Активная и пассивная трансформация

Различие значений преобразований евклидового пространства

В активном преобразовании (слева) точка P преобразуется в точку P ′ путем поворота по часовой стрелке на угол θ вокруг начала фиксированной системы координат. В пассивном преобразовании (справа) точка P остается неподвижной, в то время как система координат поворачивается против часовой стрелки на угол θ вокруг своего начала. Координаты P ′ после активного преобразования относительно исходной системы координат совпадают с координатами P относительно повернутой системы координат.

Геометрические преобразования можно разделить на два типа: активные или алиби-преобразования , которые изменяют физическое положение набора точек относительно фиксированной системы отсчета или системы координат ( алиби означает «находиться где-то еще в то же время»); и пассивные или псевдонимные преобразования , которые оставляют точки неподвижными, но изменяют систему отсчета или систему координат, относительно которой они описываются ( алиас означает «переходить под другим именем»). ^[1] [ ^2] Под преобразованием математики обычно подразумевают активные преобразования, в то время как физики и инженеры могут подразумевать и то, и другое. ^{[ требуется ссылка ]}

Например, активные преобразования полезны для описания последовательных положений твердого тела . С другой стороны, пассивные преобразования могут быть полезны в анализе движения человека для наблюдения за движением большеберцовой кости относительно бедренной кости , то есть ее движением относительно ( локальной ) системы координат, которая движется вместе с бедренной костью, а не ( глобальной ) системы координат, которая закреплена на полу. ^[2]

В трехмерном евклидовом пространстве любое собственное жесткое преобразование , активное или пассивное, может быть представлено как винтовое перемещение — композиция перемещения вдоль оси и вращения вокруг этой оси.

Термины активное преобразование и пассивное преобразование были впервые введены в 1957 году Валентином Баргманном для описания преобразований Лоренца в специальной теории относительности . ^[3]

Пример

Вращение рассматривается как активное ( алиби ) или пассивное ( алиас ) преобразование.

Перевод и вращение как пассивные ( псевдоним ) или активные ( алиби ) преобразования

В качестве примера, пусть вектор , будет вектором в плоскости. Поворот вектора на угол θ против часовой стрелки задается матрицей поворота : которую можно рассматривать либо как активное преобразование , либо как пассивное преобразование (где указанная выше матрица будет инвертирована ), как описано ниже. ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$

Пространственные преобразования в евклидовом пространстве R3

В общем случае пространственное преобразование может состоять из переноса и линейного преобразования. В дальнейшем перенос будет опущен, а линейное преобразование будет представлено матрицей 3×3 . ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle T}$

Активная трансформация

Как активное преобразование, преобразует исходный вектор в новый вектор . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '=(v'_{x},v'_{y},v'_{z})=T\mathbf {v} =T(v_{x},v_{y},v_{z})}$

Если рассматривать как новый базис , то координаты нового вектора в новом базисе такие же, как и в исходном базисе. Обратите внимание, что активные преобразования имеют смысл даже как линейное преобразование в другое векторное пространство . Имеет смысл записывать новый вектор в нештрихованном базисе (как выше) только тогда, когда преобразование происходит из пространства в себя. ${\displaystyle \{\mathbf {e} '_{x}=T(1,0,0),\ \mathbf {e} '_{y}=T(0,1,0),\ \mathbf {e} '_{z}=T(0,0,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '=v_{x}\mathbf {e} '_{x}+v_{y}\mathbf {e} '_{y}+v_{z}\mathbf {e} '_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z}}$

Пассивная трансформация

С другой стороны, если рассматривать как пассивное преобразование, исходный вектор остается неизменным, в то время как система координат и ее базисные векторы преобразуются в противоположном направлении, то есть с помощью обратного преобразования . ^[4] Это дает новую систему координат XYZ с базисными векторами: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{X}=T^{-1}(1,0,0),\ \mathbf {e} _{Y}=T^{-1}(0,1,0),\ \mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(0,0,1)}$$

Новые координаты относительно новой системы координат XYZ определяются выражением: ${\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{X}\mathbf {e} _{X}+v_{Y}\mathbf {e} _{Y}+v_{Z}\mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z}).}$$

Из этого уравнения видно, что новые координаты задаются выражением $${\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=T(v_{x},v_{y},v_{z}).}$$

Поскольку пассивное преобразование преобразует старые координаты в новые. ${\displaystyle T}$

Обратите внимание на эквивалентность между двумя видами преобразований: координаты новой точки в активном преобразовании и новые координаты точки в пассивном преобразовании одинаковы, а именно: $${\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=(v'_{x},v'_{y},v'_{z}).}$$

В абстрактных векторных пространствах

Различие между активными и пассивными преобразованиями можно увидеть математически, рассмотрев абстрактные векторные пространства .

Зафиксируем конечномерное векторное пространство над полем (рассматриваемым как или ), и базис . Этот базис обеспечивает изоморфизм посредством компонентного отображения . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}_{1\leq i\leq n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C:K^{n}\rightarrow V}$ ${\textstyle (v_{i})_{1\leq i\leq n}=(v_{1},\cdots ,v_{n})\mapsto \sum _{i}v_{i}e_{i}}$

Активное преобразование тогда является эндоморфизмом на , то есть линейным отображением из в себя. Принимая такое преобразование , вектор преобразуется как . Компоненты относительно базиса определяются через уравнение . Тогда компоненты преобразуются как . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \tau \in {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v\mapsto \tau v}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle \tau e_{i}=\sum _{j}\tau _{ji}e_{j}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{i}\mapsto \tau _{ij}v_{j}}$

Пассивное преобразование вместо этого является эндоморфизмом на . Это применяется к компонентам: . При условии, что обратимо, новый базис определяется путем запроса , из которого можно вывести выражение . ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle v_{i}\mapsto T_{ij}v_{j}=:v'_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}'=\{e'_{i}\}}$ ${\displaystyle v_{i}e_{i}=v'_{i}e'_{i}}$ ${\displaystyle e'_{i}=(T^{-1})_{ji}e_{j}}$

Хотя пространства и изоморфны, они не являются канонически изоморфными. Тем не менее, выбор базиса позволяет построить изоморфизм. ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{End}}({K^{n}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Как лево-, так и право-действия

Часто ограничиваются случаем, когда отображения обратимы, так что активные преобразования представляют собой общую линейную группу преобразований, а пассивные преобразования — группу . ${\displaystyle {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}$

Преобразования тогда можно понимать как действие на пространстве базисов для . Активное преобразование отправляет базис . Между тем пассивное преобразование отправляет базис . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \tau \in {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}\mapsto \{\tau e_{i}\}}$ ${\displaystyle T\in {\text{GL}}(n,K)}$ ${\textstyle \{e_{i}\}\mapsto \left\{\sum _{j}(T^{-1})_{ji}e_{j}\right\}}$

Обратное в пассивном преобразовании гарантирует, что компоненты преобразуются одинаково при и . Это дает четкое различие между активными и пассивными преобразованиями: активные преобразования действуют слева на основания, в то время как пассивные преобразования действуют справа из-за обратного. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T}$

Это наблюдение становится более естественным, если рассматривать базисы как выбор изоморфизма . Пространство базисов эквивалентно пространству таких изоморфизмов, обозначаемому . Активные преобразования, отождествляемые с , действуют на слева посредством композиции, в то время как пассивные преобразования, отождествляемые с , действуют на справа посредством предкомпозиции. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow K^{n}}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(V,K^{n})}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(V,K^{n})}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(V,K^{n})}$

Это превращает пространство баз в левый - торсор и правый - торсор. ${\displaystyle {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}$

С физической точки зрения активные преобразования можно охарактеризовать как преобразования физического пространства, тогда как пассивные преобразования характеризуются как избыточности в описании физического пространства. Это играет важную роль в математической теории калибровок , где калибровочные преобразования математически описываются с помощью карт перехода, которые действуют справа на волокна.

Смотрите также

• Изменение основы
• Ковариантность и контравариантность векторов
• Вращение осей
• Перевод осей

Ссылки

1. Крампин, М.; Пирани, FAE (1986). Применимая дифференциальная геометрия. Cambridge University Press. стр. 22.
2. Joseph K. Davidson, Kenneth Henderson Hunt (2004). "§4.4.1 Активная интерпретация и активное преобразование". Роботы и теория винтов: приложения кинематики и статики к робототехнике . Oxford University Press. стр. 74 и далее . ISBN 0-19-856245-4.
3. Баргманн, Валентайн (1957). «Относительность». Обзоры современной физики . 29 (2): 161–174. doi :10.1103/RevModPhys.29.161.
4. Амидрор, Айзек (2007). "Приложение D: Замечание D.12". Теория явления муара: Апериодические слои . Springer. стр. 346. ISBN 978-1-4020-5457-0.

• Дирк Страйк (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии , стр. 84, Эддисон-Уэсли .

Внешние ссылки

• Неоднозначность пользовательского интерфейса