В математике , в частности, в теории групп , для данного простого числа p p -группа — это группа , в которой порядок каждого элемента является степенью p. То есть для каждого элемента g p -группы G существует неотрицательное целое число n такое , что произведение p n копий g , и не меньше, равно единичному элементу . Порядки различных элементов могут быть различными степенями p .
Абелевы p -группы также называются p -примарными или просто примарными .
Конечная группа является p -группой тогда и только тогда, когда ее порядок (число ее элементов) является степенью p . Для данной конечной группы G теоремы Силова гарантируют существование подгруппы G порядка p n для любой простой степени p n , которая делит порядок G .
Каждая конечная p -группа нильпотентна .
Оставшаяся часть статьи посвящена конечным p -группам. Пример бесконечной абелевой p -группы см. в разделе Prüfer group , а пример бесконечной простой p -группы см. в разделе Tarski monster group .
Каждая p -группа является периодической , поскольку по определению каждый элемент имеет конечный порядок .
Если p — простое число, а G — группа порядка p k , то G имеет нормальную подгруппу порядка p m для любого 1 ≤ m ≤ k . Это следует по индукции с использованием теоремы Коши и теоремы о соответствии для групп. Набросок доказательства следующий: поскольку центр Z группы G нетривиален (см. ниже), согласно теореме Коши Z имеет подгруппу H порядка p . Будучи центральной в G , H обязательно нормальна в G . Теперь мы можем применить индуктивное предположение к G/H , и результат следует из теоремы о соответствии.
Одним из первых стандартных результатов, использующих уравнение классов , является то, что центр нетривиальной конечной p -группы не может быть тривиальной подгруппой. [1]
Это составляет основу многих индуктивных методов в p -группах.
Например, нормализатор N собственной подгруппы H конечной p -группы G собственно содержит H , потому что для любого контрпримера с H = N центр Z содержится в N , а значит и в H , но тогда существует меньший пример H / Z , нормализатор которого в G / Z есть N / Z = H / Z , что создает бесконечный спуск. Как следствие, каждая конечная p -группа нильпотентна .
В другом направлении, каждая нормальная подгруппа N конечной p -группы пересекает центр нетривиально, что можно доказать, рассматривая элементы N , которые неподвижны, когда G действует на N сопряжением. Поскольку каждая центральная подгруппа нормальна, то отсюда следует, что каждая минимальная нормальная подгруппа конечной p -группы является центральной и имеет порядок p . Действительно, цоколь конечной p -группы является подгруппой центра, состоящей из центральных элементов порядка p .
Если G является p -группой, то таковой является и G / Z , и поэтому она также имеет нетривиальный центр. Прообраз в G центра G / Z называется вторым центром , и эти группы начинают верхний центральный ряд . Обобщая предыдущие замечания о цоколе, конечная p -группа с порядком p n содержит нормальные подгруппы порядка p i с 0 ≤ i ≤ n , и любая нормальная подгруппа порядка p i содержится в i -м центре Z i . Если нормальная подгруппа не содержится в Z i , то ее пересечение с Z i +1 имеет размер по крайней мере p i +1 .
Группы автоморфизмов p -групп хорошо изучены. Так же, как каждая конечная p -группа имеет нетривиальный центр, так что внутренняя группа автоморфизмов является собственным фактором группы, каждая конечная p -группа имеет нетривиальную внешнюю группу автоморфизмов . Каждый автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм на G /Φ( G ), где Φ( G ) - подгруппа Фраттини группы G . Фактор G/Φ( G ) является элементарной абелевой группой , а ее группа автоморфизмов является общей линейной группой , поэтому очень хорошо изучен. Отображение из группы автоморфизмов группы G в эту общую линейную группу было изучено Бернсайдом , который показал, что ядром этого отображения является p -группа.
p -группы одного и того же порядка не обязательно изоморфны ; например, циклическая группа C4 и четверная группа Клейна V4 являются обеими 2-группами порядка 4, но они не изоморфны.
Также p -группа не обязательно должна быть абелевой ; диэдральная группа Dih 4 порядка 8 является неабелевой 2-группой. Однако каждая группа порядка p 2 является абелевой. [примечание 1]
Диэдральные группы одновременно очень похожи и очень отличаются от кватернионных групп и полудиэдральных групп . Вместе диэдральные, полудиэдральные и кватернионные группы образуют 2-группы максимального класса , то есть группы порядка 2 n +1 и класса нильпотентности n .
Итерированные сплетения циклических групп порядка p являются очень важными примерами p -групп. Обозначим циклическую группу порядка p как W (1), а сплетение W ( n ) с W (1) как W ( n + 1). Тогда W ( n ) является силовской p -подгруппой симметрической группы Sym( p n ). Максимальные p -подгруппы общей линейной группы GL( n , Q ) являются прямыми произведениями различных W ( n ). Она имеет порядок p k , где k = ( p n − 1)/( p − 1). Она имеет класс нильпотентности p n −1 , и ее нижний центральный ряд, верхний центральный ряд, нижний экспоненциальный p центральный ряд и верхний экспоненциальный p центральный ряд равны. Она порождается своими элементами порядка p , но ее экспонента равна p n . Вторая такая группа, W (2), также является p -группой максимального класса, поскольку имеет порядок p p +1 и класс нильпотентности p , но не является регулярной p -группой . Поскольку группы порядка p p всегда являются регулярными группами, она также является минимальным таким примером.
Когда p = 2 и n = 2, W ( n ) является диэдральной группой порядка 8, поэтому в некотором смысле W ( n ) обеспечивает аналог диэдральной группы для всех простых чисел p при n = 2. Однако для больших n аналогия становится натянутой. Существует другое семейство примеров, которое более точно имитирует диэдральные группы порядка 2 n , но это требует немного большей настройки. Пусть ζ обозначает примитивный корень степени p из единицы в комплексных числах, пусть Z [ζ] будет кольцом циклотомических целых чисел, порожденным им, и пусть P будет простым идеалом, порожденным 1−ζ. Пусть G будет циклической группой порядка p , порожденной элементом z . Образуем полупрямое произведение E ( p ) элементов Z [ζ] и G , где z действует как умножение на ζ. Степени P n являются нормальными подгруппами E ( p ), а примерами групп являются E ( p , n ) = E ( p )/ P n . E ( p , n ) имеет порядок p n +1 и класс нильпотентности n , поэтому является p -группой максимального класса. Когда p = 2, E (2, n ) является диэдральной группой порядка 2 n . Когда p нечетно, как W (2), так и E ( p , p ) являются нерегулярными группами максимального класса и порядка p p +1 , но не изоморфны.
Силовские подгруппы общих линейных групп являются еще одним фундаментальным семейством примеров. Пусть V будет векторным пространством размерности n с базисом { e 1 , e 2 , ..., e n } и определите V i как векторное пространство, порожденное { e i , e i +1 , ..., e n } для 1 ≤ i ≤ n , и определите V i = 0, когда i > n . Для каждого 1 ≤ m ≤ n множество обратимых линейных преобразований V , которые переводят каждое V i в V i + m , образуют подгруппу Aut( V ), обозначаемую U m . Если V является векторным пространством над Z / p Z , то U 1 является силовской p -подгруппой Aut( V ) = GL( n , p ), а члены ее нижнего центрального ряда являются просто U m . В терминах матриц U m — это верхние треугольные матрицы с единицами на одной диагонали и нулями на первых m −1 супердиагоналях. Группа U 1 имеет порядок p n ·( n −1)/2 , класс нильпотентности n и показатель p k , где k — наименьшее целое число, по крайней мере такое же большое, как логарифм n по основанию p .
Группы порядка p n для 0 ≤ n ≤ 4 были классифицированы на раннем этапе истории теории групп [2], а современные работы расширили эти классификации до групп, порядок которых делит p 7 , хотя само число семейств таких групп растет так быстро, что дальнейшие классификации в этом направлении считаются сложными для человеческого ума для понимания. [3] Например, Маршалл Холл-младший и Джеймс К. Сениор классифицировали группы порядка 2 n для n ≤ 6 в 1964 году. [4]
Вместо того чтобы классифицировать группы по порядку, Филип Холл предложил использовать понятие изоклинизма групп , которое объединяло конечные p -группы в семейства на основе большого фактора и подгрупп. [5]
Совершенно другой метод классифицирует конечные p -группы по их коклассу , то есть разнице между их длиной композиции и их классом нильпотентности . Так называемые гипотезы кокласса описывали множество всех конечных p -групп фиксированного кокласса как возмущения конечного числа про-p -групп . Гипотезы кокласса были доказаны в 1980-х годах с использованием методов, связанных с алгебрами Ли и мощными p -группами . [6] Окончательные доказательства теорем о коклассе принадлежат А. Шалеву и независимо Ч. Р. Лидхэму-Грину, оба в 1994 году. Они допускают классификацию конечных p -групп в направленных графах коклассов, состоящих только из конечного числа деревьев коклассов, (бесконечное число) членов которых характеризуется конечным числом параметризованных представлений.
Каждая группа порядка p 5 является метабелевой . [7]
Тривиальная группа — единственная группа порядка один, а циклическая группа C p — единственная группа порядка p . Существует ровно две группы порядка p 2 , обе абелевы, а именно C p 2 и C p × C p . Например, циклическая группа C 4 и четверная группа Клейна V 4 , которая есть C 2 × C 2 , обе являются 2-группами порядка 4.
Существует три абелевы группы порядка p 3 , а именно C p 3 , C p 2 × C p и C p × C p × C p . Существует также две неабелевы группы.
Для p ≠ 2 одна из них является полупрямым произведением C p × C p с C p , а другая является полупрямым произведением C p 2 с C p . Первую можно описать другими терминами как группу UT(3, p ) унитреугольных матриц над конечным полем с p элементами, также называемую группой Гейзенберга mod p .
При p = 2 оба упомянутых выше полупрямых произведения изоморфны диэдральной группе Dih 4 порядка 8. Другая неабелева группа порядка 8 — это группа кватернионов Q 8 .
Число классов изоморфизма групп порядка p n растет как , и среди них доминируют классы, которые являются нильпотентными на два шага. [8] Из-за этого быстрого роста существует фольклорная гипотеза, утверждающая, что почти все конечные группы являются 2-группами: доля классов изоморфизма 2-групп среди классов изоморфизма групп порядка не выше n , как полагают, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. Например, из 49 910 529 484 различных групп порядка не выше 2000, 49 487 367 289 , или чуть более 99%, являются 2-группами порядка 1024. [9]
Каждая конечная группа, порядок которой делится на p, содержит подгруппу, которая является нетривиальной p -группой, а именно циклической группой порядка p, порожденной элементом порядка p, полученным из теоремы Коши . Фактически, она содержит p -группу максимально возможного порядка: если где p не делит m, то G имеет подгруппу P порядка, называемую силовской p -подгруппой. Эта подгруппа не обязана быть единственной, но любые подгруппы этого порядка сопряжены, и любая p -подгруппа группы G содержится в силовской p -подгруппе. Это и другие свойства доказаны в теоремах Силова .
p -группы являются фундаментальными инструментами в понимании структуры групп и в классификации конечных простых групп . p -группы возникают как подгруппы и как фактор-группы. В качестве подгрупп для заданного простого числа p имеются силовские p -подгруппы P (наибольшая p -подгруппа, не единственная, но все сопряженные) и p -ядро (единственная наибольшая нормальная p -подгруппа), а также различные другие. В качестве факторов наибольший фактор p -группы является фактором G по p -остаточной подгруппе Эти группы связаны (для разных простых чисел), обладают важными свойствами, такими как теорема о фокальной подгруппе , и позволяют определить многие аспекты структуры группы.
Значительная часть структуры конечной группы содержится в структуре ее так называемых локальных подгрупп , нормализаторов нетождественных p -подгрупп. [10]
Большие элементарные абелевы подгруппы конечной группы осуществляют контроль над группой, которая использовалась в доказательстве теоремы Фейта–Томпсона . Некоторые центральные расширения элементарных абелевых групп, называемые экстраспециальными группами, помогают описать структуру групп как действующих на симплектических векторных пространствах .
Ричард Брауэр классифицировал все группы, чьи силовские 2-подгруппы являются прямым произведением двух циклических групп порядка 4, а Джон Уолтер, Дэниел Горенштейн , Хельмут Бендер, Мичио Судзуки , Джордж Глауберман и другие классифицировали те простые группы, чьи силовские 2-подгруппы были абелевыми, диэдральными, полудиэдральными или кватернионными.
