stringtranslate.com

Антипризма

Восьмиугольная антипризма

В геометрии n -угольная антипризма или n -антипризма — это многогранник, состоящий из двух параллельных прямых копий (не зеркальных отображений) n -стороннего многоугольника , соединенных чередующейся полосой из 2 n треугольников . Они представлены обозначением Конвея A n .

Антипризмы являются подклассом призматоидов и представляют собой (вырожденный) тип плосконосого многогранника .

Антипризмы похожи на призмы , за исключением того, что основания повернуты относительно друг друга, а боковые грани (соединяющие основания) представляют собой 2n треугольников , а не n четырехугольников .

Двойственный многогранник n -угольной антипризмы является n -угольным трапецоэдром .

История

В своей книге 1619 года «Harmonices Mundi » Иоганн Кеплер наблюдал существование бесконечного семейства антипризм. [1] Это традиционно считается первым открытием этих форм, но они могли быть известны и раньше: неподписанный печатный блок для развёртки шестиугольной антипризмы приписывается Иерониму Андреа , который умер в 1556 году. [2]

Немецкая форма слова «антипризма» использовалась для этих форм в 19 веке; Карл Хайнце приписывает ее введение Теодору Виттштейну  [de] . [3] Хотя английское «антипризма» использовалось ранее для обозначения оптической призмы, используемой для устранения эффектов первичного оптимального элемента, [4] первое использование «антипризмы» в английском языке в его геометрическом смысле, по-видимому, относится к началу 20 века в работах Г. С. М. Коксетера . [5]

Особые случаи

Правая антипризма

Для антипризмы с правильными n- угольными основаниями обычно рассматривают случай, когда эти две копии повернуты на угол 180/н градусов.

Осью правильного многоугольника называется прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника и лежащая в его центре.

Для антипризмы с равными правильными n -угольными основаниями, повернутой на угол 180/н градусов, большая регулярность получается, если основания имеют одну и ту же ось: соосны ; т. е. (для некомпланарных оснований ): если линия, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскостям оснований. Тогда антипризма называется прямой антипризмой , а ее 2 n боковых граней являются равнобедренными треугольниками .

Равномерная антипризма

Однородная n -антипризма имеет два равных правильных n -угольника в качестве оснований и 2 n равносторонних треугольников в качестве боковых граней .

Однородные антипризмы образуют бесконечный класс вершинно-транзитивных многогранников, как и однородные призмы. Для n = 2 мы имеем двуугольную антипризму (вырожденную антипризму), которая визуально идентична правильному тетраэдру ; для n = 3 — правильный октаэдр как треугольная антипризма (невырожденная антипризма).

Диаграммы Шлегеля этих полуправильных антипризм следующие:

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин прямой n -антипризмы (т.е. с правильными n -угольниками в основании и 2 n равнобедренными треугольными боковыми гранями, радиус описанной окружности оснований равен 1) равны:

где 0 ≤ k ≤ 2 n – 1 ;

если n -антипризма однородна (т.е. если треугольники равносторонние), то:

Объем и площадь поверхности

Пусть a — длина ребра однородной n- угольной антипризмы; тогда объем равен:

а площадь поверхности равна:

Кроме того, объем правильной прямой n-угольной антипризмы с длиной стороны ее основания l и высотой h определяется по формуле:

Вывод

Радиус описанной горизонтальной окружности правильного -угольника в основании равен

Вершины основания находятся в

вершины наверху находятся в

С помощью линейной интерполяции точки на внешних треугольных ребрах антипризмы, соединяющие вершины внизу с вершинами вверху, находятся в

и в

Построив суммы квадратов координат и в одном из предыдущих двух векторов, квадрат радиуса описанной окружности этого сечения на высоте равен

Горизонтальное сечение на высоте над основанием представляет собой -угольник (усеченный -угольник) со сторонами длины , чередующимися со сторонами длины . (Они выводятся из длины разности предыдущих двух векторов.) Его можно разбить на равнобедренные треугольники с ребрами и (полупериметр ) плюс равнобедренные треугольники с ребрами и (полупериметр ). Согласно формуле Герона площади этих треугольников равны

и

Площадь сечения равна , а объем равен



Обратите внимание, что объем прямой n -угольной призмы с теми же l и h равен: что меньше объема антипризмы.

Симметрия

Группа симметрии прямой n -антипризмы (т.е. с правильными основаниями и равнобедренными боковыми гранями) равна D n d = D n v порядка 4 n , за исключением случаев:

Группа симметрии содержит инверсию тогда и только тогда, когда n нечетно.

Группа вращения имеет порядок D n 2 n , за исключением случаев:

Примечание: Прямые n -антипризмы имеют равные правильные n -угольники в основаниях и равные равнобедренные треугольные боковые грани, поэтому имеют ту же (двугранную) группу симметрии, что и однородная n -антипризма, для n ≥ 4 .

Обобщения

В более высоких измерениях

Четырехмерные антипризмы можно определить как имеющие два дуальных многогранника в качестве параллельных противоположных граней, так что каждая трехмерная грань между ними происходит из двух дуальных частей многогранников: вершины и дуального многоугольника, или двух дуальных ребер. Каждый трехмерный выпуклый многогранник комбинаторно эквивалентен одной из двух противоположных граней четырехмерной антипризмы, построенной из ее канонического многогранника и ее полярного дуала. [6] Однако существуют четырехмерные полихоры, которые не могут быть объединены со своими дуалами для формирования пятимерных антипризм. [7]

Самопересекающиеся многогранники


Здесь показаны все незвездчатые и звездчатые антипризмы до 15 сторон, а также антипризмы 29-угольника.

Однородные звездчатые антипризмы называются по их звездчатым многоугольным основаниям, { p / q }, и существуют в прямых и обратных (скрещенных) решениях. Скрещенные формы имеют пересекающиеся вершинные фигуры и обозначаются «перевернутыми» дробями: p /( pq ) вместо p / q ; например: 5/3 вместо 5/2.

Прямая звездчатая антипризма имеет две конгруэнтные соосные правильные выпуклые или звездчатые многоугольники в основании и 2 n равнобедренных треугольных боковых граней.

Любую звездчатую антипризму с правильными выпуклыми или звездчатыми многоугольными основаниями можно сделать прямой звездчатой ​​антипризмой (перемещая и/или поворачивая одно из ее оснований, если необходимо).

В ретроградных формах, но не в проградных, треугольники, соединяющие выпуклые или звездчатые основания, пересекают ось вращательной симметрии. Таким образом:

Также можно построить звездные антипризменные соединения с правильными звездными p / q -угольниками, если p и q имеют общие множители. Пример: звездная 10/4-антипризма является соединением двух звездных 5/2-антипризм.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Кеплер, Иоганн (1619). «Книга II, Определение X». Harmonices Mundi (на латыни). стр. 49.См. также иллюстрацию А семиугольной антипризмы.
  2. ^ Шрайбер, Питер; Фишер, Гизела ; Стернат, Мария Луиза (июль 2008 г.). «Новый свет на повторное открытие архимедовых тел в эпоху Возрождения». Архив истории точных наук . 62 (4): 457–467. JSTOR  41134285.
  3. ^ Хайнце, Карл (1886). Лаке, Франц (ред.). Genetische Stereometrie (на немецком языке). Б. Г. Тойбнер. п. 14.
  4. ^ Смит, Пиацци (1881). "XVII. О строении линий, формирующих низкотемпературный спектр кислорода". Труды Королевского общества Эдинбурга . 30 (1): 419–425. doi :10.1017/s0080456800029112.
  5. ^ Coxeter, HSM (январь 1928). «Чистые архимедовы многогранники в шести и семи измерениях». Математические труды Кембриджского философского общества . 24 (1): 1–9. doi :10.1017/s0305004100011786.
  6. ^ Грюнбаум, Бранко (2005). «Действительно ли скучны призмы и антипризмы? (Часть 3)» (PDF) . Геомбинаторика . 15 (2): 69–78. MR  2298896.
  7. ^ Доббинс, Майкл Джин (2017). «Безантипризменность, или: сведение комбинаторной эквивалентности к проективной эквивалентности в задачах реализуемости для многогранников». Дискретная и вычислительная геометрия . 57 (4): 966–984. doi :10.1007/s00454-017-9874-y. MR  3639611.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки