Класс трассировки

Компактный оператор, для которого можно определить конечный след

В математике , в частности в функциональном анализе , оператор класса следа — это линейный оператор, для которого может быть определен след , так что след — это конечное число, независимое от выбора базиса, используемого для вычисления следа. Этот след операторов класса следа обобщает след матриц, изучаемых в линейной алгебре. Все операторы класса следа являются компактными операторами .

В квантовой механике смешанные состояния описываются матрицами плотности , которые представляют собой определенные операторы следового класса.

Операторы следового класса по сути то же самое, что и ядерные операторы , хотя многие авторы резервируют термин «оператор следового класса» для особого случая ядерных операторов в гильбертовых пространствах и используют термин «ядерный оператор» в более общих топологических векторных пространствах (таких как банаховы пространства ).

Обратите внимание, что оператор следа , изучаемый в уравнениях с частными производными, является несвязанной концепцией.

Определение

Пусть — сепарабельное гильбертово пространство , ортонормированный базис и положительный ограниченный линейный оператор на . След обозначается и определяется как [ 1 ^{] ​​[2]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,}$

независимо от выбора ортонормированного базиса. (Не обязательно положительный) ограниченный линейный оператор называется классом следа тогда и только тогда, когда ${\displaystyle T:H\rightarrow H}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty ,}$

где обозначает положительно-полуопределенный эрмитов квадратный корень . ^[3] ${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$

Норма следа оператора класса следа T определяется как Можно показать, что норма следа является нормой в пространстве всех операторов класса следа и что вместе с нормой следа становится банаховым пространством . $${\displaystyle \|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).}$$ ${\displaystyle B_{1}(H)}$ ${\displaystyle B_{1}(H)}$

Когда является конечномерным, каждый (положительный) оператор является следовым классом и это определение следа совпадает с определением следа матрицы . Если является комплексным, то всегда является самосопряженным (т.е. ), хотя обратное не обязательно верно. ^[4] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=A^{*}=|A|}$

Эквивалентные формулировки

Для ограниченного линейного оператора каждое из следующих утверждений эквивалентно нахождению в классе трассировки: ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T}$

• ${\textstyle \operatorname {Tr} (|T|)=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$конечен для любого ортонормированного базиса H. [ ¹ ] ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$
• T — ядерный оператор ^{[5] [6]}

Существуют две ортогональные последовательности и в и положительные действительные числа в такие, что и ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}<\infty }$

${\displaystyle x\mapsto T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i},\quad \forall x\in H,}$

где — сингулярные значения T (или, что то же самое, собственные значения ), причем каждое значение повторяется с той же частотой, что и его кратность. [ ^7] ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle |T|}$

• T — компактный оператор с ${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty .}$

Если T — класс трассировки, то ^[8]

${\displaystyle \|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ and }}C:H\to H{\text{ is a compact operator }}\right\}.}$

• T — интегральный оператор . ^[9]
• T равен композиции двух операторов Гильберта-Шмидта . ^[10]
• ${\textstyle {\sqrt {|T|}}}$является оператором Гильберта-Шмидта . ^[10]

Примеры

Спектральная теорема

Пусть — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Тогда является классом следа тогда и только тогда, когда имеет чисто точечный спектр с собственными значениями такими, что ^[11] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left\{\lambda _{i}(T)\right\}_{i=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(T^{2})<\infty .}$

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера дает еще один пример оператора класса следа. То есть, предположим, что есть непрерывное симметричное положительно определенное ядро ​​на , определяемое как ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

тогда ассоциированный интегральный оператор Гильберта–Шмидта является следовым оператором, т.е. ${\displaystyle T_{K}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

Операторы конечного ранга

Каждый оператор конечного ранга является оператором класса следа. Более того, пространство всех операторов конечного ранга является плотным подпространством (при наделении нормой следа). ^[8] ${\displaystyle B_{1}(H)}$

При любом определении оператора с помощью Тогда это непрерывный линейный оператор ранга 1 и, таким образом, является следовым; более того, для любого ограниченного линейного оператора A на H (и в H ), ^[8] ${\displaystyle x,y\in H,}$ ${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$ ${\displaystyle (x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .}$

Характеристики

1. Если — неотрицательный самосопряженный оператор , то является следовым оператором тогда и только тогда, когда Таким образом, самосопряженный оператор является следовым оператором тогда и только тогда, когда его положительная и отрицательная части являются следовыми операторами. (Положительная и отрицательная части самосопряженного оператора получаются с помощью непрерывного функционального исчисления .) ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} A<\infty .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A^{-}}$
2. След — это линейный функционал над пространством операторов класса следа, то есть Билинейная карта — это скалярное произведение на классе следа; соответствующая норма называется нормой Гильберта–Шмидта . Пополнение операторов класса следа в норме Гильберта–Шмидта называется операторами Гильберта–Шмидта. $${\displaystyle \operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).}$$ $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$$
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C} }$— положительный линейный функционал, такой что если — оператор класса следов, удовлетворяющий условию ^[10] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,}$ ${\displaystyle T=0.}$
4. Если это трассовый класс, то это также и ^[10] ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle \|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.}$
5. Если ограничено и является следовым оператором, то и также являются следовыми операторами (т.е. пространство следовых операторов на H является идеалом в алгебре ограниченных линейных операторов на H ), и ^{[10] [12]} Кроме того, при той же гипотезе, ^[10] и Последнее утверждение справедливо также при более слабой гипотезе, что A и T являются операторами Гильберта–Шмидта. ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle AT}$ ${\displaystyle TA}$ $${\displaystyle \|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)}$$ ${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.}$
6. Если и являются двумя ортонормированными базисами H и если T является следовым классом, то ^[8] ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle \left(f_{k}\right)_{k}}$ ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$
7. Если A является следовым классом, то можно определить определитель Фредгольма : где — спектр Условие следового класса на гарантирует, что бесконечное произведение конечно: действительно, Это также подразумевает, что тогда и только тогда, когда является обратимым. ${\displaystyle I+A}$ $${\displaystyle \det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],}$$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.}$$ ${\displaystyle \det(I+A)\neq 0}$ ${\displaystyle (I+A)}$
8. Если является следовым классом, то для любого ортонормированного базиса сумма положительных членов конечна. ^[10] ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$
9. Если для некоторых операторов Гильберта-Шмидта и тогда для любого нормального вектора выполняется. ^[10] ${\displaystyle A=B^{*}C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e\in H,}$ ${\textstyle |\langle Ae,e\rangle |={\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}$

Теорема Лидского

Пусть будет оператором следового класса в сепарабельном гильбертовом пространстве и пусть будут собственными значениями Предположим, что перечислены с учетом алгебраической кратности (то есть, если алгебраическая кратность равна , то повторяется в списке раз ). Теорема Лидского (названная в честь Виктора Борисовича Лидского ) утверждает, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N\leq \infty }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \lambda _{n}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots }$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)}$$

Обратите внимание, что ряд справа сходится абсолютно из-за неравенства Вейля между собственными значениями и сингулярными значениями компактного оператора ^[13] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)}$$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}$ ${\displaystyle A.}$

Связь между общими классами операторов

Можно рассматривать определенные классы ограниченных операторов как некоммутативный аналог классических пространств последовательностей , а операторы следового класса — как некоммутативный аналог пространства последовательностей. ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$

Действительно, можно применить спектральную теорему , чтобы показать, что каждый нормальный оператор класса следов в сепарабельном гильбертовом пространстве может быть реализован определенным образом как последовательность относительно некоторого выбора пары базисов Гильберта. В том же духе ограниченные операторы являются некоммутативными версиями компактных операторов , которые из (последовательности, сходящиеся к 0), операторы Гильберта–Шмидта соответствуют и операторы конечного ранга из (последовательности, которые имеют только конечное число ненулевых членов). В некоторой степени отношения между этими классами операторов аналогичны отношениям между их коммутативными аналогами. ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle c_{00}}$

Напомним, что каждый компактный оператор в гильбертовом пространстве принимает следующую каноническую форму: существуют ортонормированные базисы и и последовательность неотрицательных чисел с такими, что Уточняя приведенные выше эвристические комментарии, мы имеем, что является следовым классом тогда и только тогда, когда ряд сходится, является оператором Гильберта–Шмидта тогда и только тогда , когда он сходится, и является конечномерным тогда и только тогда, когда последовательность имеет только конечное число ненулевых членов. Это позволяет связать эти классы операторов. Следующие включения справедливы и все являются собственными, когда является бесконечномерным: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (u_{i})_{i}}$ ${\displaystyle (v_{i})_{i}}$ ${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\to 0}$ $${\displaystyle Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.}$$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert--Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.}$$

Операторам класса следа задается норма следа. Норма, соответствующая внутреннему произведению Гильберта–Шмидта, равна Также обычная норма оператора равна Согласно классическим неравенствам относительно последовательностей, для соответствующих ${\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$ $${\displaystyle \|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.}$$ ${\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$ $${\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}}$$ ${\displaystyle T.}$

Также ясно, что операторы конечного ранга плотны как в следовом классе, так и в норме Гильберта–Шмидта.

Класс трассировки как двойственный к компактным операторам

Двойственное пространство для есть Аналогично, мы имеем, что двойственное пространство компактных операторов, обозначаемое как есть операторы класса следа, обозначаемые как Аргумент, который мы сейчас набросаем, напоминает аргумент для соответствующих пространств последовательностей. Давайте отождествим с оператором, определяемым как где есть оператор ранга один, заданный как ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle K(H)^{*},}$ ${\displaystyle B_{1}.}$ ${\displaystyle f\in K(H)^{*},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T_{f}}$ $${\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),}$$ ${\displaystyle S_{x,y}}$ $${\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.}$$

Эта идентификация работает, поскольку операторы конечного ранга являются норм-плотными в В случае, если — положительный оператор, для любого ортонормированного базиса имеем , где — тождественный оператор: ${\displaystyle K(H).}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle u_{i},}$ $${\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,}$$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.}$$

Но это означает, что это следовой класс. Обращение к полярному разложению расширяет это до общего случая, где не обязательно быть положительным. ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{f}}$

Предельный аргумент с использованием операторов конечного ранга показывает, что Таким образом , изометрически изоморфно ${\displaystyle \|T_{f}\|_{1}=\|f\|.}$ ${\displaystyle K(H)^{*}}$ ${\displaystyle B_{1}.}$

Как предварительный оператор ограниченных операторов

Напомним, что двойственный к есть В данном контексте двойственный к операторам класса следа есть ограниченные операторы Точнее, множество есть двусторонний идеал в Так что для любого оператора мы можем определить непрерывный линейный функционал на с помощью Это соответствие между ограниченными линейными операторами и элементами двойственного пространства есть изометрический изоморфизм . Отсюда следует, что есть двойственное пространство Это можно использовать для определения слабой-* топологии на ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle T\in B(H),}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle B_{1}.}$ ${\displaystyle B(H).}$

Смотрите также

• Ядерный оператор  – Линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами
• Ядерные операторы между банаховыми пространствами  – операторы в банаховых пространствах со свойствами, аналогичными конечномерным операторамPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Оператор трассировки

Ссылки

1. Conway 2000, стр. 86.
2. Рид и Саймон 1980, стр. 206.
3. Рид и Саймон 1980, стр. 196.
4. Рид и Саймон 1980, стр. 195.
5. Трев 2006, стр. 494.
6. Конвей 2000, стр. 89.
7. Рид и Саймон 1980, стр. 203–204, 209.
8. Conway 1990, стр. 268.
9. Тревес 2006, стр. 502–508.
10. Конвей 1990, стр. 267.
11. Саймон 2010, стр. 21.
12. Рид и Саймон 1980, стр. 218.
13. Саймон, Б. (2005) Идеалы следа и их приложения , второе издание, Американское математическое общество.

Библиография

• Конвей, Джон Б. (2000). Курс по теории операторов . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2065-0.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Диксмье, Дж. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien . Готье-Виллар.
• Рид, М.; Саймон , Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Шефер, Хельмут Х. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 3. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Саймон, Барри (2010). Теорема Сегё и ее потомки: спектральная теория для L² возмущений ортогональных многочленов . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14704-8.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.