Венок продукт

Тема по теории групп

В теории групп сплетение — это специальная комбинация двух групп , основанная на полупрямом произведении . Оно образуется действием одной группы на множество копий другой группы, что несколько аналогично возведению в степень . Сплетения используются в классификации групп перестановок , а также предоставляют способ построения интересных примеров групп.

При наличии двух групп и (иногда называемых нижней и верхней ^[1] ) существуют два варианта сплетения: неограниченное сплетение и ограниченное сплетение . Общая форма, обозначаемая или соответственно, требует, чтобы действовало на некотором множестве ; если не указано иное, обычно ( регулярное сплетение ), хотя иногда подразумевается иное . Два варианта совпадают, когда , и все конечны. Любой из вариантов также обозначается как (с \wr для символа LaTeX) или A  ≀  H ( Unicode U+2240). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A\wr H}$

Это понятие обобщается на полугруппы и, как таковое, является центральной конструкцией в структурной теории Крона–Роудса конечных полугрупп.

Определение

Пусть будет группой и пусть будет группой, действующей на множестве (слева). Прямое произведение с собой, индексированным по — это множество последовательностей в , индексированных по , с групповой операцией, заданной поточечным умножением. Действие на можно расширить до действия на путем переиндексации , а именно, определив ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$

${\displaystyle h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }}$

для всех и вся . ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }}$

Тогда неограниченное сплетение по является полупрямым произведением с действием на заданным выше. Подгруппа называется базой сплетения . ${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$

Ограниченное сплетение строится так же, как и неограниченное сплетение, за исключением того, что в качестве основания сплетения используется прямая сумма . В этом случае основание состоит из всех последовательностей с конечным числом нетождественных элементов . Два определения совпадают, когда конечно. ${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega }$

В наиболее общем случае , и действует на себя левым умножением. В этом случае неограниченное и ограниченное сплетение можно обозначить как и соответственно. Это называется регулярным сплетением. ${\displaystyle \Omega =H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$

Обозначения и соглашения

Структура сплетения A на H зависит от H -множества Ω, а в случае, если Ω бесконечно, она также зависит от того, используется ли ограниченное или неограниченное сплетение. Однако в литературе используемые обозначения могут быть несовершенны, и нужно обращать внимание на обстоятельства.

• В литературе A ≀ _Ω H может обозначать неограниченное сплетение A  Wr _Ω  H или ограниченное сплетение A  wr _Ω  H .
• Аналогично, A ≀ H может обозначать неограниченный регулярный сплетенный продукт A  Wr  H или ограниченный регулярный сплетенный продукт A  wr  H .
• В литературе H -множество Ω может быть опущено из обозначения, даже если Ω  ≠ H.
• В частном случае, когда H  =  S _n является симметрической группой степени n, в литературе принято предполагать, что Ω = {1,..., n } (с естественным действием S _n ), а затем опускать Ω из обозначения. То есть, A ≀ S _n обычно обозначает A ≀ _{{1,..., n }} S _n вместо обычного сплетения A ≀ _{S n} S _n . В первом случае базовая группа является произведением n копий A , во втором — произведением n ! копий  A .

Характеристики

Соглашение неограниченного и ограниченного сплетения на конечном Ω

Поскольку конечное прямое произведение совпадает с конечной прямой суммой групп, то отсюда следует, что неограниченное A  Wr _Ω  H и ограниченное сплетение A  wr _Ω  H совпадают, если Ω конечно. В частности, это верно, когда Ω = H и H конечно.

Подгруппа

A  wr _Ω  H всегда является подгруппой A  Wr _Ω  H .

Мощность

Если A , H и Ω конечны, то

| А ≀ _Ом Ч | = | А | ^|Ом| | Ч |. ^[2]

Универсальная теорема вложения

Универсальная теорема о вложении : Если G является расширением A с помощью H , то существует подгруппа неограниченного сплетения A ≀ H, которая изоморфна G. ^[3] Это также известно как теорема о вложении Краснера–Калоуйнина . Теорема Крона –Роудса включает в себя то, что по сути является полугрупповым эквивалентом этого. ^[4]

Канонические действия венковых изделий

Если группа A действует на множестве Λ, то существует два канонических способа построения множеств из Ω и Λ, на которых A  Wr _Ω  H (а следовательно, и A  wr _Ω  H ) может действовать.

• Действие примитивного сплетения на Λ × Ω.

  Если (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H и ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , то

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').}$

• Действие примитивного сплетения на Λ ^Ω .

  Элемент в Λ ^Ω — это последовательность ( λ _ω ), индексированная H -множеством Ω. Для данного элемента (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H его операция на ( λ _ω ) ∈ Λ ^Ω задается формулой

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).}$

Примеры

• Группа «фонарщиков» — это ограниченный продукт «венок» . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\wr S_{n}}$( обобщенная симметрическая группа ). Основой этого сплетения является n -кратное прямое произведение копий , где действие симметрической группы S _n степени n задается как φ ( σ )(α ₁ ,..., α _n ) := ( α _{σ (1)} ,..., α _{σ ( n )} ). ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{n}=\mathbb {Z} _{m}...\mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \phi :S_{n}\to {\text{Aut}}(\mathbb {Z} _{m}^{n})}$

• ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$( гипероктаэдрическая группа ).
• Действие S _n на {1,..., n } такое же, как и выше. Поскольку симметрическая группа S ₂ степени 2 изоморфна гипероктаэдрической группе, является частным случаем обобщенной симметрической группы. ^[6] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

• Наименьшим нетривиальным сплетением является , что является двумерным случаем указанной выше гипероктаэдрической группы. Это группа симметрии квадрата, также называемая D ₄ , диэдральная группа порядка 8. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$
• Пусть p — простое число , и пусть . Пусть P — силовская p -подгруппа симметрической группы S _{p ⁿ} . Тогда P изоморфна итерированному регулярному сплетению n копий . Здесь и для всех . ^{[7] [8]} Например, силовская 2-подгруппа группы S ₄ — это указанная выше группа. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle W_{n}=\mathbb {Z} _{p}\wr ...\wr \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle W_{1}:=\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle W_{k}:=W_{k-1}\wr \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$

• Группа кубика Рубика является нормальной подгруппой индекса 12 в произведении сплетений, множители которых соответствуют симметриям 8 углов и 12 ребер. ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}\wr S_{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr S_{12})}$

• Группа преобразований, сохраняющих валидность судоку (VPT), ​​содержит произведение двойного сплетения ( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ , где множителями являются перестановка строк/столбцов в пределах полосы или стопки из 3 строк или 3 столбцов ( S ₃ ), перестановка самих полос/стопок ( S ₃ ) и транспозиция, которая меняет местами полосы и стопки ( S ₂ ). Здесь наборы индексов Ω — это набор полос (соответственно, стопок) (| Ω | = 3) и набор {полосы, стопки} (| Ω | = 2). Соответственно, | S ₃ ≀ S ₃ | = | S ₃ | ³ | S ₃ | = (3!) ⁴ и |( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ | = | S ₃ ≀ S ₃ | ² | С ₂ | = (3!) ⁸ × 2.

• Сплетения естественным образом возникают в симметриях полных корневых деревьев и их графов . Например, повторное (итеративное) сплетение S ₂ ≀ S ₂ ≀ ... ≀ S ₂ является группой автоморфизмов полного бинарного дерева .

Ссылки

1. Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1998), "Wreath products", Notes on Infinite Permutation Groups , Lecture Notes in Mathematics, т. 1698, Berlin, Heidelberg: Springer, стр. 67–76, doi :10.1007/bfb0092558, ISBN 978-3-540-49813-1, получено 2021-05-12
2. Джозеф Дж. Ротман, Введение в теорию групп, стр. 172 (1995)
3. М. Краснер и Л. Калужнин, «Produit Complete des Groupes de permutations et le problème d'extension de groups III», Acta Sci. Математика. 14, стр. 69–82 (1951).
4. JDP Meldrum (1995). Сплетения групп и полугрупп . Longman [Великобритания] / Wiley [США]. стр. ix. ISBN 978-0-582-02693-3.
5. JW Davies и AO Morris, «Множитель Шура обобщенной симметрической группы», J. London Math. Soc. (2), 8, (1974), стр. 615–620
6. П. Грачик, Г. Летак и Х. Массам, «Гипероктаэдрическая группа, представления симметричной группы и моменты реального распределения Уишарта», J. Theoret. Probab. 18 (2005), № 1, 1–42.
7. Джозеф Дж. Ротман, Введение в теорию групп, стр. 176 (1995)
8. Л. Калужнин, «Структура p-групп Силова симметричных конечных групп», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Troisième Série 65, стр. 239–276 (1948).

Внешние ссылки

• Сплетение произведений в Энциклопедии математики .
• Чарльз Уэллс, "Некоторые приложения конструкции венокового продукта", переработанное. Архивировано 21 февраля 2014 г. на Wayback Machine