Натуральный логарифм

Logarithm to the base of the mathematical constant e

Натуральный логарифм числа — это его логарифм по основанию математической константы e , которая является иррациональным и трансцендентным числом, приблизительно равным2,718 281 828 459 . ^[1] Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x , log _e x , или иногда, если основание e подразумевается, просто log x . ^{[2] [3]} Скобки иногда добавляются для ясности, давая ln( x ) , log _e ( x ) или log( x ) . Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является одним символом, чтобы избежать двусмысленности.

Натуральный логарифм x — это степень , в которую e нужно возвести, чтобы получить x . Например, ln 7,5 равен 2,0149... , потому что e ^2,0149... = 7,5 . Натуральный логарифм самого e , ln e , равен 1 , потому что e ¹ = e , в то время как натуральный логарифм 1 равен 0 , потому что e ⁰ = 1 .

Натуральный логарифм может быть определен для любого положительного действительного числа a как площадь под кривой y = 1/ x от 1 до a ^[4] (при этом площадь отрицательна, когда 0 < a < 1 ). Простота этого определения, которая соответствует многим другим формулам, включающим натуральный логарифм, приводит к термину «натуральный». Определение натурального логарифма затем может быть расширено, чтобы дать значения логарифма для отрицательных чисел и для всех ненулевых комплексных чисел , хотя это приводит к многозначной функции : см. комплексный логарифм для получения дополнительной информации.

Функция натурального логарифма, если рассматривать ее как действительную функцию положительной действительной переменной, является обратной функцией экспоненциальной функции , что приводит к тождествам: $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

Как и все логарифмы, натуральный логарифм отображает умножение положительных чисел в сложение: ^[5] $${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}$$

Логарифмы могут быть определены для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e . Однако логарифмы в других основаниях отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и могут быть определены через последний, . ${\displaystyle \log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e}$

Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестное появляется как показатель степени некоторой другой величины. Например, логарифмы используются для решения для периода полураспада , постоянной распада или неизвестного времени в задачах с экспоненциальным распадом . Они важны во многих разделах математики и научных дисциплинах и используются для решения задач, связанных со сложными процентами .

История

Концепция натурального логарифма была разработана Грегуаром де Сен-Венсаном и Альфонсом Антонио де Сараса до 1649 года. [ ^6] Их работа включала квадратуру гиперболы с уравнением xy = 1 , путем определения площади гиперболических секторов . Их решение породило требуемую функцию « гиперболического логарифма » , которая имела свойства, теперь связанные с натуральным логарифмом.

Одно из первых упоминаний о натуральном логарифме было сделано Николасом Меркатором в его работе Logarithmotechnia , опубликованной в 1668 году ^[7] , хотя учитель математики Джон Шпейделл уже составил таблицу того, что фактически было натуральными логарифмами в 1619 году. ^[8] Было сказано, что логарифмы Шпейделла были по основанию e , но это не совсем верно из-за сложностей со значениями, выраженными в виде целых чисел . ^{[8] : 152}

Условные обозначения

Обозначения ln x и log _e x однозначно относятся к натуральному логарифму x , а log x без явного основания может также относиться к натуральному логарифму. Такое использование распространено в математике, а также в некоторых научных контекстах, а также во многих языках программирования . ^{[nb 1]} Однако в некоторых других контекстах, таких как химия , log x может использоваться для обозначения десятичного (по основанию 10) логарифма . Он также может относиться к двоичному (по основанию 2) логарифму в контексте компьютерной науки , особенно в контексте временной сложности .

Определения

Натуральный логарифм можно определить несколькими эквивалентными способами.

Обратная экспонента

Наиболее общее определение — это как обратная функция , так что . Поскольку является положительной и обратимой для любого действительного входа , это определение хорошо определено для любого положительного x . Для комплексных чисел , не является обратимой, поэтому является многозначной функцией . Чтобы создать правильную функцию с одним выходом , нам нужно ограничить ее определенной главной ветвью , часто обозначаемой как . Так как обратная функция , может быть определена путем инвертирования обычного определения : Это дает: Это определение, таким образом, выводит свою собственную главную ветвь из главной ветви n -ных корней. ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle e^{z}}$ $${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$ $${\displaystyle \ln(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot ({\sqrt[{n}]{z}}-1)}$$

Интегральное определение

ln a как площадь заштрихованной области под кривой f ( x ) = 1/ x от 1 до a . Если a меньше 1 , площадь принимается отрицательной.

Площадь под гиперболой удовлетворяет правилу логарифма. Здесь A ( s , t ) обозначает площадь под гиперболой между s и t .

Натуральный логарифм положительного действительного числа a можно определить как площадь под графиком гиперболы с уравнением y = 1/ x между x = 1 и x = a . Это интеграл ^[4] Если a находится в , то область имеет отрицательную площадь , а логарифм отрицателен. $${\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$ ${\displaystyle (0,1)}$

Эта функция является логарифмом, поскольку она удовлетворяет фундаментальному мультипликативному свойству логарифма: ^[5] $${\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b.}$$

Это можно продемонстрировать, разделив интеграл, определяющий ln ab, на две части, а затем выполнив замену переменной x = at (то есть dx = a dt ) во второй части следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}$$

В элементарных терминах это просто масштабирование на 1/ a в горизонтальном направлении и на a в вертикальном направлении. Площадь не меняется при этом преобразовании, но область между a и ab перестраивается. Поскольку функция a /( ax ) равна функции 1/ x , результирующая площадь равна точно ln b .

Тогда число e можно определить как уникальное действительное число a, такое что ln a = 1 .

Натуральный логарифм также имеет несобственное интегральное представление, ^[9] которое можно вывести с помощью теоремы Фубини следующим образом: $${\displaystyle \ln \left(x\right)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du=\int _{1}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-tu}\ dt\ du=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{x}e^{-tu}\ du\ dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt}$$

Характеристики

Натуральный логарифм имеет следующие математические свойства:

• ${\displaystyle \ln 1=0}$
• ${\displaystyle \ln e=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x/y)=\ln x-\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle \ln({\sqrt[{y}]{x}})=(\ln x)/y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y\neq 0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}$

Производный

Производная натурального логарифма как действительной функции по положительным действительным числам определяется выражением ^[4] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

Как установить эту производную натурального логарифма, зависит от того, как она определена из первых рук. Если натуральный логарифм определяется как интеграл, то производная немедленно следует из первой части фундаментальной теоремы исчисления . $${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,}$$

С другой стороны, если натуральный логарифм определен как обратная (натуральная) показательная функция, то производную (при x > 0 ) можно найти, используя свойства логарифма и определение показательной функции.

Из определения числа показательную функцию можно определить как где ${\displaystyle e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},}$ $${\displaystyle e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h},}$$ ${\displaystyle u=hx,h={\frac {u}{x}}.}$

Затем производную можно найти из первых принципов. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}}$$

Также у нас есть: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

Таким образом, в отличие от обратной функции , константа в функции не изменяет дифференциал. ${\displaystyle e^{ax}}$

Ряд

Полиномы Тейлора для ln(1 + x ) обеспечивают точные приближения только в диапазоне −1 < x ≤ 1. За пределами некоторого x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени дают все более худшие приближения.

Так как натуральный логарифм не определен в 0, сам по себе не имеет ряда Маклорена , в отличие от многих других элементарных функций. Вместо этого ищут разложения Тейлора вокруг других точек. Например, если то ^[10] ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

Это ряд Тейлора для около 1. Замена переменных дает ряд Меркатора : справедливый для и ${\displaystyle \ln x}$ $${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$$ ${\displaystyle |x|\leq 1}$ ${\displaystyle x\neq -1.}$

Леонард Эйлер ^[11] , игнорируя , тем не менее применил этот ряд к , чтобы показать, что гармонический ряд равен натуральному логарифму ; то есть логарифму бесконечности. В настоящее время, более формально, можно доказать, что гармонический ряд, усеченный в N , близок к логарифму N , когда N велико, с разностью, сходящейся к константе Эйлера–Маскерони . ${\displaystyle x\neq -1}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-1}}}$

На рисунке представлен график функции ln(1 + x ) и некоторых ее полиномов Тейлора около 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1 ; за пределами этой области полиномы Тейлора более высокой степени сводятся к худшим приближениям для функции.

Полезным частным случаем для положительных целых чисел n , принимая , является: ${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$ $${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$$

Если тогда ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Теперь, взяв за положительные целые числа n , получаем: ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$ $${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }$$

Если тогда Поскольку мы приходим к Используя снова замену для положительных целых чисел n , мы получаем: ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}$ $${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Это, безусловно, самая быстрая сходящаяся серия из описанных здесь.

Натуральный логарифм также можно выразить как бесконечное произведение: ^[12] $${\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}$$

Вот два примера: $${\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}$$ $${\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}$$

Из этого тождества мы можем легко получить, что: $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}$$

Например: $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }$$

Натуральный логарифм в интегрировании

Натуральный логарифм допускает простую интеграцию функций вида : первообразная g ( x ) задается как . Это происходит из-за цепного правила и следующего факта: ${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ ${\displaystyle \ln(|f(x)|)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0}$$

Другими словами, при интегрировании по интервалу действительной прямой, не включающему , тогда где C — произвольная константа интегрирования . ^[13] ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$$

Аналогично, когда интеграл находится на интервале, где , ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

$${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$$

Например, рассмотрим интеграл по интервалу, не включающему точки, где — бесконечность: ${\displaystyle \tan(x)}$ ${\displaystyle \tan(x)}$ $${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}$$

Натуральный логарифм можно интегрировать, используя интегрирование по частям : $${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}$$

Пусть: тогда: $${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$$ $${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$$

Эффективные вычисления

Для случая, когда x > 1 , чем ближе значение x к 1, тем выше скорость сходимости его ряда Тейлора с центром в 1. Для использования этого можно использовать тождества, связанные с логарифмом: ${\displaystyle \ln(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}}$$

Подобные методы применялись еще до появления калькуляторов, когда использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, подобные описанным выше.

Натуральный логарифм 10

Натуральный логарифм числа 10, приблизительно равный2,302 585 09 , ^[14] играет роль, например, в вычислении натуральных логарифмов чисел, представленных в научной нотации , как мантисса, умноженная на степень 10: $${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$$

Это означает, что можно эффективно вычислять логарифмы чисел с очень большой или очень малой величиной , используя логарифмы относительно небольшого набора десятичных дробей в диапазоне [1, 10) .

Высокая точность

Для вычисления натурального логарифма с точностью до многих цифр подход с использованием ряда Тейлора неэффективен, поскольку сходимость медленная. Особенно если x близко к 1, хорошей альтернативой является использование метода Галлея или метода Ньютона для инвертирования показательной функции, поскольку ряд показательной функции сходится быстрее. Для нахождения значения y , чтобы получить с помощью метода Галлея, или, что эквивалентно, чтобы получить с помощью метода Ньютона, итерация упрощается до , который имеет кубическую сходимость к . ${\displaystyle \exp(y)-x=0}$ ${\displaystyle \exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0}$ $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}}$$ ${\displaystyle \ln(x)}$

Другой альтернативой для расчета с чрезвычайно высокой точностью является формула ^{[15] [16]} , где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/ s , а m выбрано так, чтобы достигалась точность p бит. (Для большинства целей достаточно значения 8 для m .) Фактически, если используется этот метод, то инверсия Ньютона натурального логарифма может быть использована наоборот для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы и π могут быть предварительно вычислены с желаемой точностью с использованием любого из нескольких известных быстро сходящихся рядов.) Или можно использовать следующую формулу: $${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,}$$ $${\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},}$$ ${\displaystyle \ln 2}$ $${\displaystyle \ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )}$$

где — тета-функции Якоби . ^[17] $${\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}}$$

Основанный на предложении Уильяма Кэхана и впервые реализованный в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C в 1979 году (называемый только «LN1» на дисплее), некоторые калькуляторы, операционные системы (например, Berkeley UNIX 4.3BSD ^[18] ), системы компьютерной алгебры и языки программирования (например, C99 ^[19] ) предоставляют специальную функцию натурального логарифма плюс 1 , альтернативно называемую LNP1 , ^{[20] [21]} или log1p ^[19] для получения более точных результатов для логарифмов, близких к нулю, путем передачи аргументов x , также близких к нулю, в функцию log1p( x ) , которая возвращает значение ln(1+ x ) , вместо передачи значения y , близкого к 1, в функцию, возвращающую ln( y ) . ^{[19] [20] [21]} Функция log1p избегает в арифметике с плавающей точкой почти полного сокращения абсолютного члена 1 со вторым членом из разложения Тейлора натурального логарифма. Это сохраняет аргумент, результат и промежуточные шаги близкими к нулю, где они могут быть наиболее точно представлены как числа с плавающей точкой. ^{[20] [21]}

Помимо основания e , стандарт IEEE 754-2008 определяет аналогичные логарифмические функции вблизи 1 для двоичных и десятичных логарифмов : log ₂ (1 + x ) и log ₁₀ (1 + x ) .

Аналогичные обратные функции с именами " expm1 ", ^[19] "expm" ^{[20] [21]} или "exp1m" также существуют, все они имеют значение expm1( x ) = exp( x ) − 1 . ^{[nb 2]}

Тождество в терминах обратного гиперболического тангенса дает высокую точность для малых значений x в системах , которые не реализуют log1p( x ) . $${\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}$$

Сложность вычислений

Вычислительная сложность вычисления натурального логарифма с использованием арифметико-геометрического среднего (для обоих вышеприведенных методов) составляет . Здесь n — количество знаков точности, с которой необходимо вычислить натуральный логарифм, а M ( n ) — вычислительная сложность умножения двух n -значных чисел. ${\displaystyle {\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}}$

Непрерывные дроби

Хотя простых цепных дробей не существует, существует несколько обобщенных цепных дробей , в том числе: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

Эти непрерывные дроби, особенно последняя, ​​быстро сходятся для значений, близких к 1. Однако натуральные логарифмы гораздо больших чисел можно легко вычислить, многократно складывая натуральные логарифмы меньших чисел, с такой же быстрой сходимостью.

Например, поскольку 2 = 1,25 ³ × 1,024, натуральный логарифм числа 2 можно вычислить следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$

Более того, поскольку 10 = 1,25 ¹⁰ × 1,024 ³ , даже натуральный логарифм 10 можно вычислить аналогично: Обратную величину натурального логарифма можно также записать следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots }$$

Например: $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots }$$

Комплексные логарифмы

Экспоненциальную функцию можно расширить до функции, которая дает комплексное число как e ^z для любого произвольного комплексного числа z ; просто используйте бесконечный ряд с x = z complex. Эту экспоненциальную функцию можно инвертировать, чтобы сформировать комплексный логарифм, который демонстрирует большинство свойств обычного логарифма. Возникают две трудности: ни один x не имеет e ^x = 0 ; и оказывается, что e ^{2 iπ} = 1 = e ⁰ . Поскольку свойство мультипликативности все еще работает для комплексной экспоненциальной функции, e ^z = e ^{z +2 kiπ} для всех комплексных z и целых чисел  k .

Итак, логарифм не может быть определен для всей комплексной плоскости , и даже тогда он многозначен — любой комплексный логарифм можно превратить в «эквивалентный» логарифм, прибавив любое целое число, кратное 2 iπ по желанию. Комплексный логарифм может быть только однозначным на плоскости сечения . Например, ln i = ⁠яπ/2⁠ или ⁠5 яπ/2⁠ или - ⁠3 яπ/2⁠, etc.; and although i⁴ = 1, 4 ln i can be defined as 2iπ, or 10iπ or −6iπ, and so on.

• Plots of the natural logarithm function on the complex plane (principal branch)
• 
  z = Re(ln(x + yi))
• 
  z = |(Im(ln(x + yi)))|
• 
  z = |(ln(x + yi))|
• 
  Superposition of the previous three graphs

See also

• Iterated logarithm
• Napierian logarithm
• List of logarithmic identities
• Logarithm of a matrix
• Logarithmic coordinates of an element of a Lie group.
• Logarithmic differentiation
• Logarithmic integral function
• Nicholas Mercator – first to use the term natural logarithm
• Polylogarithm
• Von Mangoldt function

Notes

1. Including C, C++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran, and some BASIC dialects
2. For a similar approach to reduce round-off errors of calculations for certain input values see trigonometric functions like versine, vercosine, coversine, covercosine, haversine, havercosine, hacoversine, hacovercosine, exsecant and excosecant.

References

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001113 (Decimal expansion of e)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
2. G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".
3. Mortimer, Robert G. (2005). Mathematics for physical chemistry (3rd ed.). Academic Press. p. 9. ISBN 0-12-508347-5. Extract of page 9
4. Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-29.
5. "Rules, Examples, & Formulas". Logarithm. Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-29.
6. Burn, R.P. (2001). "Alphonse Antonio de Sarasa and logarithms". Historia Mathematica. 28: 1–17. doi:10.1006/hmat.2000.2295.
7. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (September 2001). "The number e". The MacTutor History of Mathematics archive. Retrieved 2009-02-02.
8. Cajori, Florian (1991). A History of Mathematics (5th ed.). AMS Bookstore. p. 152. ISBN 0-8218-2102-4.
9. An improper integral representation of the natural logarithm., retrieved 2022-09-24
10. ""Logarithmic Expansions" at Math2.org".
11. Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum. Tomus Primus. Bousquet, Lausanne 1748. Exemplum 1, p. 228; quoque in: Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Octavum, Teubner 1922
12. RUFFA, Anthony. "A PROCEDURE FOR GENERATING INFINITE SERIES IDENTITIES" (PDF). International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Retrieved 2022-02-27. (Page 3654, equation 2.6)
13. For a detailed proof see for instance: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306.
14. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002392 (Decimal expansion of natural logarithm of 10)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
15. Sasaki, T.; Kanada, Y. (1982). "Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)". Journal of Information Processing. 5 (4): 247–250. Retrieved 2011-03-30.
16. Ahrendt, Timm (1999). "Fast Computations of the Exponential Function". Stacs 99. Lecture Notes in Computer Science. 1564: 302–312. doi:10.1007/3-540-49116-3_28. ISBN 978-3-540-65691-3.
17. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (First ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. page 225
18. Beebe, Nelson H. F. (2017-08-22). "Chapter 10.4. Logarithm near one". The Mathematical-Function Computation Handbook - Programming Using the MathCW Portable Software Library (1 ed.). Salt Lake City, UT, USA: Springer International Publishing AG. pp. 290–292. doi:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446. S2CID 30244721. In 1987, Berkeley UNIX 4.3BSD introduced the log1p() function
19. Beebe, Nelson H. F. (2002-07-09). "Computation of expm1 = exp(x)−1" (PDF). 1.00. Salt Lake City, Utah, USA: Department of Mathematics, Center for Scientific Computing, University of Utah. Retrieved 2015-11-02.
20. HP 48G Series – Advanced User's Reference Manual (AUR) (4 ed.). Hewlett-Packard. December 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2. Retrieved 2015-09-06.
21. HP 50g / 49g+ / 48gII graphing calculator advanced user's reference manual (AUR) (2 ed.). Hewlett-Packard. 2009-07-14 [2005]. HP F2228-90010. Retrieved 2015-10-10. Searchable PDF