Нелинейные приливы

Нелинейные приливы

Нелинейные приливы генерируются гидродинамическими искажениями приливов . Приливная волна считается нелинейной, когда ее форма отклоняется от чистой синусоидальной волны. В математических терминах волна обязана своей нелинейностью нелинейным адвективным и фрикционным членам в управляющих уравнениях. Они становятся более важными в мелководных регионах, таких как эстуарии . Нелинейные приливы изучаются в областях прибрежной морфодинамики , прибрежной инженерии и физической океанографии . Нелинейность приливов имеет важные последствия для переноса осадков .

Рамки

С математической точки зрения нелинейность приливов возникает из-за нелинейных членов, присутствующих в уравнениях Навье-Стокса . Для анализа приливов практичнее рассматривать уравнения мелкой воды , усредненные по глубине : ^[1] Здесь и — зональная ( ) и меридиональная ( ) скорость потока соответственно, — ускорение свободного падения , — плотность, и — компоненты донного сопротивления в - и -направлении соответственно, — средняя глубина воды, — возвышение поверхности воды относительно среднего уровня воды. Первое из трех уравнений называется уравнением неразрывности, в то время как другие представляют собой баланс импульса в - и -направлении соответственно. $${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}[(D_{0}+\eta )u]+{\frac {\partial }{\partial y}}[(D_{0}+\eta )v]=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-{\frac {\tau _{b,x}}{\rho (D_{0}+\eta )}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-{\frac {\tau _{b,y}}{\rho (D_{0}+\eta )}}.}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \tau _{b,x}}$ ${\displaystyle \tau _{b,y}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Эти уравнения следуют из предположений, что вода несжимаема, что вода не пересекает дно или поверхность и что изменения давления над поверхностью пренебрежимо малы. Последнее позволяет заменить члены градиента давления в стандартных уравнениях Навье-Стокса градиентами в . Кроме того, члены кориолиса и молекулярного смешивания опущены в уравнениях выше, поскольку они относительно малы во временном и пространственном масштабе приливов на мелководье. ${\displaystyle \eta }$

В дидактических целях в оставшейся части статьи рассматривается только одномерный поток с распространяющейся приливной волной в положительном направлении. Это подразумевает, что ноль и все величины однородны в направлении. Поэтому все члены равны нулю, и последнее из приведенных выше уравнений является произвольным. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \partial /\partial y}$

Нелинейные вклады

В этом одномерном случае нелинейные приливы вызваны тремя нелинейными членами. То есть членом дивергенции , членом адвекции и членом трения . Последний нелинеен в двух отношениях. Во-первых, потому что является (почти) квадратичным по . Во-вторых, из-за в знаменателе. Влияние члена адвекции и дивергенции, а также члена трения анализируется отдельно. Кроме того, нелинейные эффекты топографии бассейна , такие как приливная зона и кривизна потока, могут вызывать определенные виды нелинейности. Кроме того, средний поток, например, за счет речного стока, может изменять эффекты приливных деформационных процессов. ${\displaystyle \partial (\eta u)/\partial x}$ ${\displaystyle u\;\partial u/\partial x}$ ${\displaystyle \tau _{b}/(D_{0}+\eta )}$ ${\displaystyle \tau _{b}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \eta }$

Гармонический анализ

Приливную волну часто можно описать как сумму гармонических волн . Основной прилив (1-я гармоника) относится к волне, которая вызвана приливной силой, например, суточным или полусуточным приливом . Последний часто называют приливом , и он будет использоваться в оставшейся части этой статьи как основной прилив. Высшие гармоники в приливном сигнале генерируются нелинейными эффектами. Таким образом, гармонический анализ используется как инструмент для понимания эффекта нелинейной деформации. Можно сказать, что деформация рассеивает энергию от основного прилива к его высшим гармоникам. Для обеспечения последовательности высшие гармоники, имеющие частоту, которая является четным или нечетным кратным основного прилива, могут называться четными или нечетными высшими гармониками соответственно. ${\displaystyle M_{2}}$

Дивергенция и адвекция

Чтобы понять нелинейность, вызванную членом дивергенции , можно рассмотреть скорость распространения волны на мелководье. ^[2] Пренебрегая трением, скорость волны определяется как: ^[3]

$${\displaystyle c_{0}\approx {\sqrt {g(D_{0}+\eta )}}}$$

Сравнивая уровни низкой воды (LW) и высокой воды (HW) ( ), можно сказать, что глубина (LW) мелководной волны движется медленнее, чем гребень (HW). В результате гребень «догоняет» ложбину, и приливная волна становится асимметричной. ^[4] ${\displaystyle \eta _{LW}<\eta _{HW}}$

Чтобы понять нелинейность, вызванную адвективным членом, можно рассмотреть амплитуду приливного течения. ^[2] Пренебрегая трением, амплитуда приливного течения определяется как:

$${\displaystyle U_{0}\approx c_{0}{\frac {\eta }{D_{0}}}}$$

Когда приливной диапазон не мал по сравнению с глубиной воды, т.е. значителен, скорость течения не является пренебрежимо малой по отношению к . Таким образом, скорость распространения волны на гребне равна , а на впадине скорость волны равна . Подобно деформации, вызванной членом дивергенции, это приводит к тому, что гребень «догоняет» впадину, так что приливная волна становится асимметричной. ${\displaystyle \eta /D_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}+u}$ ${\displaystyle c_{0}-u}$

Для обоих членов — нелинейной дивергенции и адвекции — деформация асимметрична. Это означает, что генерируются еще более высокие гармоники, которые асимметричны вокруг узла главного прилива.

Математический анализ

Линеаризованные уравнения мелкой воды основаны на предположении, что амплитуда колебаний уровня моря намного меньше общей глубины. ^[1] Это предположение не обязательно выполняется в мелководных регионах. При пренебрежении трением нелинейные одномерные уравнения мелкой воды читаются так: Здесь — невозмущенная глубина воды, которая предполагается постоянной. Эти уравнения содержат три нелинейных члена, из которых два возникают из потока массы в уравнении непрерывности (обозначается нижним индексом ), а один возникает из адвекции, включенной в уравнение импульса (обозначается нижним индексом ). Для анализа этого набора нелинейных уравнений в частных производных основные уравнения можно преобразовать в безразмерную форму . Это делается на основе предположения, что и описываются распространяющейся водной волной с амплитудой уровня воды , радианной частотой и волновым числом . На основе этого применяются следующие принципы преобразования: Безразмерные переменные, обозначенные тильдами, умножаются на соответствующую длину, время или масштаб скорости размерной переменной. Подставляя безразмерные переменные, управляющие уравнения читаются так: Безразмерность показывает, что нелинейные члены очень малы, если средняя глубина воды намного больше, чем изменения уровня воды, т.е. мала. В случае, когда , для дальнейшего анализа этого набора уравнений можно использовать линейный анализ возмущений . Этот анализ предполагает малые возмущения вокруг среднего состояния : Здесь . $${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial \eta }{\partial x}}} _{i}+(D_{0}+\underbrace {\eta ){\frac {\partial u}{\partial x}}} _{i}=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial u}{\partial x}}} _{ii}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}$$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ii}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x={\frac {1}{k}}{\tilde {x}}\\\eta =H_{0}{\tilde {\eta }}\\t={\frac {1}{\omega }}{\tilde {t}}\\u=H_{0}{\sqrt {\frac {g}{D_{0}}}}{\tilde {u}}\end{array}}\right.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}+(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }}){\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$ ${\textstyle {\frac {H_{0}}{D_{0}}}}$ ${\displaystyle H_{0}/D_{0}<<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$
$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}={\tilde {\eta }}_{0}+\epsilon {\tilde {\eta }}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\\{\tilde {u}}={\tilde {u}}_{0}+\epsilon {\tilde {u}}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\end{array}}\right.}$$
${\displaystyle \epsilon =H_{0}/D_{0}}$

При вставке этого линейного ряда в безразмерные основные уравнения члены нулевого порядка подчиняются следующему уравнению: Это линейное волновое уравнение с простым решением в виде: $${\displaystyle {\frac {\partial {{\tilde {\eta }}_{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\\{\tilde {u}}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\end{array}}\right.}$$
Собираем члены и делим на доходность: ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {\eta }}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$Остаются три нелинейных члена. Однако нелинейные члены включают только члены , для которых известны решения. Следовательно, их можно вычислить. Затем, взяв -производную верхнего уравнения и вычтя -производную нижнего уравнения, получим одно волновое уравнение: ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {t}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}=-3\cos(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))}$$

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных подчиняется следующему частному решению:

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\\{\tilde {u}}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\end{array}}\right.}$$

Возвращаясь к размерному решению для высоты морской поверхности:

$${\displaystyle \eta =H_{0}\cos(kx-\omega t)-{\frac {3}{4}}{\frac {H_{0}^{2}kx}{D_{0}}}\sin(2(kx-\omega t))}$$

Анимация приливной деформации нелинейными адвективными членами. Верхняя панель показывает основной прилив, средняя панель - сгенерированную высшую гармонику, а нижняя панель - сумму двух предыдущих.

Это решение справедливо для возмущения первого порядка. Нелинейные члены отвечают за создание более высокого гармонического сигнала с удвоенной частотой основного прилива. Кроме того, более высокий гармонический член масштабируется с , и . Следовательно, форма волны будет все больше отклоняться от своей первоначальной формы при распространении в направлении , для относительно большого приливного диапазона и для более коротких длин волн. При рассмотрении общего основного прилива нелинейные члены в уравнении приводят к генерации гармоники . При рассмотрении членов более высокого порядка также можно обнаружить более высокие гармоники. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H_{0}/D_{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M2}$ ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Трение

Член трения в уравнениях мелкой воды нелинейный как по скорости, так и по глубине воды.

Чтобы понять последнее, можно сделать вывод из термина, что трение сильнее всего для более низких уровней воды. Таким образом, гребень «догоняет» ложбину, поскольку испытывает меньшее трение, замедляющее его. Подобно нелинейности, вызванной термином дивергенции и адвекции, это вызывает асимметричную приливную волну. ${\displaystyle \tau _{b}/(D_{0}+\eta )}$

Чтобы понять нелинейный эффект скорости, следует учитывать, что донное напряжение часто параметризуется квадратично: Здесь — коэффициент сопротивления , который часто предполагается постоянным ( ). $${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{d}u|u|}$$ ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle C_{d}=0.0025}$

Дважды за приливной цикл, в пик прилива и пик отлива, достигает максимума, . Однако знак противоположен для этих двух моментов. Причинно, поток изменяется симметрично вокруг узла волны. Это приводит к выводу, что эта нелинейность приводит к нечетным высшим гармоникам, которые симметричны вокруг узла главного прилива. ${\displaystyle |u|}$ ${\displaystyle u|u|}$

Математический анализ

Нелинейность скорости

Параметризация содержит произведение вектора скорости на его величину. В фиксированном месте рассматривается главный прилив со скоростью течения: ${\displaystyle \tau _{b}}$

$${\displaystyle u=U_{0}cos(\omega t)}$$

Здесь — амплитуда скорости потока, а — угловая частота. Для исследования влияния донного трения на скорость параметризация трения может быть представлена ​​в виде ряда Фурье : ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{d}U_{0}^{2}\left({\frac {2}{\pi }}\cos(\omega t)+{\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{a}{\frac {\left(-1\right)^{n}}{1-4n^{2}}}(\cos \left(\omega t(2n+1))+\cos(\omega t(2n-1))\right)\right)=\rho C_{d}U_{0}^{2}({\frac {8}{3\pi }}cos(\omega t)+{\frac {8}{15\pi }}cos(3\omega t)+...)}$$

Это показывает, что можно описать как ряд Фурье, содержащий только нечетные кратные основного прилива с частотой . Следовательно, сила трения вызывает рассеивание энергии основного прилива в сторону более высоких гармоник. В двумерном случае возможны также четные гармоники. ^[5] Приведенное выше уравнение для подразумевает, что величина трения пропорциональна амплитуде скорости . Это означает, что более сильные течения испытывают большее трение и, следовательно, большую приливную деформацию. На мелководье для компенсации изменения высоты морской поверхности требуются более сильные течения, что приводит к большему рассеиванию энергии в сторону нечетных более высоких гармоник основного прилива. ${\displaystyle \tau _{b}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{b}}$ ${\displaystyle U_{0}^{2}}$

Нелинейность глубины воды

Хотя это и не очень точно, можно использовать линейную параметризацию донного напряжения: ^[6]

${\displaystyle \tau _{b}=\rho \;{\hat {r}}u}$

Вот коэффициент трения, который представляет собой первый компонент Фурье более точной квадратичной параметризации. Пренебрегая адвективным членом и используя линейную параметризацию в фрикционном члене, безразмерные управляющие уравнения читаются так: Несмотря на линейную параметризацию донного напряжения, фрикционный член остается нелинейным. Это связано с зависящей от времени глубиной воды в его знаменателе. Подобно анализу нелинейного адвективного члена, линейный анализ возмущений может быть использован для анализа фрикционной нелинейности. Уравнения задаются как: Взяв -производную верхнего уравнения и вычитая -производную нижнего уравнения, члены могут быть исключены. Вызывая , это дает одно частное дифференциальное уравнение второго порядка в : Для того чтобы решить это, требуются граничные условия. Их можно сформулировать как Граничные условия формулируются на основе чистой косинусоидальной волны, входящей в область с длиной . Граница ( ) этой области непроницаема для воды. Для решения частного дифференциального уравнения можно использовать метод разделения переменных . Предполагается, что . Решение, которое подчиняется частному дифференциальному уравнению и граничным условиям, имеет вид: Здесь . ${\displaystyle {\hat {r}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}-{\frac {{\hat {r}}{\tilde {u}}}{\omega D_{0}(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }})}}}$$ ${\displaystyle D_{0}+\eta }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\eta _{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {{\hat {r}}u_{0}}{\omega D_{0}}}}$$ ${\displaystyle {\tilde {t}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\textstyle {\frac {\hat {r}}{\omega D_{0}}}=\lambda }$ ${\displaystyle \eta _{0}}$ $${\displaystyle -\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}+\lambda {\frac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}\right)\eta _{0}=0}$$ $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\eta _{0}(0,{\tilde {t}})=\cos({\tilde {t}})\\{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}(kL,{\tilde {t}})=0\end{array}}\right.}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\textstyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\mathfrak {Re}}({\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})e^{-it})}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})={\frac {\cos(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\\{\hat {u}}_{0}({\tilde {x}})=-i{\frac {\sin(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\end{array}}\right.}$$ ${\displaystyle \mu ={\sqrt {1+i\lambda }}}$

Аналогичным образом уравнения могут быть определены: Здесь член трения был разложен в ряд Тейлора , что привело к двум фрикционным членам, один из которых нелинейный. Нелинейный член трения содержит произведение двух членов, которые демонстрируют волнообразное поведение. Действительные части и задаются как: Здесь обозначают комплексно сопряженное число. Подставляя эти тождества в нелинейный член трения, получаем: ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\eta _{1}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\frac {{\hat {r}}u_{1}}{\omega D_{0}}}={\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})}$ ${\displaystyle u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})}$ $${\displaystyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{it}}$$ $${\displaystyle u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}^{*}e^{it}}$$ ${\displaystyle *}$

$${\displaystyle {\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}={\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}+{\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}^{*})+{\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}e^{-2it}+{\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{2it})}$$Вышеприведенное уравнение предполагает, что решение для частиц с членами первого порядка подчиняется решению для частиц с независимым от времени остаточным потоком (величины обозначены нижним индексом ) и более высокой гармоникой с удвоенной частотой основного прилива, например, если основной прилив имеет частоту , двойная линейность в трении будет генерировать компонент. Компонент остаточного потока представляет собой дрейф Стокса . Трение вызывает более высокие скорости потока в волне высокой воды, чем в малой воде, следовательно, заставляя водные порции двигаться в направлении распространения волны. Когда в анализе возмущений рассматриваются члены более высокого порядка, также будут генерироваться еще более высокие гармоники. ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{4}}$

Приливно-отливная зона

Схематическая диаграмма поперечных сечений эстуария и соответствующая приливная асимметрия. В эстуарии (i) изменение глубины русла, , преобладает над изменением ширины эстуария, . Поэтому скорость волны прилива (HT) больше скорости волны отлива (LT). Это вызывает приливную асимметрию с относительно быстрым приливом. В эстуарии (ii) изменение ширины эстуария, , преобладает над изменением глубины русла, . Поэтому скорость волны прилива меньше скорости волны отлива. Это вызывает приливную асимметрию с относительно медленным приливом. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

В мелководном эстуарии нелинейные члены играют важную роль и могут вызывать приливную асимметрию. Это можно интуитивно понять, если учесть, что если глубина воды меньше, трение сильнее замедляет приливную волну. Для эстуария с небольшой приливной зоной (случай i) средняя глубина воды обычно увеличивается во время прилива. Поэтому гребень приливной волны испытывает меньшее трение, замедляющее ее, и она догоняет ложбину. Это вызывает приливную асимметрию с относительно быстрым приливом. Для эстуария с большой приливной зоной (случай ii) глубина воды в основном канале также увеличивается во время прилива. Однако из-за приливной зоны средняя по ширине глубина воды обычно уменьшается. Поэтому ложбина приливной волны испытывает относительно небольшое трение, замедляющее ее, и она догоняет гребень. Это вызывает приливную асимметрию с относительно медленным приливом. Для эстуария с преобладанием трения фаза прилива соответствует приливу, а фаза отлива соответствует отливу. Таким образом, случаи (i) и (ii) соответствуют приливу с преобладанием прилива и отлива соответственно.

Чтобы найти математическое выражение для определения типа асимметрии в эстуарии, следует рассмотреть скорость волны. После нелинейного анализа возмущений ^[7] зависящая от времени скорость волны для конвергентного эстуария определяется как: ^[8]

$${\displaystyle c(t)\sim {\frac {h(t)}{b(t)^{2}}}\approx {\frac {\langle h\rangle [1+(\eta /H_{0})(H_{0}/\langle h\rangle )]}{\langle b\rangle ^{1/2}[1+(\eta /H_{0})(\Delta b/\langle b\rangle )]^{1/2}}}}$$

С глубиной канала, шириной эстуария и правой стороной просто разложение этих величин в их приливных средних значениях (обозначим ) и их отклонении от них. Используя разложение Тейлора первого порядка, это можно упростить до: ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle b(t)}$ ${\displaystyle \langle \rangle }$

$${\displaystyle c\sim {\frac {\langle h\rangle }{\langle b\rangle ^{1/2}}}[1+\gamma (\eta /H_{0})]}$$

Здесь:

$${\displaystyle \gamma ={\frac {H_{0}}{\langle h\rangle }}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta b}{\langle b\rangle }}}$$

Этот параметр представляет собой приливную асимметрию. Обсуждаемый случай (i), т. е. быстрый прилив, соответствует , тогда как случай (ii), т. е. медленный прилив, соответствует . Нелинейное численное моделирование Фридрихса и Обри ^[9] воспроизводит аналогичное соотношение для . ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma <0}$ ${\displaystyle \gamma }$

Кривизна потока

Схематический вид сверху потока воды вокруг изогнутого берега, вызванного приливной силой в направлении x. Левая сторона берега выпуклая, а правая вогнутая. Сплошные стрелки представляют линии потока воды, а пунктирные стрелки представляют силу градиента давления.

Рассмотрим приливное течение, вызванное приливной силой в направлении x, как на рисунке. Вдали от побережья течение будет только в направлении x. Поскольку на побережье вода не может течь через берег, линии тока параллельны побережью. Поэтому поток изгибается вокруг побережья. Центростремительная сила , необходимая для компенсации этого изменения в бюджете импульса, представляет собой градиент давления, перпендикулярный линии тока. Это вызвано градиентом высоты уровня моря. ^[10] Аналогично силе тяжести, которая удерживает планеты на их орбите, градиент высоты уровня моря для кривизны линии тока с радиусом определяется как: ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle g{\frac {\partial \eta }{\partial r}}={\frac {u^{2}}{r}}}$$

Для выпуклого побережья это соответствует уменьшению высоты уровня воды при приближении к побережью. Для вогнутого побережья это наоборот, так что высота уровня моря увеличивается при приближении к побережью. Эта картина та же самая, когда прилив меняет направление течения. Поэтому можно обнаружить, что кривизна потока понижает или повышает высоту уровня воды дважды за приливной цикл. Следовательно, она добавляет приливную составляющую с частотой, в два раза превышающей частоту основного компонента. Эта более высокая гармоника указывает на нелинейность, но это также наблюдается квадратичным членом в приведенном выше выражении.

Средний поток

Средний поток, например, речной поток, может изменить нелинейные эффекты. Рассматривая приток реки в эстуарий, речной поток вызовет уменьшение скоростей потока прилива, одновременно увеличивая скорости отлива. Поскольку трение масштабируется квадратично со скоростями потока, увеличение трения больше для скоростей отлива, чем уменьшение для скоростей потока прилива. Следовательно, создавая более высокую гармонику с удвоенной частотой основного прилива. Когда средний поток больше амплитуды приливного течения, это не приведет к изменению направления потока. Таким образом, генерация нечетных высших гармоник нелинейностью трения будет уменьшена. Более того, увеличение среднего расхода потока может вызвать увеличение средней глубины воды и, следовательно, уменьшить относительную важность нелинейной деформации. ^[11]

Пример: устье реки Северн

Амплитуда уровня воды и гармоник, построенная в зависимости от амплитуды уровня воды в 2011 году на измерительной станции около Эйвонмута. ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle M_{6}}$ ${\displaystyle M_{2}}$

Эстуарий реки Северн относительно неглубок, а его приливный диапазон относительно велик. Поэтому в этом эстуарии заметна нелинейная приливная деформация. Используя данные GESLA [1] о высоте уровня воды на измерительной станции около Эйвонмута, можно подтвердить наличие нелинейных приливов. Используя простой алгоритм гармонической подгонки с подвижным временным окном 25 часов, можно найти амплитуду уровня воды различных приливных составляющих. Для 2011 года это было сделано для , и составляющих. На рисунке амплитуда уровня воды и гармоник , и соответственно, нанесены на график в зависимости от амплитуды уровня воды основного прилива . Можно заметить, что более высокие гармоники, генерируемые нелинейностью, значительны по отношению к основному приливу. ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle M_{6}}$ ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle M_{6}}$ ${\displaystyle H_{M4}}$ ${\displaystyle H_{M6}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle H_{M2}}$

Корреляция между и выглядит несколько квадратичной. Эту квадратичную зависимость можно было бы ожидать из математического анализа в этой статье. Во-первых, анализ дивергенции и адвекции приводит к выражению, которое для фиксированного подразумевает: ${\displaystyle H_{M2}}$ ${\displaystyle H_{M4}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle H_{M4}\propto H_{M2}^{2}}$

Во-вторых, анализ нелинейности трения в толще воды дает вторую более высокую гармонику. Для математического анализа предполагалась линейная параметризация донного напряжения. Однако на самом деле донное напряжение масштабируется почти квадратично со скоростью потока. Это отражено в квадратичном соотношении между и . ${\displaystyle H_{M2}}$ ${\displaystyle H_{M4}}$

На графике для небольшого приливного диапазона корреляция между и приблизительно прямо пропорциональна. Эта связь между основным приливом и его третьей гармоникой следует из нелинейности трения в скорости, что отражено в выведенном выражении. Для больших приливных диапазонов начните уменьшаться. Это поведение остается неразрешенным теорией, изложенной в этой статье. ${\displaystyle H_{M2}}$ ${\displaystyle H_{M6}}$ ${\displaystyle H_{M6}}$

Транспортировка осадка

Деформация приливов может иметь существенное значение в переносе осадков . ^[15] Для того чтобы проанализировать это, очевидно, необходимо различать динамику взвешенных осадков и донного осадка . Перенос взвешенных осадков (в одном измерении) в общем случае можно количественно определить следующим образом: ^[16]

$${\displaystyle q_{s}=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }(uc-K_{b}{\frac {\partial c}{\partial z}})dz}$$

Здесь - глубина интегрированного потока осадка, - концентрация осадка, - коэффициент горизонтальной диффузии , - опорная высота над поверхностью . Транспорт влекомых наносов можно оценить с помощью следующего эвристического определения: ${\displaystyle q_{s}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle K_{b}}$ ${\displaystyle a_{r}}$ ${\displaystyle z_{b}}$

$${\displaystyle q_{b}=\beta u^{3}}$$Вот коэффициент эрозии. ${\displaystyle \beta }$

Скорость зонального потока можно представить в виде усеченного ряда Фурье . При рассмотрении приливного потока, состоящего только из и составляющих, течение в определенном месте задается как: Описание локальной эволюции концентрации взвешенных осадков требуется для получения выражения для усредненного по приливу потока взвешенных осадков. Локальное изменение интегрированной по глубине концентрации взвешенных осадков ( ) регулируется: ^[17] ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{4}}$ $${\displaystyle u(t)=U_{M2}\cos(\omega _{M2}t-\phi _{M2})+U_{M4}\cos(\omega _{M4}t-\phi _{M4}).}$$ ${\displaystyle C=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }cdz}$ $${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=\alpha u^{2}-{\frac {W_{s}^{2}}{K_{v}}}C}$$

Здесь — скорость падения, — коэффициент вертикальной диффузии, — коэффициент эрозии. В этой модели адвекцией пренебрегают. Учитывая определение и , можно получить выражение для усредненного по приливу перемещения дна и взвешенных наносов: Здесь — отношение шкалы времени осаждения к шкале времени прилива. Два важных механизма можно выделить, используя определения и . Эти два механизма переноса будут кратко рассмотрены. ${\displaystyle W_{s}}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \langle q_{s}\rangle ={\frac {K_{v}\alpha }{W_{s}^{2}}}({\frac {1}{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}})+{\frac {a}{2}}U_{M2}^{2}U_{M4}\sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}}))}$$ $${\displaystyle \langle q_{b}\rangle ={\frac {3\beta }{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$$ ${\textstyle a={\frac {\omega _{M2}K_{v}^{2}}{W_{s}}}}$ ${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$ ${\displaystyle \langle q_{s}\rangle }$

Асимметрия скорости

Механизм асимметрии скорости основан на разнице максимальной скорости потока между пиковым отливом и приливом . Количественная оценка этого механизма заключена в этом термине. Последствия этого термина суммированы в таблице ниже: ${\textstyle \cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$

Асимметрия скорости и асимметрия длительности прилива по гармонике. Тип асимметрии и знак определяются относительной разностью фаз ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle \langle q\rangle }$ ${\displaystyle 2\phi _{M2}-\phi _{M4}}$

Следовательно, механизм асимметрии скорости вызывает чистый отлив направленный перенос, если абсолютное значение относительной разности фаз , в то время как он вызывает чистый прилив направленный перенос, если . В последнем случае пиковые приливные потоки будут больше пиковых приливных потоков. Следовательно, осадок будет переноситься на большее расстояние в направлении прилива, делая и . Обратное справедливо для . ${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|>90^{\circ }}$ ${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$ ${\displaystyle \langle q_{s}\rangle >0}$ ${\displaystyle \langle q_{b}\rangle >0}$ ${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$

Асимметрия длительности

Механизм асимметрии продолжительности может также вызывать приливно-усредненный перенос взвешенных наносов. Этот механизм допускает только приливно-усредненный поток взвешенных осадков. Количественная оценка этого механизма заключена в термине , который отсутствует в уравнении. Последствия этого термина суммированы в таблице ниже: ${\textstyle \sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$ ${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$

Когда время от пикового паводка до пикового отлива больше, чем время от пикового отлива до пикового паводка. Это приводит к тому, что больше осадка может осесть в период от пикового паводка до пикового отлива, следовательно, меньше осадка будет взвешено при пиковом отливе, и будет чистый перенос в направлении паводка. Похожее, но противоположное объяснение справедливо для . Перенос донных наносов не зависит от этого механизма, поскольку механизм требует задержки осаждения частиц, т. е. частицам должно потребоваться время для осаждения, а концентрация постепенно адаптируется к скоростям потока. ${\displaystyle 0^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<180^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<360^{\circ }}$

Смотрите также

• Приливной резонанс
• Приливная волна
• Нелинейность волны
• Приливы в окраинных морях
• Транспортировка осадка

Ссылки

1. Cushman-Roisin, Benoit; Beckers, Jean-Marie (2011). Введение в геофизическую гидродинамику: физические и численные аспекты (2-е изд.). Waltham, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-088759-0. OCLC  760173075.
2. B., Parker, Bruce (1991). Приливная гидродинамика. Wiley. ISBN 0-471-51498-5. OCLC  231330044.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Понд, Стивен (1991). Введение в динамическую океанографию. Джордж Л. Пикард (Второе изд.). Оксфорд. ISBN 978-0-08-057054-9. OCLC  886407149.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Dronkers, J. (1986-08-01). «Приливная асимметрия и морфология эстуария». Netherlands Journal of Sea Research . 20 (2): 117–131. Bibcode : 1986NJSR...20..117D. doi : 10.1016/0077-7579(86)90036-0. ISSN  0077-7579.
5. Pugh, David; Woodworth, Philip (2014). Наука об уровне моря: понимание приливов, нагонов, цунами и изменений среднего уровня моря. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9781139235778. ISBN 978-1-107-02819-7.
6. Фридрихс, Карл Т. (2010), Валле-Левинсон, Арнольдо (ред.), «Баротропные приливы в канализированных эстуариях», Contemporary Issues in Estuarine Physics , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 27–61, doi : 10.1017/cbo9780511676567.004, ISBN 978-0-511-67656-7, получено 2022-03-20
7. Фридрихс, Карл Т.; Мадсен, Оле С. (1992). «Нелинейная диффузия приливного сигнала в заливах с преобладанием трения». Журнал геофизических исследований . 97 (C4): 5637. Bibcode : 1992JGR....97.5637F. doi : 10.1029/92jc00354. ISSN  0148-0227.
8. Современные проблемы физики эстуария. А. Валле-Левинсон. Кембридж: Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-511-67776-2. OCLC  648754476.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
9. Фридрихс, Карл Т.; Обри, Дэвид Г. (ноябрь 1988 г.). «Нелинейное приливное искажение в мелководных хорошо перемешанных эстуариях: синтез». Estuarine, Coastal and Shelf Science . 27 (5): 521–545. Bibcode : 1988ECSS...27..521F. doi : 10.1016/0272-7714(88)90082-0. ISSN  0272-7714. S2CID  51119057.
10. Pugh, David (2014). Наука об уровне моря: понимание приливов, нагонов, цунами и изменений среднего уровня моря. Philip Woodworth. Cambridge. стр. 135–136. ISBN 978-1-107-02819-7. OCLC  868079159.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Приливная гидродинамика. Брюс Б. Паркер. Нью-Йорк: J. Wiley. 1991. ISBN 0-471-51498-5. OCLC  23766414.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
12. Хейг, Иван; Маркос, Марта; Тальке, Стефан; Вудворт, Филипп; Хантер, Джон; Хо, Бен; Арнс, Арне; Брэдшоу, Элизабет; Томпсон, Фил (2021-11-05). "GESLA Version 3: A major update to the global high-frequency sea-level dataset". Eartharxiv Preprint . Bibcode : 2021EaArX...X5MP65H. doi : 10.31223/x5mp65. hdl : 10261/353363 . S2CID  243811785.
13. Woodworth, Philip L; Hunter, John R; Marcos Moreno, Marta; Caldwell, Patrick C; Menendez, Melisa; Haigh, Ivan David (2016), GESLA (Global Extreme Sea Level Analysis) набор данных по уровню моря с высокой частотой - версия 2., Британский центр океанографических данных, Совет по исследованиям природной среды, doi : 10.5285/3b602f74-8374-1e90-e053-6c86abc08d39 , получено 21.03.2022
14. Колдуэлл, ПК; Меррифилд, МА; Томпсон, ПР (2001), Уровень моря, измеренный мареографами в мировых океанах в рамках Объединенного архива по уровню моря (JASL) с 1846 года, Национальные центры экологической информации NOAA, doi : 10.7289/v5v40s7w , получено 21.03.2022
15. Далримпл, Роберт В.; Чой, Кёнсик (1978), «Перенос осадков приливами», Sedimentology , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 993–998, doi :10.1007/3-540-31079-7_181, ISBN 978-3-540-31079-2, получено 2022-03-17
16. de Swart, He; Zimmerman, Jtf (2009-01-01). "Морфодинамика приливных систем". Annual Review of Fluid Mechanics . 41 (1): 203–229. Bibcode : 2009AnRFM..41..203D. doi : 10.1146/annurev.fluid.010908.165159. ISSN  0066-4189.
17. Гроен, П. (1967-12-01). «О транспорте остаточных взвешенных веществ переменным приливным течением». Netherlands Journal of Sea Research . 3 (4): 564–574. Bibcode : 1967NJSR....3..564G. doi : 10.1016/0077-7579(67)90004-X. ISSN  0077-7579.