В алгебре монический многочлен — это ненулевой одномерный многочлен (то есть многочлен от одной переменной), в котором старший коэффициент (ненулевой коэффициент высшей степени) равен 1. Другими словами, монический многочлен — это многочлен, который можно записать как [1]
с
Монические многочлены широко используются в алгебре и теории чисел , поскольку они производят много упрощений и избегают делений и знаменателей. Вот несколько примеров.
Каждый многочлен связан с уникальным моническим многочленом. В частности, свойство уникальной факторизации многочленов можно сформулировать следующим образом: Каждый многочлен может быть однозначно факторизован как произведение его старшего коэффициента и произведения монических неприводимых многочленов .
Формулы Виета проще в случае монических многочленов: i- я элементарная симметрическая функция корней монического многочлена степени n равна , где — коэффициент при (n−i) -й степени неопределенности .
Евклидово деление многочлена на монический многочлен не вводит деления коэффициентов. Поэтому оно определено для многочленов с коэффициентами в коммутативном кольце .
Алгебраические целые числа определяются как корни мономических многочленов с целыми коэффициентами.
Каждый ненулевой одномерный многочлен ( многочлен с одной неизвестной ) можно записать
где коэффициенты полинома, а старший коэффициент не равен нулю. По определению такой полином является моническим, если
Произведение монических многочленов является моническим. Произведение многочленов является моническим тогда и только тогда, когда произведение старших коэффициентов множителей равно 1 .
Это означает, что мономические многочлены в кольце одномерных многочленов над коммутативным кольцом образуют моноид при умножении многочленов.
Два монических полинома связаны тогда и только тогда, когда они равны, поскольку умножение полинома на ненулевую константу дает полином с этой константой в качестве старшего коэффициента.
Делимость индуцирует частичный порядок на монических многочленах. Это следует почти сразу из предыдущих свойств.
Пусть будет полиномиальным уравнением , где P — одномерный полином степени n . Если разделить все коэффициенты P на его старший коэффициент, то получится новое полиномиальное уравнение, которое имеет те же решения и состоит в том, чтобы приравнять к нулю монический полином.
Например, уравнение
эквивалентно моническому уравнению
Когда коэффициенты не указаны или принадлежат полю , где деление не приводит к дробям (например , или конечному полю ), это сведение к моническим уравнениям может обеспечить упрощение. С другой стороны, как показано в предыдущем примере, когда коэффициенты являются явными целыми числами, связанный монический полином, как правило, более сложен. Поэтому примитивные полиномы часто используются вместо монических полиномов при работе с целыми коэффициентами.
Монические полиномиальные уравнения лежат в основе теории целых алгебраических чисел и, в более общем смысле, теории целочисленных элементов .
Пусть R — подкольцо поля F ; это означает, что R — область целостности . Элемент a из F является целым над R, если он является корнем монического многочлена с коэффициентами в R.
Комплексное число , являющееся целым числом по целым числам, называется алгебраическим целым числом . Эта терминология мотивирована тем фактом, что целые числа являются в точности рациональными числами , которые также являются алгебраическими целыми числами. Это следует из теоремы о рациональном корне , которая утверждает, что если рациональное число является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то q является делителем старшего коэффициента; поэтому, если многочлен является моническим, то и число является целым числом. И наоборот, целое число p является корнем монического многочлена
Можно доказать, что если два элемента поля F целы над подкольцом R кольца F , то сумма и произведение этих элементов также целы над R . Отсюда следует, что элементы поля F целые над R образуют кольцо, называемое целым замыканием кольца R в K . Целостная область, равная своему целому замыканию в своем поле дробей, называется целозамкнутой областью .
Эти концепции являются фундаментальными в алгебраической теории чисел . Например, многие из многочисленных неверных доказательств Великой теоремы Ферма , которые были написаны на протяжении более трех столетий, были неверны, потому что авторы ошибочно предполагали, что алгебраические целые числа в алгебраическом числовом поле имеют уникальную факторизацию .
Обычно термин «монический» не используется для полиномов нескольких переменных. Однако полином от нескольких переменных может рассматриваться как полином от одной переменной с коэффициентами, являющимися полиномами от других переменных. Таким образом, моничность зависит от выбора одной «главной» переменной. Например, полином
является моническим, если рассматривать его как полином по x с коэффициентами, являющимися полиномами по y :
но он не является моническим, если рассматривать его как полином по y с коэффициентами, полиномиальными по x :
В контексте базисов Грёбнера порядок монома обычно фиксирован. В этом случае можно сказать, что многочлен является моническим, если его старший коэффициент равен 1 (для порядка монома).
Для каждого определения произведение монических многочленов является моническим, и, если коэффициенты принадлежат полю , каждый многочлен связан ровно с одним моническим многочленом.
