Сложные проценты

Начисление суммы, уплачиваемой за пользование деньгами

Эффективные процентные ставки

Эффект от получения 20% годовых на первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов США и различные частоты начисления процентов

Сложные проценты — это проценты , накопленные с основной суммы и ранее накопленных процентов. Это результат реинвестирования или удержания процентов, которые в противном случае были бы выплачены, или накопления долгов заемщика.

Сложные проценты противопоставляются простым процентам , где ранее накопленные проценты не добавляются к основной сумме текущего периода. Сложные проценты зависят от применяемой простой процентной ставки и частоты, с которой проценты начисляются.

Частота начисления процентов

Частота начисления процентов — это количество раз, которое в заданную единицу времени накопленные проценты капитализируются на регулярной основе. Частота может быть ежегодной, полугодовой, ежеквартальной, ежемесячной, еженедельной, ежедневной, непрерывной или вообще не капитализироваться до погашения.

Например, ежемесячная капитализация с процентами, выраженными в виде годовой ставки, означает, что частота начисления процентов равна 12, а периоды времени измеряются в месяцах.

Годовой эквивалент ставки

Чтобы помочь потребителям сравнивать розничные финансовые продукты более справедливо и легко, многие страны требуют, чтобы финансовые учреждения раскрывали годовую ставку сложного процента по депозитам или авансам на сопоставимой основе. Процентная ставка на годовой эквивалентной основе может называться по-разному на разных рынках: эффективная годовая процентная ставка (EAPR), годовая эквивалентная ставка (AER), эффективная процентная ставка , эффективная годовая ставка , годовая процентная доходность и другие термины. Эффективная годовая ставка — это общая накопленная процентная ставка, которая будет выплачиваться до конца одного года, деленная на основную сумму. Эти ставки обычно представляют собой годовую ставку сложного процента вместе с расходами, отличными от процентов, такими как налоги и другие сборы.

Примеры

Сложные проценты в размере 15% на первоначальные инвестиции в размере 10 000 долларов США в течение 40 лет

Годовые дивиденды в размере 1,5% на первоначальные инвестиции в размере 10 000 долларов США.
Общая сумма дивидендных выплат за 40 лет составляет 266 864 доллара США.
В этом сценарии дивиденды не реинвестировались.

Инфляция росла на протяжении 40 лет по разным ставкам

  8%

  7%

  6%

  5%

  4%

  3%

  2%

  1%

• Проценты по корпоративным облигациям и государственным облигациям обычно выплачиваются дважды в год. Сумма процентов, выплачиваемых каждые шесть месяцев, представляет собой раскрытую процентную ставку, деленную на два и умноженную на основную сумму. Годовая сложная ставка выше раскрытой ставки.
• Канадские ипотечные кредиты , как правило, выплачиваются раз в полгода с ежемесячными или более частыми платежами. ^[1]
• Ипотечные кредиты США используют амортизационный кредит , а не сложные проценты. В этих кредитах график амортизации используется для определения того, как применять платежи к основной сумме и процентам. Проценты, полученные по этим кредитам, не добавляются к основной сумме, а выплачиваются ежемесячно по мере применения платежей.
• Иногда математически проще, например, при оценке производных инструментов , использовать непрерывное начисление процентов. Непрерывное начисление процентов при ценообразовании этих инструментов является естественным следствием исчисления Ито , где финансовые производные инструменты оцениваются с постоянно возрастающей частотой, пока не будет достигнут предел, и производная не будет оцениваться в непрерывном времени.

История

Сложные проценты, взимаемые кредиторами, когда-то считались худшим видом ростовщичества и строго осуждались римским правом и общим правом многих других стран. ^[2]

Флорентийский купец Франческо Бальдуччи Пеголотти привел таблицу сложных процентов в своей книге «Pratica della mercatura» около 1340 года. Она дает проценты на 100 лир по ставкам от 1% до 8% на срок до 20 лет. ^[3] В « Summa de arithmetica» Луки Пачоли (1494) приводится правило 72 , гласящее, что для того, чтобы найти количество лет, за которое инвестиции под сложные проценты удвоятся, нужно разделить процентную ставку на 72.

Книга Ричарда Витта «Арифметические вопросы », опубликованная в 1613 году, стала важной вехой в истории сложных процентов. Она была полностью посвящена предмету (ранее называвшемуся анатоцизмом), тогда как предыдущие авторы обычно кратко рассматривали сложные проценты всего в одной главе математического учебника. Книга Витта давала таблицы, основанные на 10% (максимальная процентная ставка, допустимая по ссудам) и других ставках для различных целей, таких как оценка аренды имущества. Витт был лондонским практикующим математиком, и его книга примечательна ясностью выражения, глубиной понимания и точностью расчетов, со 124 проработанными примерами. ^{[4] [5]}

Якоб Бернулли открыл константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах. ${\displaystyle e}$

В 19 веке, а возможно и раньше, персидские купцы использовали слегка измененную линейную аппроксимацию Тейлора для формулы ежемесячного платежа, которую можно было легко вычислить в уме. ^[6] В наше время предполагаемая цитата Альберта Эйнштейна относительно сложных процентов звучит правдоподобно. «Тот, кто понимает, тот зарабатывает; тот, кто не понимает, тот платит». ^[7]

Расчет

Периодическое начисление процентов

Общая накопленная стоимость, включая основную сумму плюс сложные проценты , рассчитывается по формуле: ^{[8] [9]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

где:

• A — окончательная сумма
• P — первоначальная основная сумма
• r — номинальная годовая процентная ставка
• n — частота начисления процентов
• t — общая продолжительность времени, в течение которого применяются проценты (выраженная с использованием тех же единиц времени, что и r , обычно лет).

Общая сумма сложных процентов равна окончательной стоимости за вычетом первоначальной основной суммы: ^[10]

$${\displaystyle I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}-P}$$

Функция накопления

Поскольку основной P — это просто коэффициент, его часто опускают для простоты, и вместо него используют результирующую функцию накопления . Функция накопления показывает, во сколько вырастет $1 за любой промежуток времени. Функция накопления для сложных процентов выглядит так: $${\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

Непрерывное начисление процентов

Когда количество периодов начисления процентов в год увеличивается без ограничений, происходит непрерывное начисление процентов, и в этом случае эффективная годовая ставка приближается к верхнему пределу e ^r − 1 . Непрерывное начисление процентов можно рассматривать как позволение периоду начисления процентов стать бесконечно малым, достигаемое путем принятия предела при n, стремящемся к бесконечности . Сумма после t периодов непрерывного начисления процентов может быть выражена через начальную сумму P ₀ следующим образом:

$${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}.}$$

Сила интереса

Поскольку число периодов начисления сложных процентов стремится к бесконечности при непрерывном начислении сложных процентов, непрерывная ставка сложных процентов называется силой процентов . Для любой непрерывно дифференцируемой функции накопления a(t) сила процентов или, в более общем смысле, логарифмическая или непрерывно начисляемая доходность является функцией времени следующим образом: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)}$$

Это логарифмическая производная функции накопления.

Наоборот: (Поскольку , это можно рассматривать как частный случай интеграла произведения .) $${\displaystyle a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,}$$ ${\displaystyle a(0)=1}$

Если приведенную выше формулу записать в формате дифференциального уравнения, то сила интереса будет просто коэффициентом величины изменения: $${\displaystyle da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt}$$

Для сложных процентов с постоянной годовой процентной ставкой r сила процента является постоянной, а функция накопления сложных процентов в терминах силы процента является простой степенью e : или $${\displaystyle \delta =\ln(1+r)}$$ $${\displaystyle a(t)=e^{t\delta }}$$

Сила процента меньше годовой эффективной процентной ставки, но больше годовой эффективной ставки дисконтирования . Она обратна времени сложения .

Способ моделирования силы инфляции — это формула Стодли: где p , r и s оцениваются. ${\displaystyle \delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}}$

База компаундирования

Чтобы преобразовать процентную ставку из одной основы начисления процентов в другую основу начисления процентов, так чтобы

$${\displaystyle \left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{n_{1}}=\left(1+{\frac {r_{2}}{n_{2}}}\right)^{n_{2}}}$$

использовать

$${\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},}$$

где r ₁ — процентная ставка с частотой начисления процентов n ₁ , а r ₂ — процентная ставка с частотой начисления процентов n ₂ .

Когда проценты непрерывно начисляются, используйте

$${\displaystyle \delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},}$$

где — процентная ставка на основе непрерывного начисления процентов, а r — заявленная процентная ставка с частотой начисления процентов n . ${\displaystyle \delta }$

Ежемесячные амортизированные платежи по кредиту или ипотеке

Проценты по кредитам и ипотечным кредитам, которые амортизируются, то есть имеют гладкую ежемесячную выплату до тех пор, пока кредит не будет выплачен, часто начисляются ежемесячно. Формула для платежей находится из следующего рассуждения.

Точная формула для ежемесячного платежа

Точная формула для ежемесячного платежа ( ) или эквивалентна ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle c={\frac {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}}$$ $${\displaystyle c={\frac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}}$$

где:

• ${\displaystyle c}$= ежемесячный платеж
• ${\displaystyle P}$= основной капитал
• ${\displaystyle r}$= ежемесячная процентная ставка
• ${\displaystyle n}$= количество периодов оплаты

Формула электронной таблицы

В электронных таблицах используется функция PMT() . Синтаксис:

PMT(процентная_ставка, количество_платежей, текущая_стоимость, будущая_стоимость, [Тип])

Примерная формула ежемесячного платежа

Формулу с точностью до нескольких процентов можно найти, заметив, что для типичных процентных ставок по облигациям США ( со сроками = 10–30 лет) ежемесячная процентная ставка по облигациям мала по сравнению с 1, поэтому что приводит к упрощению: ${\displaystyle I<8\%}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r<<1}$ ${\displaystyle \ln(1+r)\approx r}$

$${\displaystyle c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}}$$

что предполагает определение вспомогательных переменных

$${\displaystyle Y\equiv nr=IT}$$ $${\displaystyle c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}.}$$

Вот ежемесячный платеж, необходимый для беспроцентного кредита, выплачиваемого в рассрочку. В терминах этих переменных приближение можно записать . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$

Пусть . Расширение справедливо с точностью лучше 1% при условии . ${\textstyle X={\frac {1}{2}}Y}$ ${\textstyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)}$ ${\displaystyle X\leq 1}$

Пример ипотечного платежа

Для ипотечного кредита на сумму 120 000 долларов США сроком на 30 лет и процентной ставкой 4,5%, выплачиваемой ежемесячно, мы получаем:

$${\displaystyle T=30}$$ $${\displaystyle I=0.045}$$ $${\displaystyle c_{0}={\frac {\$120,000}{360}}=\$333.33}$$

что дает

$${\displaystyle X={\frac {1}{2}}IT=.675}$$

так что

$${\displaystyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96}$$

Точная сумма платежа такова, что приблизительная оценка завышена примерно на одну шестую процента. ${\displaystyle c=\$608.02}$

Ежемесячные депозиты

При наличии основного депозита и повторяющегося депозита общий доход от инвестиций может быть рассчитан через сложный процент, полученный за единицу времени. При необходимости, проценты по дополнительным разовым и повторяющимся депозитам также могут быть определены в рамках той же формулы (см. ниже). ^[11]

• ${\displaystyle P}$= основной депозит
• ${\displaystyle r}$= норма прибыли (ежемесячная)
• ${\displaystyle M}$= ежемесячный депозит, и
• ${\displaystyle t}$= время, в месяцах

Сложный процент по каждому депозиту рассчитывается следующим образом: суммируем все повторяющиеся депозиты за весь период t (i начинается с 0, если депозиты начинаются с инвестирования основного долга; i начинается с 1, если депозиты начинаются в следующем месяце): Распознаем геометрическую прогрессию : и применяем формулу в замкнутой форме (общее отношение : ): $${\displaystyle M'=M(1+r)^{t}}$$ $${\displaystyle M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}}$$ ${\displaystyle M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}}$ ${\displaystyle 1/(1+r)}$

$${\displaystyle P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}}$$

Если возникают два или более типов депозитов (повторяющиеся или неповторяющиеся), полученная сложная стоимость может быть представлена ​​как

$${\displaystyle {\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}}$$

где C — каждая единовременная сумма, k — нерегулярные ежемесячные депозиты соответственно, а x и y — разница во времени между новым депозитом и общим периодом моделирования t.

Практическая оценка для обратного расчета нормы прибыли , когда точная дата и сумма каждого повторяющегося депозита неизвестны, формула, которая предполагает равномерный повторяющийся ежемесячный депозит в течение периода, выглядит следующим образом: ^[12] или $${\displaystyle r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}}$$ $${\displaystyle r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1}$$

Смотрите также

• Проценты по кредитной карте
• Экспоненциальный рост
• Уравнение Фишера
• Интерес
• Процентная ставка
• Норма прибыли
• Норма прибыли на инвестиции
• Реальная и номинальная стоимость (экономика)
• Кривая доходности

Ссылки

1. "Закон об интересах, RSC, 1985, гл. I-15, ст. 6: Проценты по деньгам, обеспеченным ипотекой на недвижимое имущество". Веб-сайт Justice Laws . Министерство юстиции (Канада) . 2002-12-31. Архивировано из оригинала 2022-09-18 . Получено 2024-08-14 .
2.  В этой статье использован текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии :  Chambers, Ephraim , ed. (1728). «Интерес». Cyclopædia, или универсальный словарь искусств и наук (1-е изд.). James and John Knapton, et al.
3. Эванс, Аллан (1936). Франческо Бальдуччи Пеголотти, La Pratica della Mercatura . Кембридж, Массачусетс. стр. 301–2.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Левин, К. Г. (1970). «Ранняя книга о сложных процентах — арифметические вопросы Ричарда Витта». Журнал Института актуариев . 96 (1): 121–132. doi :10.1017/S002026810001636X.
5. Левин, К. Г. (1981). «Сложные проценты в семнадцатом веке». Журнал Института актуариев . 108 (3): 423–442. doi :10.1017/S0020268100040865.
6. Миланфар, Пейман (1996). «Персидский народный метод вычисления процентов». Mathematics Magazine . 69 (5): 376. doi :10.1080/0025570X.1996.11996479.
7. Шлексер, Джим (21 января 2020 г.). «Почему Эйнштейн считал сложные проценты самой мощной силой во Вселенной: действительно ли сила сложных процентов — восьмое чудо света?» . Inc.
8. "Формула сложных процентов". qrc.depaul.edu . Получено 2018-12-05 .
9. Сотрудники Investopedia (2003-11-19). "Непрерывное начисление процентов". Investopedia . Получено 2018-12-05 .
10. "Формула сложных процентов - Объяснение". www.thecalculatorsite.com . Получено 2018-12-05 .
11. «Использование сложного процента для оптимизации инвестиционного спреда».
12. http://moneychimp.com/features/portfolio_performance_calculator.htm "рекомендовано The Four Pillars of Investing и The Motley Fool"