В математике гипотеза — это вывод или утверждение , выдвигаемое на предположительной основе без доказательства . [1] [2] [3] Некоторые гипотезы, такие как гипотеза Римана или гипотеза Ферма (теперь теорема , доказанная в 1995 году Эндрю Уайлсом ), во многом сформировали историю математики, поскольку для их доказательства разрабатываются новые области математики. [4]
Формальная математика основана на доказуемой истине. В математике любое количество случаев, подтверждающих универсально квантифицированную гипотезу, независимо от того, насколько они велики, недостаточно для установления достоверности гипотезы, поскольку один контрпример может немедленно опровергнуть гипотезу. Математические журналы иногда публикуют второстепенные результаты исследовательских групп, расширивших поиск контрпримера дальше, чем это делалось ранее. Например, гипотеза Коллатца , которая касается того, заканчиваются ли определенные последовательности целых чисел , была проверена для всех целых чисел до 1,2 × 10 12 (более триллиона). Однако неспособность найти контрпример после обширного поиска не является доказательством того, что гипотеза верна, поскольку гипотеза может быть ложной, но с очень большим минимальным контрпримером.
Тем не менее, математики часто считают, что гипотеза имеет сильную поддержку доказательств, даже если она еще не доказана. Эти доказательства могут быть разных видов, например, проверка ее следствий или сильные взаимосвязи с известными результатами. [5]
Предположение считается доказанным только тогда, когда показано, что логически невозможно, чтобы оно было ложным. Существуют различные методы для этого; см. методы математического доказательства для получения более подробной информации.
Один из методов доказательства, применимый, когда есть только конечное число случаев, которые могут привести к контрпримерам, известен как « грубая сила »: в этом подходе рассматриваются все возможные случаи и показывается, что они не дают контрпримеров. В некоторых случаях число случаев довольно велико, и в этом случае доказательство грубой силой может потребовать на практике использования компьютерного алгоритма для проверки всех случаев. Например, обоснованность доказательств теоремы о четырех красках, полученных компьютером в 1976 и 1997 годах, изначально подвергалась сомнению, но в конечном итоге была подтверждена в 2005 году программным обеспечением для доказательства теорем .
Когда гипотеза доказана , она уже не гипотеза, а теорема . Многие важные теоремы когда-то были гипотезами, например, теорема о геометризации (разрешившая гипотезу Пуанкаре ), Великая теорема Ферма и другие.
Гипотезы, опровергнутые контрпримером, иногда называют ложными гипотезами (ср. гипотезу Полиа и гипотезу Эйлера о сумме степеней ). В последнем случае первый контрпример, найденный для случая n=4, включал числа в миллионы, хотя впоследствии было обнаружено, что минимальный контрпример на самом деле меньше.
Не каждая гипотеза в конечном итоге оказывается доказанной как истинная или ложная. Континуум-гипотеза , которая пытается установить относительную мощность некоторых бесконечных множеств , в конечном итоге оказалась независимой от общепринятого набора аксиом Цермело–Френкеля теории множеств . Поэтому возможно принять это утверждение или его отрицание в качестве новой аксиомы последовательным образом (подобно тому, как постулат параллельности Евклида может быть принят либо как истинный, либо как ложный в аксиоматической системе геометрии).
В этом случае, если доказательство использует это утверждение, исследователи часто будут искать новое доказательство, которое не требует гипотезы (точно так же, как желательно, чтобы утверждения в евклидовой геометрии доказывались с использованием только аксиом нейтральной геометрии, т. е. без постулата о параллельности). Единственным серьезным исключением из этого на практике является аксиома выбора , поскольку большинство исследователей обычно не беспокоятся о том, требует ли результат этого — если только они не изучают эту аксиому в частности.
Иногда предположение называют гипотезой, когда оно часто и многократно используется как предположение в доказательствах других результатов. Например, гипотеза Римана — это предположение из теории чисел , которое — среди прочего — делает предсказания о распределении простых чисел . Мало кто из теоретиков чисел сомневается в истинности гипотезы Римана. Фактически, в ожидании ее окончательного доказательства некоторые даже приступили к разработке дальнейших доказательств, которые зависят от истинности этого предположения. Они называются условными доказательствами : предполагаемые предположения появляются в гипотезах теоремы на данный момент.
Однако эти «доказательства» развалились бы, если бы выяснилось, что гипотеза ложна, поэтому существует значительный интерес к проверке истинности или ложности предположений такого типа.
В теории чисел Великая теорема Ферма (иногда называемая гипотезой Ферма , особенно в старых текстах) утверждает, что никакие три положительных целых числа , и не могут удовлетворять уравнению для любого целого значения, большего двух.
Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на полях копии «Арифметики» , где он утверждал, что у него есть доказательство, которое слишком велико, чтобы поместиться на полях. [6] Первое успешное доказательство было выпущено в 1994 году Эндрю Уайлсом и официально опубликовано в 1995 году после 358 лет усилий математиков. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в 19 веке и доказательство теоремы о модулярности в 20 веке. Это одна из самых известных теорем в истории математики , и до ее доказательства она была в Книге рекордов Гиннесса как «самая сложная математическая проблема». [7]
В математике теорема о четырех красках или теорема о четырехцветной карте гласит, что при любом разделении плоскости на смежные области, создающем фигуру, называемую картой , требуется не более четырех цветов для раскрашивания областей карты, так что никакие две смежные области не будут иметь одинаковый цвет. Две области называются смежными, если они имеют общую границу, которая не является углом, где углы — это точки, общие для трех или более областей. [8] Например, на карте Соединенных Штатов Америки Юта и Аризона являются смежными, но Юта и Нью-Мексико, которые имеют только общую точку , которая также принадлежит Аризоне и Колорадо, таковыми не являются.
Мёбиус упомянул эту проблему в своих лекциях еще в 1840 году. [9] Гипотеза была впервые выдвинута 23 октября 1852 года [10], когда Фрэнсис Гатри , пытаясь раскрасить карту графств Англии, заметил, что нужны только четыре разных цвета. Теорема о пяти красках , имеющая краткое элементарное доказательство, утверждает, что для раскраски карты достаточно пяти цветов, и была доказана в конце 19 века; [11] однако доказать, что достаточно четырех цветов, оказалось значительно сложнее. С момента первого утверждения теоремы о четырех красках в 1852 году появилось множество ложных доказательств и ложных контрпримеров .
Теорема о четырех красках была окончательно доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном . Это была первая крупная теорема , доказанная с помощью компьютера . Подход Аппеля и Хакена начался с демонстрации того, что существует определенный набор из 1936 карт, каждая из которых не может быть частью наименьшего по размеру контрпримера к теореме о четырех красках (т. е. если бы они появились, можно было бы сделать меньший контрпример). Аппель и Хакен использовали специальную компьютерную программу, чтобы подтвердить, что каждая из этих карт обладает этим свойством. Кроме того, любая карта, которая потенциально может быть контрпримером, должна иметь часть, которая выглядит как одна из этих 1936 карт. Показав это с помощью сотен страниц ручного анализа, Аппель и Хакен пришли к выводу, что наименьшего контрпримера не существует, потому что любой должен содержать, но не содержать одну из этих 1936 карт. Это противоречие означает, что контрпримеров вообще нет, и что теорема, следовательно, верна. Первоначально их доказательство вообще не было принято математиками, поскольку доказательство с помощью компьютера было невыполнимо для того, чтобы человек мог проверить его вручную. [12] Однако с тех пор доказательство получило более широкое признание, хотя сомнения все еще остаются. [13]
Hauptvermutung (нем . «главная гипотеза») геометрической топологии — это гипотеза о том, что любые две триангуляции триангулируемого пространства имеют общее уточнение, единую триангуляцию, которая является подразделением их обеих. Первоначально она была сформулирована в 1908 году Штейницем и Титце . [14]
Теперь известно, что эта гипотеза ложна. Немногообразная версия была опровергнута Джоном Милнором [15] в 1961 году с использованием кручения Рейдемейстера .
Версия с многообразием верна в размерностях m ≤ 3. Случаи m = 2 и 3 были доказаны Тибором Радо и Эдвином Э. Моисеем [16] в 1920-х и 1950-х годах соответственно.
В математике гипотезы Вейля представляли собой некоторые весьма влиятельные предложения Андре Вейля (1949) о производящих функциях (известных как локальные дзета-функции ), полученных путем подсчета числа точек на алгебраических многообразиях над конечными полями .
Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек , а также точек над каждым конечным полем с q k элементами, содержащим это поле. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из числа N k точек над (по сути уникальным) полем с q k элементами.
Вейль предположил, что такие дзета-функции должны быть рациональными функциями , должны удовлетворять форме функционального уравнения и должны иметь свои нули в ограниченных местах. Последние две части были вполне сознательно смоделированы на основе дзета-функции Римана и гипотезы Римана . Рациональность была доказана Дворком (1960), функциональное уравнение — Гротендиком (1965), а аналог гипотезы Римана был доказан Делинем (1974).
В математике гипотеза Пуанкаре — это теорема о характеристике 3-сферы , которая является гиперсферой, ограничивающей единичный шар в четырехмерном пространстве. Гипотеза утверждает, что:
Каждое односвязное замкнутое 3- многообразие гомеоморфно 3 -сфере .
Эквивалентная форма гипотезы включает в себя более грубую форму эквивалентности, чем гомеоморфизм, называемую гомотопической эквивалентностью : если 3-многообразие гомотопически эквивалентно 3-сфере, то оно обязательно гомеоморфно ей.
Первоначально выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году, теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но является связным, конечным по размеру и не имеет границ ( замкнутое 3-многообразие ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, что каждая петля в пространстве может быть непрерывно стянута в точку, то оно обязательно является трехмерной сферой. Аналогичный результат был известен в более высоких измерениях в течение некоторого времени.
После почти столетия усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv . Доказательство стало продолжением программы Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для попытки решить эту проблему. Позднее Гамильтон представил модификацию стандартного потока Риччи, названную потоком Риччи с хирургией для систематического вырезания особых областей по мере их развития контролируемым образом, но не смог доказать, что этот метод «сходится» в трех измерениях. [17] Перельман завершил эту часть доказательства. Несколько групп математиков подтвердили, что доказательство Перельмана верно.
До того, как гипотеза Пуанкаре была доказана, она была одним из важнейших открытых вопросов топологии .
В математике гипотеза Римана , предложенная Бернхардом Риманом (1859), является гипотезой о том, что нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Название также используется для некоторых тесно связанных аналогов, таких как гипотеза Римана для кривых над конечными полями .
Гипотеза Римана подразумевает результаты о распределении простых чисел . Наряду с подходящими обобщениями, некоторые математики считают ее самой важной нерешенной проблемой в чистой математике . [18] Гипотеза Римана, наряду с гипотезой Гольдбаха , является частью восьмой проблемы Гильберта в списке Дэвида Гильберта из 23 нерешенных проблем ; она также является одной из проблем Премии тысячелетия Математического института Клэя .
Проблема P против NP является одной из основных нерешенных проблем в информатике . Неформально, она спрашивает, может ли каждая проблема, решение которой может быть быстро проверено компьютером, также быть быстро решена компьютером; широко распространено предположение, что ответ — нет. По сути, она была впервые упомянута в письме 1956 года, написанном Куртом Гёделем Джону фон Нейману . Гёдель спросил, может ли определенная NP-полная задача быть решена за квадратичное или линейное время. [19] Точная формулировка проблемы P=NP была введена в 1971 году Стивеном Куком в его основополагающей статье «Сложность процедур доказательства теорем» [20] и многими считается самой важной открытой проблемой в этой области. [21] Это одна из семи задач Премии тысячелетия, выбранных Математическим институтом Клэя, чтобы получить приз в размере 1 000 000 долларов США за первое правильное решение.
Карл Поппер был пионером в использовании термина «предположение» в научной философии . [24] Предположение связано с гипотезой , которая в науке относится к проверяемой гипотезе.
Из этой статьи: Определения: Плоская карта — это множество попарно непересекающихся подмножеств плоскости, называемых областями. Простая карта — это карта, области которой являются связными открытыми множествами. Две области карты являются смежными, если их соответствующие замыкания имеют общую точку, которая не является углом карты. Точка является углом карты тогда и только тогда, когда она принадлежит замыканиям по крайней мере трех областей. Теорема: Области любой простой плоской карты можно раскрасить только четырьмя цветами таким образом, что любые две смежные области будут иметь разные цвета.
Медиа, связанные с Conjectures на Wikimedia Commons
