Единое пространство

Топологическое пространство с понятием однородных свойств

В математической области топологии однородное пространство — это топологическое пространство с дополнительной структурой , которая используется для определения однородных свойств , таких как полнота , равномерная непрерывность и равномерная сходимость . Равномерные пространства обобщают метрические пространства и топологические группы , но эта концепция предназначена для формулировки самых слабых аксиом, необходимых для большинства доказательств анализа .

Помимо обычных свойств топологической структуры, в однородном пространстве формализуются понятия относительной близости и близости точек. Другими словами, идеи типа « x ближе к a , чем y к b » имеют смысл в однородных пространствах. Для сравнения: в общем топологическом пространстве для множеств A, B имеет смысл сказать, что точка x находится сколь угодно близко к A (т . е. в замыкании A ), или, возможно, что A является меньшей окрестностью x , чем B. , но понятия близости точек и относительной близости не могут быть хорошо описаны только топологической структурой.

Определение

Есть три эквивалентных определения однородного пространства. Все они представляют собой пространство, оснащенное единой структурой.

Определение антуража

Это определение адаптирует представление топологического пространства в терминах систем окрестностей . Непустая совокупность подмножеств — это ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X}$однородная структура (илиоднородность ), если он удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Если тогда где находится диагональ ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle \Delta \subseteq U,}$ ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X.}$
2. Если и тогда ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$ ${\displaystyle V\in \Phi .}$
3. Если и тогда ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V\in \Phi }$ ${\displaystyle U\cap V\in \Phi .}$
4. Если тогда существует такое, что , где обозначает композицию с самим собой. Комбинация двух подмножеств и определяется формулой ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V\in \Phi }$ ${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\circ V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X\times X}$
   $${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ there exists }}y\in X\,{\text{ such that }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.}$$
5. Если тогда где находится обратное _ ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle U^{-1}\in \Phi ,}$ ${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$ ${\displaystyle U.}$

Непустота состояний, взятых вместе с (2) и (3), является фильтром . Если последнее свойство опущено, мы называем пространство ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X.}$квазиоднородный . Элементназывается_ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Phi }$окрестности илиантураж отфранцузскогослова «окружение».

Обычно пишут где – вертикальное сечение, а – каноническая проекция на вторую координату. На графике типичное окружение изображается в виде пятна, окружающего диагональ " "; все разные формы образуют вертикальные сечения. Если тогда кто-то говорит это и ${\displaystyle U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),}$ ${\displaystyle U\cap (\{x\}\times X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{2}}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle U[x]}$ ${\displaystyle (x,y)\in U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$-закрывать . Аналогично, если все пары точек в подмножестве-близки(то есть еслисодержится в),называется-маленьким. Антураж- это ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$симметричны , еслиименно тогда.Первая аксиома утверждает, что каждая точка-близка к себе для каждого окружения.Третья аксиома гарантирует, что быть «одновременно-близкими и-близкими» также является отношением близости в однородности. Четвертая аксиома гласит, что для каждого окружениясуществует окружение«не более чем в два раза меньше». Наконец, последняя аксиома утверждает, что свойство «близости» по отношению к однородной структуре симметрично пои ${\displaystyle (x,y)\in U}$ ${\displaystyle (y,x)\in U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Абаза окружения илиФундаментальная система окружений (илиокрестностей) однородности— это любой наборокруженийтакой, что каждое окружениесодержит набор, принадлежащийТаким образом, в силу свойства 2, приведенного выше, фундаментальной системы окруженийдостаточно, чтобыоднозначно определить однородность:является ли множество подмножеств,которые содержат множество.Каждое однородное пространство имеет фундаментальную систему окружений, состоящую из симметричных окружений. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Интуитивное представление о равномерности можно получить на примере метрических пространств : если это метрическое пространство, то множества ${\displaystyle (X,d)}$

$${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$$

${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a.}$

Однородность является более тонкой , чем другая однородность на том же множестве, если в этом случае говорят, что она грубее , чем ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi \supseteq \Psi ;}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi .}$

Определение псевдометрии

Равномерные пространства могут быть определены альтернативно и эквивалентно с использованием систем псевдометрик - подхода, который особенно полезен в функциональном анализе (с псевдометрикой, обеспечиваемой полунормами ). Точнее, пусть это псевдометрика на множестве. Можно показать , что прообразы для образуют фундаментальную систему окружений однородности. Равномерность, порожденная , есть однородность, определяемая одной псевдометрикой. Некоторые авторы называют пространства, топология которых определяется в терминах калибровочных пространств псевдометрики . ${\displaystyle f:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle f.}$

Для семейства псевдометрик однородная структура, определяемая этим семейством, является наименьшей верхней границей однородных структур, определяемых отдельными псевдометриками. Фундаментальная система окружений этой однородности обеспечивается множеством конечных пересечений окружений однородностей, определяемых индивидуальная псевдометрика. Если семейство псевдометрик конечно , то можно видеть, что одна и та же равномерная структура определяется одной псевдометрикой , а именно верхней оболочкой семейства. ${\displaystyle \left(f_{i}\right)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle \sup _{}f_{i}}$

Менее тривиально можно показать, что однородная структура, допускающая счетную фундаментальную систему окружения (следовательно, в частности, однородность, определяемая счетным семейством псевдометрик), может быть определена одной псевдометрикой. Следствием этого является то, что любая однородная структура может быть определена, как указано выше, с помощью (возможно, несчетного) семейства псевдометрик (см. Бурбаки: Общая топология, глава IX, §1, № 4).

Единое определение покрытия

Единообразное пространство — это набор , снабженный выдающимся семейством покрытий, называемым «однородными покрытиями», взятым из набора покрытий , образующих фильтр при упорядочении по звездочке. Говорят, что покрытие — это звездообразное уточнение покрытия, написанного, если для каждого существует такое, что если тогда Аксиоматически условие быть фильтром сводится к: ${\displaystyle (X,\Theta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Theta ,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle U\in \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle B\subseteq U.}$

1. ${\displaystyle \{X\}}$является равномерным покрытием (т.е. ). ${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$
2. Если с единым чехлом и чехлом то тоже единый чехол. ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$
3. Если и являются однородными покрытиями, то существует единое покрытие , которое звездно уточняет как и ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Учитывая точку и однородное покрытие, можно рассматривать объединение членов этого содержимого как типичную окрестность «размера» , и эта интуитивная мера применяется равномерно по всему пространству. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$

Учитывая однородное пространство в смысле окружения, определите покрытие как однородное, если существует некоторое окружение, такое, что для каждого существует такое, что Эти однородные покрытия образуют однородное пространство, как во втором определении. И наоборот, при наличии однородного пространства в смысле однородного покрытия надмножества диапазонов as по однородным покрытиям являются окружением однородного пространства, как в первом определении. Более того, эти два преобразования являются обратными друг другу. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {P} }$ ${\displaystyle U[x]\subseteq A.}$ ${\displaystyle \bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Топология однородных пространств

Каждое однородное пространство становится топологическим пространством , если определить подмножество как открытое тогда и только тогда, когда для каждого существует такое окружение , которое является подмножеством . В этой топологии фильтр окрестности точки равен Это можно доказать с помощью рекурсивного использования существование «полуразмерного» окружения. По сравнению с общим топологическим пространством существование однородной структуры делает возможным сравнение размеров окрестностей: и считаются «одинаковыми». ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in O}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{V[x]:V\in \Phi \}.}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle V[y]}$

Топология, определяемая однородной структурой, называетсявызванное единообразием . Равномерная структура топологического пространствасовместимас топологией, если топология, определяемая однородной структурой, совпадает с исходной топологией. В общем, несколько различных однородных структур могут быть совместимы с данной топологией на ${\displaystyle X.}$

Униформизируемые пространства

Топологическое пространство называетсяуниформизуема, если существует однородная структура, совместимая с топологией.

Всякое униформизируемое пространство является вполне регулярным топологическим пространством. Более того, для униформизируемого пространства следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$является пространством Колмогорова
• ${\displaystyle X}$является хаусдорфовым пространством
• ${\displaystyle X}$это тихоновское пространство
• для любой совместимой однородной структуры пересечением всех антуражей является диагональ ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}.}$

Некоторые авторы (например, Энгелькинг) добавляют это последнее условие непосредственно в определение униформизуемого пространства.

Топология униформизируемого пространства всегда является симметричной топологией ; то есть пространство является R ₀ -пространством .

И наоборот, каждое вполне регулярное пространство униформизуемо. Равномерность, совместимая с топологией вполне регулярного пространства, может быть определена как наиболее грубая равномерность, которая делает все непрерывные вещественные функции равномерно непрерывными. Фундаментальной системой окружения этой однородности являются все конечные пересечения множеств, где — непрерывная вещественнозначная функция на и — окружение однородного пространства. Эта однородность определяет топологию, которая явно более грубая, чем исходная топология, в которой она находится. также тоньше исходной топологии (следовательно, совпадает с ней) является простым следствием полной регулярности: для любого и ее окрестности существует непрерывная вещественная функция с единицей и равная 1 в дополнении к ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {R} .}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle V}$

В частности, компакт Хаусдорфа униформизуем. Действительно, для хаусдорфова пространства множество всех окрестностей диагонали образует единственную равномерность , совместимую с топологией. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$

Хаусдорфово равномерное пространство называется метризуемым, если его равномерность можно определить счетным семейством псевдометрик. Действительно, как обсуждалось выше, такая однородность может быть определена одной псевдометрикой , которая обязательно является метрикой, если пространство хаусдорфово. В частности, если топология векторного пространства хаусдорфова и определима счетным семейством полунорм , оно метризуемо.

Равномерная непрерывность

Аналогичными непрерывным функциям между топологическими пространствами , сохраняющими топологические свойства , являются равномерно непрерывные функции между равномерными пространствами, сохраняющими равномерные свойства.

Равномерно непрерывная функция определяется как функция, в которой прообразы окружений снова являются окружениями, или, что то же самое, функция, в которой прообразы однородных покрытий снова являются однородными покрытиями. Явно функция между равномерными пространствами называется ${\displaystyle f:X\to Y}$равномерно непрерывен, если для каждого окружениявсуществует окружениевтакое, что еслитоили другими словами, всякий раз, когдаесть окружение в, тогдаесть окружение в, гдеопределяется выражением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)\in U}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\times f:X\times X\to Y\times Y}$ ${\displaystyle (f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).}$

Все равномерно непрерывные функции непрерывны относительно индуцированных топологий.

Однородные пространства с однородными отображениями образуют категорию . Изоморфизм между равномерными пространствами называетсяравномерный изоморфизм ; явно, это равномерно непрерывнаябиекцияобратнаякоторойтакже равномерно непрерывна. Аравномерное вложение - это инъективное равномерно непрерывное отображениемежду равномерными пространствами, обратное котороготакже равномерно непрерывно, где изображениеимеет однородность подпространства, унаследованную от ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle i^{-1}:i(X)\to X}$ ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle Y.}$

Полнота

Обобщая понятие полного метрического пространства , можно определить полноту и для равномерных пространств. Вместо работы с последовательностями Коши можно работать с фильтрами Коши (или сетями Коши ).

Афильтр Коши (соответственноПрефильтр Коши )на однородном пространстве— этофильтр(соответственнопрефильтр)такой, что для любого окружениясуществуетс. Другими словами, фильтр является Коши, если он содержит «произвольно малые» множества. Из определений следует, что каждый фильтр, сходящийся (относительно топологии, определяемой равномерной структурой), является фильтром Коши. А ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle A\in F}$ ${\displaystyle A\times A\subseteq U.}$Минимальный фильтр Коши — это фильтр Коши, который не содержит меньшего (то есть более грубого) фильтра Коши (кроме самого себя). Можно показать, что каждый фильтр Коши содержит уникальныйминимальный фильтр Коши. Фильтр окрестности каждой точки (фильтр, состоящий из всех окрестностей точки) является минимальным фильтром Коши.

И наоборот, однородное пространство называетсяполным , если каждый фильтр Коши сходится. Любой компакт Хаусдорфа является полным равномерным пространством относительно единственной равномерности, совместимой с топологией.

Полные равномерные пространства обладают следующим важным свойством: если — равномерно непрерывная функция из плотного подмножества равномерного пространства в полное равномерное пространство , то она может быть продолжена (единственным образом) до равномерно непрерывной функции на всех ${\displaystyle f:A\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Топологическое пространство, которое можно превратить в полное однородное пространство, однородность которого индуцирует исходную топологию, называется полностью униформизируемым пространством .

АПополнение равномерного пространства является полным – это пара,состоящая из полного равномерного пространстваи равномерного вложения,образ которогоявляетсяплотнымподмножеством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (i,C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i:X\to C}$ ${\displaystyle i(C)}$ ${\displaystyle C.}$

Хаусдорфово пополнение однородного пространства

Как и в случае с метрическими пространствами, каждое однородное пространство имеет ${\displaystyle X}$Хаусдорфово пополнение : то есть существует полное равномерное по Хаусдорфу пространствои равномерно непрерывное отображение(еслиэто равномерное по Хаусдорфу пространство, тоэтотопологическое вложение) со следующим свойством: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$

для любого равномерно непрерывного отображения в полное равномерное Хаусдорфово пространство существует единственное равномерно непрерывное отображение такое, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle f=gi.}$

Хаусдорфово пополнение единственно с точностью до изоморфизма. В качестве набора можно считать, что он состоит из минимальных фильтров Коши на. Поскольку фильтр окрестности каждой точки в является минимальным фильтром Коши, карту можно определить путем отображения на . Определенное таким образом отображение , как правило, не инъективно; на самом деле график отношения эквивалентности является пересечением всех окружений и, следовательно, инъективен именно тогда, когда есть Хаусдорф. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (x).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i(x)=i(x')}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$

Равномерная структура на определяется следующим образом: для каждого ${\displaystyle Y}$симметричное окружение (то есть такое, из которогоследует), пустьбудет множеством всех парминимальных фильтров Коши, которые имеют общий хотя бы один-малый набор. Можно показать, что декорацииобразуют фундаментальную систему антуража; имеет определенную таким образом единую структуру. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (x,y)\in V}$ ${\displaystyle (y,x)\in V}$ ${\displaystyle C(V)}$ ${\displaystyle (F,G)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C(V)}$ ${\displaystyle Y}$

Тогда это множество является плотным подмножеством. Если хаусдорфово, то является изоморфизмом на и, следовательно, может быть отождествлено с плотным подмножеством его пополнения. Более того, это всегда Хаусдорф; это называется ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i(X)}$Равномерное хаусдорфово пространство, связанное с ${\displaystyle X.}$ Еслиобозначает отношение эквивалентности, то фактор-пространствогомеоморфно ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i(x)=i(x'),}$ ${\displaystyle X/R}$ ${\displaystyle i(X).}$

Примеры

1. Любое метрическое пространство можно рассматривать как однородное пространство. Действительно, поскольку метрика тем более является псевдометрикой, определение псевдометрики имеет однородную структуру. Фундаментальную систему антуража этой однородности обеспечивают наборы ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$

   ${\displaystyle \qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.}$

   Эта равномерная структура порождает обычную топологию метрического пространства. Однако разные метрические пространства могут иметь одну и ту же однородную структуру (тривиальный пример - постоянное кратное метрике). Эта равномерная структура дает также эквивалентные определения равномерной непрерывности и полноты для метрических пространств . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$
2. Используя метрики, можно построить простой пример различных однородных структур с совпадающей топологией. Например, пусть будет обычная метрика on и пусть Тогда обе метрики индуцируют обычную топологию on, но однородные структуры различны, поскольку является окружением в однородной структуре for, но не for . Неформально этот пример можно рассматривать как взятие обычной однородности и искажая его действием непрерывной, но неравномерно непрерывной функции. ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle d_{2}(x,y).}$
3. Каждая топологическая группа (в частности, каждое топологическое векторное пространство ) становится равномерным пространством, если мы определяем подмножество как окружение тогда и только тогда, когда оно содержит множество для некоторой окрестности единичного элемента . Эта равномерная структура на называется правой равномерностью. потому что для каждого правое умножение равномерно непрерывно относительно этой однородной структуры. Можно также определить левостороннюю однородность для этих двух элементов, которые не обязательно должны совпадать, но они оба порождают данную топологию на ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V\subseteq G\times G}$ ${\displaystyle \{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle x\to x\cdot a}$ ${\displaystyle G;}$ ${\displaystyle G.}$
4. Для каждой топологической группы и ее подгруппы множество левых смежных классов является равномерным пространством относительно равномерности, определяемой следующим образом. Множества , где пробегают окрестности единицы, образуют фундаментальную систему окружений для однородности. Соответствующая индуцированная топология на равна фактортопологии , определяемой естественным отображением ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle g\to G/H.}$
5. Тривиальная топология принадлежит однородному пространству, в котором все декартово произведение является единственным окружением . ${\displaystyle X\times X}$

История

До того, как Андре Вейль дал первое явное определение однородной структуры в 1937 году, единообразные понятия, такие как полнота, обсуждались с использованием метрических пространств . Николя Бурбаки дал определение однородной структуры с точки зрения окружения в книге « Общая топология» , а Джон Тьюки дал определение однородного покрытия. Вейль также охарактеризовал равномерные пространства в терминах семейства псевдометрик.

Смотрите также

• Грубая структура  - семейство наборов по геометрии и топологии для измерения крупномасштабных свойств пространства.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Полное метрическое пространство  - Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство  - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
• Полностью унифицированное пространство
• Фильтры в топологии  . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Исходная однородная структура  - самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Пространство близости  - структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.
• Пространство (математика)  - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
• Топология равномерной сходимости
• Равномерная непрерывность  – Равномерное ограничение изменения функций
• Равномерный изоморфизм  - Равномерно непрерывный гомеоморфизм.
• Свойство однородности  - Объект исследования в категории однородных топологических пространств.
• Равномерно связное пространство  - Тип однородного пространства.

Рекомендации

1. "IsarMathLib.org" . Проверено 2 октября 2021 г.

• Николя Бурбаки , Общая топология ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (гл. 1–4), ISBN 0-387-19372-3 (гл. 5–10): Глава II представляет собой исчерпывающий справочник по униформе. структуры, глава IX § 1 посвящена псевдометрикам, а глава III § 3 посвящена равномерным структурам на топологических группах.  
• Рышард Энгелькинг , Общая топология. Переработанное и дополненное издание , Берлин, 1989 г.
• Джон Р. Исбелл , ISBN Uniform Spaces 0-8218-1512-1 
• И. М. Джеймс , ISBN «Введение в единообразные пространства» 0-521-38620-9 
• И. М. Джеймс , ISBN топологических и равномерных пространств 0-387-96466-5 
• Джон Тьюки , Сходимость и однородность в топологии ; ISBN 0-691-09568-X 
• Андре Вейль , «О пространствах единой структуры и общей топологии» , Закон. наук. Индиана 551 , Париж, 1937 г.