Нормальный (геометрия)

Линия или вектор, перпендикулярный кривой или поверхности

Многоугольник и два его нормальных вектора

Нормаль к поверхности в определенной точке аналогична нормали к касательной плоскости к поверхности в той же точке.

В геометрии нормаль — это объект (например , линия , луч или вектор ), перпендикулярный данному объекту. Например, нормаль к плоской кривой в данной точке — это линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.

Нормальный вектор длины один называется единичным нормальным вектором . Вектор кривизны — это вектор нормали, длина которого равна кривизне объекта. Умножение вектора нормали на -1 приводит к получению противоположного вектора , который можно использовать для обозначения сторон (например, внутренней или внешней).

В трехмерном пространстве нормаль к поверхности или просто нормаль к поверхности в точке P — это вектор, перпендикулярный касательной плоскости поверхности в точке P. Слово нормальный также используется как прилагательное: линия , нормальная к плоскости , нормальная составляющая силы , вектор нормали и т. д. Понятие нормальности обобщается до ортогональности ( прямых углов ).

Эта концепция была обобщена на дифференцируемые многообразия произвольной размерности, вложенные в евклидово пространство . Нормальное векторное пространство или нормальное пространство многообразия в точке представляет собой набор векторов, ортогональных касательному пространству в точке. Нормальные векторы представляют особый интерес в случае гладких кривых и гладких поверхностей . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P.}$

Нормаль часто используется в 3D-компьютерной графике (обратите внимание на единственное число, так как будет определена только одна нормаль) для определения ориентации поверхности по отношению к источнику света для плоского затенения или ориентации каждого из углов ( вершин ) поверхности для имитации изогнутая поверхность с затенением Фонга .

Основание нормали в интересующей точке Q (аналог основания перпендикуляра ) может быть определено в точке P на поверхности , где вектор нормали содержит Q. Нормальное расстояние точки Q до кривой или поверхности — это евклидово расстояние между Q и ее основанием P.

Нормаль к поверхностям в 3D-пространстве

Искривленная поверхность, показывающая единичные векторы нормали (синие стрелки) к поверхности.

Вычисление нормали к поверхности

Для выпуклого многоугольника (например, треугольника ) нормаль к поверхности может быть рассчитана как векторное произведение двух (непараллельных) ребер многоугольника.

Для плоскости , заданной уравнением, вектор является нормалью. ${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

Для плоскости, уравнение которой задано в параметрической форме

$${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$

векторное произведение ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$

Если (возможно, неплоская) поверхность в трехмерном пространстве параметризуется системой криволинейных координат с действительными переменными , то нормаль к S по определению является нормалью к касательной плоскости, заданной векторным произведением частных производных. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

Если поверхность задана неявно как набор точек, удовлетворяющих условиям , то нормаль в точке поверхности задается градиентом ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$

градиент в любой точке перпендикулярен заданному уровню ${\displaystyle S.}$

Для поверхности , представленной в виде графика функции, нормаль, направленную вверх, может быть найдена либо из параметризации, дающей ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$

$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$

особой точкеконусанепрерывной по Липшицу ${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$

Ориентация

Векторное поле нормалей к поверхности

Нормаль к (гипер)поверхности обычно масштабируется до единичной длины , но не имеет однозначного направления, поскольку ее противоположность также является единичной нормалью. Для поверхности, которая является топологической границей трехмерного множества, можно различать две нормальные ориентации : нормаль, направленную внутрь, и нормаль, указывающую наружу . Для ориентированной поверхности нормаль обычно определяется по правилу правой руки или его аналогу в более высоких измерениях.

Если нормаль построена как векторное произведение касательных векторов (как описано в тексте выше), это псевдовектор .

Преобразование нормалей

При применении преобразования к поверхности часто бывает полезно получить нормали для результирующей поверхности из исходных нормалей.

В частности, учитывая матрицу преобразования 3×3, мы можем определить матрицу , которая преобразует вектор, перпендикулярный касательной плоскости , в вектор , перпендикулярный преобразованной касательной плоскости, с помощью следующей логики: ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {Mt} ,}$

Напишите n' как Мы должны найти ${\displaystyle \mathbf {Wn} .}$ ${\displaystyle \mathbf {W} .}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}W\mathbb {n} {\text{ is perpendicular to }}M\mathbb {t} \quad \,&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\left(\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }\right)(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }\left(W^{\mathrm {T} }M\right)\mathbb {t} \\\end{alignedat}}}$$

Выбирая такой, который или будет удовлетворять приведенному выше уравнению, давая перпендикуляр или перпендикуляр по мере необходимости. ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle W^{\mathrm {T} }M=I,}$ ${\displaystyle W=(M^{-1})^{\mathrm {T} },}$ ${\displaystyle W\mathbb {n} }$ ${\displaystyle M\mathbb {t} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{\prime },}$

Поэтому при преобразовании нормалей поверхности следует использовать обратную транспозицию линейного преобразования. Обратное транспонирование равно исходной матрице, если матрица ортонормирована, то есть чисто вращательная, без масштабирования или сдвига.

Гиперповерхности в n -мерном пространстве

Для -мерной гиперплоскости в -мерном пространстве , заданной ее параметрическим представлением ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},}$$

нулевом пространстве ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle P\mathbf {n} =\mathbf {0} .}$ ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c,}$ ${\displaystyle \mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$

Определение нормали к поверхности в трехмерном пространстве может быть распространено на -мерные гиперповерхности в Гиперповерхность может быть локально определена неявно как набор точек, удовлетворяющих уравнению где - заданная скалярная функция . Если непрерывно дифференцируема , то гиперповерхность является дифференцируемым многообразием в окрестности точек, где градиент не равен нулю. В этих точках вектор нормали задается градиентом: ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$$

Нормальная линия — это одномерное подпространство с базисом ${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

Многообразия, определяемые неявными уравнениями в n -мерном пространстве

Дифференциальное многообразие , определяемое неявными уравнениями в -мерном пространстве , — это множество общих нулей конечного набора дифференцируемых функций от переменных ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$

Якобитеореме о неявной функцииввекторное пространство ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Другими словами, многообразие определяется как пересечение гиперповерхностей, а нормальное векторное пространство в точке — это векторное пространство, порожденное векторами нормалей гиперповерхностей в этой точке. ${\displaystyle k}$

Нормальное (аффинное) пространство в точке многообразия — это аффинное подпространство , проходящее через нормальное векторное пространство в точке и порождённое им. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P.}$

Эти определения могут быть дословно распространены на те точки, где многообразие не является многообразием.

Пример

Пусть V — многообразие, определенное в трехмерном пространстве уравнениями

$${\displaystyle x\,y=0,\quad z=0.}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

В точке , где строки матрицы Якоби находятся и Таким образом, нормальное аффинное пространство является плоскостью уравнения. Аналогично, если нормальная плоскость at является плоскостью уравнения ${\displaystyle (a,0,0),}$ ${\displaystyle a\neq 0,}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,a,0).}$ ${\displaystyle x=a.}$ ${\displaystyle b\neq 0,}$ ${\displaystyle (0,b,0)}$ ${\displaystyle y=b.}$

В этой точке строки матрицы Якоби равны и Таким образом, нормальное векторное пространство и нормальное аффинное пространство имеют размерность 1, а нормальное аффинное пространство является -осью . ${\displaystyle (0,0,0)}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0).}$ ${\displaystyle z}$

Использование

• Нормали к поверхности полезны при определении поверхностных интегралов векторных полей .
• Нормали поверхности обычно используются в компьютерной 3D-графике для расчетов освещения (см. закон косинуса Ламберта ), часто корректируются с помощью карт нормалей .
• Слои рендеринга , содержащие информацию о нормалях поверхности, могут использоваться в цифровой композиции для изменения видимого освещения визуализируемых элементов. ^{[ нужна цитата ]}
• В компьютерном зрении формы трехмерных объектов оцениваются по нормали к поверхности с использованием фотометрического стерео . ^[1]
• Вектор нормали можно получить как градиент функции расстояния со знаком.

Нормаль в геометрической оптике

Схема зеркального отражения

The Нормальный луч — это направленный наружу луч,перпендикулярныйповерхностиоптической средыв данной точке.^[2]Приотражении светауголпаденияиугол отражения— это соответственно угол между нормальным ипадающим лучом(в плоскостипадения) и угол между нормальным иотраженным лучом.

Смотрите также

• Двойное пространство  - в математике векторное пространство линейных форм.
• Эллипсоидный нормальный вектор
• Нормальная связка  - термин, связанный с предыдущим понятием.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Псевдовектор  - физическая величина, меняющая знак при неправильном вращении.
• Тангенциальная и нормальная составляющие
• Нормаль вершины  - вектор направления, связанный с вершиной, предназначенный для замены истинной геометрической нормали поверхности.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Рекомендации

1. Ин Ву. «Радиометрия, BRDF и фотометрическое стерео» (PDF) . Северо-Западный университет.
2. «Закон отражения». Учебное пособие по физике . Архивировано из оригинала 27 апреля 2009 года . Проверено 31 марта 2008 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальный вектор». Математический мир .
• Объяснение нормальных векторов из MSDN Microsoft.
• Понятный псевдокод для расчета нормали к поверхности из треугольника или многоугольника.