Абелева группа

Коммутативная группа (математика)

В математике абелева группа , также называемая коммутативной группой , — это группа , в которой результат применения групповой операции к двум элементам группы не зависит от порядка, в котором они записаны. То есть групповая операция является коммутативной . При использовании сложения в качестве операции целые и действительные числа образуют абелевы группы, и понятие абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь Нильса Хенрика Абеля . ^[1]

Концепция абелевой группы лежит в основе многих фундаментальных алгебраических структур , таких как поля , кольца , векторные пространства и алгебры . Теория абелевых групп, как правило, проще, чем у их неабелевых аналогов, а конечные абелевы группы очень хорошо изучены и полностью классифицированы.

Определение

Абелева группа — это множество , вместе с операцией , которая объединяет любые два элемента и из для формирования другого элемента из , обозначаемого . Символ является общим заполнителем для конкретно заданной операции. Чтобы считаться абелевой группой, множество и операция , должны удовлетворять четырем требованиям, известным как аксиомы абелевой группы (некоторые авторы включают в аксиомы некоторые свойства, которые относятся к определению операции: а именно, что операция определена для любой упорядоченной пары элементов A , что результат корректно определен и что результат принадлежит A ): ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$

Ассоциативность

Для всех , и в уравнение выполняется. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Элемент идентичности

Существует элемент в , такой что для всех элементов в уравнение выполняется. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

Обратный элемент

Для каждого из существует элемент из такой, что , где — единичный элемент. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$ ${\displaystyle e}$

Коммутативность

Для всех , в , . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

Группа, в которой групповая операция не является коммутативной, называется «неабелевой группой» или «некоммутативной группой». ^{[2] : 11}

Факты

Обозначение

Для абелевых групп существуют два основных соглашения об обозначениях — аддитивное и мультипликативное.

В общем, мультипликативная нотация является обычной нотацией для групп, в то время как аддитивная нотация является обычной нотацией для модулей и колец . Аддитивная нотация может также использоваться для подчеркивания того, что конкретная группа является абелевой, всякий раз, когда рассматриваются как абелевы, так и неабелевы группы, некоторые заметные исключения представляют собой почти кольца и частично упорядоченные группы , где операция записывается аддитивно, даже если она неабелева. ^{[3] : 28–29  [4] : 9–14}

Таблица умножения

Чтобы проверить, что конечная группа является абелевой, можно построить таблицу (матрицу), известную как таблица Кэли , аналогично таблице умножения . ^{[5] : 10} Если группа находится под действием операции , то -я запись этой таблицы содержит произведение . ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$

Группа абелева тогда и только тогда, когда эта таблица симметрична относительно главной диагонали. Это верно, поскольку группа абелева тогда и только тогда, когда для всех , что является таковым тогда и только тогда, когда запись таблицы равна записи для всех , т. е. таблица симметрична относительно главной диагонали. ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$ ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (j,i)}$ ${\displaystyle i,j=1,...,n}$

Примеры

• Для целых чисел и операции сложения , обозначаемой , операция + объединяет любые два целых числа, образуя третье целое число, сложение ассоциативно, ноль является аддитивным тождеством , каждое целое число имеет аддитивное обратное , , а операция сложения коммутативна, поскольку для любых двух целых чисел и . ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n+m=m+n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$
• Каждая циклическая группа абелева, поскольку если , лежат в , то . Таким образом, целые числа , , образуют абелеву группу по сложению, как и целые числа по модулю , . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Каждое кольцо является абелевой группой относительно своей операции сложения. В коммутативном кольце обратимые элементы, или единицы , образуют абелеву мультипликативную группу . В частности, действительные числа являются абелевой группой относительно сложения, а ненулевые действительные числа являются абелевой группой относительно умножения.
• Каждая подгруппа абелевой группы нормальна , поэтому каждая подгруппа порождает факторгруппу . Подгруппы, факторы и прямые суммы абелевых групп снова абелевы. Конечные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка . ^{[6] : 32}
• Понятия абелевой группы и -модуля согласуются. Более конкретно, каждый -модуль является абелевой группой со своей операцией сложения, и каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел уникальным образом. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В общем случае матрицы , даже обратимые матрицы, не образуют абелеву группу при умножении, поскольку умножение матриц, как правило, не коммутативно. Однако некоторые группы матриц являются абелевыми группами при умножении матриц – одним из примеров является группа матриц вращения . ${\displaystyle 2\times 2}$

Исторические заметки

Камиль Жордан назвал абелевы группы в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , поскольку Абель обнаружил, что коммутативность группы многочлена подразумевает , что корни многочлена могут быть вычислены с помощью радикалов . ^{[7] : 144–145  [8] : 157–158}

Характеристики

Если — натуральное число и — элемент абелевой группы, записанной аддитивно, то может быть определено как ( слагаемые) и . Таким образом, становится модулем над кольцом целых чисел. Фактически, модули над можно отождествить с абелевыми группами. ^{[9] : 94–97} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle nx}$ ${\displaystyle x+x+\cdots +x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Теоремы об абелевых группах (т.е. модулях над областью главных идеалов ) часто можно обобщить до теорем о модулях над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечно порожденных абелевых групп , которая является специализацией структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов . В случае конечно порожденных абелевых групп эта теорема гарантирует, что абелева группа расщепляется как прямая сумма группы кручения и свободной абелевой группы . Первая может быть записана как прямая сумма конечного числа групп вида для простого числа , а вторая является прямой суммой конечного числа копий . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Если — два групповых гомоморфизма между абелевыми группами, то их сумма , определяемая соотношением , снова является гомоморфизмом. (Это неверно, если — неабелева группа.) Таким образом, множество всех групповых гомоморфизмов из в само по себе является абелевой группой. ${\displaystyle f,g:G\to H}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Несколько похоже на размерность векторных пространств , каждая абелева группа имеет ранг . Он определяется как максимальная мощность множества линейно независимых (над целыми числами) элементов группы. ^{[10] : 49–50} Конечные абелевы группы и группы кручения имеют ранг нуль, и каждая абелева группа ранга нуль является группой кручения. Целые числа и рациональные числа имеют ранг один, как и каждая ненулевая аддитивная подгруппа рациональных чисел. С другой стороны, мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел имеет бесконечный ранг, так как она является свободной абелевой группой с множеством простых чисел в качестве базиса (это следует из фундаментальной теоремы арифметики ).

Центр группы — это множество элементов, которые коммутируют с каждым элементом из . Группа абелева тогда и только тогда, когда она равна своему центру . Центр группы всегда является характеристической абелевой подгруппой группы . Если фактор-группа группы по ее центру циклическая, то является абелевой. ^[11] ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/Z(G)}$ ${\displaystyle G}$

Конечные абелевы группы

Циклические группы целых чисел по модулю ${\displaystyle n}$ , , были одними из первых примеров групп. Оказывается, что произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп порядка простой степени, и эти порядки определяются однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть описана непосредственно в терминах этих инвариантов. Теория была впервые разработана в статье 1879 года Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера , а затем была упрощена и обобщена до конечно порожденных модулей над областью главных идеалов, образуя важную главу линейной алгебры . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе и, следовательно, абелева. Любая группа, порядок которой является квадратом простого числа, также абелева. ^[12] Фактически, для каждого простого числа существует (с точностью до изоморфизма) ровно две группы порядка , а именно и . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$

Классификация

Основная теорема о конечных абелевых группах утверждает, что каждая конечная абелева группа может быть выражена как прямая сумма циклических подгрупп порядка степени простого числа; она также известна как базисная теорема для конечных абелевых групп . Более того, группы автоморфизмов циклических групп являются примерами абелевых групп. ^[13] Это обобщается основной теоремой о конечно порожденных абелевых группах , причем конечные группы являются частным случаем, когда G имеет нулевой ранг ; это, в свою очередь, допускает многочисленные дальнейшие обобщения. ${\displaystyle G}$

Классификация была доказана Леопольдом Кронекером в 1870 году, хотя она была сформулирована в современных терминах теории групп лишь позднее, и ей предшествовала похожая классификация квадратичных форм Карла Фридриха Гаусса в 1801 году; подробности см. в истории .

Циклическая группа порядка изоморфна прямой сумме и тогда и только тогда, когда и взаимно просты . Отсюда следует, что любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме вида ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}}$

одним из следующих канонических способов:

• числа являются степенями (не обязательно различных) простых чисел, ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$
• или делит , который делит , и так далее до . ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}}$ ${\displaystyle k_{u}}$

Например, можно выразить как прямую сумму двух циклических подгрупп порядка 3 и 5: . То же самое можно сказать и о любой абелевой группе порядка 15, что приводит к замечательному выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$

Другой пример: каждая абелева группа порядка 8 изоморфна либо (целым числам от 0 до 7 при сложении по модулю 8), либо (нечетным целым числам от 1 до 15 при умножении по модулю 16), либо . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$

См. также список малых групп для конечных абелевых групп порядка 30 или меньше.

Автоморфизмы

Можно применить фундаментальную теорему для подсчета (а иногда и определения) автоморфизмов данной конечной абелевой группы . Для этого используется тот факт, что если распадается как прямая сумма подгрупп взаимно простого порядка, то ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\oplus K}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K).}$

Учитывая это, фундаментальная теорема показывает, что для вычисления группы автоморфизмов достаточно вычислить группы автоморфизмов силовских -подгрупп по отдельности (то есть все прямые суммы циклических подгрупп, каждая с порядком степенью ). Зафиксируем простое число и предположим, что показатели циклических множителей силовской -подгруппы расположены в порядке возрастания: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$

для некоторых . Нужно найти автоморфизмы ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.}$

Один особый случай — когда , так что в силовской -подгруппе есть только один циклический фактор степени простого числа . В этом случае можно использовать теорию автоморфизмов конечной циклической группы . Другой особый случай — когда произвольно, но для . Здесь рассматривается вид ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{i}=1}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},}$

поэтому элементы этой подгруппы можно рассматривать как составляющие векторное пространство размерности над конечным полем элементов . Автоморфизмы этой подгруппы, таким образом, задаются обратимыми линейными преобразованиями, поэтому ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),}$

где — соответствующая общая линейная группа . Легко показать, что она имеет порядок ${\displaystyle \mathrm {GL} }$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).}$

В самом общем случае, когда и произвольны, группу автоморфизмов определить сложнее. Известно, однако, что если определить ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

и

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

то в частности имеем , , и ${\displaystyle k\leq d_{k}}$ ${\displaystyle c_{k}\leq k}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$

Можно проверить, что это приводит к получению заказов в предыдущих примерах как частных случаев (см. Хиллара и Ри).

Конечно-порожденные абелевы группы

Абелева группа A конечно порождена , если она содержит конечный набор элементов (называемых генераторами ) такой, что каждый элемент группы является линейной комбинацией с целыми коэффициентами элементов группы G. ${\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$

Пусть L — свободная абелева группа с базой. Существует единственный гомоморфизм групп, такой что ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.}$ ${\displaystyle p\colon L\to A,}$

${\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

Этот гомоморфизм сюръективен , и его ядро ​​конечно порождено (поскольку целые числа образуют нётерово кольцо ). Рассмотрим матрицу M с целыми элементами, такими, что элементы её j -го столбца являются коэффициентами j -го генератора ядра. Тогда абелева группа изоморфна коядру линейного отображения, определяемого M. Обратно, каждая целочисленная матрица определяет конечно порожденную абелеву группу.

Из этого следует, что изучение конечно порожденных абелевых групп полностью эквивалентно изучению целочисленных матриц. В частности, изменение порождающего набора A эквивалентно умножению M слева на унимодулярную матрицу (то есть на обратимую целочисленную матрицу, обратная которой также является целочисленной матрицей). Изменение порождающего набора ядра M эквивалентно умножению M справа на унимодулярную матрицу.

Нормальная форма Смита для M — это матрица

${\displaystyle S=UMV,}$

где U и V унимодулярны, а S — матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю, ненулевые диагональные элементы ⁠ ⁠ являются ${\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}$ первыми, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle d_{j,j}}$ является делителем ⁠ ⁠ ${\displaystyle d_{i,i}}$ для i > j . Существование и вид нормальной формы Смита доказывают, что конечно порожденная абелева группа A является прямой суммой

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}$

где r — число нулевых строк внизу S (а также ранг группы). Это фундаментальная теорема конечно порожденных абелевых групп .

Существование алгоритмов для нормальной формы Смита показывает, что фундаментальная теорема о конечно порожденных абелевых группах является не только теоремой абстрактного существования, но и предоставляет способ вычисления выражений конечно порожденных абелевых групп в виде прямых сумм. ^{[14] : 26–27}

Бесконечные абелевы группы

Простейшей бесконечной абелевой группой является бесконечная циклическая группа . Любая конечно порождённая абелева группа изоморфна прямой сумме копий и конечной абелевой группы, которая в свою очередь разлагается в прямую сумму конечного числа циклических групп порядков простых степеней . Несмотря на то, что разложение не является единственным, число , называемое рангом , и простые степени, задающие порядки конечных циклических слагаемых, определяются однозначно. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

Напротив, классификация общих бесконечно порождённых абелевых групп далека от завершения. Делимые группы , т.е. абелевы группы , в которых уравнение допускает решение для любого натурального числа и элемента из , составляют один важный класс бесконечных абелевых групп, который может быть полностью охарактеризован. Каждая делимая группа изоморфна прямой сумме со слагаемыми, изоморфными и группам Прюфера для различных простых чисел , и мощность множества слагаемых каждого типа определяется однозначно. ^[15] Более того, если делимая группа является подгруппой абелевой группы , то допускает прямое дополнение: подгруппу из , такую, что . Таким образом, делимые группы являются инъективными модулями в категории абелевых групп , и наоборот, каждая инъективная абелева группа является делимой ( критерий Бэра ). Абелева группа без ненулевых делимых подгрупп называется редуцированной . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle nx=a}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/Z_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=A\oplus C}$

Два важных специальных класса бесконечных абелевых групп с диаметрально противоположными свойствами — это группы кручения и группы без кручения , примерами которых являются группы (периодические) и (без кручения). ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Торсионные группы

Абелева группа называется периодической или кручением , если каждый элемент имеет конечный порядок . Прямая сумма конечных циклических групп является периодической. Хотя обратное утверждение в общем случае неверно, известны некоторые особые случаи. Первая и вторая теоремы Прюфера утверждают, что если является периодической группой, и она либо имеет ограниченный показатель , т. е. для некоторого натурального числа , либо является счетной и -высоты элементов из конечны для каждого , то изоморфна прямой сумме конечных циклических групп. ^[16] Мощность множества прямых слагаемых , изоморфных в таком разложении, является инвариантом . ^{[17] : 6} Эти теоремы были позже включены в критерий Куликова . В другом направлении Гельмут Ульм нашел расширение второй теоремы Прюфера на счетные абелевы -группы с элементами бесконечной высоты: эти группы полностью классифицируются с помощью своих инвариантов Ульма . ^{[18] : 317} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle nA=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$

Группы без кручения и смешанные группы

Абелева группа называется без кручения, если каждый ненулевой элемент имеет бесконечный порядок. Несколько классов абелевых групп без кручения были подробно изучены:

• Свободные абелевы группы , т.е. произвольные прямые суммы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Кокручение и алгебраически компактные группы без кручения, такие как -адические целые числа ${\displaystyle p}$
• Стройные группы ^{[19] : 259–274}

Абелева группа, которая не является ни периодической, ни свободной от кручения, называется смешанной . Если — абелева группа и — ее подгруппа кручения , то фактор-группа не имеет кручения. Однако, в общем случае подгруппа кручения не является прямым слагаемым , поэтому не изоморфна . Таким образом, теория смешанных групп включает в себя больше, чем простое объединение результатов о периодических и свободных от кручения группах. Аддитивная группа целых чисел является свободным от кручения -модулем . ^{[20] : 206} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A/T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)\oplus A/T(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Инварианты и классификация

Одним из самых основных инвариантов бесконечной абелевой группы является ее ранг : мощность максимального линейно независимого подмножества . Абелевы группы ранга 0 — это в точности периодические группы, в то время как абелевы группы без кручения ранга 1 обязательно являются подгруппами и могут быть полностью описаны. В более общем случае абелева группа без кручения конечного ранга является подгруппой . С другой стороны, группа целых -адических чисел является абелевой группой без кручения бесконечного -ранга, а группы с различными неизоморфны, поэтому этот инвариант даже не полностью охватывает свойства некоторых знакомых групп. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{r}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Теоремы классификации для конечно порождённых, делимых, счётных периодических и абелевых групп без кручения ранга 1, изложенные выше, были получены до 1950 года и составляют основу классификации более общих бесконечных абелевых групп. Важными техническими инструментами, используемыми при классификации бесконечных абелевых групп, являются чистые и базисные подгруппы. Введение различных инвариантов абелевых групп без кручения стало одним из путей дальнейшего прогресса. См. книги Ирвинга Капланского , Ласло Фукса , Филлипа Гриффита и Дэвида Арнольда , а также труды конференций по теории абелевых групп, опубликованные в Lecture Notes in Mathematics, для более поздних результатов.

Аддитивные группы колец

Аддитивная группа кольца является абелевой группой, но не все абелевы группы являются аддитивными группами колец (с нетривиальным умножением). Некоторые важные темы в этой области исследования:

• Тензорное произведение
• Результаты ALS Corner о счетных группах без кручения
• Работа Шелаха по устранению ограничений на количество элементов
• Кольцо Бернсайда

Связь с другими математическими темами

Многие большие абелевы группы обладают естественной топологией , которая превращает их в топологические группы .

Совокупность всех абелевых групп вместе с гомоморфизмами между ними образует категорию — прототип абелевой категории . ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

Ванда Шмелев  (1955) доказала, что теория первого порядка абелевых групп, в отличие от ее неабелевой аналогии, разрешима. Большинство алгебраических структур, отличных от булевых алгебр , неразрешимы .

Существует еще много направлений текущих исследований:

• Среди абелевых групп без кручения конечного ранга хорошо изучены только конечно порождённый случай и случай ранга 1 ;
• В теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга имеется много нерешенных проблем;
• В то время как счетные абелевы группы кручения хорошо понятны с помощью простых представлений и инвариантов Ульма, случай счетных смешанных групп гораздо менее развит.
• Известно, что многие мягкие расширения теории абелевых групп первого порядка неразрешимы.
• Конечные абелевы группы остаются предметом исследований в вычислительной теории групп .

Более того, абелевы группы бесконечного порядка приводят, как ни удивительно, к глубоким вопросам теории множеств, которая , как принято считать, лежит в основе всей математики. Возьмем проблему Уайтхеда : являются ли все группы Уайтхеда бесконечного порядка также свободными абелевыми группами ? В 1970-х годах Сахарон Шелах доказал, что проблема Уайтхеда выглядит следующим образом:

• Неразрешимая в ZFC ( аксиомы Цермело–Френкеля ), общепринятой аксиоматической теории множеств , из которой может быть выведена почти вся современная математика. Проблема Уайтхеда также является первым вопросом в обычной математике, неразрешимость которого доказана в ZFC;
• Неразрешимо, даже если ZFC дополнить, приняв обобщенную континуум-гипотезу в качестве аксиомы;
• Положительный ответ дан, если ZFC дополнен аксиомой конструктивности (см . утверждения, верные в L ).

Примечание о типографике

Среди математических прилагательных, образованных от имени собственного математика , слово «абелев» встречается редко, поскольку часто пишется со строчной буквы «а» , а не с заглавной «А» , отсутствие заглавных букв является молчаливым признанием не только степени институционализации имени Абеля, но и того, насколько широко в современной математике распространены введенные им концепции. ^[21]

Смотрите также

• Коммутаторная подгруппа  – наименьшая нормальная подгруппа, по которой фактор коммутативен
• Абелианизация  – факторизация группы по ее коммутанту
• Диэдральная группа порядка 6  – некоммутативная группа с 6 элементами, наименьшая неабелева группа.
• Элементарная абелева группа  – коммутативная группа, в которой все ненулевые элементы имеют одинаковый порядок.
• Группа Гротендика  – абелева группа, расширяющая коммутативный моноид
• Двойственность Понтрягина  – Двойственность для локально компактных абелевых групп

Примечания

1. Якобсон (2009) стр. 41
2. Рамик, Дж., Метод парных сравнений: теория и применение в принятии решений ( Cham : Springer Nature Switzerland , 2020), стр. 11.
3. Ауслендер, М. , и Буксбаум, Д. , Группы, кольца, модули ( Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications , 1974), стр. 28–29.
4. Станойковски, М., Интенсивные автоморфизмы конечных групп ( Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , 2021) стр. 9–14.
5. Исаев, А.П., и Рубаков, В.А. , Теория групп и симметрий: конечные группы, группы Ли и алгебры Ли ( Сингапур : World Scientific , 2018), стр. 10.
6. Роуз 2012, стр. 32.
7. Кокс, Д.А. , Теория Галуа ( Хобокен, Нью-Джерси : John Wiley & Sons , 2004), стр. 144–145.
8. Кепнер, Дж. и Х. Джанантан, Математика больших данных ( Кембридж, Массачусетс : MIT Press , 2018), стр. 157–158.
9. Эклоф, Пауль К. и Гёбель, Рюдигер, ред., Абелевы группы и модули: Международная конференция в Дублине, 10–14 августа 1998 г. ( Базель : Springer Basel AG , 1999), стр. 94–97.
10. Диксон, М. Р., Курдаченко, Л. А. и Субботин, И. Ю., Линейные группы: акцент на бесконечной размерности ( Милтон-Парк , Абингдон-он-Темз и Оксфордшир : Тейлор и Фрэнсис , 2020), стр. 49–50.
11. Роуз 2012, стр. 48.
12. Роуз 2012, стр. 79.
13. Курцвейл, Х. и Штельмахер, Б., Теория конечных групп: Введение (Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг: Springer Verlag , 2004), стр. 43–54.
14. Финкельштейн, Л. и Кантор, В. М. , ред., Группы и вычисления II: Семинар по группам и вычислениям, 7–10 июня 1995 г. ( Провиденс : AMS , 1997), стр. 26–27.
15. Например, . ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}$
16. Предположение счетности во второй теореме Прюфера нельзя устранить: подгруппа кручения прямого произведения циклических групп для всех натуральных чисел не является прямой суммой циклических групп. ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$
17. Фейт, CC, Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века (Провиденс: AMS, 2004), стр. 6.
18. Гао, С., Инвариантная описательная теория множеств ( Бока-Ратон, Флорида : CRC Press , 2008), стр. 317.
19. Альбрехт, У., «Продукты узких абелевых групп», в Göbel, R., & Walker, E., ред., Теория абелевых групп: Труды третьей конференции по теории абелевых групп в Обервольфахе, 11–17 августа 1985 г. (Нью-Йорк: Gordon & Breach , 1987), стр. 259–274.
20. Лал, Р., Алгебра 2: линейная алгебра, теория Галуа, теория представлений, расширения групп и множитель Шура (Берлин, Гейдельберг: Springer, 2017), стр. 206.
21. "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Архивировано из оригинала 31 декабря 2012 года . Получено 3 июля 2016 года .

Ссылки

• Кокс, Дэвид (2004). Теория Галуа. Wiley-Interscience . ISBN 9781118031339. МР  2119052.
• Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. Т. 36-I. Academic Press . MR  0255673.
• Фукс, Ласло (1973). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. Т. 36-II. Academic Press . MR  0349869.
• Гриффит, Филлип А. (1970). Теория бесконечных абелевых групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-30870-7.
• Herstein, IN (1975). Топики по алгебре (2-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-02371-X.
• Hillar, Christopher; Rhea, Darren (2007). "Автоморфизмы конечных абелевых групп" (PDF) . American Mathematical Monthly . 114 (10): 917–923. arXiv : math/0605185 . Bibcode :2006math......5185H. doi :10.1080/00029890.2007.11920485. JSTOR  27642365. S2CID  1038507.
• Якобсон, Натан (2009). Основы алгебры I (2-е изд.). Dover Publications . ISBN 978-0-486-47189-1.
• Роуз, Джон С. (2012). Курс по теории групп. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.Несокращенное и неизмененное переиздание работы, впервые опубликованной издательством Кембриджского университета, Кембридж, Англия, в 1978 году.
• Szmielew, Wanda (1955). "Элементарные свойства абелевых групп" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 41 (2): 203–271. doi : 10.4064/fm-41-2-203-271 . MR  0072131. Zbl  0248.02049.
• Робинсон, Абрахам ; Закон, Элиас (1960). «Элементарные свойства упорядоченных абелевых групп» (PDF) . Труды Американского математического общества . 96 (2): 222–236. doi : 10.2307/1993461 . JSTOR  1993461. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.

Внешние ссылки

• «Абелева группа». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].