Объем

Количество трехмерного пространства

Объем — это мера областей в трехмерном пространстве . ^[1] Его часто определяют количественно с использованием производных единиц СИ (таких как кубический метр и литр ) или различных британских или традиционных единиц США (таких как галлон , кварта , кубический дюйм ). Определение длины (в кубе) взаимосвязано с объемом. Под объемом контейнера обычно понимают вместимость контейнера; т. е. количество жидкости (газа или жидкости), которое может содержать контейнер, а не количество пространства, которое вытесняет сам контейнер. По метонимии термин «объем» иногда используется для обозначения соответствующей области (например, ограничивающего объема ). ^{[2] [3]}

В древности объем измеряли с помощью природных емкостей аналогичной формы. Позже стали использовать стандартизированные контейнеры. Объем некоторых простых трехмерных фигур можно легко рассчитать с помощью арифметических формул . Объемы более сложных форм можно рассчитать с помощью интегрального исчисления , если существует формула для границы формы. Нуль- , одно- и двумерные объекты не имеют объема; в четвертом и более высоких измерениях понятием, аналогичным нормальному объему, является гиперобъем.

История

Древняя история

6 мер объема из мужской пондерии в Помпеях , древнего муниципального учреждения для контроля мер и весов.

Точность измерения объема в древний период обычно колеблется в пределах 10–50 мл (0,3–2 жидких унции США; 0,4–2 имп жидких унций). ^{[4] : 8} Самые ранние свидетельства расчета объема пришли из Древнего Египта и Месопотамии в виде математических задач, аппроксимирующих объем простых форм, таких как кубоиды , цилиндры , усеченные конусы и конусы . Эти математические задачи записаны в Московском математическом папирусе (ок. 1820 г. до н.э.). ^{[5] : 403} В папирусе Рейснера древние египтяне записали конкретные единицы объёма для зерна и жидкостей, а также таблицу длины, ширины, глубины и объёма для блоков материала. ^{[4] : 116} Египтяне используют свои единицы длины ( локоть , ладонь , цифру ) для создания единиц объёма, таких как объёмный локоть ^{[4] : 117} или отрицание ^{[5] : 396} (1 локоть × 1 локоть). × 1 локоть), объёмная ладонь (1 локоть × 1 локоть × 1 ладонь) и объёмная цифра (1 локоть × 1 локоть × 1 цифра). ^{[4] : 117}

В последних трех книгах «Начал » Евклида , написанных примерно в 300 г. до н.э., подробно описаны точные формулы для расчета объема параллелепипедов , конусов, пирамид , цилиндров и сфер . Формулы были определены предыдущими математиками с использованием примитивной формы интегрирования , путем разбиения фигур на более мелкие и простые части. ^{[5] : 403} Столетие спустя Архимед ( ок.  287–212 до н.э. ) разработал приблизительную формулу объема нескольких форм, используя метод исчерпывания , что означает получение решений из ранее известных формул из подобных форм. Примитивная интеграция форм была также открыта независимо Лю Хуэем в 3 веке нашей эры, Цзу Чунчжи в 5 веке нашей эры, на Ближнем Востоке и в Индии . ^{[5] : 404}

Архимед также придумал способ рассчитать объем объекта неправильной формы, погрузив его под воду и измерив разницу между начальным и конечным объемом воды. Разница объёмов воды и есть объём объекта. ^{[5] : 404} Несмотря на высокую популярность, Архимед, вероятно, не погружает золотую корону в воду, чтобы определить ее объем, а, следовательно, плотность и чистоту, из-за чрезвычайной точности. ^[6] Вместо этого он, вероятно, изобрел примитивную форму гидростатического баланса . Здесь корона и кусок чистого золота одинакового веса кладутся на оба конца весов, погруженных под воду, которые наклоняются соответствующим образом в соответствии с принципом Архимеда . ^[7]

Исчисление и стандартизация единиц

Схема, показывающая, как измерить объем с помощью мерного цилиндра с маркировкой для жидкости , 1926 год.

В Средние века было изготовлено множество единиц измерения объема, таких как сестр , янтарь, гребень и шов . Огромное количество таких единиц побудило британских королей стандартизировать их, кульминацией чего стал Статут о хлебе и эле в 1258 году, принятый Генрихом III в Англии . Закон стандартизировал вес, длину и объем, а также ввел пени, унцию, фунт, галлон и бушель. ^{[4] : 73–74} В 1618 году Лондонская фармакопея (каталог лекарственных препаратов) приняла римский галлон ^[8] или конгиус ^[9] в качестве основной единицы объема и дала таблицу преобразования аптекарских единиц веса. ^[8] Примерно в это же время измерения объема становятся более точными, и неопределенность сужается до 1–5 мл (0,03–0,2 жидких унций США; 0,04–0,2 имп жидких унций). ^{[4] : 8}

Примерно в начале 17 века Бонавентура Кавальери применил философию современного интегрального исчисления для расчета объема любого объекта. Он разработал принцип Кавальери , который гласил, что использование все более тонких срезов формы будет делать полученный объем все более и более точным. Позднее эта идея была расширена Пьером де Ферма , Джоном Уоллисом , Исааком Барроу , Джеймсом Грегори , Исааком Ньютоном , Готфридом Вильгельмом Лейбницем и Марией Гаэтаной Аньези в 17 и 18 веках, чтобы сформировать современное интегральное исчисление, которое до сих пор используется в 21-го века. ^{[5] : 404}

Метрика и переопределения

7 апреля 1795 года во французском законодательстве была официально определена метрическая система с использованием шести единиц. Три из них связаны с объемом: stère  (1 м ³ ) – объем дров; литр  (1 дм 3 ⁾ для объемов жидкости; и грамм для массы, определяемой как масса одного кубического сантиметра воды при максимальной плотности и температуре около 4 ° C (39 ° F). ^{[ нужна цитата ]} Тридцать лет спустя, в 1824 году, имперский галлон был определен как объем, занимаемый десятью фунтами воды при температуре 17 ° C (62 ° F). ^{[5] : 394} Это определение подвергалось дальнейшему уточнению до принятия в Соединенном Королевстве Закона о мерах и весах 1985 года , согласно которому 1 британский галлон точно равен 4,54609 литра без использования воды. ^[10]

Переопределение метра в 1960 году с Международного прототипа метра на оранжево-красную эмиссионную линию атомов криптона-86 освободило метр, кубический метр и литр от физических объектов. Это также делает метр и производные от него единицы объема устойчивыми к изменениям в международном прототипе метра. ^[11] Определение метра было снова пересмотрено в 1983 году, чтобы использовать скорость света и секунду (которые получены из цезиевого стандарта ) и переформулировано для ясности в 2019 году . ^[12]

Характеристики

Как мера евклидова трехмерного пространства , объем не может быть физически измерен как отрицательная величина, подобно длине и площади . Как и все непрерывные монотонные (сохраняющие порядок) меры, объемы тел можно сравнивать друг с другом и, таким образом, упорядочивать. Объем также можно складывать и разлагать до бесконечности; последнее свойство является неотъемлемой частью принципа Кавальери и исчисления бесконечно малых трехмерных тел. ^[13] «Единицей» бесконечно малого объема в интегральном исчислении является элемент объема ; эта формулировка полезна при работе с различными системами координат , пространствами и многообразиями .

Объем в целом является контентом Джордана , поэтому объем будет удовлетворять этим аксиомам : ^{[ нужна ссылка ]}

• Для всех S в M a ( S ) ≥ 0 .

• Если S и T находятся в M , то также S ∪ T и S ∩ T , а также а ( S ∪ T ) знак равно а ( S ) + а ( Т ) - а ( S ∩ Т ) .
• Если S и T находятся в M , причем S ⊆ T , то T - S находится в M и a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ) .
• Если множество S находится в M и S конгруэнтно T , то T также находится в M и a ( S ) = a ( T ) .
• Каждый кубоид R находится в M . Если прямоугольник имеет длину a , ширину b и высоту c , то V ( R ) = abc .
• Пусть Q — множество, заключенное между двумя ступенчатыми областями S и T. Ступенчатая область образуется из конечного объединения соседних кубоидов, покоящихся на общей поверхности, т.е. S ⊆ Q ⊆ T . Если существует уникальный номер c такой, что a ( S ) ⩽ c ⩽ a ( T ) для всех таких ступенчатых областей S и T , то a ( Q ) = c .

Измерение

Самый старый способ примерно измерить объем объекта — использовать человеческое тело, например, используя размер руки и щепотку . Однако вариации человеческого тела делают его крайне ненадежным. Лучший способ измерения объема — использовать примерно одинаковые и прочные контейнеры, встречающиеся в природе, например , тыквы , овечьи или свиные желудки и мочевые пузыри . Позже, по мере развития металлургии и производства стекла , небольшие объемы в настоящее время обычно измеряются с использованием стандартизированных контейнеров, изготовленных человеком. ^{[5] : 393} Этот метод обычно используется для измерения небольших объемов жидкостей или сыпучих материалов с использованием нескольких или частей контейнера. Для сыпучих материалов контейнер встряхивают или выравнивают, чтобы образовалась примерно ровная поверхность. Этот метод не является самым точным способом измерения объема, но его часто используют для измерения ингредиентов, приготовленных при приготовлении пищи . ^{[5] : 399}

Пипетка с вытеснением воздухом используется в биологии и биохимии для измерения объема жидкостей в микроскопическом масштабе. ^[14] Калиброванные мерные чашки и ложки подходят для приготовления пищи и повседневной жизни, однако они недостаточно точны для лабораторий . Там объем жидкостей измеряют с помощью мерных цилиндров , пипеток и мерных колб . Самыми большими из таких калиброванных контейнеров являются резервуары для хранения нефти , некоторые из них могут вмещать до 1 000 000  баррелей (160 000 000 л) жидкостей. ^{[5] : 399} Даже в таком масштабе, зная плотность и температуру нефти, можно очень точно измерить объем в этих резервуарах. ^{[5] : 403}

Для еще больших объемов, например, в резервуаре , объем контейнера моделируется с помощью форм и рассчитывается с помощью математических вычислений. ^{[5] : 403} Задача численного вычисления объёма объектов изучается в области вычислительной геометрии в информатике, исследуя эффективные алгоритмы для выполнения этого вычисления, приближенно или точно , для различных типов объектов. Например, метод аппроксимации выпуклого объема показывает, как аппроксимировать объем любого выпуклого тела с помощью оракула членства . ^{[ нужна цитата ]}

Единицы

Некоторые единицы объема СИ для масштабирования и приближения соответствующей массы воды.

Для облегчения расчетов единица объема равна объему, занимаемому единичным кубом (с длиной стороны, равной единице). Поскольку объем занимает три измерения, если в качестве единицы длины выбран метр (м), соответствующей единицей объема будет кубический метр (м ³ ). Кубический метр также является производной единицей системы СИ . ^[15] Таким образом, объем имеет единичную размерность L ³ . ^[16]

В метрических единицах объема используются метрические префиксы , строго в степени десяти . При применении префиксов к единицам объема, выраженным в кубических единицах длины, операторы куба применяются к единицам длины, включая префикс. Пример перевода кубического сантиметра в кубический метр: 2,3 см ³ = 2,3 (см) ³ = 2,3 (0,01 м) ³ = 0,0000023 м ³ (пять нулей). ^{[17] : 143}

Обычно используемыми префиксами для кубических единиц длины являются кубический миллиметр (мм ³ ), кубический сантиметр (см ³ ), кубический дециметр (дм ³ ), кубический метр (м ³ ) и кубический километр (км ³ ). Префиксы между префиксными единицами преобразования следующие: 1000 мм ³ = 1 см ³ , 1000 см ³ = 1 дм ³ и 1000 дм ³ = 1 м ³ . ^[1] В метрическую систему также входит литр (Л) как единица объёма, где 1 л = 1 дм ³ = 1000 см ³ = 0,001 м ³ . ^{[17] : 145} Для единицы литра обычно используются префиксы миллилитр (мл), сантилитр (сл) и литр (л), где 1000 мл = 1 л, 10 мл = 1 сл, 10 сл = 1. дл, а 10 дл = 1 л. ^[1]

Литры чаще всего используются для предметов (таких как жидкости и твердые вещества, которые можно выливать), которые измеряются по вместимости или размеру их контейнера, тогда как кубические метры (и производные единицы) чаще всего используются для предметов, измеряемых либо по их размерам, либо по размерам. их смещения. ^{[ нужна цитата ]}

Также используются различные другие британские или традиционные единицы объема США , в том числе: ^{[5] : 396–398.}

• кубический дюйм , кубический фут , кубический ярд , акр-фут , кубическая миля ;
• миним , драхма , жидкая унция , пинта ;
• чайная ложка , столовая ложка ;
• жабра , кварта , галлон , бочка ;
• шнур , пек , бушель , бочка .

Емкость и объем

Вместимость — это максимальное количество материала, которое может вместить контейнер, измеряемое в объеме или весе . Однако содержащийся объем не обязательно должен заполняться до вместимости контейнера или наоборот. Контейнеры могут вмещать только определенный физический объем, а не вес (исключая практические соображения). Например, резервуар емкостью 50 000 баррелей (7 900 000 л), который может вместить всего 7 200 т (15 900 000 фунтов) мазута, не сможет вместить те же 7 200 т (15 900 000 фунтов) нафты из -за более низкой плотности нафты и, следовательно, большего объема. . ^{[5] : 390–391.}

Вычисление

Основные формы

Для многих форм, таких как куб , прямоугольный параллелепипед и цилиндр , они имеют по существу ту же самую формулу расчета объема, что и для призмы : основание формы, умноженное на ее высоту .

Интегральное исчисление

Иллюстрация тела вращения, у которого из объема повернутого g(x) вычитается объем повернутого f(x).

Вычисление объема является важной частью интегрального исчисления. Один из них — вычисление объёма тел вращения путём вращения плоской кривой вокруг линии в той же плоскости. Метод интегрирования шайбы или диска используется при интегрировании по оси, параллельной оси вращения. Общее уравнение можно записать как:

$${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx}$$

^{[18] : 1, 3}интегрирования^{[18] : 6} ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle g(x)}$

$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx}$$

области Dтрехмерном пространствеобъемным интеграломфункции^{[19] : Раздел 14.4.} ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

$${\displaystyle \iiint _{D}1\,dx\,dy\,dz.}$$

В цилиндрических координатах интеграл объема равен

$${\displaystyle \iiint _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,}$$

В сферических координатах (с использованием соглашения об углах с азимутом и измерении от полярной оси; подробнее см. Соглашения ) интеграл объема равен ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \iiint _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$$

Геометрическое моделирование

Низкополигональная треугольная сетка дельфина

Полигональная сетка — это представление поверхности объекта с помощью полигонов . Объемная сетка явно определяет ее объем и свойства поверхности.

Производные величины

• Плотность — это масса вещества на единицу объема или общая масса, деленная на общий объем. ^[20]
• Удельный объем — это общий объем, разделенный на массу или обратную плотности. ^[21]
• Объемный расход или расход – это объем жидкости, который проходит через данную поверхность в единицу времени.
• Объемная теплоемкость — это теплоемкость вещества, деленная на его объем.

Смотрите также

• Норма бесплатного провоза багажа
• Парадокс Банаха – Тарского
• Габаритный вес
• Размеры

Примечания

1. При постоянной температуре и давлении, для краткости игнорируя другие состояния вещества.

Рекомендации

1. «Единицы СИ — Объем». Национальный институт стандартов и технологий . 13 апреля 2022 года. Архивировано из оригинала 7 августа 2022 года . Проверено 7 августа 2022 г.
2. «IEC 60050 — Подробности для номера IEV 102-04-40: «объем»» . Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Проверено 19 сентября 2023 г.
3. «IEC 60050 — Подробности для номера IEV 102-04-39: «трехмерная область»» . Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Проверено 19 сентября 2023 г.
4. Имхаузен, Аннет (2016). Математика в Древнем Египте: контекстуальная история . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-1-4008-7430-9. ОКЛК  934433864.
5. Treese, Стивен А. (2018). История и измерение базовых и производных единиц . Чам, Швейцария: Springer Science+Business Media . ISBN 978-3-319-77577-7. LCCN  2018940415. OCLC  1036766223.
6. Роррес, Крис. «Золотая Корона». Дрексельский университет . Архивировано из оригинала 11 марта 2009 года . Проверено 24 марта 2009 г.
7. Граф, Э.Х. (2004). «Что же сказал Архимед о плавучести?». Учитель физики . 42 (5): 296–299. Бибкод : 2004PhTea..42..296G. дои : 10.1119/1.1737965. Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 г. Проверено 7 августа 2022 г.
8. «Весы, веса и меры» (PDF) . Королевское фармацевтическое общество . 4 февраля 2020 г. с. 1. Архивировано (PDF) оригинала 20 мая 2022 г. Проверено 13 августа 2022 г. .
9. Кардарелли, Франсуа (6 декабря 2012 г.). Преобразование научных единиц: Практическое руководство по метрике (2-е изд.). Лондон: Springer Science+Business Media . п. 151. ИСБН 978-1-4471-0805-4. ОКЛК  828776235.
10. Кук, Джеймс Л. (1991). Коэффициенты пересчета . Оксфорд [Англия]: Издательство Оксфордского университета . стр. xvi. ISBN 0-19-856349-3. ОСЛК  22861139.
11. Мэрион, Джерри Б. (1982). Физика для науки и техники . Издательство колледжа CBS. п. 3. ISBN 978-4-8337-0098-6.
12. «Практическая практика для определения метра в системе СИ» (PDF) . Международное бюро мер и весов . Консультативный комитет по длине. 20 мая 2019 г. с. 1. Архивировано (PDF) из оригинала 13 августа 2022 года . Проверено 13 августа 2022 г. .
13. "Том - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 27 мая 2023 г.
14. «Использование микропипеток» (PDF) . Государственный колледж Буффало . Архивировано из оригинала (PDF) 4 августа 2016 года . Проверено 19 июня 2016 г.
15. «Площадь и объем». Национальный институт стандартов и технологий . 25 февраля 2022 года. Архивировано из оригинала 7 августа 2022 года . Проверено 7 августа 2022 г.
16. Лемонс, Дон С. (16 марта 2017 г.). Руководство для студентов по размерному анализу . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . п. 38. ISBN 978-1-107-16115-3. ОКЛК  959922612.
17. Le Système International d'Unités [ Международная система единиц ] (PDF) (на французском и английском языках) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, 2019, ISBN 978-92-822-2272-0
18. «Тома путем интеграции» (PDF) . Рочестерский технологический институт . 22 сентября 2014 г. Архивировано (PDF) из оригинала 2 февраля 2022 г. . Проверено 12 августа 2022 г.
19. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс Коул Сенгедж Обучение. ISBN 978-0-495-01166-8.
20. Бенсон, Том (7 мая 2021 г.). «Плотность газа». Исследовательский центр Гленна . Архивировано из оригинала 9 августа 2022 г. Проверено 13 августа 2022 г.
21. Ценгель, Юнус А.; Болес, Майкл А. (2002). Термодинамика: инженерный подход . Бостон: МакГроу-Хилл . п. 11. ISBN 0-07-238332-1.

Внешние ссылки

• Периметры, площади, объемы в Wikibooks
• Объем в Wikibooks