stringtranslate.com

Поворот (угол)

Поворот (символ tr или pla ) — это единица измерения плоского угла , которая является угловой мерой , охватываемой полной окружностью в ее центре. Она равна 2 π радианам , 360  градусам или 400  градам . Как угловая единица , один поворот также соответствует одному циклу (символ cyc или c ) [ 1] или одному обороту (символ rev или r ). [2] Распространенными связанными единицами частоты являются циклы в секунду (cps) и обороты в минуту (rpm). [a] Угловая единица поворота полезна в связи, среди прочего, с электромагнитными катушками (например, трансформаторами ), вращающимися объектами и числом витков кривых. Подразделения поворота включают полуоборот и четверть оборота, охватывающие прямой угол и прямой угол соответственно; также могут использоваться метрические префиксы , например, сантиобороты (ctr), миллиобороты (mtr) и т. д.  

Поскольку один оборот равен радианам, некоторые предложили обозначать 2π одной буквой. В 2010 году Майкл Хартл предложил использовать греческую букву ( тау ), равную отношению длины окружности к ее радиусу ( ) и соответствующую одному обороту, для большей концептуальной простоты при указании углов в радианах. [3] Это предложение изначально не получило широкого признания в математическом сообществе, [4] но константа стала более распространенной, [5] будучи добавленной в несколько основных языков программирования и калькуляторов.

В ISQ произвольное «число оборотов» (также известное как «число оборотов» или «число циклов») формализуется как безразмерная величина , называемая вращением , определяемая как отношение заданного угла к полному обороту. Оно представлено символом N. (См. формулу ниже.)

Символы единиц измерения

Для хода предусмотрено несколько символов юнитов.

ЕС и Швейцария

Немецкий стандарт DIN 1315 (март 1974 г.) предложил символ единицы измерения «pla» (от лат. plenus angulus — «полный угол») для поворотов. [6] [7] Охваченный стандартом DIN 1301-1  [de] (октябрь 2010 г.), так называемый Vollwinkel («полный угол») не является единицей СИ . Однако это законная единица измерения в ЕС [8] [9] и Швейцарии. [10]

Калькуляторы

Научные калькуляторы HP 39gII и HP Prime поддерживают символ единицы измерения "tr" для поворотов с 2011 и 2013 годов соответственно. Поддержка "tr" также была добавлена ​​в newRPL для HP 50g в 2016 году и для hp 39g+ , HP 49g+ , HP 39gs и HP 40gs в 2017 году. [11] [12] Угловой режим TURN был также предложен для WP 43S , [13] но калькулятор вместо этого реализует "MUL π " ( кратные π ) как режим и единицу измерения с 2019 года. [14] [15]

Подразделения

Оборот можно разделить на 100 сантиметров или1000 миллиоборотов, где каждый миллиоборот соответствует углу 0,36°, что также можно записать как 21′ 36″ . [16] [17] Транспортир , разделенный на сантиобороты, обычно называется « процентным транспортиром».

Хотя процентные угломеры существуют с 1922 года, [18] термины сантиобороты, миллиобороты и микрообороты были введены гораздо позже британским астрономом Фредом Хойлом в 1962 году. [16] [17] Некоторые измерительные приборы для артиллерийских и спутниковых наблюдений имеют шкалу миллиоборотов. [19] [20]

Также используются двоичные дроби поворота . Моряки традиционно делят поворот на 32 компасных румба , которые неявно имеют угловое разделение в 1/32 поворота. Двоичный градус , также известный как двоичный радиан (или брэд ), равен ⁠1/256⁠  поворот. [21] Двоичная степень используется в вычислениях, чтобы угол можно было представить с максимально возможной точностью в одном байте . Другие меры угла, используемые в вычислениях, могут быть основаны на делении одного целого поворота на 2 n равных частей для других значений n . [22]

Предложения по одной букве для обозначения 2π

Дуга окружности с той же длиной, что и радиус этой окружности, соответствует углу в 1 радиан. Полный круг соответствует полному обороту, или приблизительно 6,28 радиана, что здесь выражается с помощью греческой буквы тау ( τ ).
Некоторые специальные углы в радианах, выраженные через 𝜏.
Сравнение углов, выраженных в градусах и радианах.

Число 2π (приблизительно 6,28 ) представляет собой отношение длины окружности к ее радиусу и числу радиан в одном обороте.

Значение символа изначально не было зафиксировано в соотношении окружности и диаметра. В 1697 году Дэвид Грегори использовал ⁠π/ρ⁠ (пи над ро) для обозначения периметра круга (т. е. окружности ), деленного на ее радиус. [23] [24] Однако ранее, в 1647 году, Уильям Отред использовал ⁠δ/π⁠ (дельта над пи) для отношения диаметра к периметру. Первое использование символа π в его нынешнем значении (периметр, деленный на диаметр) было в 1706 году валлийским математиком Уильямом Джонсом . [25] [26]

Первое известное использование одной буквы для обозначения константы 6,28... было в работе Леонарда Эйлера 1727 года «Опыт, объясняющий свойства воздуха» , где она была обозначена буквой π . [27] [28] Позже Эйлер использовал букву π для константы 3,14... в своих работах «Механика» 1736 года [29] и «Введение в анализ бесконечности» 1748 года [30] , хотя она определялась как половина окружности радиуса 1 — единичной окружности — а не как отношение окружности к диаметру. В другом месте в «Введении в анализ бесконечности » Эйлер вместо этого использовал букву π для обозначения одной четвертой окружности единичной окружности, или 1,57... . Использование буквы π , иногда для 3,14..., а иногда для 6,28..., стало широко распространенным, при этом определение менялось вплоть до 1761 года; [31] впоследствии π было стандартизировано как равное 3,14... . [32] [33]

Несколько человек независимо друг от друга предложили использовать 𝜏 = 2 π , в том числе: [34]

В 2001 году Роберт Пале предложил использовать число радиан в обороте в качестве фундаментальной константы окружности вместо π , что равно числу радиан в половине оборота, чтобы сделать математику более простой и интуитивно понятной. Его предложение использовало символ «π с тремя ногами» для обозначения константы ( ). [35]

В 2008 году Роберт П. Криз предложил идею определения константы как отношения окружности к радиусу, предложение, поддержанное Джоном Хортоном Конвеем . Криз использовал греческую букву пси : . [36]

В том же году Томас Колигнат предложил использовать заглавную греческую букву тета , Θ, для представления 2π . [ 37] Греческая буква тета происходит от финикийской и еврейской буквы тета , 𐤈 или ט, и было замечено, что более старая версия символа, которая означает колесо, напоминает колесо с четырьмя спицами. [38] Также было предложено использовать символ колеса, тета, для представления значения 2π , и совсем недавно была установлена ​​связь между другими древними культурами о существовании символа колеса, солнца, круга или диска — т. е. других вариаций тета — как представления для 2π . [ 39]

В 2010 году Майкл Хартл предложил использовать греческую букву тау для обозначения постоянной окружности: τ = 2 π . Он предложил несколько причин для выбора константы, в первую очередь то, что она позволяет более непосредственно выражать доли оборота: например, a ⁠3/4⁠  очередь будет представлена ​​как ⁠3 т/4⁠  рад вместо ⁠3π​/2⁠  рад. Что касается выбора обозначения, он предложил две причины. Во-первых, τ — это число радиан в одном обороте , а τ и оборот начинаются со звукаa / t / . Во-вторых, τ визуально напоминает π , чья связь с константой окружности неизбежна. Манифест Тау Хартла [b] дает много примеров формул, которые, как утверждается, более понятны, когда τ используется вместо π . [41] [42] [43] Например, Хартл утверждает, что замена тождества Эйлера e iπ = −1 на e iτ = 1 (которое Хартл также называет «тождеством Эйлера») является более фундаментальной и содержательной. Он также утверждает, что формула для круговой площади в терминах τ , A = ⁠1/2⁠ 𝜏 r 2 , содержит натуральный множитель ⁠1/2⁠ возникающие в результате интеграции .

Первоначально это предложение не получило значительного признания со стороны математических и научных сообществ. [4] Однако использование τ стало более распространенным. [5] Например:

В следующей таблице показано, как появляются различные тождества, когда τ = 2 π используется вместо π . [61] [35] Более полный список см. в разделе Список формул, включающих π .

Перевод единиц измерения

Длина окружности единичного круга ( радиус которой равен единице) равна 2π .

Один оборот равен 2π (  ≈6,283 185 307 179 586 ) [62] радиан , 360 градусов , или 400 град .


В ISQ/SI

В Международной системе величин (ISQ) вращение (символ N ) — физическая величина, определяемая как число оборотов : [63]

N — число (не обязательно целое) оборотов, например, вращающегося тела вокруг заданной оси. Его значение определяется по формуле:

где 𝜑 обозначает меру вращательного смещения .

Приведенное выше определение является частью ISQ, формализованного в международном стандарте ISO 80000-3 (Пространство и время) [63] и принятого в Международной системе единиц (СИ). [64] [65]

Количество оборотов или число оборотов — это величина размерности один , полученная из отношения углового смещения. Она может быть отрицательной, а также больше 1 по модулю. Связь между количеством оборотов, N , и единичными оборотами, tr, можно выразить как:

где {𝜑} tr — числовое значение угла 𝜑 в единицах оборотов (см. Физическая величина § Компоненты ).

В системе единиц ISQ/SI вращение используется для получения частоты вращения ( скорости изменения вращения по отношению к времени), обозначаемой n :

Единицей частоты вращения в системе СИ является обратная секунда (с −1 ). Распространенными связанными единицами частоты являются герц (Гц), циклы в секунду (ц/с) и обороты в минуту (об/мин).

Замененная версия ISO 80000-3:2006 определила «революцию» как специальное название безразмерной единицы «один», [c] которая также получила другие специальные названия, такие как радиан. [d] Несмотря на их размерную однородность , эти две специально названные безразмерные единицы применимы для несопоставимых видов величин : вращения и угла соответственно. [67] «Цикл» также упоминается в ISO 80000-3 в определении периода . [e]

В языках программирования

В следующей таблице приведены различные языки программирования, которые реализовали константу окружности для преобразования между оборотами и радианами. Все языки ниже поддерживают имя "Tau" в некоторых регистрах, но Processing также поддерживает "TWO_PI", а Raku также поддерживает символ "τ" для доступа к тому же значению.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Термины угловых единиц «циклы» и «обороты» также используются неоднозначно как более короткие версии соответствующих единиц частоты. [ необходима ссылка ]
  2. ^ Оригинальная версия, [40] текущая версия [3]
  3. ^ «Специальное название «революция», символ r, для этой единицы [название «один», символ «1»] широко используется в спецификациях вращающихся машин». [66]
  4. ^ "Единицами измерения величин размерности один являются числа. В некоторых случаях этим единицам измерения даются специальные названия, например, радиан..." [66]
  5. ^ "3-14) длительность периода, период: длительность (пункт 3‑9) одного цикла периодического события" [63]

Ссылки

  1. ^ Фицпатрик, Ричард (2021). Ньютоновская динамика: введение. CRC Press . стр. 116. ISBN 978-1-000-50953-3. Получено 2023-04-25 .
  2. ^ Единицы и символы для инженеров-электриков и электронщиков (PDF) . Лондон, Великобритания: Институт инженерии и технологий . 2016. Архивировано (PDF) из оригинала 2023-07-18 . Получено 2023-07-18 .(1+iii+32+1 страницы)
  3. ^ ab Hartl, Michael (2019-03-14) [2010-03-14]. "Манифест Тау". Архивировано из оригинала 2019-06-28 . Получено 2013-09-14 .
  4. ^ ab "Жизнь числа пи вне опасности – Эксперты холодно принимают кампанию по замене на тау". Telegraph India . 2011-06-30. Архивировано из оригинала 2013-07-13 . Получено 2019-08-05 .
  5. ^ ab McMillan, Robert (2020-03-13). «Для поклонников математики ничто не может испортить день числа Пи — разве что день числа Тау» . Wall Street Journal . ISSN  0099-9660 . Получено 21 мая 2020 .
  6. ^ Герман, Зигмар; Драт, Питер (13 марта 2013 г.) [1979]. Handbuch SI-Einheiten: Definition, Realisierung, Bewahrung und Weitergabe der SI-Einheiten, Grundlagen der Präzisionsmeßtechnik (на немецком языке) (1-е изд.). Фридрих Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH , перепечатка: Springer-Verlag . п. 421. ИСБН 978-3-32283606-9. 978-3-528-08441-7, 978-3-32283606-9 . Получено 14.08.2015 .
  7. ^ Курцвейл, Питер (09 марта 2013 г.) [1999]. Das Vieweg Einheiten-Lexikon: Formeln und Begriffe aus Physik, Chemie und Technik (на немецком языке) (1-е изд.). Vieweg, перепечатка: Springer-Verlag . п. 403. дои : 10.1007/978-3-322-92920-4. ISBN 978-3-32292920-4. 978-3-322-92921-1 . Получено 14.08.2015 .
  8. ^ "Richtlinie 80/181/EWG - Richtlinie des Rates vom 20. Декабрь 1979 г. zur Angleichung der Rechtsvorschriften der Mitgliedstaaten über die Einheiten im Meßwesen und zur Aufhebung der Richtlinie 71/354/EWG" (на немецком языке). 15 февраля 1980 г. Архивировано из оригинала 22 июня 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.
  9. ^ "Richtlinie 2009/3/EG des Europäischen Parlaments und des Ставки от 11 марта 2009 г. zur Änderung der Richtlinie 80/181/EWG des Rates zur Angleichung der Rechtsvorschriften der Mitgliedstaaten über die Einheiten im Messwesen (Text von Bedeutung) для EWR)" (на немецком языке). 11 марта 2009 г. Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.
  10. ^ "Ст. 15 Einheiten в форме von nichtdezimalen Vielfachen oder Teilen von SI-Einheiten" . Einheitenverordnung (на швейцарском верхненемецком языке). Швейцарский Бундесрат . 23 ноября 1994 г. 941.202. Архивировано из оригинала 10 мая 2019 г. Проверено 1 января 2013 г.
  11. ^ Лапилли, Клаудио Даниэль (2016-05-11). "RE: newRPL: Обработка единиц". Музей HP . Архивировано из оригинала 2017-08-10 . Получено 2019-08-05 .
  12. ^ Лапилли, Клаудио Даниэль (2018-10-25). "Глава 3: Единицы - Доступные единицы - Углы". newRPL User Manual . Архивировано из оригинала 2019-08-06 . Получено 2019-08-07 .
  13. ^ Пол, Маттиас Р. (2016-01-12) [2016-01-11]. "RE: WP-32S в 2016?". Музей HP . Архивировано из оригинала 2019-08-05 . Получено 2019-08-05 . […] Я бы хотел, чтобы также был реализован режим TURN. Режим TURN работает точно так же, как DEG, RAD и GRAD (включая наличие полного набора функций преобразования единиц измерения угла, как в WP 34S ), за исключением того, что полный круг равен не 360 градусам, 6,2831... рад или 400 гон, а 1 обороту. (Я […] обнаружил, что это очень удобно в инженерии/программировании, где часто приходится преобразовывать в/из других единиц измерения […] Но я думаю, что это также может быть полезно в образовательных целях. […]) Нормализация угла полной окружности до 1 позволяет упростить преобразования в/из целого ряда других единиц измерения углов […]
  14. ^ Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0.12 (черновая редакция). С. 72, 118–119, 311. ISBN 978-1-72950098-9. Архивировано (PDF) из оригинала 2023-07-18 . Получено 2019-08-05 .[1] [2] (314 страниц)
  15. ^ Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Справочное руководство WP 43S (PDF) . 0.12 (черновое издание). стр. iii, 54, 97, 128, 144, 193, 195. ISBN 978-1-72950106-1. Архивировано (PDF) из оригинала 2023-07-18 . Получено 2019-08-05 .[3] [4] (271 страница)
  16. ^ ab Hoyle, Fred (1962). Chandler, MH (ред.). Astronomy (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Macdonald & Co. (Publishers) Ltd. / Rathbone Books Limited. LCCN  62065943. OCLC  7419446.(320 страниц)
  17. ^ ab Klein, Herbert Arthur (2012) [1988, 1974]. "Глава 8: Отслеживание времени". Наука измерений: Исторический обзор (Мир измерений: шедевры, тайны и путаница метрологии) . Dover Books on Mathematics (исправленное переиздание оригинального издания). Dover Publications, Inc. / Courier Corporation (первоначально Simon & Schuster, Inc. ). стр. 102. ISBN 978-0-48614497-9. LCCN  88-25858 . Получено 06.08.2019 .(736 страниц)
  18. ^ Крокстон, Фредерик Э. (1922). «Процентный транспортир — разработан для использования при построении круговых диаграмм или «круговых диаграмм»". Журнал Американской статистической ассоциации . Краткая заметка. 18 (137): 108–109. doi :10.1080/01621459.1922.10502455.
  19. ^ Шиффнер, Фридрих (1965). Венль, Мария Эмма [на немецком языке] (ред.). «Лучший иммунитет спутниковых дорог». Astronomische Mitteilungen der Urania-Sternwarte Wien (на немецком языке). 8 . Вена, Австрия: Volksbildungshaus Wiener Urania .
  20. ^ Хейс, Юджин Нельсон (1975) [1968]. Следопыты небес. История Смитсоновской программы слежения за спутниками. Кембридж, Массачусетс, США: Academic Press / Howard A. Doyle Publishing Company.
  21. ^ "Руководство программиста ooPIC - Глава 15: URCP". Руководство и технические характеристики ooPIC - Компилятор ooPIC версии 6.0 . Savage Innovations, LLC. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 2008-06-28 . Получено 2019-08-05 .
  22. ^ Харгривз, Шон [на польском языке] . «Углы, целые числа и модульная арифметика». blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 2019-06-30 . Получено 2019-08-05 .
  23. ^ Бекманн, Петр (1989) [1970]. История Пи . Barnes & Noble Publishing .
  24. ^ Шварцман, Стивен (1994). Слова математики: Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке . Математическая ассоциация Америки . стр. 165. ISBN 978-0-88385511-9.
  25. ^ Джонс, Уильям (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos. Лондон: J. Wale. стр. 243, 263. стр. 263: Существуют различные другие способы нахождения длин или площадей отдельных кривых линий или плоскостей , которые могут значительно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к окружности как 1 к 3,14159, и т. д. = π . Этот ряд (среди других для той же цели и выведенных из того же принципа) я получил от превосходного аналитика и моего весьма уважаемого друга г-на Джона Мачина ; и с его помощью число Ван Кейлена или то, что в статье 64.38, может быть исследовано со всей желаемой легкостью и быстротой.
    Перепечатано в Smith, David Eugene (1929). «William Jones: The First Use of π for the Circle Ratio». A Source Book in Mathematics . McGraw–Hill. pp. 346–347.
  26. ^ Велинг, Энн (2001). "Пи сквозь века". veling.nl . Архивировано из оригинала 2009-07-02.
  27. ^ Эйлер, Леонард (1727). «Tentamen explicationis phaenomenorum aeris» (PDF) . Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana (на латыни). 2 : 351. Е007. Архивировано (PDF) из оригинала 1 апреля 2016 г. Проверено 15 октября 2017 г. Суматур пропорционально радиусам и периферии, I : πПеревод на английский язык Яна Брюса Архивировано 10 июня 2016 г. на Wayback Machine : « π берется для отношения радиуса к периферии [обратите внимание, что в этой работе эйлерово π в два раза больше нашего π .]»
  28. ^ Эйлер, Леонард (1747). Генри, Чарльз (ред.). Незнакомые письма Эйлера и Даламбера. Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (на французском языке). Том. 19 (опубликовано в 1886 г.). п. 139. Е858. Автомобиль, так что π la окружность круга, до района est = 1Перевод на английский язык в Cajori, Florian (1913). "История экспоненциальных и логарифмических понятий". The American Mathematical Monthly . 20 (3): 75–84. doi :10.2307/2973441. JSTOR  2973441. Пусть π будет длиной окружности (!) единичного радиуса
  29. ^ Эйлер, Леонард (1736). «Гл. 3 Положение 34 Кор. 1». Механика sive motus scientia Analyte Exposita. (cum tabulis) (на латыни). Том. 1. Academiae Scientiarum Petropoli. п. 113. Е015. Обозначение 1: π rationem диаметр и периферия.Перевод на английский язык Яна Брюса Архивировано 10 июня 2016 г. на Wayback Machine  : «Пусть 1: π обозначает отношение диаметра к длине окружности»
  30. ^ Эйлер, Леонард (1707–1783) (1922). Леонарди Эйлери, Opera omnia. 1. Математическая опера. Том VIII, Леонарди Эйлери «Введение в анализ бесконечности». Tomus primus / ediderunt Адольф Крацер и Фердинанд Рудио (на латыни). Губы: Б. Г. Теубнери. стр. 133–134. Е101. Архивировано из оригинала 16 октября 2017 г. Проверено 15 октября 2017 г.{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
  31. ^ Сегнер, Иоганн Андреас фон (1761). Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm (на латыни). Ренгер. п. 374. Si autem π ​​noteteripheriam circuli, диаметр cuius eſt 2
  32. ^ "Пи". Encyclopaedia Brittanica . 2024-03-14 . Получено 2024-03-26 .
  33. ^ Эйлер, Леонард (1746). Новая теория lucis et colorum. Opuscula varii аргументи (на латыни). sumtibus Ambr. Хауде и Джо. Кэрол. Спенери, библиоп. п. 200. unde constat punctum B per datum tantum spatium de loco fuo naturali depelli, ad quam maximam distanceiam pertinget, elapso tempore t=π/m denotante π angulum 180°, quo fit cos(mt)=- 1 & B b=2α. [из чего видно, что точка B отодвинута на заданное расстояние от своего естественного положения, и максимального расстояния она достигнет по истечении прошедшего времени t=π/m, π обозначает угол 180°, который становится cos( mt)=- 1 & B b=2α.]
  34. ^ sudgylacmoe; Хартл, Майкл (28.06.2023). Манифест Тау - с Майклом Хартлом (видео на YouTube). Информация показана в 18:35 . Получено 24.07.2024 .
  35. ^ ab Palais, Robert (2001). "Pi is Wrong" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 23 (3). Нью-Йорк, США: Springer-Verlag : 7–8. doi :10.1007/bf03026846. S2CID  120965049. Архивировано (PDF) из оригинала 2019-07-18 . Получено 2019-08-05 .
  36. ^ Crease, Robert (2008-02-01). "Постоянный провал". Physics World . Institute of Physics . Получено 2024-08-03 .
  37. ^ Cool, Thomas "Colignatus" (18.07.2008) [08.04.2008, 06.05.2008]. "Триг переосмыслен. Тригонометрия пересмотрена. Измерение углов в 'единичном метре вокруг' и использование функций единичного радиуса Xur и Yur" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18.07.2023 . Получено 18.07.2023 .(18 страниц)
  38. ^ Mann, Steve ; Janzen, Ryan E.; Ali, Mir Adnan; Scourboutakos, Pete; Guleria, Nitin (22–24 октября 2014 г.). «Интегральная кинематика (интегралы по времени расстояния, энергии и т. д.) и интегральная кинезиология». Труды IEEE GEM 2014 г. Торонто, Онтарио, Канада: 627–629. S2CID  6462220 . Получено 18 июля 2023 г.
  39. ^ Манн, Стив ; Чен, Хонгюй; Эйлвард, Грэм; Йорритсма, Меган; Манн, Кристина; Дефаз Поведа, Диего Дэвид; Пирс, Кейден; Лам, Дерек; Стэйрс, Джереми; Эрмандес, Джесси; Ли, Цюши; Сян, И Синь; Канаан, Жорж (июнь 2019 г.). «Сам глаз как камера: датчики, целостность и доверие». 5-й семинар ACM по носимым системам и приложениям (основной доклад): 1–2. doi :10.1145/3325424.3330210. S2CID  189926593 . Получено 18 июля 2023 г.
  40. ^ Хартл, Майкл (2010-03-14). "Манифест Тау" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2019-07-18 . Получено 2019-08-05 .
  41. ^ Арон, Джейкоб (2011-01-08). «Майкл Хартл: пора убить пи». New Scientist . Интервью. 209 (2794): 23. Bibcode : 2011NewSc.209...23A. doi : 10.1016/S0262-4079(11)60036-5.
  42. ^ Ландау, Элизабет (14.03.2011). «В день числа Пи число „пи“ подвергается нападкам?». cnn.com . CNN . Архивировано из оригинала 19.12.2018 . Получено 05.08.2019 .
  43. ^ Бартоломью, Рэндин Чарльз (25.06.2014). «Давайте использовать тау — это проще, чем пи — растущее движение утверждает, что уничтожение числа пи сделает математику проще, легче и даже красивее». Scientific American . Архивировано из оригинала 18.06.2019 . Получено 20.03.2015 .
  44. ^ "Happy Tau Day!". blog.khanacademy.org . 2012-06-28. Архивировано из оригинала 2023-07-18 . Получено 2020-12-19 .
  45. ^ "Поддерживаемые функции". help.desmos.com . Архивировано из оригинала 2023-03-26 . Получено 2023-03-21 .
  46. ^ Коглан, Ник (25.02.2017). "PEP 628 -- Добавить math.tau". Python.org . Архивировано из оригинала 22.07.2019 . Получено 05.08.2019 .
  47. ^ "math — Математические функции". Документация Python 3.7.0 . Архивировано из оригинала 2019-07-29 . Получено 2019-08-05 .
  48. ^ "Perl 6 terms". Архивировано из оригинала 2019-07-22 . Получено 2019-08-05 .
  49. ^ "TAU". Обработка . Архивировано из оригинала 2019-07-22 . Получено 2019-08-05 .
  50. ^ "math". Nim . Архивировано из оригинала 2019-07-22 . Получено 2019-08-05 .
  51. ^ "std::f64::consts::TAU - Rust". doc.rust-lang.org . Архивировано из оригинала 2023-07-18 . Получено 2020-10-09 .
  52. ^ "Константы @GDScript - Godot Engine (стабильная версия) документация на английском языке". Godot Docs .
  53. ^ "Получить TAU - Документация Unreal Engine 5.2". Документация Unreal Engine .
  54. ^ Дарси, Джо. «JDK-8283136: Добавить константу для тау в Math и StrictMath». bugs.openjdk.org .
  55. ^ "Математический класс". Документация Java 19 .
  56. ^ Джон-ХК. "Добавить запрос на извлечение Math.Tau #37517 · dotnet/Runtime". GitHub .
  57. ^ "Math.Tau Field". Справочная документация .NET .
  58. ^ "пакет math - pkg.odin-lang.org". Документация Odin .
  59. ^ Харремоэс, Питер (2017). «Границы хвостовых вероятностей для отрицательных биномиальных распределений». Kybernetika . 52 (6): 943–966. arXiv : 1601.05179 . doi :10.14736/kyb-2016-6-0943. S2CID  119126029.
  60. ^ Харремоэс, Питер (2018-11-17). "Константа Аль-Каши τ" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2019-07-22 . Получено 2018-09-20 .
  61. ^ Эбботт, Стивен (апрель 2012 г.). «Мое обращение в тауизм» (PDF) . Math Horizons . 19 (4): 34. doi :10.4169/mathhorizons.19.4.34. S2CID  126179022. Архивировано (PDF) из оригинала 28.09.2013.
  62. ^ Последовательность OEIS : A019692
  63. ^ abc "ISO 80000-3:2019 Величины и единицы — Часть 3: Пространство и время" (2-е изд.). Международная организация по стандартизации . 2019. Получено 23 октября 2019 г.[5] (11 страниц)
  64. ^ Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., ISBN 978-92-822-2272-0
  65. ^ Томпсон, Эмблер; Тейлор, Барри Н. (2020-03-04) [2009-07-02]. "Руководство NIST по использованию Международной системы единиц, специальная публикация 811" (ред. 2008 г.). Национальный институт стандартов и технологий . Получено 2023-07-17 .[6]
  66. ^ ab "ISO 80000-3:2006". ISO . 2001-08-31 . Получено 2023-04-25 .
  67. ^ "ISO 80000-1:2009(ru) Величины и единицы — Часть 1: Общие положения". iso.org . Получено 2023-05-12 .

Внешние ссылки