Неевклидова геометрия

Две геометрии, основанные на аксиомах, тесно связанных с аксиомами, определяющими евклидову геометрию.

Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трёх типов геометрии

В математике неевклидова геометрия состоит из двух геометрий, основанных на аксиомах , тесно связанных с теми, которые определяют евклидову геометрию . Поскольку евклидова геометрия лежит на пересечении метрической геометрии и аффинной геометрии , неевклидова геометрия возникает либо в результате замены постулата параллельности альтернативой, либо в результате ослабления метрического требования. В первом случае получаются гиперболическая геометрия и эллиптическая геометрия , традиционные неевклидовы геометрии. Когда метрические требования ослаблены, с планарными алгебрами связаны аффинные плоскости, которые приводят к кинематической геометрии, которую также называют неевклидовой геометрией.

Принципы

Существенное различие между метрическими геометриями заключается в природе параллельных линий. Пятый постулат Евклида , постулат параллельности , эквивалентен постулату Плейфэра , который утверждает, что в двумерной плоскости для любой данной прямой l и точки A , которая не находится на l , существует ровно одна прямая, проходящая через A. который не пересекает l . В гиперболической геометрии, напротив, существует бесконечно много линий, проходящих через A , не пересекающих l , тогда как в эллиптической геометрии любая линия, проходящая через A , пересекает l .

Другой способ описать различия между этими геометриями — рассмотреть две прямые линии, бесконечно протяженные в двумерной плоскости, которые обе перпендикулярны третьей линии (в той же плоскости):

• В евклидовой геометрии линии остаются на постоянном расстоянии друг от друга (это означает, что линия, проведенная перпендикулярно одной линии в любой точке, будет пересекать другую линию, а длина отрезка, соединяющего точки пересечения, остается постоянной) и известны как параллели.
• В гиперболической геометрии они «отклоняются» друг от друга, увеличиваясь в расстоянии по мере удаления от точек пересечения с общим перпендикуляром; эти линии часто называют ультрапараллелями .
• В эллиптической геометрии линии «кривятся» друг к другу и пересекаются.

История

Фон

Евклидова геометрия , названная в честь греческого математика Евклида , включает в себя некоторые из древнейших известных математических вычислений, а геометрии, которые отклонялись от нее, не были широко признаны законными до 19 века.

Дебаты, которые в конечном итоге привели к открытию неевклидовой геометрии, начались почти сразу после того, как Евклид написал «Начала» . В «Началах » Евклид начинает с ограниченного числа предположений (23 определения, пяти общих понятий и пяти постулатов) и стремится доказать все остальные результаты ( предложения ) в работе. Самый известный из постулатов часто называют «Пятым постулатом Евклида», или просто параллельным постулатом , который в оригинальной формулировке Евклида звучит так:

Если прямая падает на две прямые так, что внутренние углы одной и той же стороны вместе меньше двух прямых углов, то прямые, если производить их бесконечно, пересекутся на той стороне, на которой углы меньше двух прямых. два прямых угла.

Другие математики разработали более простые формы этого свойства. Однако независимо от формы постулата он неизменно оказывается более сложным, чем другие постулаты Евклида :

1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.

2. Производить [продлевать] конечную прямую непрерывно по прямой.

3. Описать круг с любым центром и расстоянием [радиусом].

4. Что все прямые углы равны между собой.

По крайней мере тысячу лет геометры были обеспокоены несопоставимой сложностью пятого постулата и полагали, что его можно доказать как теорему, основанную на четырех других постулатах. Многие пытались найти доказательство от противного , в том числе Ибн аль-Хайсам (Альхазен, 11 век), ^[1] Омар Хайям (12 век), Насир ад-Дин ат-Туси (13 век) и Джованни Джироламо Саккери (18 век). ).

Теоремы Ибн аль-Хайсама, Хайяма и ат-Туси о четырехугольниках , включая четырехугольник Ламберта и четырехугольник Саккери , были «первыми несколькими теоремами гиперболической и эллиптической геометрии ». Эти теоремы вместе с альтернативными им постулатами, такими как аксиома Плейфэра , сыграли важную роль в более позднем развитии неевклидовой геометрии. Эти ранние попытки оспорить пятый постулат оказали значительное влияние на его развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело , Леви бен Герсона , Альфонсо , Джона Уоллиса и Саккери. ^[2] Однако все эти ранние попытки сформулировать неевклидову геометрию давали ошибочные доказательства постулата параллельности, зависящие от предположений, которые теперь признаны по существу эквивалентными постулату параллельности. Однако эти ранние попытки предоставили некоторые ранние свойства гиперболической и эллиптической геометрии.

Хайям, например, пытался вывести его из эквивалентного постулата, сформулированного им из «Принципов Философа» ( Аристотеля ): «Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в том направлении, в котором они сходиться». ^[3] Затем Хайям рассмотрел три случая правильных, тупых и острых, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них он правильно опроверг тупой и острый случаи, основанные на его постулате и, следовательно, вывел классический постулат Евклида, которого он не осознавал, был эквивалентен его собственному постулату. Другой пример - сын ат-Туси, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), написавший в 1298 году книгу на эту тему, основанную на более поздних мыслях ат-Туси, в которой представил другую гипотезу, эквивалентную постулату о параллельности. . «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих положений из « Начал ». ^{[4] [5]} Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами, в том числе Саккери ^[4] , который критиковал эту работу, а также работу Уоллиса. ^[6]

Джордано Витале в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены.

В работе под названием Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (« Евклид, свободный от всех недостатков »), опубликованной в 1733 году, Саккери быстро отверг эллиптическую геометрию как возможность (некоторые другие аксиомы Евклида должны быть изменены, чтобы эллиптическая геометрия работала) и приступил к работе, доказывая большое количество результатов по гиперболической геометрии.

В конце концов он достиг точки, когда поверил, что его результаты демонстрируют невозможность гиперболической геометрии. Его утверждение, похоже, было основано на евклидовых предпосылках, поскольку в нем не было никакого логического противоречия. В этой попытке доказать евклидову геометрию он вместо этого непреднамеренно открыл новую жизнеспособную геометрию, но не осознал ее.

В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал «Теорию параллелизма» , в которой попытался, как и Саккери, доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, ныне известной как четырехугольник Ламберта , четырехугольник с тремя прямыми углами (можно считать половиной четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении острого угла. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлению о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Дальше он эту идею не развивал. ^[7]

В то время широко распространено мнение, что Вселенная действует в соответствии с принципами евклидовой геометрии. ^[8]

Открытие неевклидовой геометрии.

Начало XIX века, наконец, стало свидетелем решающих шагов в создании неевклидовой геометрии. Около 1813 года Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт ^[9] разработали основные идеи неевклидовой геометрии, но не опубликовали никаких результатов. Племянник Швейкарта Франц Тауринус опубликовал важные результаты гиперболической тригонометрии в двух статьях в 1825 и 1826 годах, однако, признавая внутреннюю непротиворечивость гиперболической геометрии, он все же верил в особую роль евклидовой геометрии. ^[10]

Затем в 1829–1830 гг. русский математик Николай Иванович Лобачевский и в 1832 г. венгерский математик Янош Бойяи отдельно и независимо опубликовали трактаты по гиперболической геометрии. Следовательно, гиперболическую геометрию называют геометрией Лобачевского или геометрией Бояи-Лобачевского, так как оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бояи, когда ему показали работу младшего Бояи, что он разработал такую ​​геометрию несколько лет назад ^[11] , хотя и не опубликовал ее. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бояи разработал геометрию, в которой в зависимости от параметра  k возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрия . Боляи заканчивает свою работу упоминанием, что невозможно решить только с помощью математических рассуждений, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук.

Бернхард Риман в знаменитой лекции 1854 года основал область римановой геометрии , обсуждая, в частности, идеи, ныне называемые многообразиями , римановой метрикой и кривизной . Он построил бесконечное семейство неевклидовых геометрий, дав формулу для семейства римановых метрик на единичном шаре в евклидовом пространстве . Самая простая из них называется эллиптической геометрией и считается неевклидовой геометрией из-за отсутствия параллельных линий. ^[12]

Сформулировав геометрию в терминах тензора кривизны , Риман позволил неевклидовой геометрии применяться к более высоким измерениям. Бельтрами (1868) был первым, кто применил геометрию Римана к пространствам отрицательной кривизны.

Терминология

Именно Гаусс ввел термин «неевклидова геометрия». ^[13] Он имел в виду свою собственную работу, которую сегодня мы называем гиперболической геометрией или геометрией Лобачевского . Некоторые современные авторы до сих пор используют общий термин « неевклидова геометрия» для обозначения гиперболической геометрии . ^[14]

Артур Кейли отметил, что расстояние между точками внутри конуса можно определить с помощью логарифма и функции проективного перекрестного отношения . Этот метод стал называться метрикой Кэли-Клейна, потому что Феликс Кляйн использовал его для описания неевклидовой геометрии в статьях ^[15] в 1871 и 1873 годах, а затем в виде книги. Метрики Кэли-Клейна предоставили рабочие модели гиперболической и эллиптической метрической геометрии, а также евклидовой геометрии.

Клейну принадлежат термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он называл евклидову геометрию параболической — термин, вообще вышедший из употребления ^[16] ). Его влияние привело к нынешнему использованию термина «неевклидова геометрия» для обозначения либо «гиперболической», либо «эллиптической» геометрии.

Есть математики, которые различными способами расширяют список геометрий, которые следует называть «неевклидовыми». ^[17]

Существует много видов геометрии, которые сильно отличаются от евклидовой геометрии, но также не обязательно включаются в общепринятое значение «неевклидовой геометрии», например, более общие примеры римановой геометрии .

Аксиоматические основы неевклидовой геометрии.

Евклидову геометрию можно аксиоматически описать несколькими способами. Однако первоначальная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не входит в их число, поскольку его доказательства опирались на несколько невысказанных предположений, которые также следовало принять в качестве аксиом. Система Гильберта , состоящая из 20 аксиом ^[18], наиболее близко соответствует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие разные наборы неопределенных терминов, получают одну и ту же геометрию разными путями. Однако все подходы имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида — постулату параллельности. Гильберт использует форму аксиомы Плейфэра, в то время как Биркгоф , например, использует аксиому, которая гласит: «Существует пара подобных, но не конгруэнтных треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату параллельности, в какой бы форме она ни принималась, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, приводит к созданию абсолютной геометрии . Поскольку первые 28 положений Евклида (в «Началах» ) не требуют использования постулата параллельности или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии. ^[19]

Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) необходимо заменить его отрицанием . Отрицание формы аксиомы Playfair , поскольку это составное утверждение (... существует одно и только одно...), может быть выполнено двумя способами:

• Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку, параллельную данной прямой, либо не будет существовать прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае, заменив постулат о параллельности (или его эквивалент) утверждением «На плоскости, для данной точки P и прямой l , не проходящей через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются с l » и сохраняя все остальные аксиомы дают гиперболическую геометрию . ^[20]
• Со вторым случаем справиться не так просто. Простая замена постулата о параллельности утверждением: «На плоскости, для которой задана точка P и прямая l , не проходящая через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются с l », не дает непротиворечивого набора аксиом. Это следует из того, что в абсолютной геометрии существуют параллельные прямые, ^[21] , но это утверждение говорит, что параллельных прямых не существует. Эта проблема была известна (в другом обличье) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для отказа от так называемого «случай тупого угла». Чтобы получить согласованный набор аксиом, включающий аксиому об отсутствии параллельных линий, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Эти корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти изменения приводят к изменению второго постулата Евклида с утверждения о том, что отрезки линий могут быть продлены до бесконечности, на утверждение о том, что линии неограничены. Эллиптическая геометрия Римана оказывается наиболее естественной геометрией, удовлетворяющей этой аксиоме.

Модели

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрии в двух измерениях.

На сфере сумма углов треугольника не равна 180°. Поверхность сферы не является евклидовым пространством, но локально законы евклидовой геометрии являются хорошими приближениями. В маленьком треугольнике на поверхности Земли сумма углов почти равна 180°.

Модели неевклидовой геометрии — это математические модели геометрий, которые являются неевклидовыми в том смысле, что невозможно провести ровно одну линию параллельно данной прямой l через точку, не лежащую на l . В гиперболических геометрических моделях, напротив, через A проходит бесконечно много прямых, параллельных l , а в эллиптических геометрических моделях параллельных линий не существует. (Для получения дополнительной информации см. статьи о гиперболической геометрии и эллиптической геометрии .)

Евклидова геометрия моделируется нашим понятием «плоской плоскости ». Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где линии представляют собой « большие круги » (такие как экватор или меридианы на земном шаре ), а точки, противоположные друг другу, идентифицируются (считаются одинаковыми). Псевдосфера имеет соответствующую кривизну для моделирования гиперболической геометрии.

Эллиптическая геометрия

Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где линии представляют собой « большие круги » (например, экватор или меридианы на земном шаре ), а точки, противоположные друг другу (называемые антиподальными точками ), идентифицируются (считаются одинаковыми). Это также одна из стандартных моделей реальной проективной плоскости . Отличие состоит в том, что в качестве модели эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, а в модели проективной плоскости такая метрика отсутствует.

В эллиптической модели для любой заданной прямой l и точки A , которая не находится на l , все прямые, проходящие через A , будут пересекать l .

Гиперболическая геометрия

Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бояи оставался вопрос: «Существует ли такая модель для гиперболической геометрии ?». Ответ на модель гиперболической геометрии предложил Эухенио Бельтрами в 1868 году, который первым показал, что поверхность, называемая псевдосферой , имеет соответствующую кривизну для моделирования части гиперболического пространства, а во второй статье того же года определил модель Клейна , которая моделирует все гиперболическое пространство и использовал это, чтобы показать, что евклидова геометрия и гиперболическая геометрия равносогласованы , так что гиперболическая геометрия была логически непротиворечивой тогда и только тогда, когда евклидова геометрия была таковой. (Обратный вывод следует из модели орисферы евклидовой геометрии.)

В гиперболической модели внутри двумерной плоскости для любой заданной прямой l и точки A , не находящейся на l , существует бесконечно много линий, проходящих через A , которые не пересекают l .

В этих моделях концепции неевклидовой геометрии представлены евклидовыми объектами в евклидовой обстановке. Это вносит искажение восприятия, при котором прямые линии неевклидовой геометрии представлены евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Этот «изгиб» не является свойством неевклидовых линий, а лишь уловкой их изображения.

Трехмерная неевклидова геометрия

В трех измерениях существует восемь моделей геометрии. ^[22] Существуют евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии, как и в двумерном случае; смешанная геометрия, частично евклидова, частично гиперболическая или сферическая; закрученные версии смешанной геометрии; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропна (т.е. каждое направление ведет себя по-разному).

Необычные свойства

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

Четырехугольники Саккери в трех геометриях

Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизма. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией ). Однако наибольшее внимание исторически уделялось свойствам, отличающим одну геометрию от других.

Помимо упомянутого во введении поведения прямых относительно общего перпендикуляра, мы имеем еще следующее:

• Четырехугольник Ламберта – это четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертый угол четырехугольника Ламберта острый , если геометрия гиперболическая, прямой угол, если геометрия евклидова, или тупой, если геометрия эллиптическая. Следовательно, прямоугольники существуют (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
• Четырехугольник Саккери — это четырехугольник с двумя сторонами одинаковой длины, обе перпендикулярны стороне, называемой основанием . Два других угла четырехугольника Саккери называются вершинными углами и имеют одинаковую меру. Верхние углы четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, прямые углы, если геометрия евклидова, и тупые углы, если геометрия эллиптическая.
• Сумма углов любого треугольника меньше 180°, если геометрия гиперболическая, равна 180°, если геометрия евклидова, и больше 180°, если геометрия эллиптическая. Дефект треугольника – это числовое значение (180° – сумма мер углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положителен, дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю, а дефект треугольников в эллиптической геометрии отрицательен.

Важность

До того, как Бельтрами, Кляйн и Пуанкаре представили модели неевклидовой плоскости, евклидова геометрия считалась неоспоримой математической моделью пространства . Более того, поскольку сущность предмета синтетической геометрии была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения представляла собой абсолютный авторитет.

Открытие неевклидовой геометрии имело волновой эффект, выходящий далеко за пределы математики и естественных наук. Особую роль для геометрии сыграл подход философа Иммануила Канта к человеческому знанию. Это был его яркий пример синтетического априорного знания; не полученные от чувств и не выведенные с помощью логики — наши знания о пространстве были истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция неизменно истинной геометрии была евклидовой. На богословие также повлиял переход от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика связана с окружающим миром, что стало результатом этой смены парадигмы. ^[23]

Неевклидова геометрия — пример научной революции в истории науки , в ходе которой математики и учёные изменили взгляды на свои предметы. ^[24] Некоторые геометры называли Лобачевского « Коперником геометрии» из-за революционного характера его работ. ^{[25] [26]}

Существование неевклидовых геометрий во многом повлияло на интеллектуальную жизнь викторианской Англии ^[27] и, в частности, было одним из ведущих факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии на основе « Начал» Евклида . Этот вопрос учебной программы в то время горячо обсуждался и даже стал темой книги « Евклид и его современные соперники» , написанной Чарльзом Лютвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл , автор « Алисы в стране чудес ».

Плоские алгебры

В аналитической геометрии плоскость описывается декартовыми координатами : C = { ( x, y ) : x , y ∈ ℝ }. Точки иногда обозначаются комплексными числами z = x + yε , где ε2 ^∈ { –1, 0, 1}.

Евклидова плоскость соответствует случаю ε ² = −1 , поскольку модуль z определяется выражением

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(x-y\epsilon )=x^{2}+y^{2}}$

и эта величина представляет собой квадрат евклидова расстояния между z и началом координат. Например, { z | zz * = 1} — единичный круг .

Для планарной алгебры неевклидова геометрия возникает и в остальных случаях. Когда ε ² = +1 , тогда z является расщепленным комплексным числом и традиционно j заменяет эпсилон. Затем

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(x-y\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!}$

и { г | zz * = 1} — единичная гипербола .

Когда ε2 ⁼ 0 , то z — двойственное число . ^[28]

Этот подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклона в двойственной числовой плоскости и гиперболический угол в расщепленной комплексной плоскости соответствуют углу в евклидовой геометрии. Действительно, каждый из них возникает при полярном разложении комплексного числа z . ^[29]

Кинематическая геометрия

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике вместе с физической космологией , введенной Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел в математическую физику такие термины, как мировая линия и собственное время . Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем можно рассматривать как гиперболическое трехмерное пространство . ^{[30] [31]} Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн нарисовал это подмногообразие с помощью своей «Алгебры физики» и гиперболических кватернионов , хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется гиперболоидной моделью гиперболической геометрии. .

Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, число расщепленного комплекса z = e ^{a j} может представлять пространственно-временное событие на один момент в будущем в системе отсчета с быстротой a . Более того, умножение на z представляет собой усиление Лоренца , отображающее кадр с нулевой скоростью в кадр с быстротой a .

Кинематическое исследование использует двойственные числа для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : уравнения эквивалентны сдвиговому отображению в линейной алгебре: ${\displaystyle z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$ ${\displaystyle x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.}$

Для двойственных чисел отображение ^[32] ${\displaystyle t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .}$

Другой взгляд на специальную теорию относительности как на неевклидову геометрию был выдвинут Э.Б. Уилсоном и Гилбертом Льюисом в трудах Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они переработали аналитическую геометрию, неявную в алгебре комплексных чисел с расщеплением, в синтетическую геометрию посылок. и вычеты. ^{[33] [34]}

Вымысел

Неевклидова геометрия часто появляется в произведениях научной фантастики и фэнтези .

• В 1895 году Герберт Уэллс опубликовал рассказ «Замечательная история глаз Дэвидсона». Чтобы оценить эту историю, нужно знать, как в модели эллиптической плоскости определяются противоположные точки на сфере. По сюжету, в разгар грозы Сидни Дэвидсон видит «Волны и удивительно аккуратную шхуну», работая в электротехнической лаборатории Харлоуского технического колледжа. В конце истории Дэвидсон оказывается свидетелем того, как HMS Fulmar у острова Антиподов .
• Неевклидову геометрию иногда связывают с влиянием писателя ужасов ХХ века Г. П. Лавкрафта . В его работах многие неестественные вещи подчиняются своим уникальным законам геометрии: в « Мифах Ктулху» Лавкрафта затонувший город Р'лайх характеризуется своей неевклидовой геометрией. Подразумевается, что это достигается как побочный эффект несоблюдения естественных законов этой вселенной, а не просто использования альтернативной геометрической модели, поскольку, как говорят, явная врожденная неправильность ее способна свести с ума тех, кто смотрит на нее. ^[35]
• Главный герой книги Роберта Пирсига « Дзен и искусство обслуживания мотоциклов» неоднократно упоминал риманову геометрию .
• В «Братьях Карамазовых » Достоевский обсуждает неевклидову геометрию через своего персонажа Ивана.
• В романе Кристофера Приста «Перевернутый мир» описывается борьба живущих на планете с формой вращающейся псевдосферы .
• В книге Роберта Хайнлайна «Число зверя» неевклидова геометрия используется для объяснения мгновенного перемещения в пространстве и времени, а также между параллельными и вымышленными вселенными.
• HyperRogue от Zeno Rogue — это игра в стиле рогалик , действие которой происходит на гиперболической плоскости , что позволяет игроку испытать на себе многие свойства этой геометрии. Многие механики, квесты и локации сильно зависят от особенностей гиперболической геометрии. ^[36]
• В научно-фантастическом сеттинге Renegade Legion для военных игр , ролевых игр и художественной литературы FASA путешествия и связь со скоростью, превышающей скорость света, возможны благодаря использованию « Многомерной неевклидовой геометрии» Се Хо, опубликованной где-то в середине 22 век.
• В «Флаттерленде» Яна Стюарта главная героиня Виктория Лайн посещает всевозможные неевклидовы миры.

Смотрите также

• Гиперболическое пространство
• Ленарт сфера
• Проективная геометрия
• Неевклидов поверхностный рост
• Параллельность (геометрия)#В неевклидовой геометрии
• Сферическая геометрия # Связь с аналогичными геометриями

Примечания

1. Эдер, Мишель (2000), Взгляды на постулат параллельности Евклида в Древней Греции и средневековом исламе , Университет Рутгерса , получено 23 января 2008 г.
2. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич, «Геометрия», с. 470, в Рошди Рашед и Режис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки , том. 2, стр. 447–494, Рутледж , Лондон и Нью-Йорк:

   «Три учёных, Ибн аль-Хайсам, Хайям и ат-Туси, внесли наиболее значительный вклад в эту отрасль геометрии, важность которой была полностью признана только в девятнадцатом веке. По существу, их положения относительно свойств четырёхугольника — которые они рассматривали, предполагая, что некоторые углы этих фигур были острыми или тупыми, — воплотили в себе первые несколько теорем гиперболической и эллиптической геометрий. Другие их предложения показали, что различные геометрические утверждения эквивалентны евклидову постулату V. Это чрезвычайно важно что эти учёные установили взаимную связь между этим постулатом и суммой углов треугольника и четырёхугольника.Своими работами по теории параллельных прямых арабские математики непосредственно повлияли на соответствующие исследования своих европейских коллег.Первая европейская попытка доказать Постулат о параллельных линиях, выдвинутый Витело , польскими учёными XIII века, при пересмотре «Книги оптики» Ибн аль-Хайсама ( «Китаб аль-Маназир »), несомненно, был подсказан арабскими источниками. Доказательства, выдвинутые в четырнадцатом веке еврейским ученым Леви бен Герсоном , жившим на юге Франции, и упомянутым выше Альфонсо из Испании непосредственно граничат с доказательством Ибн аль-Хайсама. Выше мы показали, что « Изложение Евклида» Псевдо-Тузи стимулировало исследования теории параллельных прямых как Дж. Уоллиса, так и Дж. Саккери ».

3. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», с. 467, в Рошди Рашед и Режис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки , том. 2, стр. 447–494, Рутледж , ISBN 0-415-12411-5 . 
4. Виктор Дж. Кац (1998), История математики: Введение , стр. 270–271, Аддисон – Уэсли , ISBN 0-321-01618-1 : 

   «Но в рукописи, написанной, вероятно, его сыном Садр ад-Дином в 1298 году и основанной на более поздних мыслях Насир ад-Дина по этому вопросу, есть новый аргумент, основанный на другой гипотезе, также эквивалентной гипотезе Евклида, [...] Важность этой последней работы состоит в том, что она была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами. В частности, она стала отправной точкой для работ Саккери и, в конечном счете, для открытия неевклидовой геометрии».

5. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Рошди Рашед, изд., Энциклопедия истории арабской науки , том. 2, стр. 447–494 [469], Рутледж , Лондон и Нью-Йорк:

   «В «Изложении Евклида» Псевдо-Туси [...] вместо постулата используется другое утверждение. Оно было независимым от евклидова постулата V и его легко доказать. [...] Он существенно пересмотрел обе евклидовы системы аксиом. а также постулаты и доказательства многих положений из « Элементов ».

6. Джованни Джироламо Саккери из MacTutor
7. О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF «Иоганн Генрих Ламберт» . Проверено 16 сентября 2011 г.
8. Заметным исключением является Дэвид Юм, который еще в 1739 году серьезно допускал возможность того, что наша Вселенная неевклидова; см. Дэвида Хьюма (1739/1978) «Трактат о человеческой природе» , Л. А. Селби-Бигге, изд. (Оксфорд: Издательство Оксфордского университета), стр. 51–52.
9. В письме от декабря 1818 года Фердинанд Карл Швейкарт (1780–1859) изложил несколько идей по неевклидовой геометрии. Письмо было отправлено Гауссу в 1819 году бывшим учеником Гаусса Герлингом. В своем ответе Герлингу Гаусс похвалил Швейкарта и упомянул свои собственные более ранние исследования по неевклидовой геометрии. Видеть:
   • Карл Фридрих Гаусс, Werke (Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер, 1900), том. 8, стр. 180–182.
   • Английские переводы письма Швейкарта и ответа Гаусса Герлингу представлены в: Примечаниях к курсу: «Гаусс и неевклидова геометрия», Университет Ватерлоо, Онтарио, Канада; см. особенно страницы 10 и 11.
   • Письма Швейкарта и сочинения его племянника Франца Адольфа Таурина , который также интересовался неевклидовой геометрией и который в 1825 году опубликовал краткую книгу об аксиоме параллельности, можно найти в: Пауль Штекель и Фридрих Энгель, Die theorie der Parallellinien von Euklid. bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometry (Теория параллельных линий от Евклида до Гаусса, архив неевклидовой геометрии), (Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер, 1895), страницы 243 и далее.
10. Бонола, Р. (1912). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития. Чикаго: Открытый суд.
11. В письме Вольфгангу (Фаркасу) Бойяи от 6 марта 1832 г. Гаусс утверждает, что работал над этой проблемой тридцать или тридцать пять лет (Faber 1983, стр. 162). В своем письме Таурину в 1824 году (Faber 1983, стр. 158) он утверждал, что работал над этой проблемой более 30 лет, и предоставил достаточно подробностей, чтобы показать, что он действительно проработал детали. По словам Фабера (1983, стр. 156), только примерно в 1813 году Гаусс признал существование новой геометрии.
12. Однако, чтобы сделать эту геометрию возможной, необходимо изменить другие аксиомы, помимо постулата параллельности.
13. Феликс Кляйн, Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия , Дувр, 1948 г. (Перепечатка английского перевода 3-го издания, 1940 г. Первое издание на немецком языке, 1908 г.) с. 176.
14. Например: Кульчицкий, Стефан (1961). Неевклидова геометрия . Пергамон. п. 53.
    Ивасава, Кенкичи (1993). Алгебраические функции . Американское математическое общество. п. 140. ИСБН 9780821845950.
15. Ф. Кляйн, Über die sogenannte nichteuklidische Geometry, Mathematische Annalen , 4 (1871).
16. Евклидова плоскость до сих пор называется параболической в ​​контексте конформной геометрии : см. теорему об униформизации .
17. например, Мэннинг 1963 и Яглом 1968.
18. «Grundlagen der Geometrie» Гильберта согласно Smart 1997, стр. 416
19. (Смарт 1997, стр. 366)
20. хотя постулируются только две линии, легко показать, что таких линий должно быть бесконечное число.
21. «Элементов » Евклида.
22. * Уильям Терстон . Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 . Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1997. x + 311 стр. ISBN 0-691-08304-5 (подробное объяснение восьми геометрий и доказательство того, что их только восемь) 
23. Имре Тот, «Gott und Geometry: Eine viktorianische Kontroverse», Evolutionstheorie und ihre Evolution , Дитер Хенрих, изд. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, группа 7, 1982), стр. 141–204.
24. см. Трюдо 1987, стр. vii-viii.
25. Белл, ET (1986). Мужчины математики . Книги пробного камня. п. 294. ИСБН 978-0-671-62818-5.Автор приписывает эту цитату другому математику, Уильяму Кингдону Клиффорду .
26. Это цитата из предисловия переводчика Г.Б. Холстеда к его переводу « Теории параллелей» 1914 года : «Чем Везалий был для Галена , чем Коперник был для Птолемея , что был Лобачевский для Евклида ». — У. К. Клиффорд
27. (Ричардс 1988)
28. Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , перевод Э. Примроуза с 1963 года, русский оригинал, приложение «Неевклидовы геометрии на плоскости и комплексные числа», стр. 195–219, Academic Press , Нью-Йорк
29. Ричард К. Толман (2004) Теория относительности движения, стр. 194, §180 Неевклидов угол, §181 Кинематическая интерпретация угла с точки зрения скорости
30. Герман Минковский (1908–9). «Пространство и время» (Викиисточник).
31. Скотт Уолтер (1999) Неевклидов стиль специальной теории относительности
32. Исаак Яглом (1979) Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа: элементарное описание геометрии Галилея и принципа относительности Галилея, Springer ISBN 0-387-90332-1 
33. Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис (1912) «Пространственно-временное многообразие относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма» Труды Американской академии искусств и наук 48: 387–507
34. Синтетическое пространство-время, сборник используемых аксиом и доказанных теорем Уилсона и Льюиса. Архивировано WebCite
35. «Зов Ктулху».
36. "Сайт HyperRogue" .

Рекомендации

• А'Кампо, Норберт и Пападопулос, Афанас , (2012) Заметки по гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, ISBN 978-3-03719-105-7 , DOI: 10.4171/105. 
• Андерсон, Джеймс В. Гиперболическая геометрия , второе издание, Springer, 2005 г.
• Бельтрами, Эухенио Теория фундаменталя дельи спази ди криватура костанте , Аннали. di Mat., серия II 2 (1868), 232–255.
• Блюменталь, Леонард М. (1980), Современный взгляд на геометрию , Нью-Йорк: Дувр, ISBN 0-486-63962-2
• Кэрролл, Льюис Евклид и его современные соперники , Нью-Йорк: Barnes and Noble, 2009 (перепечатка) ISBN 978-1-4351-2348-9 
• HSM Coxeter (1942) Неевклидова геометрия , University of Toronto Press , переиздано в 1998 году Математической ассоциацией Америки , ISBN 0-88385-522-4 . 
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
• Джереми Грей (1989) Идеи пространства: евклидовы, неевклидовы и релятивистские , 2-е издание, Clarendon Press .
• Гринберг, Марвин Джей Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история , 4-е изд., Нью-Йорк: WH Freeman, 2007. ISBN 0-7167-9948-0 
• Моррис Клайн (1972) Математическая мысль от древних до наших дней , глава 36 «Неевклидова геометрия», стр. 861–81, Oxford University Press .
• Бернард Х. Лавенда , (2012) «Новый взгляд на теорию относительности: одиссея в неевклидовой геометрии», World Scientific , стр. 696, ISBN 9789814340489 . 
• Николай Лобачевский (2010) Пангеометрия , переводчик и редактор: А. Пападопулос, Серия «Наследие европейской математики», том. 4, Европейское математическое общество .
• Мэннинг, Генри Паркер (1963), Вводная неевклидова геометрия , Нью-Йорк: Дувр
• Мешковски, Герберт (1964), Неевклидова геометрия , Нью-Йорк: Academic Press
• Милнор, Джон В. (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет , Bull. амер. Математика. Соц. (NS) Том 6, номер 1, стр. 9–24.
• Ричардс, Джоан Л. (1988), Математические видения: стремление к геометрии в викторианской Англии , Бостон: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• Смарт, Джеймс Р. (1997), Современная геометрия (5-е изд.) , Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Стюарт, Ян (2001) Флаттерленд , Нью-Йорк: ISBN Perseus Publishing 0-7382-0675-X (мягкая обложка) 
• Джон Стиллвелл (1996) Источники гиперболической геометрии , ISBN Американского математического общества 0-8218-0529-0 . 
• Трюдо, Ричард Дж. (1987), Неевклидова революция , Бостон: Биркхаузер, ISBN 0-8176-3311-1
• А. Пападопулос и Гийом Тере (2014) La théorie des parallèles de Иоганна Генриха Ламберта , Критическое издание мемуаров Ламберта с французским переводом, с историческими и математическими примечаниями и комментариями под ред. Бланшар, колл. Sciences dans l'Histoire, ISBN Парижа 978-2-85367-266-5 

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с неевклидовой геометрией, на Викискладе?

• Роберто Бонола (1912) Неевклидова геометрия, Открытый суд, Чикаго.
• Статья из архива MacTutor о неевклидовой геометрии
• Неевклидова геометрия в PlanetMath .
• Неевклидовы геометрии из Математической энциклопедии Европейского математического общества и Springer Science+Business Media.
• Синтетическое пространство-время, сборник использованных аксиом и доказанных теорем Уилсона и Льюиса. Архивировано WebCite .