В алгебраической геометрии неприводимое алгебраическое множество или неприводимое многообразие — это алгебраическое множество , которое не может быть записано как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Неприводимая компонента алгебраического множества — это алгебраическое подмножество, которое является неприводимым и максимальным (для включения множеств ) для этого свойства. Например, множество решений уравнения xy = 0 не является неприводимым, а его неприводимыми компонентами являются две строки уравнений x = 0 и y = 0 .
Фундаментальная теорема классической алгебраической геометрии гласит, что каждое алгебраическое множество может быть записано единственным образом как конечное объединение неприводимых компонентов.
Эти концепции можно переформулировать в чисто топологических терминах, используя топологию Зарисского , для которой замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами: Топологическое пространство неприводимо, если оно не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств, а неприводимый компонент является максимальным подпространством (обязательно замкнутым), которое неприводимо для индуцированной топологии . Хотя эти концепции могут быть рассмотрены для любого топологического пространства, это редко делается за пределами алгебраической геометрии, поскольку наиболее распространенными топологическими пространствами являются хаусдорфовы пространства , а в хаусдорфовом пространстве неприводимые компоненты являются синглтонами .
Топологическое пространство X является приводимым , если его можно записать в виде объединения двух замкнутых собственных подмножеств , Топологическое пространство является неприводимым (или гиперсвязным ), если оно неприводимо. Эквивалентно, X является неприводимым, если все непустые открытые подмножества X являются плотными , или если любые два непустых открытых множества имеют непустое пересечение .
Подмножество F топологического пространства X называется неприводимым или приводимым, если F, рассматриваемое как топологическое пространство через топологию подпространства, имеет соответствующее свойство в указанном выше смысле. То есть, приводимо, если его можно записать в виде объединения , где — замкнутые подмножества , ни одно из которых не содержит
Неприводимая компонента топологического пространства — это максимальное неприводимое подмножество. Если подмножество неприводимо, то его замыкание также неприводимо, поэтому неприводимые компоненты замкнуты.
Каждое неприводимое подмножество пространства X содержится в (не обязательно единственном) неприводимом компоненте X. [ 1] Каждая точка содержится в некотором неприводимом компоненте X.
Пустое топологическое пространство пусто удовлетворяет определению выше для неприводимого (поскольку у него нет собственных подмножеств). Однако некоторые авторы, [2] особенно те, кто интересуется приложениями к алгебраической топологии , явно исключают пустое множество из неприводимости. Эта статья не будет следовать этому соглашению.
Каждое аффинное или проективное алгебраическое множество определяется как множество нулей идеала в кольце многочленов . Неприводимое алгебраическое множество , более известное как алгебраическое многообразие , — это алгебраическое множество, которое не может быть разложено в объединение двух меньших алгебраических множеств. Теорема Ласкера–Нётер подразумевает, что каждое алгебраическое множество является объединением конечного числа однозначно определенных алгебраических множеств, называемых его неприводимыми компонентами . Эти понятия неприводимости и неприводимых компонент в точности совпадают с определенными выше, когда рассматривается топология Зариского , поскольку алгебраические множества — это в точности замкнутые множества этой топологии.
Спектр кольца — это топологическое пространство, точками которого являются простые идеалы , а замкнутые множества — множества всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал. Для этой топологии замкнутое множество является неприводимым, если оно является множеством всех простых идеалов, содержащих некоторый простой идеал, а неприводимые компоненты соответствуют минимальным простым идеалам . Число неприводимых компонент конечно в случае нётерова кольца .
Схема получается склеиванием спектров колец таким же образом, как многообразие получается склеиванием карт . Таким образом , определение неприводимости и неприводимых компонент распространяется непосредственно на схемы.
В хаусдорфовом пространстве неприводимые подмножества и неприводимые компоненты являются синглтонами . Это имеет место, в частности, для действительных чисел . Фактически, если X — множество действительных чисел, не являющееся синглтоном, то существуют три действительных числа, такие что x ∈ X , y ∈ X и x < a < y . Множество X не может быть неприводимым, поскольку
Понятие неприводимого компонента является основополагающим в алгебраической геометрии и редко рассматривается за пределами этой области математики: рассмотрим алгебраическое подмножество плоскости
Для топологии Зарисского ее замкнутыми подмножествами являются оно само, пустое множество, синглтоны и две прямые, определяемые x = 0 и y = 0. Таким образом, множество X является приводимым с этими двумя прямыми в качестве неприводимых компонентов.
Спектр коммутативного кольца — это множество простых идеалов кольца, наделенное топологией Зарисского , для которой множество простых идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда оно является множеством всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал . В этом случае неприводимое подмножество — это множество всех простых идеалов, содержащих фиксированный простой идеал.
В этой статье использованы материалы из irreducible на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License . В этой статье использованы материалы из компонента Irreducible на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
![{\displaystyle X=(X\cap \,]{-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty [).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e30706a94ed5572f03c881c670730a29278b93c)