В терминологической логике (раздел философской логики ) квадрат оппозиции представляет собой диаграмму, изображающую отношения между четырьмя основными категорическими суждениями . Происхождение квадрата можно проследить до трактата Аристотеля « Об интерпретации» и его различения двух оппозиций: противоречия и противоречия . Однако Аристотель не нарисовал никакой диаграммы; это сделали несколько столетий спустя Апулей и Боэций .
В традиционной логике суждение (лат. propositio ) — это устное утверждение ( oratio enunciativa ), а не значение утверждения, как в современной философии языка и логики . Категорическое предложение — это простое предложение, содержащее два термина, субъект ( S ) и предикат ( P ), в котором предикат либо утверждается, либо отрицается в отношении субъекта.
Каждое категорическое суждение можно свести к одной из четырех логических форм , названных A , E , I и O , основанных на латинском affirmo (я утверждаю) , для утвердительных суждений A и I и n e go ( I отрицать), для отрицательных предложений Е и О. Это:
В табличной форме:
* Предложение А можно сформулировать как «Все S есть Р ». Однако предложение E , если оно сформулировано соответственно как «Все S не есть P ». является неоднозначным [2], поскольку оно может быть предложением E или O , поэтому для определения формы требуется контекст; стандартная форма «Нет S есть P » однозначна, поэтому она предпочтительна. Предложение O также принимает форму «Иногда S не есть P ». и «Некоторое S не есть P ». (буквально латинское «Quoddam S nōn est P. »)
** в современных формах означает, что утверждение применяется к объекту . Во многих случаях его можно просто интерпретировать как « есть ». также можно записать как .
Аристотель утверждает (в шестой и седьмой главах Peri hermēneias (Περὶ Ἑρμηνείας, латинское De Interpretatione , англ. «Об интерпретации»)), что существуют определенные логические отношения между этими четырьмя видами предложений. Он говорит, что каждому утверждению соответствует ровно одно отрицание и что каждое утверждение и его отрицание «противоположны» так, что всегда одно из них должно быть истинным, а другое ложным. Пара утвердительного высказывания и его отрицания есть, по его словам, « противоречие » (на средневековой латыни — противоречие ). Примерами противоречий являются «каждый человек белый» и «не каждый человек белый» (также читается как «некоторые мужчины не белые»), «ни один человек не белый» и «некоторые мужчины белые».
Приведенные ниже отношения, противоположные, субпротивоположные, субальтернативные и суперальтернативные, действительно выполняются на основе традиционного логического предположения о том, что вещи, заявленные как S (или вещи, удовлетворяющие утверждению S в современной логике), существуют. Если это предположение исключить, то эти соотношения не выполняются.
« Противоположные » (средневековые: contrariae ) утверждения таковы, что оба утверждения не могут быть истинными одновременно. Примерами этого являются универсальное утвердительное утверждение «каждый человек белый» и универсальное отрицательное утверждение «ни один человек не белый». Это не может быть правдой одновременно. Однако это не противоречия, поскольку оба они могут быть ложными. Например, утверждение о том, что каждый человек белый, неверно, поскольку некоторые мужчины не белые. Однако неверно и то, что ни один человек не является белым, поскольку есть некоторые белые люди.
Поскольку каждое утверждение имеет противоречивую противоположность (его отрицание) и поскольку противоречивое утверждение истинно, когда его противоположность ложна, из этого следует, что противоположности противоположностей (которые средневековье называли subcontraries , subcontrariae ) могут быть истинными оба, но они не могут одновременно быть истинными. быть ложным. Поскольку субпротивоположности являются отрицаниями универсальных высказываний, средневековые логики называли их «частными» высказываниями.
Другое логическое отношение, подразумеваемое этим, хотя и не упомянутое Аристотелем явно, — это «чередование» ( alternatio ), состоящее из « подальтернирования » и « сверхальтернирования ». Субальтернирование — это такое отношение между частным высказыванием и универсальным высказыванием одного и того же качества (утвердительного или отрицательного), при котором частное подразумевается из всеобщего, тогда как суперальтернирование — это такое отношение между ними, при котором ложность всеобщего (т. е. отрицание всеобщее) подразумевается ложностью частного (что эквивалентно отрицанию частного). [3] (Сверхальтернирование является противоположностью субальтернирования.) В этих отношениях особенное является подчиненным всеобщего, которое является суперальтернативным для частного. Например, если утверждение «каждый человек белый» истинно, то утверждение «ни один человек не белый» является ложным. Следовательно, противоречивое утверждение «какой-то мужчина белый» верно. Точно так же универсальное «ни один человек не белый» подразумевает частное «не каждый человек белый». [4] [5]
В итоге:
Эти отношения легли в основу диаграммы, созданной Боэцием и использовавшейся средневековыми логиками для классификации логических отношений. Предложения расположены в четырех углах квадрата, а отношения представлены в виде линий, проведенных между ними, отсюда и название «квадрат оппозиции». Таким образом, можно привести следующие случаи: [6]
Для их запоминания средневековые люди придумали следующую латинскую рифму: [7]
Он утверждает, что A и E не являются ни одновременно истинными, ни одновременно ложными в каждом из вышеперечисленных случаев. То же самое относится и к I и O. Первые два являются универсальными утверждениями, а пара ввода / вывода относится к частным.
Квадрат Оппозиций использовался для категорических умозаключений, описанных греческим философом Аристотелем: конверсия , противодействие и противопоставление . Каждый из этих трех типов категорического вывода был применен к четырем боэтовским логическим формам: A , E , I и O.
Подпротивоположности ( I и O ), которые средневековые логики представляли в форме «quoddam A est B » (некоторое конкретное A есть B ) и «quoddam A non est B » (некоторое конкретное A не есть B ), не могут одновременно быть ложными, поскольку их универсальные противоречивые утверждения (ни одно A не является B / каждое A есть B ) не могут быть одновременно истинными. Это приводит к затруднению, впервые выявленному Петром Абеляром (1079 – 21 апреля 1142 г.). «Нечто А есть Б », по-видимому, подразумевает «что-то есть А », другими словами, существует нечто, что есть А. Например, фраза «Некоторый мужчина белый», по-видимому, подразумевает, что по крайней мере одна существующая вещь — это мужчина, а именно человек, который должен быть белым, если утверждение «Некоторый мужчина белый» истинно. Но фраза «какой-то человек не белый» также подразумевает, что нечто в виде человека существует, а именно человек, который не белый, если утверждение «какой-то человек не белый» истинно. Но аристотелевская логика требует, чтобы одно из этих утверждений (в более общем смысле: «некоторое конкретное А есть В » и «некое конкретное А не есть В ») обязательно истинно, т. е. они не могут оба быть ложными. Следовательно, поскольку оба утверждения подразумевают присутствие хотя бы одного существа, то есть человека, следует присутствие мужчины или людей. Но, как указывает Абеляр в «Диалектике» , разве люди не могут существовать? [8]
Абеляр также указывает, что оба противоположности, содержащие субъектные термины, ничего не обозначающие, такие как «человек, который есть камень», оба ложны.
Теренс Парсонс (род. 1939) утверждает, что древние философы не сталкивались с проблемой экзистенциального значения, поскольку только формы A (универсальное утвердительное) и I (частное утвердительное) имели экзистенциальное значение. (Если утверждение включает в себя такой термин, что это утверждение является ложным, если этот термин не имеет экземпляров, т. е. не существует ничего, связанного с этим термином, то говорят, что утверждение имеет экзистенциальное значение по отношению к этому термину.)
Далее он цитирует средневекового философа Уильяма Мербеке (1215–35 – ок. 1286 ):
И указывает на то, что перевод Боэция работы Аристотеля дает начало ошибочному представлению о том, что форма О имеет экзистенциальное значение.
В 19 веке Джордж Буль (ноябрь 1815 г. - 8 декабря 1864 г.) выступал за требование экзистенциального импорта обоих терминов в конкретных утверждениях ( I и O ), но позволял всем терминам универсальных требований ( A и E ) лишаться экзистенциального импорта. Это решение сделало диаграммы Венна особенно простыми в использовании для терминальной логики. Квадрат оппозиции, согласно этому набору логических предположений, часто называют современным квадратом оппозиции . В современном квадрате оппозиции утверждения А и О являются противоречивыми, как и Е и I , но все другие формы оппозиции перестают иметь силу; нет противоположностей, субпротивоположностей, субальтернаций и сверхальтернаций. Таким образом, с современной точки зрения часто имеет смысл говорить об оппозиции утверждения, а не настаивать, как это делали старые логики, на том, что утверждение имеет несколько различных противоположностей, которые находятся в различных видах оппозиции с утверждением. требовать.
В « Begriffsschrift » Готлоба Фреге (8 ноября 1848 - 26 июля 1925) также представлен квадрат оппозиций, организованный почти идентично классическому квадрату, показывающий противоречия, подчиненные и противоположности между четырьмя формулами, построенными на основе универсальной количественной оценки, отрицания и импликации. .
Семиотический квадрат Альгирдаса Жюльена Греймаса (9 марта 1917 – 27 февраля 1992) был заимствован из работ Аристотеля.
Традиционный квадрат оппозиции теперь часто сравнивают с квадратами, основанными на внутреннем и внешнем отрицании. [14]
Квадрат оппозиции расширен до логического шестиугольника, включающего отношения шести утверждений. Он был открыт независимо Огюстеном Сесма (7 апреля 1885 г. - 12 декабря 1957 г.) и Робером Бланше (1898–1975). [15] Было доказано, что и квадрат, и шестиугольник, за которым следует « логический куб », принадлежат к регулярной серии n-мерных объектов, называемых «логическими бисимплексами размерности n ». Модель выходит даже за рамки этого. [16]
Логический квадрат, также называемый квадратом оппозиции или квадратом Апулея , берет свое начало от четырех отмеченных предложений, используемых в силлогистическом рассуждении: «Каждый человек плох», универсальное утвердительное утверждение — Отрицание универсального утвердительного предложения «Не каждый человек» плох» (или «Некоторые люди неплохи») — «Некоторые люди плохи», частное утвердительное утверждение — и, наконец, отрицание частного утвердительного «Ни один человек не плох». Робер Бланше опубликовал вместе с Врином свои «Интеллектуальные структуры» в 1966 году, и с тех пор многие ученые считают, что логический квадрат или квадрат оппозиции, представляющий четыре ценности, должен быть заменен логическим шестиугольником , который, представляя шесть ценностей, является более мощной фигурой, поскольку обладает способностью объясните больше о логике и естественном языке.
В современной математической логике утверждения, содержащие слова «все», «некоторые» и «нет», могут быть сформулированы в терминах теории множеств , если мы предполагаем область дискурса, подобную множеству. Если набор всех A помечен как, а набор всех B как , то:
По определению пустое множество является подмножеством всех множеств. Из этого факта следует, что, согласно этому математическому соглашению, если не существует А , то утверждения «Все А есть В » и «Ни одно А не есть В » всегда истинны, тогда как утверждения «Некоторые А есть В » и «Некоторые А не есть Б » всегда ложны. Это также означает, что AaB не влечет за собой AiB, и некоторые из упомянутых выше силлогизмов недействительны, когда нет букв A ( ).