Нильпотентная группа

Концепция в теории групп в математике

В математике , в частности в теории групп , нильпотентная группа G — это группа , которая имеет верхний центральный ряд , заканчивающийся на G. Эквивалентно, она имеет центральный ряд конечной длины или ее нижний центральный ряд заканчивается на {1}.

Интуитивно, нильпотентная группа — это группа, которая является «почти абелевой ». Эта идея мотивирована тем фактом, что нильпотентные группы разрешимы , а для конечных нильпотентных групп два элемента, имеющие относительно простые порядки, должны коммутировать . Также верно, что конечные нильпотентные группы сверхразрешимы . Эта концепция приписывается работе в 1930-х годах русского математика Сергея Черникова . ^[1]

Нильпотентные группы возникают в теории Галуа , а также в классификации групп. Они также играют видную роль в классификации групп Ли .

Аналогичные термины используются для алгебр Ли (используя скобку Ли ), включая нильпотентный , нижний центральный ряд и верхний центральный ряд .

Определение

Определение использует идею центрального ряда для группы. Ниже приведены эквивалентные определения для нильпотентной группы G :

• G имеет центральный ряд конечной длины. То есть ряд нормальных подгрупп

  ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G}$

  где , или эквивалентно . ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})}$ ${\displaystyle [G,G_{i+1}]\leq G_{i}}$
• G имеет нижний центральный ряд, заканчивающийся в тривиальной подгруппе после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

  ${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}}$

  где . ${\displaystyle G_{i+1}=[G_{i},G]}$
• G имеет верхний центральный ряд, заканчивающийся во всей группе после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

  ${\displaystyle \{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G}$

  где и — подгруппа такая, что . ${\displaystyle Z_{1}=Z(G)}$ ${\displaystyle Z_{i+1}}$ ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})}$

Для нильпотентной группы наименьшее n такое, что G имеет центральный ряд длины n, называется классом нильпотентности G ; а G называется нильпотентной класса n . (По определению, длина равна n , если в ряду есть различные подгруппы, включая тривиальную подгруппу и всю группу.) ${\displaystyle n+1}$

Эквивалентно, класс нильпотентности группы G равен длине нижнего центрального ряда или верхнего центрального ряда. Если класс нильпотентности группы не превышает n , то ее иногда называют группой nil -n .

Из любой из приведенных выше форм определения нильпотентности немедленно следует, что тривиальная группа является единственной группой класса нильпотентности  0 , а группы класса нильпотентности  1 являются в точности нетривиальными абелевыми группами. ^{[2] [3]}

Примеры

Часть графа Кэли дискретной группы Гейзенберга , хорошо известной нильпотентной группы.

• Как отмечено выше, каждая абелева группа нильпотентна. ^{[2] [4]}
• Для небольшого неабелева примера рассмотрим группу кватернионов Q ₈ , которая является наименьшей неабелевой p -группой. Она имеет центр {1, −1} порядка 2, а ее верхний центральный ряд — {1}, {1, −1}, Q ₈ ; поэтому она нильпотентна класса 2.
• Прямое произведение двух нильпотентных групп нильпотентно. ^[5]
• Все конечные p -группы на самом деле нильпотентны ( доказательство ). Для n > 1 максимальный класс нильпотентности группы порядка p ⁿ равен n - 1 (например, группа порядка p ² является абелевой). 2-группы максимального класса — это обобщенные группы кватернионов , диэдральные группы и полудиэдральные группы .
• Более того, каждая конечная нильпотентная группа является прямым произведением p -групп. ^[5]
• Мультипликативная группа верхних унитреугольных n × n матриц над любым полем F является нильпотентной группой класса нильпотентности n − 1. В частности, взятие n = 3 дает группу Гейзенберга H , пример неабелевой ^[6] бесконечной нильпотентной группы. ^[7] Она имеет класс нильпотентности 2 с центральным рядом 1, Z ( H ), H .
• Мультипликативная группа обратимых верхнетреугольных n × n матриц над полем F в общем случае не нильпотентна, но разрешима .
• Любая неабелева группа G такая, что G / Z ( G ) абелева, имеет класс нильпотентности 2 с центральным рядом {1}, Z ( G ), G .

Были охарактеризованы натуральные числа k , для которых любая группа порядка k нильпотентна (последовательность A056867 в OEIS ).

Объяснение термина

Нильпотентные группы называются так, потому что «присоединённое действие» любого элемента нильпотентно , что означает, что для нильпотентной группы степени нильпотентности и элемента функция, определяемая соотношением (где — коммутатор и ), нильпотентна в том смысле, что итерация функции тривиальна: для всех из . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}\colon G\to G}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]}$ ${\displaystyle [g,x]=g^{-1}x^{-1}gx}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

Это не является определяющей характеристикой нильпотентных групп: группы, для которых нильпотентна степени (в указанном выше смысле), называются - группами Энгеля , ^[8] и не обязаны быть нильпотентными в общем случае. Доказано, что они нильпотентны, если имеют конечный порядок , и предполагается , что они нильпотентны, пока они конечно порождены . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Абелева группа — это как раз та, для которой присоединенное действие не просто нильпотентно, но и тривиально (1-энгелева группа).

Характеристики

Поскольку каждая последующая фактор-группа Z _{i +1} / Z _i в верхнем центральном ряду абелева, а ряд конечен, то каждая нильпотентная группа является разрешимой группой с относительно простой структурой.

Каждая подгруппа нильпотентной группы ступени n является нильпотентной ступени не выше n ; ^[9] кроме того, если f является гомоморфизмом нильпотентной группы ступени n , то образ f является нильпотентным ^[9] ступени не выше n .

Следующие утверждения эквивалентны для конечных групп ^[10] , раскрывая некоторые полезные свойства нильпотентности:

1. G — нильпотентная группа.
2. Если H — собственная подгруппа G , то H — собственная нормальная подгруппа N G ( H ) ( нормализатор H в G ). Это называется свойством нормализатора _и может быть сформулировано просто как «нормализаторы растут».
3. Каждая силовская подгруппа группы G нормальна.
4. G является прямым произведением своих силовских подгрупп.
5. Если d делит порядок G , то G имеет нормальную подгруппу порядка d .

Доказательство:

(а)→(б)

Индукцией по | G |. Если G абелева, то для любого H , N _G ( H ) = G . Если нет, то если Z ( G ) не содержится в H , то h _Z H _Z ⁻¹ h ⁻¹ = h' H' h ⁻¹ = H , поэтому H · Z ( G ) нормализует H . Если Z ( G ) содержится в H , то H / Z ( G ) содержится в G / Z ( G ). Обратите внимание, G / Z ( G ) является нильпотентной группой. Таким образом, существует подгруппа G / Z ( G ), которая нормализует H / Z ( G ), и H / Z ( G ) является ее собственной подгруппой. Поэтому, вытягиваем эту подгруппу обратно в подгруппу в G , и она нормализует H . (Это доказательство представляет собой тот же аргумент, что и для p -групп — единственный факт, который нам был нужен, — если G нильпотентна, то таковой является и G / Z ( G ) — поэтому подробности опущены.)

(б)→(в)

Пусть p ₁ , p ₂ ,..., p _s будут различными простыми числами, делящими его порядок, и пусть P _i · Syl _{p i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Пусть P = P _i для некоторого i и пусть N = N _G ( P ). Поскольку P является нормальной силовской подгруппой группы N , P является характеристической группой группы N . Поскольку P char N и N является нормальной подгруппой группы N _G ( N ), мы получаем, что P является нормальной подгруппой группы N _G ( N ). Это означает, что N _G ( N ) является подгруппой группы N и, следовательно, N _G ( N ) = N . По (b) мы должны иметь N = G , что дает (c).

(в)→(г)

Пусть p ₁ , p ₂ ,..., p _s — различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P _i в Syl _{p i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Для любого t , 1 ≤ t ≤ s мы показываем индуктивно, что P ₁ P ₂ ··· P _t изоморфен P ₁ × P ₂ ×···× P _t .

Сначала отметим, что каждый P _i нормален в G , поэтому P ₁ P ₂ ··· P _t является подгруппой G . Пусть H будет произведением P ₁ P ₂ ··· P _{t −1} и пусть K = P _t , поэтому по индукции H изоморфен P ₁ × P ₂ ×···× P _{t −1} . В частности, | H | = | P ₁ |⋅| P ₂ |⋅···⋅| P _{t −1} |. Поскольку | K | = | P _t |, порядки H и K взаимно просты. Теорема Лагранжа подразумевает, что пересечение H и K равно 1. По определению P ₁ P ₂ ··· P _t = HK , следовательно, HK изоморфен H × K , который равен P ₁ × P ₂ ×···× P _t . Это завершает индукцию. Теперь возьмем t = s, чтобы получить (d).

(г)→(д)

Заметим, что p-группа порядка p ^k имеет нормальную подгруппу порядка p ^m для всех 1≤ m ≤ k . Поскольку G является прямым произведением своих силовских подгрупп, а нормальность сохраняется при прямом произведении групп, G имеет нормальную подгруппу порядка d для каждого делителя d числа | G |.

(д)→(а)

Для любого простого p, делящего | G |, силовская p -подгруппа нормальна. Таким образом, мы можем применить (c) (так как мы уже доказали (c)→(e)).

Утверждение (d) можно распространить на бесконечные группы: если G — нильпотентная группа, то каждая силовская подгруппа G _p группы G нормальна, а прямое произведение этих силовских подгрупп является подгруппой всех элементов конечного порядка в G (см. подгруппа кручения ).

Многие свойства нильпотентных групп присущи и гиперцентральным группам .

Примечания

1. Диксон, М. Р.; Кириченко, В. В.; Курдаченко, ЛА; Отал, Дж.; Семко, Н. Н.; Шеметков, ЛА; Субботин, И. Я. (2012). «СН Черников и развитие теории бесконечных групп». Алгебра и дискретная математика . 13 (2): 169–208.
2. Супруненко (1976). Матричные группы. стр. 205.
3. Табачникова и Смит (2000). Темы по теории групп (Математическая серия Springer Undergraduate). стр. 169.
4. Хангерфорд (1974). Алгебра. стр. 100.
5. Zassenhaus (1999). Теория групп. стр. 143.
6. Хэзелер (2002). Автоматические последовательности (Изложения Де Грюйтера по математике, 36). п. 15.
7. Палмер (2001). Банаховы алгебры и общая теория *-алгебр. стр. 1283.
8. Для этого термина сравните теорему Энгеля , также о нильпотентности.
9. Bechtell (1971), стр. 51, Теорема 5.1.3
10. Айзекс (2008), Теория 1.26

Ссылки

• Бехтель, Хомер (1971). Теория групп . Эддисон-Уэсли .
• Фон Хэзелер, Фридрих (2002). Автоматические последовательности . Изложения де Грюйтера по математике. Том. 36. Берлин: Вальтер де Грюйтер . ISBN 3-11-015629-6.
• Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90518-9.
• Айзекс, И. Мартин (2008). Теория конечных групп . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4344-4.
• Палмер, Теодор В. (1994). Банаховы алгебры и общая теория *-алгебр . Cambridge University Press . ISBN 0-521-36638-0.
• Stammbach, Urs (1973). Гомологии в теории групп . Конспект лекций по математике. Т. 359. Springer-Verlag.обзор
• Супруненко, ДА (1976). Матричные группы . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1341-2.
• Табачникова, Ольга; Смит, Джефф (2000). Темы по теории групп . Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. ISBN 1-85233-235-2.
• Цассенхаус, Ганс (1999). Теория групп . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-40922-8.