело, на него действуют три силы: ^{[8] [36] [37]}

• Приложенная сила Fi , _{приложенная} к грузу для его перемещения, действует параллельно наклонной плоскости.
• Вес груза F _w , действующего вертикально вниз.
• Сила самолета на нагрузку. Эту проблему можно разделить на две составляющие:
  • Нормальная сила F _н наклонной плоскости, действующая на поддерживающий его груз. Оно направлено перпендикулярно ( нормально ) к поверхности.
  • Сила трения F _f плоскости груза действует параллельно поверхности и всегда направлена ​​в направлении, противоположном движению объекта. Она равна нормальной силе, умноженной на коэффициент статического трения μ между двумя поверхностями.

Согласно второму закону Ньютона, груз будет находиться в стационарном или установившемся движении, если сумма действующих на него сил равна нулю. Поскольку направление силы трения противоположно для случая движения вверх и вниз, эти два случая необходимо рассматривать отдельно:

• Движение вверх: общая сила, действующая на груз, направлена ​​к стороне подъема, поэтому сила трения направлена ​​вниз по плоскости, противодействуя входной силе.

Механическое преимущество заключается в

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta +\phi )}}\,}$

где . Это условие надвигающегося движения вверх по наклонной плоскости. Если приложенная сила F _i больше, чем указано в этом уравнении, груз переместится вверх по плоскости. ${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

• Движение под гору: общая сила, действующая на груз, направлена ​​в сторону спуска, поэтому сила трения направлена ​​вверх по плоскости.

Механическое преимущество заключается в

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta -\phi )}}\,}$

Это условие неизбежного движения вниз по плоскости; если приложенная сила F _i меньше, чем указано в этом уравнении, груз будет скользить по плоскости. Есть три случая:

1. ${\displaystyle \theta <\phi \,}$: Механическое преимущество отрицательное. В отсутствие приложенной силы груз останется неподвижным, и для его скольжения вниз потребуется некоторая отрицательная (нисходящая) сила.
2. ${\displaystyle \theta =\phi \,}$: « Угол откоса ». Механическое преимущество безгранично. Без приложенной силы груз не будет скользить, но малейшая отрицательная сила (вниз по склону) заставит его скользить.
3. ${\displaystyle \theta >\phi \,}$: Механическое преимущество положительное. В отсутствие приложенной силы груз будет скользить вниз по плоскости, и для его удержания в неподвижном состоянии требуется некоторая положительная (подъемная) сила.

Механическое преимущество при использовании мощности

Ключ: N = нормальная сила , перпендикулярная плоскости, W = мг, где m = масса , g = гравитация и θ ( тета ) = угол наклона плоскости.

Механическое преимущество наклонной плоскости заключается в соотношении веса груза на пандусе к силе, необходимой для его подъема по пандусу. Если энергия не рассеивается и не накапливается при движении груза, то это механическое преимущество можно рассчитать, исходя из размеров пандуса.

Чтобы показать это, пусть положение r железнодорожного вагона на пандусе с углом θ над горизонтом задается формулой

${\displaystyle \mathbf {r} =R(\cos \theta ,\sin \theta ),}$

где R – расстояние по пандусу. Теперь скорость автомобиля на пандусе равна

${\displaystyle \mathbf {v} =V(\cos \theta ,\sin \theta ).}$

Поскольку потерь нет, мощность, используемая силой F для перемещения груза вверх по пандусу, равна выходной мощности, которая представляет собой вертикальный подъем веса груза W.

Входная мощность, тянущая автомобиль вверх по пандусу, определяется выражением

${\displaystyle P_{\mathrm {in} }=FV,\!}$

и выходная мощность

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=\mathbf {W} \cdot \mathbf {v} =(0,W)\cdot V(\cos \theta ,\sin \theta )=WV\sin \theta .}$

Приравняйте входную мощность к выходной мощности, чтобы получить механическое преимущество, как

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

Механическое преимущество наклонной плоскости также можно рассчитать по отношению длины пандуса L к его высоте H, поскольку синус угла пандуса определяется выражением

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {H}{L}},}$

поэтому,

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {L}{H}}.}$

Схема системы тросового привода наклонной плоскости Liverpool Minard.

Пример: Если высота пандуса H = 1 метр, а его длина L = 5 метров, то механическое преимущество равно

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=5,}$

это означает, что сила в 20 фунтов поднимет груз массой 100 фунтов.

Наклонная плоскость Liverpool Minard имеет размеры 1804 х 37,50 метра, что обеспечивает механическое преимущество:

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=1804/37.50=48.1,}$

таким образом, сила натяжения троса в 100 фунтов поднимет груз массой 4810 фунтов. Степень этого наклона составляет 2%, что означает, что угол θ достаточно мал, чтобы sin θ≈tan θ.

Смотрите также

• Наклонная плоскость канала
• Уклон (уклон)
• Наклонная плоская железная дорога
• Функция линейного изменения
• Шифе Эбене
• Лестница

Рекомендации

1. Коул, Мэтью (2005). Исследуйте науку, 2-е изд. Пирсон Образование. п. 178. ИСБН 978-981-06-2002-8.
2. Университетский словарь Мерриам-Вебстера, 11-е изд . Мерриам-Вебстер. 2003. стр. 629. ISBN. 978-0-87779-809-5. словарь определений наклонной плоскости.
3. «Наклонная плоскость». Центр математической и естественнонаучной деятельности . Едининформатика. 1999 . Проверено 11 марта 2012 г.
4. Сильверман, Баффи (2009). Простые машины: силы в действии, 4-е изд. США: Класс Хайнемана-Рейнтри. п. 7. ISBN 978-1-4329-2317-4.
5. Ортлеб, Эдвард П.; Ричард Кэдис (1993). Машины и работа. Лоренц Образовательная Пресса. стр. iv. ISBN 978-1-55863-060-4.
6. Рейли, Трэвис (24 ноября 2011 г.). «Урок 04: Скольжение вправо по наклонной плоскости». Преподавайте инженерное дело . Инженерный колледж, Univ. Колорадо в Боулдере. Архивировано из оригинала 8 мая 2012 года . Проверено 8 сентября 2012 г.
7. Скотт, Джон С. (1993). Словарь гражданского строительства. Чепмен и Хилл. п. 14. ISBN 978-0-412-98421-1. угол трения [механ.] при изучении тел, скользящих по плоским поверхностям, угол между перпендикуляром к поверхности и равнодействующей силой (между телом и поверхностью), когда тело начинает скользить. угол естественного откоса [см] для любого данного сыпучего материала - самый крутой угол к горизонту, под которым будет стоять поверхность с навалом в установленных условиях.
8. Ambekar, AG (2007). Теория механизма и машин. Обучение PHI. п. 446. ИСБН 978-81-203-3134-1. Угол естественного откоса — предельный угол наклона плоскости, при котором тело, помещенное на наклонную плоскость, только начинает скользить по плоскости.
9. Розен, Джо; Лиза Куинн Готард (2009). Энциклопедия физических наук, Том 1. Издательство информационных баз. п. 375. ИСБН 978-0-8160-7011-4.
10. Koetsier, Теун (2010). «Саймон Стевин и возникновение архимедовой механики в эпоху Возрождения». Гений Архимеда – 23 века влияния на математику, науку и технику: материалы международной конференции, состоявшейся в Сиракузах, Италия, 8–10 июня 2010 г. Спрингер. стр. 94–99. ISBN 978-90-481-9090-4.
11. Девриз, Йозеф Т.; Гвидо Ванден Берге (2008). «Магия — это не волшебство»: чудесный мир Саймона Стевина. ВИТ Пресс. стр. 136–139. ISBN 978-1-84564-391-1.
12. Фейнман, Ричард П.; Роберт Б. Лейтон; Мэтью Сэндс (1963). Фейнмановские лекции по физике, Vol. I. США: Калифорнийский институт. технологии. стр. 4.4–4.5. ISBN 978-0-465-02493-3.
13. EJDijksterhuis: Саймон Стевин, 1943 г.
14. Тереза ​​Макгуайр, Свет на священных камнях , в Конне, Мари А.; Тереза ​​Бенедикт Макгуайр (2007). Не запечатлено в камне: очерки ритуальной памяти, души и общества. Университетское издательство Америки. п. 23. ISBN 978-0-7618-3702-2.
15. Датч, Стивен (1999). «Догреческие достижения». Наследие Древнего мира . Страница профессора Стива Датча, Univ. Висконсин в Грин Бэй. Архивировано из оригинала 21 августа 2016 года . Проверено 13 марта 2012 г.
16. Моффетт, Мэриан; Майкл В. Фасио; Лоуренс Вудхаус (2003). Всемирная история архитектуры. Издательство Лоуренса Кинга. п. 9. ISBN 978-1-85669-371-4.
17. Пит, Т. Эрик (2006). Памятники из грубого камня и их строители. Библиотека Эхо. стр. 11–12. ISBN 978-1-4068-2203-8.
18. Томас, Берк (2005). «Транспорт и наклонная плоскость». Строительство пирамид Гизы . world-mysteries.com. Архивировано из оригинала 13 марта 2012 года . Проверено 10 марта 2012 г.
19. Ислер, Мартин (2001). Палки, камни и тени: строительство египетских пирамид . США: Университет Оклахомы Пресс. стр. 211–216. ISBN 978-0-8061-3342-3.
20. Спрэг де Камп, Л. (1990). Древние инженеры. США: Барнс и Нобл. п. 43. ИСБН 978-0-88029-456-0.
21. Карл фон Лангсдорф (1826) Machinenkunde , цитируется в Reuleaux, Franz (1876). Кинематика машин: Очерки теории машин. Макмиллан. стр. 604.
22. например, списки простых машин, оставленные римским архитектором Витрувием (ок. 80–15 до н.э.) и греческим философом Героном Александрийским (ок. 10–70 н.э.), состоят из пяти классических простых машин, исключая наклонную плоскость. - Смит, Уильям (1848). Словарь греческих и римских древностей. Лондон: Уолтон и Маберли; Джон Мюррей. п. 722., Ашер, Эбботт Пейсон (1988). История механических изобретений. США: Courier Dover Publications. стр. 98, 120. ISBN. 978-0-486-25593-4.
23. Хит, Томас Литтл (1921). История греческой математики, Том. 2. Великобритания: Кларендон Пресс. стр. 349, 433–434.
24. Эджидио Феста и Софи Ру , Загадка наклонной плоскости в Лэрде, Уолтер Рой; Софи Ру (2008). Механика и натурфилософия до научной революции. США: Спрингер. стр. 195–221. ISBN 978-1-4020-5966-7.
25. Мели, Доменико Бертолони (2006). Мышление объектами: трансформация механики в семнадцатом веке. Джу Пресс. стр. 35–39. ISBN 978-0-8018-8426-9.
26. Бойер, Карл Б.; Ута К. Мерцбах (2010). История математики, 3-е изд. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-63056-3.
27. Ашер, Эбботт Пейсон (1988). История механических изобретений. Публикации Courier Dover. п. 106. ИСБН 978-0-486-25593-4.
28. Мачамер, Питер К. (1998). Кембриджский компаньон Галилея. Лондон: Издательство Кембриджского университета. стр. 47–48. ISBN 978-0-521-58841-6.
29. Армстронг-Хелоуври, Брайан (1991). Управление машинами с трением. США: Спрингер. п. 10. ISBN 978-0-7923-9133-3.
30. Мейер, Эрнст (2002). Нанонаука: трение и реология в нанометровом масштабе. Всемирная научная. п. 7. ISBN 978-981-238-062-3.
31. Хэндли, Бретт; Дэвид М. Маршалл; Крейг Кун (2011). Принципы инженерии. Cengage Обучение. стр. 71–73. ISBN 978-1-4354-2836-2.
32. Деннис, Джонни Т. (2003). Полное руководство идиота по физике. Пингвин. стр. 116–117. ISBN 978-1-59257-081-2.
33. Нейв, Карл Р. (2010). «Наклон». Гиперфизика . Кафедра физики и астрономии, Университет штата Джорджия . Проверено 8 сентября 2012 г.
34. Мартин, Лори (2010). «Lab Mech14: Наклонная плоскость — простая машина» (PDF) . Наука в движении . Вестминстерский колледж . Проверено 8 сентября 2012 г.
35. Пирсон (2009). Класс физики 10 - Серия The IIT Foundation. Нью-Дели: Pearson Education India. п. 69. ИСБН 978-81-317-2843-7.
36. Бансал, РК (2005). Инженерная механика и сопротивление материалов. Публикации Лакшми. стр. 165–167. ISBN 978-81-7008-094-7.
37. Это приводит к несколько более общим уравнениям, которые охватывают силу, приложенную под любым углом: Гуджрал, И.С. (2008). Инженерная механика. Брандмауэр Медиа. стр. 275–277. ISBN 978-81-318-0295-3.

Внешние ссылки

• Интерактивное моделирование наклонной плоскости по физике.