Асимптота

Предел касательной в точке, стремящейся к бесконечности

График функции с горизонтальной ( y  = 0), вертикальной ( x  = 0) и наклонной асимптотами (фиолетовая линия, заданная уравнением y  = 2 x ).

Кривая, пересекающая асимптоту бесконечное число раз.

В аналитической геометрии асимптота ( / ˈ æ s ɪ m p t oʊ t / ) кривой — это линия, такая, что расстояние между кривой и линией стремится к нулю, когда одна или обе координаты x или y стремятся к бесконечности . В проективной геометрии и связанных с ней контекстах асимптота кривой — это линия, которая касается кривой в точке, удаленной на бесконечность . ^{[1] [2]}

Слово асимптота происходит от греческого ἀσύμπτωτος ( asumptōtos ), что означает «не падающий вместе», от ἀ priv. + σύν «вместе» + πτωτ-ός «упавший». ^[3] Термин был введен Аполлонием Пергским в его работе о конических сечениях , но в отличие от его современного значения, он использовал его для обозначения любой линии, которая не пересекает заданную кривую. ^[4]

Существует три вида асимптот: горизонтальные , вертикальные и наклонные . Для кривых , заданных графиком функции y = ƒ ( x ) , горизонтальные асимптоты — это горизонтальные линии, к которым график функции приближается, когда x стремится к +∞ или −∞. Вертикальные асимптоты — это вертикальные линии, вблизи которых функция растет неограниченно. Наклон наклонной асимптоты не равен нулю, но конечен, так что график функции приближается к нему, когда x стремится к +∞ или −∞.

В более общем смысле, одна кривая является криволинейной асимптотой другой (в отличие от линейной асимптоты ), если расстояние между двумя кривыми стремится к нулю, когда они стремятся к бесконечности, хотя сам термин асимптота обычно применяется только к линейным асимптотам.

Асимптоты передают информацию о поведении кривых в целом , и определение асимптот функции является важным шагом в построении ее графика. ^[5] Изучение асимптот функций, понимаемых в широком смысле, составляет часть предмета асимптотического анализа .

Введение

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$График в декартовых координатах . Оси x и y являются асимптотами.

Идея о том, что кривая может произвольно приближаться к линии, не становясь при этом такой же, может показаться противоречащей повседневному опыту. Представления линии и кривой в виде отметок на листе бумаги или пикселей на экране компьютера имеют положительную ширину. Поэтому, если бы их продлить достаточно далеко, они бы, казалось, слились, по крайней мере, насколько может различить глаз. Но это физические представления соответствующих математических сущностей; линия и кривая — идеализированные концепции, ширина которых равна 0 (см. Линия ). Поэтому понимание идеи асимптоты требует усилий разума, а не опыта.

Рассмотрим график функции, показанной в этом разделе. Координаты точек на кривой имеют вид , где x — число, отличное от 0. Например, график содержит точки (1, 1), (2, 0,5), (5, 0,2), (10, 0,1), ... Поскольку значения становятся все больше и больше, скажем, 100, 1000, 10000 ..., помещая их далеко вправо от иллюстрации, соответствующие значения , .01, .001, .0001, ..., становятся бесконечно малыми относительно показанного масштаба. Но независимо от того, насколько большими становятся, их обратная величина никогда не равна 0, поэтому кривая никогда фактически не касается оси x . Аналогично, по мере того, как значения становятся все меньше и меньше, скажем, .01, .001, .0001, ..., делая их бесконечно малыми относительно показанного масштаба, соответствующие значения , 100, 1000, 10000 ..., становятся все больше и больше. Таким образом, кривая простирается все дальше и дальше вверх по мере того, как она приближается все ближе и ближе к оси y . Таким образом, как ось x, так и ось y являются асимптотами кривой. Эти идеи являются частью основы концепции предела в математике, и эта связь более подробно объясняется ниже. ^[6] ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \left(x,{\frac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Асимптоты функций

Асимптоты, наиболее часто встречающиеся при изучении исчисления, представляют собой кривые вида y = ƒ ( x ) . Их можно вычислить с использованием пределов и классифицировать на горизонтальные , вертикальные и наклонные асимптоты в зависимости от их ориентации. Горизонтальные асимптоты — это горизонтальные линии, к которым график функции приближается, когда x стремится к +∞ или −∞. Как следует из названия, они параллельны оси x . Вертикальные асимптоты — это вертикальные линии (перпендикулярные оси x ), вблизи которых функция растет неограниченно. Наклонные асимптоты — это диагональные линии, такие, что разность между кривой и линией приближается к 0, когда x стремится к +∞ или −∞.

Вертикальные асимптоты

Линия x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = ƒ ( x ), если верно хотя бы одно из следующих утверждений:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}$

где — предел при приближении x к значению a слева (от меньших значений), а — предел при приближении x к a справа. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}}$

Например, если ƒ( x ) = x /( x –1), числитель стремится к 1, а знаменатель стремится к 0 по мере того, как x стремится к 1. Таким образом,

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x}{x-1}}=-\infty }$

и кривая имеет вертикальную асимптоту x = 1.

Функция ƒ ( x ) может быть определена или не определена в точке a , и ее точное значение в точке x = a не влияет на асимптоту. Например, для функции

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{if }}x>0,\\5&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$

имеет предел +∞ при x → 0 ⁺ , ƒ ( x ) имеет вертикальную асимптоту x = 0 , хотя ƒ (0) = 5. График этой функции пересекает вертикальную асимптоту один раз, в точке (0, 5). График функции не может пересекать вертикальную асимптоту (или вертикальную линию вообще ) более чем в одной точке. Более того, если функция непрерывна в каждой точке, где она определена, то невозможно, чтобы ее график пересекал какую-либо вертикальную асимптоту.

Распространенным примером вертикальной асимптоты является случай рациональной функции в точке x, такой, что знаменатель равен нулю, а числитель отличен от нуля.

Если функция имеет вертикальную асимптоту, то не обязательно, что производная функции имеет вертикальную асимптоту в том же месте. Примером может служить

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}+\sin({\tfrac {1}{x}})\quad }$в . ${\displaystyle \quad x=0}$

Эта функция имеет вертикальную асимптоту, поскольку ${\displaystyle x=0,}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,}$

и

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty }$.

Производная — это функция ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}}$.

Для последовательности точек

${\displaystyle x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad }$для ${\displaystyle \quad n=0,1,2,\ldots }$

, которая приближается как слева, так и справа, значения постоянно . Следовательно, оба односторонних предела при не могут быть ни , ни . Следовательно, не имеет вертикальной асимптоты при . ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f'(x_{n})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x=0}$

Горизонтальные асимптоты

Функция арктангенса имеет две различные асимптоты

Горизонтальные асимптоты — это горизонтальные линии, к которым приближается график функции при x → ±∞ . Горизонтальная линия y  =  c является горизонтальной асимптотой функции y  =  ƒ ( x ), если

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c}$или . ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c}$

В первом случае ƒ ( x ) имеет y  =  c в качестве асимптоты, когда x стремится к −∞ , а во втором случае ƒ ( x ) имеет y  =  c в качестве асимптоты, когда x стремится к +∞ .

Например, функция арктангенса удовлетворяет

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}}$и ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.}$

Таким образом, линия y = – π /2 является горизонтальной асимптотой для арктангенса, когда x стремится к –∞ , а y = π /2 является горизонтальной асимптотой для арктангенса, когда x стремится к +∞ .

Функции могут не иметь горизонтальных асимптот с одной или обеих сторон или могут иметь одну горизонтальную асимптоту, которая одинакова в обоих направлениях. Например, функция ƒ( x ) = 1/( x ² +1) имеет горизонтальную асимптоту при y  = 0, когда x стремится как к −∞, так и к +∞, потому что, соответственно,

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.}$

Другие распространенные функции, которые имеют одну или две горизонтальные асимптоты, включают x ↦ 1/ x (которая имеет гиперболу в качестве графика), функцию Гаусса , функцию ошибок и логистическую функцию . ${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}),}$

Наклонные асимптоты

На графике ось y ( x = 0) и линия y = x являются асимптотами. ${\displaystyle f(x)=x+{\tfrac {1}{x}}}$

Когда линейная асимптота не параллельна оси x или y , она называется косой асимптотой или наклонной асимптотой . Функция ƒ ( x ) является асимптотической к прямой линии y = mx + n ( m  ≠ 0), если

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ or }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.}$

В первом случае линия y = mx + n является наклонной асимптотой ƒ ( x ), когда x стремится к +∞, а во втором случае линия y = mx + n является наклонной асимптотой ƒ ( x ), когда x стремится к −∞.

Примером может служить ƒ ( x ) =  x + 1/ x , имеющая наклонную асимптоту y  =  x (то есть m  = 1, n  = 0), как видно из пределов

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.}$

Элементарные методы определения асимптот

Асимптоты многих элементарных функций можно найти без явного использования пределов (хотя при выводе таких методов пределы обычно используются).

Общее вычисление наклонных асимптот для функций

Наклонная асимптота для функции f ( x ) будет задана уравнением y = mx + n . Значение m вычисляется первым и задается как

${\displaystyle m\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x}$

где a — это либо или в зависимости от изучаемого случая. Хорошей практикой является рассмотрение двух случаев по отдельности. Если этот предел не существует, то в этом направлении нет наклонной асимптоты. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Имея m , значение n можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle n\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)}$

где a должно быть тем же значением, которое использовалось ранее. Если этот предел не существует, то в этом направлении нет наклонной асимптоты, даже если предел, определяющий m, существует. В противном случае y = mx + n является наклонной асимптотой ƒ ( x ), когда x стремится к a .

Например, функция ƒ ( x ) = (2 x ² + 3 x + 1)/ x имеет

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2}$а потом

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3}$

так что y = 2 x + 3 является асимптотой ƒ ( x ), когда x стремится к +∞.

Функция ƒ ( x ) = ln  x имеет

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$а потом

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x}$, которого не существует.

Таким образом, y = ln  x не имеет асимптоты, когда x стремится к +∞.

Асимптоты для рациональных функций

Рациональная функция имеет максимум одну горизонтальную асимптоту или наклонную асимптоту и, возможно, несколько вертикальных асимптот.

Степень числителя и степень знаменателя определяют , есть ли горизонтальные или наклонные асимптоты. Случаи приведены в таблице ниже, где deg(числитель) — степень числителя, а deg(знаменатель) — степень знаменателя.

Вертикальные асимптоты возникают только тогда, когда знаменатель равен нулю (если и числитель, и знаменатель равны нулю, сравниваются кратности нуля). Например, следующая функция имеет вертикальные асимптоты при x = 0 и x = 1, но не при x = 2.

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}}$

Наклонные асимптоты рациональных функций

Черный: график . Красный: асимптота . Зеленый: разница между графиком и его асимптотой для ${\displaystyle f(x)=(x^{2}+x+1)/(x+1)}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle x=1,2,3,4,5,6}$

Когда числитель рациональной функции имеет степень ровно на единицу больше, чем знаменатель, функция имеет наклонную асимптоту. Асимптота — это полиномиальный член после деления числителя и знаменателя. Это явление происходит потому, что при делении дроби будет линейный член и остаток. Например, рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}}$

показано справа. По мере увеличения значения x f приближается к асимптоте y = x . Это происходит потому, что другой член, 1/( x +1), приближается к 0.

Если степень числителя больше степени знаменателя более чем на 1, а знаменатель не делит числитель, то будет ненулевой остаток, стремящийся к нулю при увеличении x , но частное не будет линейным, и функция не будет иметь наклонной асимптоты.

Преобразования известных функций

Если известная функция имеет асимптоту (например, y = 0 для f (x) = e ^x ), то ее трансляции также имеют асимптоту.

• Если x = a — вертикальная асимптота f ( x ), то x = a + h — вертикальная асимптота f ( x - h )
• Если y = c — горизонтальная асимптота f ( x ), то y = c + k — горизонтальная асимптота f ( x )+ k

Если известная функция имеет асимптоту, то и масштабирование функции также имеет асимптоту.

• Если y = ax + b является асимптотой f ( x ), то y = cax + cb является асимптотой cf ( x )

Например, f ( x )= e ^{x -1} +2 имеет горизонтальную асимптоту y =0+2=2 и не имеет вертикальных или наклонных асимптот.

Общее определение

(sec(t), cosec(t)) или x ² + y ² = (xy) ² , с 2 горизонтальными и 2 вертикальными асимптотами.

Пусть A  : ( a , b ) → R ² — параметрическая плоская кривая в координатах A ( t ) = ( x ( t ), y ( t )). Предположим, что кривая стремится к бесконечности, то есть:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow b}(x^{2}(t)+y^{2}(t))=\infty .}$

Прямая ℓ является асимптотой A , если расстояние от точки A ( t ) до ℓ стремится к нулю при t  →  b . ^[7] Из определения следует, что асимптоту могут иметь только открытые кривые, имеющие некоторую бесконечную ветвь. Ни одна замкнутая кривая не может иметь асимптоту.

Например, верхняя правая ветвь кривой y  = 1/ x может быть определена параметрически как x  =  t , y  = 1/ t (где t > 0). Во-первых, x  → ∞ при t  → ∞, а расстояние от кривой до оси x равно 1/ t , что стремится к 0 при t  → ∞. Следовательно, ось x является асимптотой кривой. Кроме того, y  → ∞ при t  → 0 справа, а расстояние между кривой и осью y равно t , что стремится к 0 при t  → 0. Следовательно, ось y также является асимптотой. Аналогичное рассуждение показывает, что нижняя левая ветвь кривой также имеет те же две линии в качестве асимптот.

Хотя определение здесь использует параметризацию кривой, понятие асимптоты не зависит от параметризации. Фактически, если уравнение прямой есть то расстояние от точки A ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) до прямой определяется как ${\displaystyle ax+by+c=0}$

${\displaystyle {\frac {|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

если γ( t ) является изменением параметризации, то расстояние становится

${\displaystyle {\frac {|ax(\gamma (t))+by(\gamma (t))+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

которое стремится к нулю одновременно с предыдущим выражением.

Важный случай — когда кривая является графиком действительной функции ( функции одной действительной переменной, возвращающей действительные значения). График функции y  =  ƒ ( x ) — это множество точек плоскости с координатами ( x , ƒ ( x )). Для этого параметризация

${\displaystyle t\mapsto (t,f(t)).}$

Эту параметризацию следует рассматривать на открытых интервалах ( a , b ), где a может быть −∞, а b может быть +∞.

Асимптота может быть как вертикальной, так и невертикальной (наклонной или горизонтальной). В первом случае ее уравнение x  =  c , для некоторого действительного числа c . Невертикальный случай имеет уравнение y = mx + n , где m и — действительные числа. Все три типа асимптот могут присутствовать одновременно в конкретных примерах. В отличие от асимптот для кривых, являющихся графиками функций, общая кривая может иметь более двух невертикальных асимптот и может пересекать свои вертикальные асимптоты более одного раза. ${\displaystyle n}$

Криволинейные асимптоты

x ² +2 x +3 является параболической асимптотой к ( x ³ +2 x ² +3 x +4)/ x

Пусть A  : ( a , b ) → R ² — параметрическая плоская кривая в координатах A ( t ) = ( x ( t ), y ( t )), а B — другая (непараметризованная) кривая. Предположим, как и прежде, что кривая A стремится к бесконечности. Кривая B является криволинейной асимптотой A , если кратчайшее расстояние от точки A ( t ) до точки на B стремится к нулю при t  →  b . Иногда B просто называют асимптотой A , когда нет риска путаницы с линейными асимптотами. ^[8]

Например, функция

${\displaystyle y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}}$

имеет криволинейную асимптоту y = x ² + 2 x + 3 , которая известна как параболическая асимптота , поскольку она представляет собой параболу, а не прямую линию. ^[9]

Асимптоты и построение кривых

Асимптоты используются в процедурах построения кривых . Асимптота служит в качестве направляющей линии, показывающей поведение кривой по направлению к бесконечности. ^[10] Для того чтобы получить лучшие приближения кривой, также использовались криволинейные асимптоты ^[11], хотя термин асимптотическая кривая, по-видимому, более предпочтителен. ^[12]

Алгебраические кривые

Кубическая кривая , лист Декарта (сплошная) с единственной действительной асимптотой (пунктирная).

Асимптоты алгебраической кривой в аффинной плоскости — это линии, которые касаются проективизированной кривой через точку на бесконечности . ^[13] Например, таким образом можно определить асимптоты к единичной гиперболе . Асимптоты часто рассматриваются только для действительных кривых, ^[14] хотя они также имеют смысл, если определены таким образом для кривых над произвольным полем . ^[15]

Плоская кривая степени n пересекает свою асимптоту не более чем в n −2 других точках, по теореме Безу , поскольку пересечение на бесконечности имеет кратность не менее двух. Для конического сечения существует пара прямых, которые не пересекают коническое сечение ни в одной комплексной точке: это две асимптоты конического сечения.

Плоская алгебраическая кривая определяется уравнением вида P ( x , y )=0, где P — многочлен степени n.

${\displaystyle P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}}$

где P _k является однородным степени k . Обращение в нуль линейных множителей члена наивысшей степени P _n определяет асимптоты кривой: полагая Q = P _n , если P _n ( x , y ) = ( ax − by ) Q _{n −1} ( x , y ) , то линия

${\displaystyle Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0}$

является асимптотой, если и не равны нулю. Если и , то асимптоты нет, но кривая имеет ветвь, похожую на ветвь параболы. Такая ветвь называется ${\displaystyle Q'_{x}(b,a)}$ ${\displaystyle Q'_{y}(b,a)}$ ${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0}$ ${\displaystyle P_{n-1}(b,a)\neq 0}$параболическая ветвь , даже если она не имеет параболы, которая является криволинейной асимптотой. Есликривая имеет особую точку на бесконечности, которая может иметь несколько асимптот или параболических ветвей. ${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,}$

Над комплексными числами P _n распадается на линейные множители, каждый из которых определяет асимптоту (или несколько для нескольких множителей). Над действительными числами P _n распадается на множители, которые являются линейными или квадратичными множителями. Только линейные множители соответствуют бесконечным (действительным) ветвям кривой, но если линейный множитель имеет кратность больше единицы, кривая может иметь несколько асимптот или параболических ветвей. Может также случиться, что такой кратный линейный множитель соответствует двум комплексно сопряженным ветвям и не соответствует никакой бесконечной ветви действительной кривой. Например, кривая x ⁴ + y ² - 1 = 0 не имеет действительных точек вне квадрата , но ее член высшего порядка дает линейный множитель x с кратностью 4, что приводит к единственной асимптоте x = 0. ${\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}$

Асимптотический конус

Гиперболы, полученные сечением одного и того же прямого кругового конуса плоскостью, и их асимптоты.

Гипербола​

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

имеет две асимптоты

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x.}$

Уравнение для объединения этих двух линий имеет вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$

Аналогично гиперболоид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

Говорят, что имеет асимптотический конус ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}$

Расстояние между гиперболоидом и конусом стремится к 0 по мере того, как расстояние от начала координат стремится к бесконечности.

В более общем случае рассмотрим поверхность, имеющую неявное уравнение , где являются однородными многочленами степени и . Тогда уравнение определяет конус с центром в начале координат. Он называется асимптотическим конусом , потому что расстояние до конуса точки поверхности стремится к нулю, когда точка на поверхности стремится к бесконечности. ${\displaystyle P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle P_{d-1}=0}$ ${\displaystyle P_{d}(x,y,z)=0}$

Смотрите также

• Обозначение «Большое О»

Ссылки

Общие ссылки

• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Асимптота», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

Конкретные ссылки

1. Уильямсон, Бенджамин (1899), «Асимптоты», Элементарный трактат по дифференциальному исчислению.
2. Нунемахер, Джеффри (1999), «Асимптоты, кубические кривые и проективная плоскость», Mathematics Magazine , 72 (3): 183–192, CiteSeerX 10.1.1.502.72 , doi :10.2307/2690881, JSTOR  2690881 
3. Оксфордский словарь английского языка , второе издание, 1989.
4. DE Smith, История математики, т. 2, Довер (1958), стр. 318.
5. Апостол, Том М. (1967), Исчисление, т. 1: Однопеременное исчисление с введением в линейную алгебру (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-00005-1, §4.18.
6. Ссылка на раздел: «Асимптота» The Penny Cyclopædia т. 2, Общество распространения полезных знаний (1841) Charles Knight and Co., Лондон, стр. 541
7. Погорелов, А.В. (1959), Дифференциальная геометрия , Перевод с первого русского изд. Л.Ф. Борона, Гронинген: P. Noordhoff NV, MR  0114163, §8.
8. Фаулер, Р. Х. (1920), Элементарная дифференциальная геометрия плоских кривых, Кембридж, University Press, hdl :2027/uc1.b4073882, ISBN 0-486-44277-2, стр. 89 и далее.
9. Уильям Николсон, Британская энциклопедия, или словарь искусств и наук; содержащий точный и популярный взгляд на современное состояние человеческих знаний , т. 5, 1809 г.
10. Фрост, П. Элементарный трактат о построении кривых (1918) онлайн
11. Фаулер, Р. Х. Элементарная дифференциальная геометрия плоских кривых. Кембридж, University Press, 1920, стр. 89 и далее. (онлайн на archive.org)
12. Фрост, П. Элементарный трактат о построении кривых , 1918, стр. 5
13. CG Gibson (1998) Элементарная геометрия алгебраических кривых , § 12.6 Асимптоты, Cambridge University Press ISBN 0-521-64140-3 , 
14. Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1959), Трактат об алгебраических плоских кривых , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 0-486-49576-0, МР  0120551, стр. 40–44.
15. Кунц, Эрнст (2005), Введение в плоские алгебраические кривые , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4381-2, МР  2156630, стр. 121.
16. Л. П. Сицелофф, Г. Вентворт, Д. Э. Смит Аналитическая геометрия (1922) стр. 271
17. П. Фрост Геометрия твердого тела (1875) Это более общая трактовка асимптотических поверхностей.

Внешние ссылки

• Асимптота в PlanetMath .
• Гиперболоид и асимптотический конус, модель струнной поверхности, 1872 г. Архивировано 15 февраля 2012 г. на Wayback Machine из Музея науки